新高考百校联合测评2020~2021高三上学期12月份联考数学试卷及答案
2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷(新高考)数学试题(解析版)
2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题一、单选题1．设i 是虚数单位，若复数221z i i=++，则z =（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】C【分析】根据复数除法运算法则，分子分母同乘以共轭复数，计算出复数z ，再代入模长公式计算即可.【详解】()222122212111i z i i i i i i i-=+=+=-+=++-，故z = 故选：C.2．设集合{}24A x x =-<<，{}260B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}22x x -<< B ．{}32x x -<< C ．{}23x x -<< D ．{}24x x <<【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为{}24A x x =-<<，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<，所以{}22A B x x ⋂=-<<， 故选：A. 3．曲线1axy x =-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（ ）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-【答案】D【分析】根据导数几何意义求出函数在2x =处的导数就是其切线斜率即可求出a ，将点代入直线方程求出b .【详解】解：由题意得()()()22111a x axay x x --'==---，所以()2221x ay a ==-=--'，因为直线30x y b -+=的斜率为3， 所以3a -=，故3a =-，故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-． 故选：D.【点睛】若已知曲线()y f x =过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线方程的方法 （1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=⋅-. （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-可得过点00(,)P x y 的切线方程. 4．意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()21n n n a a a n *++=+∈N ，若3579551k a a a a a a ++++++=，则k =（ ）．A ．2020B ．2021C ．59D ．60【答案】D【分析】根据题意234456,a a a a a a +=+=⋅⋅⋅，将所求化简即可得答案. 【详解】依题意，3579591a a a a a ++++++2357959a a a a a a ++++++=457959a a a a a ++++=+67959585960a a a a a a a ++++==+==，则60k =．故选：D5．已知A ，B 为单位圆22:1O x y +=上的两点，且满足3AB =，点P 为圆O 上一动点，则AP PB ⋅的取值范围是（ ）． A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【分析】根据题意 ()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-，化简整理可得()12AP PB OP OA OB ⋅=⋅+-，设AB 的中点为M ，OM 与OP 的夹角为θ，利用数量积公式，结合θ的范围，即可求得答案.【详解】如图，圆的半径为1，且3AB =，易得120AOB ∠=︒．由题意知()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅111cos120OP OB OA OP =⋅--⨯⨯︒+⋅()12OP OA OB =⋅+-．设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =，设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-=- 11121cos cos 222θθ=⨯⨯⨯-=-．又因为[]0,πθ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故选：B6．已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，OF 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若OAF △的面积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．2B ．2C ．52D ．5【答案】C【分析】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，取渐近线1y x a=，则可求DF 的长，根据1tan DF AOF OD a∠==，结合题意，可求得a 的值，代入公式即可求得答案. 【详解】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，如图所示：渐近线方程为1y x a =±，不妨取1y x a=，(),0F c ．其中2221c a =+， 则2211DF a==+，因为D 为AO 中点．因为1tan DF AOF OD a∠==， 所以OD a =，2AO a =． 则12122OAF S a =⨯⨯=△．解得2a =， 所以离心率52c e a ==． 故选：C7．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得60AB =米，60BC =米，40CD =米，60ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD 大约为（ ）．（结果精确到1米） 2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈7 2.646≈）A ．39米B ．43米C ．49米D ．53米【答案】D【分析】求出AC ，在CDA 中，用余弦定理即可求得AD . 【详解】在ACB △中，60AB =，60BC =，60ABC ∠=︒， 所以60AC =，在CDA 中，2222cos60AD AC CD AC CD =+-⋅⋅︒22160402604028002=+-⨯⨯⨯=， 所以20753AD =≈（米）． 故选：D【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8．已知关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．21e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．234e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．21,12e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】转化为函数()x f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，利用导数得到函数()f x 的单调性，作出函数的图象，根据图象列式可得结果. 【详解】因为关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，即1x k -=恰好有3个不相等的实数根，设()()xx f x x e=∈R ，则函数()y f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，当0x ≥时，()xx f x e =，故()()211222x xxx e xe x xf x xe e --'==，当102x ≤<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在1[0,)2上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()00f =，1222e f e ⎛⎫=⎪⎝⎭， 当0x <时，()x xf x e-=，故()()2112202x xx x e xe x x xe e f x '-----==-<-，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，函数()f x 的图象如图：由图可知，12012e k f ⎛⎫<-<=⎪⎝⎭， 所以211e k <<+. 故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题 9．设函数()1122x x f x --=+，则（ ）．A ．()f x 在()0,∞+上单调递增B ．()f x 的最小值是2C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．()f x 的图象关于点()1,0对称【答案】BC【分析】先根据()()2f x f x =-可判断C 正确，AD 错误，再根据基本不等式即可判断B 正确．【详解】解：对A ，D ，C ，()1122x x f x --=+， ()()()()21121122222x x x x f x f x ------+-=+==∴，即()()2f x f x =-，即()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故AD 错误； 对B ，1120,20x x -->>，()11222x x f x --=+≥=∴，当且仅当“1122x x --=”，即“1x =”时取等号，故B 正确. 故选：BC.10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）． A ．若11a =，则数列{}n S n +为等比数列 B ．若11a =，则数列{}1n a +为等比数列 C ．若11a =-，则数列{}n S n +为等差数列 D ．若11a =-，则数列{}1n a +为等差数列【答案】ACD【分析】由n a 与n S 的关系可推出()112n n S n S n +++=+，若11a =则1120S +=≠，由112n n S n S n+++=+可证明{}n S n +为等比数列；由A 求出数列{}n S 的通项公式从而可由1n n n a S S -=-求得{}n a 的通项公式；若11a =-则110S +=，可推出0n S n +=判断C 选项；此时由1n n n a S S -=-可推出10n a +=，即可判断D 选项. 【详解】因为111n n n n a S S S n ++=-=+-即121n n S S n +=+-，所以()112n n S n S n +++=+．若11a =，则1120S +=≠，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．故数列{}n S n +是以2为首项，2为公比的等比数列，故A 正确；由A 知2n n S n +=，则2nn S n =-，当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，由11a =，21a =，33a =可得112a +=，212a +=，314a +=，即32211111a a a a ++≠++，故B 错误； 若11a =-，则110S +=，所以由()112n n S n S n +++=+，得0n S n +=， 此时数列{}n S n +为等差数列，故C 正确；由C 知n S n =-，则当2n ≥时，()1[1]1n n n a S S n n -=-=----=-， 所以1n a =-，10n a +=，此时数列{}1n a +为等差数列，故D 正确． 故选：ACD11．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，设每场比赛双方获胜的概率都为12，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．则下列说法正确的是（ ）． A ．最少进行3场比赛 B ．第三场比赛甲轮空的概率为14C ．乙最终获胜的概率为932D ．丙最终获胜的概率716【答案】BCD【分析】根据题意，依次分析选项，结合相互对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，故A 错； 第三场比赛甲轮空，即第三场是乙和丙比赛，则第二场甲一定参赛了，说明第一场甲赢了，第二场是甲和丙比赛，甲输了，所以第三场比赛甲轮空的概率为111224P =⨯=，故B 正确；记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC ，ABCBC ，ACBCB ，BABCC ，BACBC ，BCACB ，BCABC ，BCBAC ，所以甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为()97123216P N =-⨯=． 故选：BCD【点睛】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路： 1、将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；2、将彼此互斥简单的事件中的简单事件，转化为几个已知概率的相互独立事件的积事件；3、代入概率的计算公式进行运算.12．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点A '的位置（A '∉平面BCDE ），则在ADE 翻转过程中，下列说法正确的是（ ）．A ．四棱锥A BCDE '-的体积的最大值是98B ．当二面角A DE B '--为直二面角时，102A B '=C ．一定存在某个位置，使平面A BC '⊥平面BCDED ．平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-外接球的表面积为13π3【答案】BD【分析】对A ，平面A ED '⊥平面BCDE 3公式计算；对B ，取ED 的中点M ，利用勾股定理即可计算；对C ，根据图像的特点，可知翻折的时候不会出现平面A BC '⊥平面BCDE 的情况；对D ，设球的半径，根据勾股定理列方程求解.【详解】在翻折过程中，平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-体积最大，1313333323428BCDE V S =⋅⋅=⋅⋅=，故A 错误．对于B ，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示，可得A M '⊥平面BCDE ，则2222371022A B A M BM ⎛⎫⎛⎫''=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确．对于C ，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上， 因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此C 不正确． 对于D ，平面A ED '⊥平面BCDE 时，设外接球球心为O ，如图，易知BC 中点H 即为四边形BCDE 的外接圆的圆心， 设球的半径为R ，OH d =，则有22233d R ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221d R +=，解得21312R =， 所以外接球的表面积为213π4π3S R ==，故D 正确． 故选：BD.【点睛】关于立体几何的问题的判断，需要注意结合几何体的图分析，一般涉及二面角的问题的求解，一种是采用定义的方法，分别在两个平面内找与交线垂直的线，围成的角即为二面角的平面角，再采用勾股定理或者余弦定理求解角；另一种是利用空间向量的方法，计算平面的法向量，再代入数量积的公式计算.三、填空题13．已知函数()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，且()()10f a f +-=，则实数a =______．【答案】14【分析】先求()12f -=，得()2f a =-，结合解析式可得0a >，()2log 2f a a ==-，从而得解.【详解】因为()12f -=，()20f a +=， 所以()2f a =-，由()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，知0x ≤时，()120xf x ⎛⎫= ⎪⎭>⎝，所以0a >，()2log 2f a a ==-，解得14a =． 故答案为：14. 14．已知圆()22:11E x y +=-的圆心与抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 重合，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与圆E 交于M ，N 两点（其中A 点和M 点在第一象限），则AM BN ⋅=______． 【答案】1【分析】由题意，求得抛物线方程为24y x =，设直线:1l x ty =+，联立方程组，求得124y y =-，结合抛物线的定义求得1AM x =，2BN x =，根据()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=，即可求解. 【详解】由题意，圆()22:11E x y +=-的圆心坐标为(1,0)，可得12p=，即2p =， 所以抛物线方程为24y x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =+，代入抛物线方程，得2440y ty --=，所以124y y =-，因为圆E 的圆心为抛物线焦点F ，根据抛物线的定义知，1AF x =+，21BF x =+，故1AM x =，2BN x =，所以()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=， 因为124y y =-，所以1AM BN ⋅=． 故答案为：1.【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 15．如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．255【分析】根据垂直关系得出111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，设BN x =，则可得()(56212620x x V x -=<<，再利用导数可求出最值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA CM ⊥， 又CM AB ⊥，PAAB A =，所以CM ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以CM PB ⊥，又因为CN PB ⊥，CM CN C ⋂=，所以PB ⊥平面CMN ， 又MN ⊂平面CMN ，所以PB MN ⊥， 三棱锥B CMN -体积111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，由2PA AB ==，可知PAB △为等腰直角三角形，设BN x =，则MN x =，BM =，在直角三角形ABC 中，又CM AB ⊥，所以2CM AM BM =⋅，因为2AB =，所以2AM =，所以CM =故111326V BN MN CM x =⨯⨯⋅⋅=16x ==0x =<<，令56u x =-，则()45466x x x u ='-=，令0u '=，则x =当06x <<时，0u '>；当6x <<0u '<，故当6x =56u x =-取最大值，此时V 也取最大值，最大值为2max16V =⎝⎭125125618618=⨯=⨯=．. 