工程力学3_6_5 矩形截面杆件的扭转
矩形扭矩公式
矩形扭矩公式
扭矩(Torsion)是一种扭转力矩,它使得一个体被扭曲。
对于矩形横截面构件,其中心扭矩公式如下:
T = GθJt/L
其中:
T - 扭矩(N·m)
G - 剪切模量(Pa)
θ - 扭转角(rad或°)
Jt - 极惯性矩(m^4)
L - 构件长度(m)
矩形截面的极惯性矩Jt可由公式计算:
Jt = (1/3)bh^3[1 - (192/π^5)Σ(1/n^5)(h/b)tanh(nπb/2h)]
其中:
b - 矩形宽度(m)
h - 矩形高度(m)
n - 无穷级数求和项数
这个公式看似复杂,但实际上在设计时可查阅手册直接获取不同矩形纵横比(b/h)下的Jt/bh^3值。
扭矩设计需满足承载力要求T≤Tu,Tu为允许扭矩。
同时也需控制扭
矩角θ在允许范围内,避免过大扭转影响正常使用。
扭矩分析在机械、土木等工程领域都有广泛应用。
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
工程力学试题库填空题
工程力学试题库1-1、5.平面汇交力系简化结果是＿＿＿＿＿＿。
一合力1-2、17．刚体受不平行但共面的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必定＿＿＿＿＿＿＿＿。
（汇交或汇交于一点）1-3、18只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
构成力偶的力的大小和力偶臂的长短 ）1-4、25、空间力系由大小相等的F1=F2=F3=F 三个力组成，分别作用在图示正方体的三个侧面的对角线上， 则该力系在x 轴上的投影等于＿＿＿＿＿。
1-5、15、杆件横截面上内力分量有轴力、剪力、扭矩和＿＿＿＿四种。
弯矩 1-6、100、如图所示为低碳钢的应力—应变图，其中P σ称为＿＿＿＿，s σ称为屈服极限，b σ称为强度极限。
（比例极限）1-7、104、已知一根梁的弯矩方程为232)(2++-=x x x M ，则梁的剪应力方程为=)(x Q ＿＿＿＿＿＿＿＿。
（34)(+-=x x Q ）1-8、101、如图所示一矩形截面，若z 轴平行与底边，则该截面对z 轴的惯性矩=z I ＿＿＿＿＿。
（bh a h bh I Z 23212⎪⎭⎫ ⎝⎛++=）1-9、20、梁的小变形中，挠度y 和转角θ的关系是＿＿＿＿＿＿＿＿。
（ θ='y ） 1-10、44、（P129）已知空间某点处的三个主应力1σ＞2σ＞3σ，则该点处的最大剪应力 =max τ＿＿＿＿＿＿＿＿。
（231max σστ-=）2-1、5.平面汇交力系平衡条件是＿＿＿＿＿＿＿＿。
合力等于零2-2、8、空间一般力系有＿＿＿＿个独立的平衡方程。
62-3、64、平面内的两个力偶等效条件是＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿。
（两力偶矩相等，转向相同 ） 2-4、33、长方体的顶角B 处有力F 作用如图示。
已知F=700N 。
该力对坐标轴x 的矩 M x （F ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
（题1-3）2-5、15、杆件横截面上内力分量有轴力、剪力、＿＿＿＿和弯矩四种。
材料力学 扭转3
T i L i j = å i (GI P )i
二、刚度条件 对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它 正常工作。例如：机器的传动轴如有过大的扭转角，将会使机器 在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影 响机器的加工精度等。因此对传动轴的扭转变形要加以限制。 一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个： 绝对扭转角 相对扭转角
4
d 2 = 76 mm
5.选同一直径时
d = d . 4 mm 1 = 86
d1
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
C
M e 2
(- )
d 2 B
M e 3
A
M e 1
4580 N × m 7640 N × m
d1 C
受力合理
M e 2
A
M e 1
1.5kN∙m
j AC = j AB + j BC = 0. 0239 rad 0318 rad - 0 . 0079 rad = 0.
&
例题2
M 2
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9KN∙m，轮2、轮 3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4KN∙m，M3＝3.5KN∙m，M4＝ 1.5KN∙m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并 求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。
t t¢
等直圆杆扭转时的应变能
x
dx
2 2
V e dAdx e = ò v e dV = ò ò v
V l A
1 = tg g 2
Tr = I P
=
工程力学14_6_3 如图6-19所示,两矩形截面木杆,用两块钢板连接。截面的宽度b=200mm,沿拉杆顺纹方向承
6.4 如图6-20所示铆接接头。已知：板宽b=200mm，主板 厚t1=20mm，盖板厚t2=20mm，铆钉直径d=30mm，接头所 受拉力F=400kN，板与铆钉的材料相同。试计算： 6.5 如图6-21所示，传动轴以200r/min的转速匀速转动， 主动轮B的输入功率为60kW，从动轮A、C、D、E的输出功 率分别为18kW、12kW、22kW、8kW。试作轴的扭矩图。 6.6 如图6-22所示，传动轴的直径为100mm，已知MA=1k N·m，MB=2kN·m，MC=3.5kN·m，MD=0.5kN·m，［τ］=60M Pa。试作扭矩图，并校核该轴的强度。
41239Z6B
主编
6.4.2 圆轴扭转时的强度条件 6.5 矩形截面杆件的扭转 6.1 剪切的受力特征和变形特征是什么？ 6.2 挤压与压缩有何区别？挤压面与计算挤压面是否相同？ 试举例说明。 6.3 在工程设计中，对于铆钉、销钉等圆柱形连接件的挤 压强度问题，可以采用“直径截面”，而不是用直接受挤 压的半圆柱面来计算挤