【点睛】本题考查立体几何中的体积问题，解题的关键是证明垂直关系，得出11320V BN MN CM x =⨯⨯=⋅⋅<<，利用导数求出最值.四、双空题16．已知函数()sin 2sin f x x x =⋅，则()f x 的最小正周期为______；()f x 的最大值为______．【答案】π【分析】由正弦函数性质先确定()f x 的一个周期是π，然后证明π是最小正周期，在(0,)π上利用导数确定函数的单调性，结合(0)()0f f π==可得最小正周期，从而可得最大值．【详解】由题()sin 2sin f x x x =⋅，则()()()()πsin 2πsin πsin 2sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅-=⎡⎤⎣⎦， 从而π是函数的周期，当0πx ≤≤，()sin 2sin f x x x =⋅，则()6sin cos cos f x x x x ⎛'=+- ⎝⎭⎝⎭，设0παβ<<<，且cos α=，cos β=，则当0x α<<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当x αβ<<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当πx β<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()()π00f f ==，所以函数的最小值正周期是π，最大值为()9f α=．故答案为：π． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最小正周期．方法是由部分函数的性质确定函数的一个周期，然后证明此周期是最小正周期即可，证明时可在一个周期内确定函数的性质，如单调性，以排除此区间内的周期性．从而得最小正周期．五、解答题17．在①2cos 3B =-；②7a =；③3b =，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求ABC 的面积．问题：在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，已知()sin sin sin B C A C -=-，补充的条件______和______．【答案】答案见解析.【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin 0C ≠，可得1cos 2A =，结合A 的范围可求π3A =，若补充的条件中有①，则21cos 32B =-<-且(0,)B π∈，可得23B π>,推出A B π+>，矛盾；可得只能补充的条件为②③，利用余弦定理解得c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】在ABC 中，πA B C ++=， 那么由()sin sin sin B C A C -=-， 可得()()sin sin sin A C C A C +-=-，sin cos cos sin sin sin cos cos sin A C A C C A C A C +-=-，∴2cos sin sin 0A C C =≠，∴1cos 2A =， ∴在ABC 中，π3A =． 补充的条件为②③时，三角形存在， 补充的条件为①②或①③时，三角形不存在， 理由如下：若补充的条件中有①，因为21cos 32B =-<-，且()0,πB ∈，所以2π3B >． 所以πA B +>，矛盾．所以ABC 不能补充的条件①，只能补充的条件为②③， 因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯，解得8c =，或5c =-（舍）．所以ABC 的面积1sin 2S bc A ==． 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变形推出π3A =，结合此条件可排除选择①是解决此问题的关键所在，选②③后利用余弦定理求边c ，根据三角形面积公式即可求解.18．已知数列{}n a 是等差数列，23a =且2372a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10a >，设数列{}n b 满足231232222n n n b b b b a ++++=，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）1n a n =+或()31n a n =-；（2）3122n n T =-. 【分析】（1）设等差数列的基本量1,a d ，根据条件建立方程组解出，可求解通项公式 （2）由数列{}2nn b ⋅的前n 项和为1n +，可先求出{}2nn b ⋅的通项公式（注意分类讨论），再求出n b ，再求出{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）∵23a =，∴13a d +=， ①∵2372a a =，∴()()211226a d a d +=+， ②由①②得：112d a =⎧⎨=⎩或130d a =⎧⎨=⎩，当112d a =⎧⎨=⎩时，1n a n =+． 当130d a =⎧⎨=⎩时，()31n a n =-．所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+或()31n a n =-． （2）∵10a >，∴1n a n =+，2312322221n n b b b b n ++++=+， ①()231123122222n n b b b b n n --++++=≥， ②①－②得：21nn b =，2n ≥， 得12n nb =，2n ≥， 1n =时，11b =不满足上式，所以1,11,22n nn b n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩， 所以2n ≥时，12231111222n n nT b b b =+++=++++211113122112212n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--，当1n =时，11T =满足上式，所以3122n nT =-． 【点睛】1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160ABC A AC ∠=∠=︒，1AC BA ⊥．（1）证明：11A A A C =；（2）若二面角1A AC B --为直二面角，求直线BD 与平面1A BC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）55． 【分析】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，证明1A O 是AC 中垂线即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量，利用线面夹角公式sin n BD n BDθ⋅=代值计算即可.【详解】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 及BD 的中点． 因为1AC BA ⊥，1BDBA B =，所以AC ⊥平面1A BO ．因为1AO ⊂平面1A BO ，所以1A O AC ⊥， 又AO CO =，所以11A A A C =． （2）因为1A O AC ⊥，BO AC ⊥，所以1A OB ∠即为二面角1A AC B --的平面角，因为二面角1A AC B --为直二面角，所以1A O OB ⊥， 从而OB ，OC ，1OA 两两垂直，如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系，因为底面ABCD 为菱形，11A A A C =，160ABC A AC ∠=∠=︒， 所以ABC 和1A AC 均为等边三角形， 设2AB =，则)3,0,0B，()0,1,0C ，(13A ，()3,0,0D -．()3,1,0BC =-，(13,0,3BA =-，()23,0,0BD =-，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，可得100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330x y x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1x =，则3y =1z =，可取()1,3,1n =，设直线BD 与平面1A BC 所成角为θ， 则235sin 523n BD n BDθ-⋅===⋅ 所以直线BD 与平面1A BC 5． 【点睛】利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).（2）通过平面的法向量来求.若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则2πθβ=-或2πθβ=-，故有sin cos l n l nθβ⋅==⋅.20．设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，F是椭圆1C 的右焦点，且椭圆1C 的焦距为2，过点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线AD 和AE 分别与直线4x =交于点M ，N ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）22MF NF +是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，36． 【分析】（1）求出抛物线的准线方程为2x =-，求得(2,0)A -，求得2a =，利用焦距求出c ，即可求得椭圆的方程；（2）设()()()004,,4,,,M m N n D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，写出AM 的方程，联立方程组，利用根与系数的关系及判别式，求出D 得坐标，然后推出直线FD 的斜率,FD FE k k ，利用数量积为0，转化为222MF NFMN +=，即可求解.【详解】（1）由题意，抛物线22:8C y x =的准线为2x =-，椭圆左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，所以()2,0A -，2a =，椭圆1C 的焦距为2，所以22c =，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=．（2）22MF NF +存在最小值为36，理由如下：设()4,M m ，()4,N n ，()00,D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，易知0m ≠，0n ≠，直线AM 的方程为()26my x =+， 联立得()2226143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()222227441080m x m x m +++-=，则()()()2222442741080mm m ∆=-+->成立，由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m-=+， 所以()002182627m my x m =+=+，所以22254218,2727m m D m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当3m =时，22542127m m-=+，即DE x ⊥轴， 由椭圆的对称性可得3n =，即3MP FP NP ===， 又因为3PF =，90MPF NPF ∠=∠=︒，所以45MFP NFP ∠=∠=︒，90MFN ∠=︒，此时22236MF NFMN +==，当3m ≠时，3n ≠，直线FD 的斜率2222180********27FDmmm k m m m -+==---+， 同理269FE nk n=-， 因为DE 过点F ，所以226699m nm n =--，所以9mn =-，()3,FM m =，()3,FN n =，90FM FN mn ⋅=+=所以90MFN ∠=︒，222MF NFMN +=，3m ≠且3n ≠，所以6MN MP NP m n =+=+>==，22236MF NF MN +=>，综上可知，22MF NF +的最小值为36． 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.该网络公司每销售一件“小型会议”，“中型会议”，“大型会议”产品，可以获得的销售利润分别为150，350，550（单位：元）．（1）根据统计结果估计该网络公司每销售一件网络会议产品获得的平均销售利润； （2）该公司为了解月广告费用x （单位：万元）对月销售量y （单位：百件）的影响，对近5个月的月广告费用i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，发现k y a x =⋅可以作为月销售量y （百件）关于月广告费用x （万元）的回归方程，同时得到如下一些统计量的值．表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．（ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（取 4.15964e =）（ⅱ）结合（ⅰ）的结果及所求的回归方程估计该公司应投入多少广告费，才能使得该产品月收益达到最大？（收益＝销售利润－广告费用）参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-． 【答案】（1）400元；（2）（ⅰ）1464y x =；（ⅱ）256万元.【分析】（1）根据题意，写出每销售一件网络会议产品的销售利润的分布列，计算期望；（2）对函数取对，换元以后代入最小二乘法计算回归方程；（3）根据收益＝销售利润－广告费用，列出函数关系式，换元以后求导，判断函数的单调性，即可得函数的最大值.【详解】（1）设每销售一件网络会议产品的销售利润为ξ元， 则ξ的所有可能取值为150，350，550， 三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，所以()1500.15P ξ==，()3500.45P ξ==，()5500.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：所以()1500.153500.455500.4400E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每销售一件网络会议产品的销售利润估计值为400元．（2）（ⅰ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.64iii ii u u bu u υυ==--===-∑∑， 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即()144.159ˆln 4.1590.25ln ln y x e x =+=⋅， 因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =， 故所求的回归方程为1464y x =．（ⅱ）设月收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该公司投入256万元广告费，能使得该产品每月的收益达到最大768万元． 【点睛】关于概率统计类的解答题，一是考查随机变量及其分布，正态分布问题，一般需要列分布列求解期望，需要注意题目是属于超几何分布问题还是二项分布问题；二是考查回归分析，利用最小二乘法求解回归方程，如果是非线性的情况需要换元变为线性的情况求解；三是考查样本估计总体，频率分布直方图，需要计算中位数、平均数和方差等数字特征；四是考查独立性检验问题，建立22⨯列联表，代入公式计算卡方比较大小判断.22．已知函数()()2ln 2xf x e x ax a =--∈R 在点11,22f⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与y 轴垂直．（1）求实数a 的值；（2）()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）22a e =-；（2）(],0-∞． 【分析】（1）求出导数，由题可知102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，即可求出a ； （2）可知2121f k⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得0k ≤，再利用导数求出()f x 的最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可判断.【详解】（1）()212xf x ea x'=--， ()f x 在12x =的切线斜率为12202f e a ⎛⎫=--= ⎪'⎝⎭，解得22a e =-． （2）由（1）知，()()2ln 222xf x e x e x =---，由()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，故有2121f k⎛⎫≥+⎪⎝⎭， 又112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故112k +≤，从而0k ≤，由()()2ln 222xf x ex e x =---，则()21222xf x ee x '=--+，()2214xf x e x''=+， 由()f x ''在()0,∞+上恒大于零，()f x '在()0,∞+上单调递增， 又102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，故102x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 12x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 有最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 而当0k ≤时，112k x +≤恒成立，即()12f x kx ≥+恒成立， 故实数k 的取值范围为(],0-∞．【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用导数求出函数()f x 的最小值，结合不等式恒成立得解.。
高三数学12月联考答案页
2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
18.（本题12分）
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。
河南省百校联盟2020届高三12月教育教学质量检测考试数学(理)试卷 PDF版含答案
A.
4 3
B.
3 4
c.-f
；D 一
log÷ （x
11.已知双曲线C：去 一 条＝l(a>O,b＞呻左、右焦点分别为F1 ,F2，过几引直线f交双曲线C的渐近线于y
轴右侧 P,Q 两点，其中 OP牛 PQ，记60PQ的内心为M若点M到直线 PQ 的距离为号，则双曲线C的渐
近线方程为 A.Y 二 ±tx
-&4 &78'9:;(%$)$%$3(5!$)$6"%$%" $)$%+ $
)3(5!6$"$%" $+$)%$$%(= 3 + %$$%' Z 3 +([
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2020届河南省百校联盟高三12月教育教学质量检测考试数学(理)试卷 PDF版
18. （本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥 S--ABCD中，四边形 ABCD 是菱形，ζABC = l35 ° ,SD =2CD，点P,Q,M分别是线段 SD,PD,AP的中点，点N是线段 SB 上靠近B的四等分点．
线 CE,BF 所成角的余弦值为
A.
10 J百 一＿＿＿＿：！＿二L 57
B.
一只λ 工二可二 57
c.
λ可
＿：，；＿二二
19
.3
,/I百 19
10.已知函数JC川的图象关于原点对称，且满足 f(x十1)十f(3-x) = O，且当工仨（2,4）时，f(x) =
1)十m，若f(20221) 1 =f（ 口，则m 二
命题户：Im 一一 2圳的值可能为9;
命题 q :'' (m Zn) lm” 的充要条件为“ c叫，n ＞ 工÷ ” ；
则下列命题中，真命题为
A.ρ
B. p八q
C. C「户）八q
D. pV C「q)
5.记抛物线 C,y2= Zρx（ρ＞O）的焦点为F，点M在抛物线上，若面N ＝ 币1字，且N(Z,2），则抛物线C的准线方程
不合格
合格男生Leabharlann 1416女生
10
20
(1）是否有90%以上的把握认为“性别” 与“问卷的结果 ”有关？
(2）在成绩合格的学生 中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖
品 ，记拿到奖品的男生人数 为X，求X的分布列及数学期望E(X). 附：K ?2 ＝ 一U一十一b－) （αd-bc)2
$
# +
新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考数学试题含答案
新高考联合质量测评12月联考试题高三数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，集合{}12log 2B x x =≥-，则A B ⋂=（ ）．A ．{}2,1,0,1,2,3--B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．∅2．设复数z 满足()()11i 1i z ++=-，则z =（ ）． A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3．已知1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1432b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3223c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>4．函数()x xe ef x x-+=的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．5．已知,0x y >，且230x y xy +-=，则32x y +的最小值是（ ）．A ．B ．C ．20D ．256．已知()()()621a x x a -+∈R 展开式的各项系数之和为64，则展开式中3x 的系数为（ ）． A ．10或2970B ．10或1890C ．10D ．18907．意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》中有一经典的“生兔问题”：一对小兔子（雌雄各一），过一个月就长成一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子，若照此生下去，且无死亡，问一年后有多少对兔子？每月兔子总数形成“斐波那契”数列：1，1，2，3，5，8，…，则一年后共有兔子（ ）． A ．144对B ．232对C ．375对D ．376对8．已知三棱锥P ABC -三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，M ，N 分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则M 、N 两点间的距离最大值为（ ）．A ．23+B ．2+C 1D ．23+二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．关于平面向量a ，b ，c ，下列说法不正确的是（ ）． A ．若//a b ，//b c ，则//a c B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅C ．若()23a a b ⋅+=，且1a b ==，则//a b D ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =10．2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A ．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B ．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C ．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D ．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％11．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 为正方体表面上两动点，则下列说法正确的是（ ）．A ．当M 为11A C 的中点时，有BD ⊥平面1A BMB ．若点M ，N 均在线段11AC 上运动，且1MN =，则三棱锥1B MNB -的体积为定值C ．以点D 为球心作半径为3πD ．当点M 在平面11AA B B 内运动，点N 在平面11BCC B 内运动时（M ，N 不重合），BM 与BN 的夹角最大为π312．已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，π3-为()f x 的一个零点，π6x =为()f x 图像的一条对称轴，()f x 右移π6个单位长度得到函数()g x ，则下列说法正确的是（ ）． A ．π3ϕ=B ．若()f x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则17,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C ．若()sin g x x ω=，则1ω=D ．若()g x 为偶函数，则ω的最小值为5 三、填空题： 13．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan α=______． 14．某班预备在今年的元旦晚会中排15个节目，其中弹唱类6个，小品、相声类4个，舞蹈类4个，魔术类1个，甲、乙两人计划从中各选1个节目参加，且两人不选择同一个节目，则两人选择同一类节目的概率为______．15．已知命题21:01x p x -≤+，命题:0x q xe a ->．若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围为______． 16．已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，若函数()()g x ax a =∈R 使得方程()()f x g x =恰有3个不同根，则实数a 的取值范围为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．①πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②cos2cos 0B B +=；③4ABC S =△，B 为锐角． 从以上三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______，若b =，求ABC △周长的最大值．18．在等差数列{}n a 中，34596a a a ++=，753a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m +∈N ，将数列{}n a 中落入区间()137,7m m +内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．19．已知函数()()2ln f x x x mx m =-∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为2，求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若函数()f x 有两个不同的零点，求m 的取值范围．20．随着生产力和国家经济实力的提升，网购成为了人们心中首选的购物方式．方便快捷、价格实惠、商品丰富成为吸引消费者进行网购的主要因素．据统计，全国约有55％的居民进行网购，而其中年龄在40岁及以下的约占811． （1）如果采用分层抽样的方式从“网购”与“非网购”居民中随机抽取40人，其中“网购”居民中年龄在40岁及以下的有16人，“非网购”居民中年龄在40岁及以下的有5人，试问是否有99.5％的把握认为是否网购与年龄有关？（2）“双十一”期间各大电商平台积极宣传促销，全网销售额达到2674亿元，其中天猫占比高达60％，若从网购居民中随机选取3人，用ξ表示所选3人中在天猫购买商品的人数，求ξ的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．如图（1），已知梯形ABCD ，DE AB ⊥，24BE CD ==，45B ∠=︒，将ADE △沿DE 向上翻折，构成如图（2）所示的四棱锥P BCDE -，M 为PB 的中点．（1）证明：//CM 平面PDE ；（2）当四棱锥体积最大时，若二面角M CE B --的余弦值为3，求直线CM 与平面BCDE 所成角的余弦值．22．已知函数()21ln 2f x x ax bx =++，,a b ∈R ． （1）当0a <，且1b a =+时， ①试求函数()f x 的单调区间； ②证明：()112f x a≤--． （2）当0a ≠时，若()f x 是()0,+∞上的单调函数，求a b +的最小值．参考答案1．C 由12log 2≥-，得04x <≤，故{}1,2,3A B ⋂=．2．B1i1i 1iz -+==-+，所以1i z =--，所以1i z =-+． 3．B 14312b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，31122228313274c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故b a c >>．4．C()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x +→时，2xxe e -+→，()f x →+∞，排除D ．5．D由230x y xy +-=得321x y+=．所以()32669432132532x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+++≥+ ⎪⎝⎭+=+=． 6．A展开式的各项系数之和为()()621164a -+=，解得1a =或3a =-．当1a =时，3x 的系数为2366210C C -=．当3a =-时，3x 的系数为()()4343662332970C C ---=．故选A ．7．A由题可知数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，共144对． 8．D由已知可将该三棱锥补成如图所示正方体．则三棱锥内切球球心O ，外接球球心2O ，以及内切球与面ABC 的切点G 三点均在1PD 上，且21163GO PD ==．设内切球半径为r ，外接球半径为R ，则R ==由()1133ACP BCP ABP ABC ABP S S S S r S PC +++=⋅⋅△△△△△，，解得1r =-，故M 、N 两点间距离的最大值为2223R GO r ++=+． 9．ABD当0b =时，A 不成立；B 显然错误；()22212cos ,3a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=，则cos ,1a b =，即,0a b =，即//a b ，故C 正确； 当0b =时，D 不成立． 10．BD A 显然错误；9718219436⨯=，与2018年基本一致，B 正确； 9718 2.221379.621559⨯=<，不会超过，C 错误；215599718210021559-⨯⨯％9.8≈％，不会超过10％，D 正确．11．BC1BD A M ⊥，但BD 与1A B ，BM 都不垂直，A 错误；如图，1112323B MNB B B MN V V --==⨯=，B 正确；所截得的弧为3个半径为2的14圆弧，弧长和为32π23π4⨯⨯=，C 正确； 当点M 在AB 上运动时，BM ⊥平面11BCC B ，BM BN ⊥，此时夹角为π2，D 错误．12．ABD A ，1ππ3k ωϕ-+=， ①()212πππ,62k k k ωϕ+=+∈Z ， ②由①②，得1221π3k k ϕ++=．又π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3ϕ=，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确．B ，()f x 的单调递减区间为2ππ2π7π,66k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 则2πππ632π7ππ62k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得176423k k ω+≤≤+．又0714632k k k ω>⎧⎪⎪+>+⎨⎪∈⎪⎩Z，所以0k =．此时1723ω≤≤，B 正确． C ，()ππππsin sin sin 6363g x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以ππ2π36k ω-=． 所以()2121k k ω=-≠∈Z ，C 错误． D ，()ππsin 63g x x ωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， 则()ππππ362k k ω-=+∈Z ，所以61k ω=--． 因为0ω>，所以min 5ω=，D 正确． 13．3+由已知可得πcos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ0,44α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则πtan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ππtan tan 344αα+⎡⎤⎛⎫=-+==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．14．935222644215549151435A A APA++===⨯．15．1,e⎛⎤-∞-⎥⎝⎦由211xx-≤+，解得112x-<≤．因为p是q的充分条件，所以xa xe<在11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上恒成立．设()xf x xe=，其图象如图．所以1ae≤-．16．104a a ae⎧⎫≤<=⎨⎬⎩⎭或由已知得()f x的图象如图(1)．(1)当0a>时，要使得方程()()f xg x=恰有3个不同根，则需存在1x>，使得ln x ax>，即ln xax<．又ln xyx=的图象如图(2)，故10ae<<．(2)当0a<时，由图(1)知y ax=需与函数()224343f x x x x x=++=---相切．设切点为()00,x y，则()()()000y f x f x x x'-=-，即()()()200004324y x x x x x----=---过点()0,0，故2200004324x x x x++=+，解得23x=．因为x<，故x=()04a f x'==．(3)当0a=时，显然符合题意．综上，实数a 的取值范围为104a a a e ⎧⎫≤<=⎨⎬⎩⎭或． 17．解：选择①．由正弦定理，得1sin sin sin sin 2B A A B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭，即sin sin cos A B A B =．因为sin 0A >，所以sin B B =，即tan B =t ． 因为0πB <<，所以π3B =． 由余弦定理，得2231cos 22a c B ac +-==， 即223a c ac +-=．由均值不等式知()()()()22222231344a c ac a c ac a c a c a c +-=+-≥+-+=+（“＝”成立a c ⇔=）．故()2134a c +≤，即a c +≤所以周长a b c ++≤即周长的最大值为 选择②．由二倍角公式，得()()22cos 1cos cos 12cos 10B B B B -+=+-=． 解得cos 1B =-或1cos 2B =． 在ABC △中，0πB <<，故1cos 2B =． 所以π3B =．(下同) 选择③．因为4ABC S =△，所以14sin 2ac B ⨯⋅=，解得sin B =． 因为π02B <<，所以π3B =．(下同) 18．解：(1)因为数列{}n a 是等差数列，所以3454396a a a a ++==． 所以432a =．设公差为d ，因为753a =，所以74774a a d -==-． 由413a a d =+可得13221a =+，所以111a =． 所以()()11117174n a a n d n n =+-=+-=+． (2)由1377m m n a +<<，得137747m m n +<+<，所以31447777m m n --<<-，所以31771m m n -≤≤-， 所以()()3131717177m m m m m b --=---=-，所以()()25831231277777777m m m m S b b b -=+++=++++-++++()()2332137177174977717173426m m m m ++----=-=+--- 3213507577342m m +++-⋅=．19．解：(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln 2f x x mx '=+-，所以()1122f m '=-=，所以12m =-， 所以()1ln f x x x '=++，()110f x x''=+>，所以()f x '在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．又110f e e ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以()0f x '>， 所以()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．所以()()2max 12f e e e f x ==+． (2)由()0f x =可得ln xm x=．设()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'=，所以()g x 在(]0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 所以当x e =时，()g x 有极大值()1g e e=，且()10g =，当x e >时，()0g x >，所以其图象如图所示．要使得()f x 有两个零点，即y m =与()y g x =的图象有两个不同的交点，需10m e <<． 所以m 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．20．解：(1)由题意可得22⨯列联表如下：()22401613658.0217.87922182119K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99.5％的把握认为是否网购与年龄有关．(2)由题意可知33,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()338015125P ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21333361155125P C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭， ()22333542155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332735125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 所以ξ的分布列为数学期望355E ξ=⨯=． 21．(1)证明：如图，取PE 的中点N ，连接DN ，MN ，CM ，则12MN BE ． 又12DC BE ，故MN DC ． 所以四边形DCMN 为平行四边形，所以//CM DN ．又CM ⊄平面PDE ，DN ⊂平面PDE ，所以//CM 平面PDE ．(2)解：当PE ⊥平面BCDE 时，四棱锥体积最大．又DE BE ⊥，故以E 为原点，ED ，EB ，EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设PE a =，则()0,0,P a ，()2,2,0C ，()0,4,0B ，0,2,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()2,2,0EC =，0,2,2a EM ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设平面MCE 的法向量()1,,n x y z =，则1100EC n EM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220202x y a y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩． 令1x =，则141,1,n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 又平面BCE 的法向量()20,0,1n =，所以1212124cos ,2n n a n n n n ⋅===⋅+． 解得4a =．所以()2,0,2CM =-．设直线CM 与平面BCDE 所成角为θ，则22sin cos ,222CM n θ===，故cos 2θ=，即直线CM 与平面BCDE 所成角的余弦值为2． 22．(1)解：①当0a <，且1b a =+时，()()21ln 12x a f ax x x =+++． 因为()f x 的定义域为()0,+∞，()()()21212ax x f x x ++'=，又0a <，则当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 当1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 故函数，()f x 的单调增区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． ②证明：由①知0a <时，()f x 在12x a =-处取得最大值， 最大值为11111ln 22242f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以()1111111ln 1222422a a a f a x ⎛⎫≤--⇔---≤-- ⎪⎝⎭， 即1111ln 02242a a ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭． 令12t a =-，因为0a <，所以0t >，则只要证()1ln 102t t -+≤． 令()ln 1g t t t =-+，0t >，则()111t g t t t -'=-=， 则当()0,1t ∈时，()0g t '>，当()1,t ∈+∞时，()0g t '<．故()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()10g t g ≤=，故()102g t ≤成立，即()1ln 102t t -+≤． 因此，0a <时，()112f x a ≤--． (2)解：()()242102ax bx f x x x++'=>，因为()f x 在()0,+∞上单调，所以()0f x '≤或()0f x '≥恒成立．当0a <时，设()2421h x ax bx =++，则24160b a -∆>=，所以()0h x =有两个相异的根1x ，2x ，且12104x x a =<． 不妨设120x x >>，则当()10,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递增；当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 在()1,x +∞上单调递减．所以0a <不合题意．当0a >时，则()0f x '≥对()0,x ∈+∞恒成立． 即1202ax b x++≥在()0,x ∈+∞恒成立， 设()122x ax b x ϕ=++，只需()min 0x ϕ≥．因为122ax b b b x ++≥=，当且仅当x =所以0b ≥，即b ≥-．所以)2111a b a +≥-=-≥-， 当且仅当1a =，2b =-时取等号．当1a =，2b =-时，()()22102x f x x -'=≥且不恒为0，此时()f x 在()0,+∞内单调递增．所以a b +的最小值为1-．。
安徽省2020-2021学年高三上学期12月大联考数学(文)试题 含答案
2020—2021学年高三年级考试卷文科数学满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3. 请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效．．．．．．．．．．．；在草稿纸．．．．、试题．．卷上的答题无效．．．．．．．. 4. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.5. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 已知集合11M xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，(){}2log 1N x x a =-<，M N ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,0- B. ()0,1C. []1,0-D. []0,1 2. 31log 4a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，143c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c a b << C. a c b << D. c b a <<3. 命题p ：0a b ⋅<，则,a b 为钝角；q ：()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一个对称中心是,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下真命题是（ ）A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝ 4. 函数1sin ()lg ,cos 22x f x x x ππ+⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致是（ ） A. B. C. D.5. 函数ln y x ax =+的图象与直线21y x =-相切，则a =（ ）A. -1B. 1C. -2D. 26. 已知等差数列{}n a 满足：10a >，35S a =，1a ，2a ，42a +成等比数列，则12222n a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A. ()2413n - B. ()1413n -C. 41n -D. 44n -7. 某几何体三视图如图，则该几何体的最长棱与最短棱长度之和为（ ）A. B. 5C. 2D. 2+8. 函数()3sin 4cos f x x x =+在区间[]0,π上的对称轴为x ϕ=，则cos ϕ=（ ）A. -1B. 0C. 35 D. 459. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11C D 中点，则BM 与AC 所成角的余弦值为（）A. 14 B. 4C. 16 D. 6。
2020-2021学年高三数学12月检测试题及答案解析
最新高三检测试题数学试题一、单选题1．设集合U={1,2,3,4,5,6},U={1,2,3},U={2,5},则U∩(U U U)=A.{1,3}B.{2}C.{2,3}D.{3}【答案】A【解析】本题考查集合的运算,意在考查考生的运算求解能力.U U U={1,3,4,6},则U∩(U U U)={1,3}.故本题正确答案为A.2．函数U(U)=U3+4U+5的图象在U＝1处的切线在U轴上的截距为A.10B.5C.−1D.−37【答案】D【解析】本题考查导数的几何意义、直线方程的求法、直线在x轴的截距的定义,意在考查考生的运算求解能力.由U(U)=U3+4U+5得U′(U)=3U2+4,U′(1)=7,U(1)=10,则直线的切线方程为U−10=7(U−1),令U=0得U=−37.则切线在U轴上的截距为−37.故本题正确答案为D.3．在正项等比数列{U U}中,存在两项U U,U U,使得√U U U U=4U1,且U7=U6+2U5,则1U +5U的最小值是A.74B.1+√53C.256D.2√53【答案】B【解析】本题考查等比数列的通项公式,等比数列性质、基本不等式的应用,意在考查考生的运算求解能力.设数列公比为U,由U7=U6+2U5,则U7U5=U6U5+2U5U5,即U2−U−2=0,解得U=2或U=−1(舍),则U U=U12U−1,U U=U12U−1,由√U U U U=4U1,则U U U U=U122U+U−2=16U12,得U+U−2=4,则U+U=6,由1U +5U=16(U+U)(1U +5U)=16+5U6U+U6U+56=1+16(5UU+UU)≥1+16×2√5=1+√53.故本题正确答案为B.4．已知U>1，U(U)=U U2+2U，则使U(U)<1成立的一个充分不必要条件是A.−1<U<0B.−2<U<1C.−2<U<0D.0<U<1【答案】A【解析】本题考查不等式的解法，充分条件与必要条件，意在考查考生的分析理解能力.依题意，使U(U)<1成立，则U2+2U<0，得−2<U<0，故使U(U)<1成立的一个充分不必要条件是−1<U<0.故本题正确答案为A.5．若定义在实数集U上的偶函数U(U)满足U(U)>0,U(U+2)=1U(U),对任意U∈U恒成立,则U(2015)=A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】本题考查函数的周期性、函数的奇偶性、函数值的计算,由U(U+2)=1U(U),得函数U(U)为周期为4的周期函数，则U(2015)=U(504×4−1)=U(−1)=U(1)，又由U(U+2)=1U U，令U=−1得U2(1)=1，由U(U)>0，得U(1)=1,故U(2015)=1.故本题正确答案为D.6．已知向量U,U满足|U|=1，U⊥U，则U−2U在U方向上的投影为A.1B.√77C.－1 D.2√77【答案】A【解析】本题考查平面向量数量积、向量的投影，意在考查考生的运算求解能力.由|U|=1，U⊥U，则U−2U在U方向上的投影为(U−2U)⋅U|U|=U2−2U⋅U|U|=1.故本题正确答案为A.7．已知函数U(U)=√2sin(UU+π4)(U>0)的最小正周期为π,下列四个判断:(1)当U∈[0,π2]时,U(U)的最小值为−1;(2)函数U(U)的图象关于直线U=π8对称;(3)函数U(U)的图象可由U=√2cos2U的图象向右平移π4个单位长度得到;(4)函数U(U)在区间[π8,3π8]上是减函数.以上正确判断的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题考查三角函数性质，意在考查考生的分析理解能力.函数的最小正周期为π,则U=2πU=2，则U(U)=√2sin(2U+π4)，当U∈[0,π2]，得2U+π4∈[π4,5π4]，则U(U)∈[−1,√2]，得U(U)最小值为−1，故(1)正确；由2U+π4=π2+Uπ,U∈U得函数的对称轴为U=π8+Uπ2,U∈U，令U=0得U=π8，故(2)正确；由U=√2cos2U的图象向右平移π4个单位长度得到U=√2cos2(U−π4)=√2cos(2U−π2)=√2sin2U，故(3)错误；当U∈[π8,3π8]时，2U+π4∈[π2,π]，则U(U)=√2sin(2U+π4)为减函数，故(4)正确；故正确的有3个.故本题正确答案为C.8．设U(U)与U(U)是定义在同一区间[U,U]上的两个函数,若对任意的U∈[U,U],都有|U(U)−U(U)|≤1,则称U(U)和U(U)在[U,U]上是“密切函数”,[U,U]称为“密切区间”,设U(U)=U2−3U+4与U(U)=2U−3在[U,U]上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是A. [1,4]B.[2,4]C.[2,3]D.[3,4]【答案】C【解析】本题主要考查新定义的概念、一元二次不等式的解法、绝对值不等式.因为U (U )和U (U )在[U ,U ]上是“密切函数”,所以|U (U )−U (U )|≤1,即|U 2−3U +4−(2U −3)|≤1,即|U 2−5U +7|≤1,化简得−1≤U 2−5U +7≤1,不等式U 2−5U +7≥−1恒成立；不等式U 2−5U +7≤1的解集为2≤U ≤3,所以它的“密切区间”是[2,3],故选C. 9．函数U (U )=U sin (UU +U )(其中U >0,|U |<π2)的图象如图所示,为了得到U (U )=sin 2U 的图像,则只要将U (U )的图像A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度【答案】A【解析】本题主要考查正弦型函数解析式的求法、正弦型函数图像的平移.根据函数图像可得U =1,U =4(7π12−π3)=U ,∴U =2 ,当U =π3时,U (π3)=0,∵ |U |<π2,∴U =π3,U (U )=sin (2U +π3),所以要得到U (U )=sin 2U 的图像,则只需将U (U )的图像向右平移π6个长度单位.故选A.10．已知曲线U =2sin (U +π4)cos (π4−U )与直线U =12相交,若在U 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1, P 2, P 3,…,则|U 1U 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于 A.π B.2π C.3π D.4π【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换,直线与曲线的相交的性质,此题的关键是求交点坐标.曲线U =2sin (U +π4)cos (π4−U )=cos 2U +sin 2U +2sin U cos U =1+sin 2U ；由1+sin 2U =12,解得2U =2U π−π6或2U =2U π−5π6,U ∈U ,U =U π−π12或U =U π−5π,U ∈U ,故U 1,U 2,...,U 5的横坐标分别为7π,11π,19π,23π,31π,故|U 1U 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=31π−7π=2π, 故选B.11．已知函数U (U )={2, U ≥0−U +2, U <0,则满足不等式U (3−U 2)<U (2U )的U 的取值范围为 A. (−3,−√3) B.(-3,1)C.[-3,0)D.(-3,0)【答案】D【解析】本题主要考查分段函数求函数值,主要体现分类讨论的思想. 当{2U ≥03−U 2<0时,应该满足2>U 2−3+2U ,此时不等式无解；当{2U<03−U2≥0时,应该满足2<−2U+2,得−√3≤U<0；当{2U<03−U2<0时,应该满足3−U2>2U,得−3<U<−√3. 综上可得,U的取值范围为(-3,0),故选D.12．已知函数U(U)=1+U−U22+U33−U44+⋯+U20112011，则下列结论正确的是A.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点B.f(x)在(0,1)上恰有一个零点C.(x)在(-1,0)上恰有两个零点D.f(x)在(0,1)上恰有两个零点【答案】A【解析】本题考查函数与方程.U(−1)=1−1−12−13−14+⋯−12011<0，U(0)=1>0，即U(−1) U(0)<0，所以f(x)在(-1,0)上存在零点；而U′(U)=1−U+U2−U3+⋯+ U2010=U2011+1U+1>0,即函数U(U)单增；所以f(x)在(-1,0)上恰有一个零点.选A.二、填空题13．如图,已知UU是圆U的切线,U是切点,直线UU交圆U于U,U两点,U是UU的中点,连接UU并延长交圆U于点U,若UU=2√3,∠UUU=30°,则UU=．【答案】10√77【解析】本题主要考查圆中的相关定理.由UU=2√3,∠UUU=300得半径为2,作OF⊥UU于U,则F为AE的中点,在∆UUU中,OA=2,OD=1,∠UUU=120°,由余弦定理得AD=√7,U∆UUU =12×1×2sin120°=12UU×UU,则OF=√217,所以12UU=√UU2−UU2=5√77,UU=10√77.【备注】熟练掌握圆的相关定理和性质.14．已知函数U(U)=UU+1,U(U)={2U−1,0≤U≤2,−U2,−2≤U<0,对∀U1∈[−2,2], ∃U2∈[−2,2],使U(U1)=U(U2)成立,则实数U的取值范围是______________．【答案】[−1,1]【解析】本题主要考查函数与方程.当x∈[−2,2]时,U(U) ∈[−4,3],当a=0时,U(U)=1满足已知；当a>0时若满足题意则有{−2U+1≥−4,2U+1≤3,解得0<a≤1;当a<0时,若满足题意则有{2U+1≥−4,−2U+1≤3,解得-1≤a<1.综上,a∈[−1,1].【备注】分情况讨论要做到不重不漏.15．设U =cos 420∘,函数U (U )={U U ,U <0,log U U ,U ≥0,,则U (14)+U (log 216)的值等于 ．【答案】8【解析】本题考查诱导公式求三角函数值、分段函数求值，意在考查考生的运算求解能力.U =cos 420∘=cos 60∘=12，得U (14)+U (log 216)=log 1214+(12)log 216=2+6=8.故填8.16．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________. 【答案】(0,3]【解析】本题考查利用导数求函数的单调性，意在考查考生的分析理解能力.依题意，U ′(U )=3U 2−U ≥0对[1，＋∞)恒成立，即U ≤3U 2对U ∈[1，＋∞)，故U ≤3，又U >0，故0<U ≤3.故本题正确答案为(0,3].三、解答题17．已知函数f (x )＝2sin x co s (U +π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递增区间.【答案】∵f(x )＝2sin x co s (U +π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x＝2sin U (cos U cos π3−sin U sin π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x＝sin x cos x －√3sin 2x ＋√3cos 2x ＋12sin 2x ＝sin 2x ＋√3cos 2x ＝2si n (2U +π3)，(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，(2)令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴x ∈[U π−5π12,U π+π12](k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为[U π−5π12,U π+π12](k ∈Z )．【解析】本题考查两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的单调性，意在考查考生的运算求解能力. (1)先利用公式化简f (x )，从而求得函数的周期. (2)利用整体思想求得函数的单调增区间.18．在数列{a n }中，已知a 1=-20，a U +1 =a U ＋4(n ∈N ∗)． (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和A n ； (2)若U U =2UU+24U(n ∈U ∗)，求数列{b n }的前n 项S n ． 【答案】(1)∵数列{a n }满足a U +1 =a U ＋4(n ∈U ∗)，∴数列{a n}是以公差为4，以a U=-20为首项的等差数列．故数列{a n}的通项公式为a U=−20+4(U−1)=4U−24 (n∈N∗)，数列{a n}的前n项和A U=2U2−22U (n∈U∗)；(2)∵U U=2U U+24U =1U(U+1)=1U−1U+1(n∈U∗)，∴U U=U1+U2+⋯+U U=(1−12)+(12−13)+⋯+(1U−1U+1)=1−1U+1=UU+1．【解析】本题考查数列的通项与求和. (1)由等差数列的定义可得数列{a n}是等差数列，a U=4U−24，A U=2U2−22U (n∈U∗)；(2)裂项相消可得U U=UU+1．【备注】等差数列中U U=U1+(U−1)U，U U=U(U U+U1)2；掌握裂项相消法.19．如图,在四棱锥U−UUUU中,UU⊥底面UUUU,UU∥UU,∠UUU=900, UU=UU=UU=3,UU=1．(Ⅰ)求证：UU⊥平面UUU；(Ⅱ)求UU与平面UUU所成角的正切值；(Ⅲ)设点U在线段UU上,若UUUU =12,求证：UU∥平面UUU．【答案】(Ⅰ)∵UU∥UU,∠UUU=900,∴UU⊥UU．又UU⊥底面UUUU,UU⊂平面UUUU,∴UU⊥UU．又UU∩UU=U,∴UU⊥平面UUU．(Ⅱ)由(Ⅰ)知UU⊥平面UUU,∴∠UUU是UU与平面UUU所成的角．∵UU=UU=3,UU⊥UU,∴UU=3√2,又∵UU=3,∴tan∠UUU=UUUU =√22．∴UU与平面UUU所成角的正切值为√22．(Ⅲ)在UU上取一点U,使得UUUU =12,连接UU,∵UUUU =UUUU=12,∴UU∥UU且UU=13UU.又由已知得UU∥UU且UU=13UU,∴UU=UU；又UU∥UU,∴四边形UUUU是平行四边形,∴UU∥UU．又UU⊂平面UUU,UU⊄平面UUU,∴UU∥平面UUU．【解析】本题主要考查线面垂直的判定,求线面所成的角及线面平行的判定.(Ⅰ)欲证线面垂直需证线线垂直；(Ⅱ)根据线面所成角的定义作出角,利用三角函数的定义找到正切值；(Ⅲ)欲证线面平行需证线线平行,利用等比例线段证得平行四边形,得到所需平行线.【备注】读懂几何体的直观图是关键.20．现有4个学生去参加某高校的面试,面试要求用汉语或英语中的一种回答问题,每个学生被要求用英语回答问题的概率均为13．(Ⅰ)求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；(Ⅱ)若U,U分别表示用汉语,英语回答问题的人数,记U=|U−U|,求随机变量U的概率分布和数学期望U(U)．【答案】(Ⅰ)设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件U,则U(U)=U42(13)2(1−13)2=827．(Ⅱ)随机变量X的所有取值为0,2,4．U(U=0)=U42(13)2(1−13)2=827,U(U=2)=U41(13)1(1−13)3+U43(13)3(1−13)1=4081,U(U=4)=U40(13)0(1−13)4+U44(13)4(1−13)0=1781,∴随机变量X的分布列为：∴U(U)=0×27+2×81+4×81=14881．【解析】本题主要考查互斥事件的概率及随机变量的分布列和期望. (Ⅰ)根据已知可直接求出概率；(Ⅱ)根据已知分析随机变量的取值,再求出取每一个值时的概率,进而列出分布列求出期望.【备注】随机变量的取值不能有遗漏.21．设U1,U2分别为椭圆U:U2U2+U2U2=1(U>U>0)的左、右焦点,点U(1,32)在椭圆U上,且点U和U1关于点U(0,34)对称.(Ⅰ)求椭圆U的方程；(Ⅱ)过右焦点U2的直线U与椭圆相交于U,U两点,过点U且平行于UU的直线与椭圆交于另一点U,问是否存在直线U,使得四边形UUUU的对角线互相平分？若存在,求出U的方程；若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)解：由点U(1,32)和U1(-c,0)关于点U(0,34)对称,得1−U2=0,则U=1.所以椭圆E的焦点为U1(−1,0),U2(1,0),由椭圆定义,得2U =|UU 1|+|UU 2|=4.所以U =2,U =√U 2−U 2=√3. 故椭圆E 的方程为U 24+U 24=1.(II)解：假设存在直线U ,使得四边形UUUU 的对角线互相平分. 由题可知直线U ,直线PQ 的斜率存在,设直线U 的方程为U =U (U −1),直线PQ 的方程为U −32=U (U −1).由{U 24+U 23=1,U =U (U −1),得(3+4U 2)U 2−8U 2U +4U 2−12=0,由题意可知U >0,设U (U 1,U 1),U (U 2,U 2),则U 1+U 2=8U 23+4U 2,U 1U 2=4U 2−123+4U 2, 由{U 24+U 23=1,U −32=U (U −1),得(3+4U 2)U 2+4(3U −2U 2)U +4U 2−12U −3=0,由U >0,可知U ≠−12,设U (U 3,U 3),又U (1,32),则U 3+1=8U2−12U3+4U 2,U 3⋅1=4U 2−12U −33+4U 2,所以U 3=4U 2−12U −33+4U 2.四边形UUUU 的对角线互相平分即UU 与UU 的中点重合, 所以U 1+U 32=U 2+12,即U 1−U 2=1−U 3,两边平方得(U 1+U 2)2−4U 1U 2=(1−U 3)2.所以(8U 23+4U 2)2−4⋅4U 2−123+4U 2=(1−4U 2−12U −33+4U 2)2.解得U =34. 所以直线U 为3U −4U −3=0时,四边形UUUU 的对角线互相平分.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质及直线与椭圆的位置关系. (Ⅰ)利用中点坐标公式求出c 的值,利用椭圆的定义求出a 的值,利用U 2=U 2+U 2求出U 的值; (II )设出直线l 和直线PQ 的方程分别于椭圆方程联立消元得到韦达定理,然后利用中点坐标公式求出k 的值. 【备注】利用四边形UUUU 为平行四边形,则有|UU |=|UU |,也可解决问题22．已知函数U (U )=(U −2U )2ln U(其中U 为常数)．(1)当U =0时,求函数U (U )的单调区间；(2)当0<U <12时,设函数U (U )的3个极值点为U ,U ,U ,且U <U <U ．证明：U +U >√e．【答案】(1)当m =0时U (U )=U 2ln U, U ′(U )=2U ln U −U ln 2U=U (2ln U −1)ln 2U,U >0且U ≠1,令U ′(U )>0即2ln U −1>0,解得U >√e ;令U ′(U )<0即2ln U −1<0,解得0<U <√e 且U ≠1． 所以函数U (U )的单调减区间为(0,1),(1,√e );增区间为(√e ,+∞)． (2)由已知得U′(U )=(U −2U )(2ln U +2UU−1)ln 2U,U >0且U ≠1,令ℎ(U )=2ln U +2U U−1,则ℎ′(U )=2(U −U )U 2,∴函数ℎ(U )在(0,U )上单调递减,在(U ,+∞)上单调递增∵U (U )有3个极值点U <U <U ,∴ℎ(U )有两个极值点.即ℎ(U )=0有两个不相等的根. 从而ℎmin(U )=ℎ(U )=2ln U +1<0,所以U <√e,当0<U <12时,ℎ(2U )=2ln2U <0,ℎ(1)=U −1<0,∴函数U (U )的递增区间有(U ,2U )和(U ,+∞),递减区间有(0,U ),(2U ,1),(1,U ), 此时,函数U (U )的3个极值点中U =2U ； ∴当0<U <12时,U ,U 是函数ℎ(U )=2ln U +2UU−1的两个零点, 即有{2ln U +2UU−1=0,2ln U +2UU −1=0,,消去U 有2U ln U −U =2U ln U −U ,令U (U )=2U ln U −U ,U′(U )=2ln U +1有零点U =√e,且U <√e<U ,∴函数U (U )=2U ln U −U 在(0√e)上递减,在(√e+∞)上递增,要证明U +U >√e⇔U >√e−U ⇔U (U )>U (√e−U ),∵U (U )=U (U )∴即证U (U )>U (eU )⇔U (U )−U (e−U )>0,构造函数U (U )=U (U )−U (eU ),∵U (e )=0, 只需要证明U ∈(0√e)单调递减即可．而U ′(U )=2ln U +2ln (√e−U )+2,U ′′(U )=2(√e −2U )U (2√e −U )>0∴U ′(U )在(0√e ]上单调递增,∴U ′(U )<U (√e )=0.【解析】本题主要考查导数的综合应用. (1)代入m =0,对f (x )进行求导,分别解不等式U ′(U )>0与U ′(U )<0,得到单调区间；(2)构造函数h (x ),确定h (x )的极点,再构造函数g (x )与F (x ),对其进行求导证明不等式.【备注】合理构造新函数是解决导数问题常用的方法.。
浙江省百校2021届高三12月联考 数学试题含答案(可编辑)
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A.{x|0≤x≤2}
B.{x|0<x<2}
2.已知a∈R，若21++aii =3+i，则a=
C.{x|0≤x≤4}
D.{x|2≤x≤4}
A.2
B. −2
C.3
D.4
3.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥
称之为阳马.已知四棱锥S—ABCD 为阳马，SD⊥底面ABCD，其三视图
2021年高三数学12月联考试题 理(含解析)
2021年高三数学12月联考试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2-x）}，则P∩Q=(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x∈N|y =log5A.{x|-2≤x≤2)B.{x|-2≤x<2} C．{0,1,2} D.{0,1}(2)命题p：存在x∈[0，]，使sinx +cosx>；命题q：命题“x o∈(0，+∞)，lnx o=x o-1”的否定是 x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，则四个命题(p) V(q)、pq、(p) q、p V（q）中，正确命题的个数为A.l B．2 C．3 D．4(3)已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，数列{a n}的前n项的和为S n,则S xx为A.504B.588C.-588D.-504(4)在△ABC中，已知向量=(2，2)， =2，= -4，则△ABC的面积为A.4 B．5 C．2 D.3(5)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x1- x2）[f(x1)-f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2-a>[(2a -2)，则实数a的范围为A.[一l,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[一1,1)(6)设f(x)= sinx+cosx，则函数f(x)在点（-，0）处的切线方程为A． B．C． D.(7)已知函数y=Acos（ax+）+b（a>0，0<<）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A．y=2cos（2x+）-1 B．y=2cos（x一）-1C．y=2cos（x+）-1 D．y=2cos（2x一）一1(8)已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，a2·a4 =16，S3 =7，则a8=A．32 B．64 C．128 D．256(9)已知函数f(x）=e x- 2ax，函数g（x）=-x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0](10)已知锐角△ABC中，角a+的终边过点P( sinB - cosA,cosB - sinA)，且cos（a+）=，则cos2a的值为A． B． C． D．(11)已知实数x，y满足，若目标函数z= ax+by +5（a>0，b>0）的最小值为2，则的最小值为A． B． C． D．(12)若y=ax+b为函数f(x）=图象的一条切线，则a+b的最小值为A．-4 B．-1 C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)奇函数f(x）的周期为4，且x∈[0，2]，f(x)=2x-x2，则f(xx)+f(xx)+f(xx)的值为．(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一3)，C（3，-3），且H(x，y)是曲线x2 +y2 =1任意一点，则的最大值为．(15)已知函数f(x）=sinx+cosx的图象关于x=对称，把函数f(x）的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[-，]上的单调递减区间为__ 。
山东省新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期12月联合调研检测数学试题
新高考质量测评12月联合调研监测高三数学考试用时120分钟，满分150分．一、选择题1. 已知集合405x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}35B x x =≤<，则A B =（ ） A. ()3,6 B. [)3,6C. [)4,5D. ()4,5D求出集合A 后可得A B .()404,55x A x x ⎧⎫-=<=⎨⎬-⎩⎭，故()4,5A B ⋂=，故选：D.2. ()123iz a a i+=∈+R ，若z 为实数，则a 的值为（ ） A .23B.12C.13D.32D利用复数代数形式的除法运算法则计算可得；解：222212(12)(3)2366(23)3(3)(3)99i i a i a ai i i a a iz a i a i a i a i a ++-+--++-====++--+， z 为实数，a R ∈，230a ∴-=，解得32a =．故选：D ． 3. 若非零向量m ，n 满足m n =，则“3223m n m n -=+”是“m n ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件， B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件C将|32||23|m n m n -=+两边平方可得，0m n ⋅=，再根据数量积的定义可知，“|32||23|m n m n -=+”是“m n ⊥”的充要条件．解：因为||||m n =，|32||23|m n m n -=+等价于0m n ⋅=，由数量积的定义可知，0m n ⋅=等价于m n ⊥，故“|32||23|m n m n -=+”是“m n ⊥”的充要条件．故选：C ． 4. 已知变量x ，y 之间的一组数据如下表：x1 2 3 4 5y3.47.59.113.8m若y 关于x 的线性回归方程为ˆ31y x =+，则m 的值为（ ） A. 16 B. 16.2 C. 16.4 D. 16.6B求出样本中心坐标代入回归直线方程，求解即可． 解：由题意可知：1234535x ++++==， 3.47.59.113.833.855m my +++++==，样本中心33.83,5m +⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归直线方程可得33.83315m +=⨯+． 解得16.2m =．故选：B ．5. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°C将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出异面直线AB 与CD 所成角的大小.如图所示：将多面体放置于正方体中，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2则()()()()1,0,2,0,1,2,0,2,1,1,2,0A B C D()1,1,0AB =-，()1,0,1CD =-，设异面直线AB 与CD 所成角为θ 所以1cos 222AB CD AB CDθ⋅===⋅⋅，故60θ=故选：C 6. 为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫，若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有（ ） A. 60种 B. 34种 C. 31种 D. 30种D根据题意，分“选出的3人为2男1女”和“选出的3人为1男2女”2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，相加即可得答案．解：根据题意，要求选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，分2种情况讨论：选出的3人为2男1女，有214318C C =种安排方法，选出的3人为1男2女，有124312C C =种安排方法，则有181230+=种选法，故选：D ．7. 已知函数()y f x =的图像如图所示，则此函数可能是（ ）A. ()2e e 2x xf x x x --=+-B. ()2e e 2x xf x x x --=+-C. ()22e e x x x xf x -+-=-D. ()22e ex x x x f x -+-=-A根据题意，依次分析选项中函数的定义域、奇偶性以及f (x )函数值的符号,验证与函数图象是否一致，综合可得答案.对于A ，2()||2x xe ef x x x --=+-，有2||20x x +-≠，解可得1x ≠±，即()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，又由22()()||2||2x x x xe e e ef x f x x x x x -----===-+-+-，()f x 为奇函数， 在区间(0,1)上，0x x e e -->，2||20x x +-<，()0f x <，在区间(1,)+∞上，0x x e e -->，2||20x x +->，()0f x >，符合题意，对于B ，2()||2x xe ef x x x --=+-，有2||20x x +-≠，解可得1x ≠±，即()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，在区间(0,1)上，0x x e e --<，2||20x x +-<，()0f x >，与图象不符，不符合题意，对于C ，2||2()x x x x f x e e-+-=-，有0x x e e --≠，解可得0x ≠，即()f x 的定义域为{|0}x x ≠，与图象不符，不符合题意，对于D ，2||2()e ex x x x f x -+-=-，有0x x e e --≠，解可得0x ≠，即()f x 的定义域为{|0}x x ≠，与图象不符，不符合题意，故选：A8. 对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数．已知数列{}n a 的通项公式n a =前n项和为n S ，则[][][]1240S S S ++⋅⋅⋅+=（ ） A. 105 B. 120C. 125D. 130B先求出n S ，对于k ∈N ，考虑满足22243k k n k k +≤<++的n 的个数，从而可计算[][][]1240S S S ++⋅⋅⋅+的值.因为n a ==故11n n S ++=，对于k ∈N ，若22243k k n k k +≤<++，则111k n k ≤+-<+，所以11n k ⎡⎤+-=⎣⎦即[]n S k =，取0k =，则03n ≤<，故[][]120S S ==， 当1k时，满足[]n S k =的n 有2243223k k k k k ++--=+个，故[][][]12400215273941156120S S S ++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选：B.思路点睛：对于数列中与取整函数有关的计算问题，可以根据取整函数的性质确定出满足条件的项的个数，从而便于数列和的计算. 二、选择题9. 新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）A. 在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平B. 若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元C. 若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元D. 若“金融业生”产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元 AC根据图2中第三产业中各行业比重，即可判断选项A 正确，B 错误，C 正确，再结合图1中国内三大产业比重，计算可知选项D 错误．解：对于选项A ：在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和所占比为16%16%32%+=，“其他服务业”的生产总值占比32%，所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平，故选项A 正确，对于选项B ：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比6%，所以第三产业生产总值为150002500006%=亿元， 又因为“房地产业”生产总值占比13%，所以“房地产业”生产总值为13%25000032500⨯=亿元，故选项B 错误，对于选项C ：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%，所以第三产业生产总值为4200026250016%=亿元，故选项C 正确， 对于选项D ：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%，所以第三产业生产总值为4200026250016%=亿元，又因为第三产业生产总值占比57%，第一产业生产总值占比6%，所以第一产业生产总值为2625006%2763157%⨯≈亿元，所以选项D 错误，故选：AC ． 10. 已知点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的一个对称中心，其中ω为常数且()0,3ω∈，则以下结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 将函数()f x 的图像向右平移π12个单位所得的图像关于y 轴对称C. 函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为D .若12ππ2x x <<<，则()()12f x f x > BC首先利用函数的对称中心求出函数的关系式，进一步利用函数的关系式的应用和函数的图象的平移变换和单调性的关系判定A 、B 、C 、D 的结论．解：因为点(6π，0)是函数()2sin()3f x x πω=-图象的一个对称中心，所以()06f π=，即2sin()063ππω⨯-=，解得26k ω=+，k Z ∈，又因为(0,3)ω∈，所以2ω=．所以()sin()f x x π=-223，A ．最小正周期为222T πππω===．故错误． B ．()sin()f x x π=-223向右平移12π个单位得函数2sin 22sin 22cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2cos 2y x =-关于y 轴对称，故正确．C ．当[0x ∈，]2π时，2[33x ππ-∈-，2]3π，所以sin(2)[3x π-∈1]所以()[f x ∈2]，所以函数()f x 在[0，]2π上的最小值为D ．因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2π5π2,333x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 当11,212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，232,332x πππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，()f x 单调递减，即1211122x x ππ<<<时，则12()()f x f x > 当11,12x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，352,323x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，所以121112x x ππ<<<，则12()()f x f x <，故错误．故选：BC ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．11. 已知a ，b 是不同直线，α，β是不同平面，且a α⊥，//b β，则下列四个命题中正确的是（ ）A. 若a b ⊥，则//αβB. 若//a b ，则αβ⊥C. 若αβ⊥，则//a bD. 若//αβ，则a b ⊥BD根据线线，线面，面面的位置关系，以及判断定理和性质定理，判断选项. A.若a b ⊥，则//αβ或,αβ相交，此时b 平移于,αβ的交线；B.若//a b ，a α⊥，则b α⊥，且b β//，根据线面平行性质定理可知，存在c β⊂，使//b c ， 所以c α⊥，又c β⊂，则αβ⊥，故B 正确；C. 若αβ⊥，则//a b ，或相交，异面，故C 不正确；D.若//αβ，a α⊥，则a β⊥，又b β//，则a b ⊥，故D 正确.故选：BD 12. 已知函数()sin 1xx f x e +=，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 在()0,π上单调递减 B. 函数()f x 在()π,0-上有极小值 C. 方程()12f x =在()π,0-上只有一个实根 D. 方程()1cos x x f x e x =+在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上有两个实根 ABD求得函数()f x 的导数，求得函数()f x 的单调性，可判定A ，由函数()f x 的单调性和极值的概念，可判定B ，利用函数()f x 的单调性，极值、端点的函数值，可判定C ；将非常的解转化为两个函数图象交点的个数，结合图象，可判定D ，即可得到答案. 由题意，函数()sin 1x x f x e +=，可得()cos sin 1xx x f x e --'=，当()0f x '>，即cos sin 10x x -->，所以3cos()4x π+>，所以3322,444k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得22,2k x k k Z πππ-<<∈，当0k =时，02x π-<<；当1k =时，322x ππ<<，当()0f x '<，即cos sin 10x x --<，所以3cos()4x π+<，所以5322,444k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得222,2k x k k Z ππππ-<<-∈， 当0k =时，22x ππ-<<-；当1k =时，302x π<<，所以当(0,)x π∈时，()()0,f x f x '<单调递减，所以A 正确； 又因为当(,)2x ππ∈--时，()0f x '<，当(,0)2x π∈-时，()0f x '>，所以()f x 在2x π=-出取得极小值，所以B 正确； 因为(),()0,(0)12f e f f πππ-=-==，所以()12f x =在(,0)π-上不只有一个实数根，所以C 不正确； 因为方程()1cos x x f x e x =+，即sin 11cos x x x x e e x+=+， 即sin cos x x x e x =，所以tan xe x x=，正切函数tan y x =在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为单调递增函数，又由函数e x y x=，可得2(1)x e x y x '-=，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭和()0,1x ∈时，0y '<，当π1,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，且当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0xe y x=<，作出两函数的大致图象，如图所示，由图象可得，当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数tan y x =与exy x=的图象有两个交点，所以D 正确.故选：ABD.利用导数研究函数的单调性（区间）的方法：（1）当导函数不等式可解时，解不等式()0f x '>或()0f x '<，求出函数的单调区间； （2）当方程()0f x '=可解时，解出方程的实根，依据实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间()f x '的符号，从而确定函数的单调区间；（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据()f x '结构特征，利用图像与性质确定()f x '的符号，从而确定单调区间. 三、填空题13. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P -,则cos2α=______．35根据三角函数的定义，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值． 由三角函数的定义，r 5= 可得：sinα5y r == 可得：cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×（5235=-．故答案为35-．本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14. 若2nx x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）． 35由题意利用二项展开式的通项公式，求得n 、r 的值，可得结论．解：2()n x x x-的展开式的通项公式为7221(1)r n r rr nTC x-+=⋅-⋅，展开式中第5项为常数项，故当4r =时，7202rn -=，7n ∴=， 该展开式的常数项为447(1)35C ⋅-=，故答案为：35．15. 已知奇函数()y f x =满足条件()()11f x f x -=+，且当()0,1x ∈时，()324x f x =+，则12log 5⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 2-首先得到函数的周期2T =，再利用函数的周期和奇偶性，化简求值.()()11f x f x -=+，2T ∴=，且函数是奇函数，所以化简 ()()12222255log 5log 5log 52log log 44f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()25log 0,14∈，25log 425353log 224444f⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭， 12log 52f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.故答案为：-2关键点点睛：本题的关键是利用函数的周期性和奇函数的性质化简1225log 5log 4f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16. 矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．(1). 4π (2).3π12由题设可得AC 的中点O 为四面体外接球的球心，故求出半径后可得球的表面积. 在ADC 中过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，连接BE ，在ABC 中过E 作EH AC ⊥，与AB 交于H ，连接DH ，在DEH △中过D 作直线EH 的垂线，垂足为F ，连接BF ，设二面角D AC B --的平面角为θ，可求32ππθ≤≤，从而可求D 的运动轨迹的长度.如图，在四面体D ABC -中，取AC 的中点为O ，连接,DO BO ， 由,ADC ACB 均直角三角形可以得到DO AO CO BO ===，故O 为四面体D ABC -外接球的球心，故外接球的半径为1113122AC =+=， 故外接球的表面积为4π.在ADC 中过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，连接BE ，则331DE ==在ABC 中过E 作EH AC ⊥，与AB 交于H ，连接DH ，则1332EH ==， 且3AHE π∠=，故23EHB π∠=. 又DEH ∠为二面角D AC B --的平面角，设该角为θ， 在DEH △中过D 作直线EH 的垂线，垂足为F ，连接BF ， 因为DE EH E ⋂=，故AC ⊥平面DEH ，而AC ⊂平面ABC ， 故平面DEH ⊥平面ABC ，因为DF ⊂平面DEH ，平面DEH ⋂平面ABC EH =，DF EH ⊥， 故DF ⊥平面ABC ，而FB ⊂平面平面ABC ，故DF FB ⊥， 因为3sin sin 2DF DE θθ==，33cos cos 62FH EH DE θθ=-=-，故222122BF θθ⎫⎫⎛⎫=+--⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2733cos cos 424θθ=-+， 所以222733353cos cos sin cos 424422BD θθθθ=-++=-，所以7535cos 4222θ≤-≤，故10cos 2θ≤≤，故32ππθ≤≤，故D 所在的弧对应的圆心角为6π（以E 为圆心，DE 为半径的圆），故其轨迹的长度为612DE π⨯=，故答案为：4π方法点睛：空间中动点的轨迹的长度的计算，关键在动点轨迹的刻画，注意根据动点的几何性质得到轨迹，计算过程中注意把已知的量归结到可解的三角形中. 四、解答题17. 已知等差数列{}n a 满足37a =，2620a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，236b a =，1n n b b +>，求满足2021n S ≤的n 的最大值．（1）32n a n =-；（2）10.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，求出这两个量的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，根据已知条件求出q ，利用等比数列的求和公式求出n S ，然后解不等式2021n S ≤，即可求得满足条件的n 的最大值. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=． 因为37a =，2620a a +=，所以11272620a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩，所以32n a n =-；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，因为11b a =，236b a =，所以()1221116b b q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11b =，2q =±. 因为1n n b b +>，所以2q，所以()1122112n n nS ⨯-==--．因为2021n S ≤，所以212021n -≤，即22022n ≤，101121024202220482=<<=，所以10n ≤，所以n 的最大值为10.18. 在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，②()sin sin sin sin a A c C A b B +-=，③tan tan cos A B b A=+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对的边，b =______． （1）求角B ； （2）求2a c +的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （1）π3B =；（2）（1）选择①：利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1sin()62B π-=，结合范围0B π<<，可求B 的值．选择②：由正弦定理化简已知等式可得222a c b ac +-=，由余弦定理可得1cos 2B =，结合范围0B π<<，可求B 的值．选择③：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得tan B =0B π<<，可求B 的值．（2）由（1）及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2)a c A ϕ+=+，结合203A π<<，且ϕ为锐角，可得存在角A 使得2A πϕ+=，利用正弦函数的性质即可求解最大值．解：（1）选择①：由π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得11cos cos 22B B B +=+11cos 22B B -=， 所以π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，故ππ66B -=， 所以π3B =．选择②：由正弦定理，()sin sin sin sin a A c C A b B +-=可化为222a c b ac +-=，由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0πB <<，所以π3B =，=， 又()sin sin sin sin cos cos sin sin tan tan cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B CA B A B A B A B A B+++=+===．tan tan A B =+sin cos cos C A B =， 因为sin 0C >，所以tan B = 因为0πB <<，所以π3B =．（2）在ABC 中，由（1）及b =4sin sin sin 2b a c B A C ====， 故4sin a A =，4sin c C =，所以224sin 8sin 4sin 8sin π3a c A C A A ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭4sin 4sin 8sin A A A A A =++=+()A ϕ=+，因为20π3A <<且ϕ为锐角， 所以存在角A 使得π2A ϕ+=， 所以2a c +的最大值为解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19. 已知函数32113f xx ax ，0a >． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．（1）89；（2）存在，12a =.（1）由1a =，求导()22f x x x '=-，利用导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，再求得切线的x 轴、y 轴上的截距，代入三角形的面积公式求解.（2）求导()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，然后分022a <<，22a ≥，由()f x 在[]0,2上的最小值为56求解.（1）当1a =时，()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，所以()11f '=-，又()113f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()113y x -=--，即3340x y +-=，直线3340x y +-=在x 轴、y 轴上的截距均为43， 所以三角形的面积为14482339S =⨯⨯=．（2）()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =． 当022a <<，即01a <<时，当[]0,2x a ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减； 当[]2,2x a ∈时．()0f x '≥，()f x 单调递增．则()()33min 8524136f x f a a a ==-+=，解得12a =，当22a ≥，即1a ≥时，当[]0,2x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，则()()min 8524136f x f a ==-+=，解得17124a =<，舍去． 综上：存在12a =，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56．方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．20. 在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3DAB ∠=，11A AD A AB ∠=∠，111A B =，12AA =，1π6A AC ∠=．（1）证明：BD ⊥平面1ACA ； （2）求二面角11C BB A --的余弦值． （1）证明见解析；（2）7（1）先证明1AO BD ⊥，AC BD ⊥，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式直接求解即可． （1）证明：连接1A B ，1A D ，设AC 与BD 相交于点O ， 因为AB AD =，11A AD A AB ∠=∠， 所以11A AD A AB ≌△△， 所以11A D A B =，连接1A O ，因为O 为BD 的中点，所以1AO BD ⊥． 又因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，因为1AO AC O ⋂=，1,AC AO ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ， （2）解：在1A AO 中，21π43223cos 16AO =+-⨯⨯⨯=，所以11A O =， 因为222114A O AO AA +==，所以1A O AC ⊥，因为1AO BD ⊥，AC BD O =，,AC BD ⊂平面ABCD ．所以1A O ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()13,0,1C -，131,,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0B ，)3,0,0A．设平面11C B B 的法向量()1111,,x n y z =，1131,02C B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，131,12B B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由1111100n C B n B B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111113102231022x y x y z +=⎪+-=⎩，取11x =，则13y =-10z =，所以()11,3,0n =-，设平面1ABB 的法向量()2222,,n x y z =，()AB =，131,,122B B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由22100n AB nB B ⋅=⋅=得222220102y x y z ⎧+=+-=，取21x =，则2y =2z (2n =，所以121212cos ,2n n n n n n ⋅===⨯， 由图知二面角11C BB A --是钝角，所以二面角11C BB A --的余弦值是 本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21. 潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案： 方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取l 个批次检测．（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率； （2）求方案甲检测次数X 的分布列；（3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由．（1）35；（2）答案见解析；（3）方案乙的效率更高．理由见解析.（1）由题意即可求解；（2）先求出X 的可能取值，然后求出对应的概率，进而可以求解；（3）设方案乙的检测次数为Y ，求出Y 的可能取值，然后求出对应的概率，再求出方案甲和乙的数学期望，比较大小即可求解．解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率243535C P C ==， （2）依题意知检测次数X 的可能取值为1，2，3，4，()445511 5A P X A ===，()445512 5A P X A ===，()445513 5A P X A ===，()444455245A A P X A +===， 故方案甲检测次数X 的分布列为：（3）设方案乙检测次数为Y ，则Y 的可能取值为2，3．当2Y =时的情况为先检测3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，或先检测3个批次为合格，再从其他2个批次中取出1个批次检测．则()2331434231325352132 5C A A A P Y A AA A ⨯⨯==⨯+=， 所以()235P Y ==． 故方案乙检测次数Y 的分布列为：()555E Y =+=， 则()12381455555E X =+++=，因为()()E Y E X <，所以方案乙的效率更高．22. 已知函数()ln 1f x mx x =-，0m ≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()22g x x x e=-，且关于x 的不等式()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围．（1）答案见解析；（2）11,00,e e e e ⎡⎫⎛⎤-⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． （1）对函数求导，分0m >和0m <两种情况分别得出函数的单调性；（2）()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立，可得22ln 1mx x x x e -≤-，即12ln 0x m x x e+--≥在()0,∞+上恒成立，令()12ln x m x x p x e=+--，求导研究函数的单调性与极值()0p x ，利用导函数为零得出001m x x =-，代入不等式()00p x ≥，并构造出()112ln q x x x x x x e ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，利用导数得出0x 的范围，进而求出实数m 的取值范围．（1）根据题意可知()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln 1f x m x '=+，令()0f x '=，得1=x e． 当0m >时，10x e<<时，()0f x '<，1x e >时()0f x '>； 当0m <时，10x e<<时，()0f x '>，1x e >时()0f x '<． 综上所述，当0m >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0m <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）依题意，22ln 1mx x x x e -≤-，即12ln 0x m x x e+--≥在()0,∞+上恒成立， 令()12ln x m x x p x e =+--，则()222111m x mx p x x x x--'=--=． 对于21y x mx =--，2m 40∆=+>，故其必有两个零点，且两个零点的积为1-，则两个零点一正一负，设其正零点为()00x ∈+∞,，则20010x mx --=，即001m x x =-， 且()p x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()00p x ≥，即00000112ln 0x x x x x e ⎛⎫+---≥ ⎪⎝⎭． 令()112ln q x x x x x x e⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭， 则()2222111111ln 11ln q x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当()0,1x ∈时，()0q x '>，当()1,x ∈+∞时，()0q x '<， 则()q x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 又()10q q e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 显然函数001m x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是关于0x 的单调递增函数， 则11,m e e ee ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 所以实数m 的取值范围为11,00,e e e e ⎡⎫⎛⎤-⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．。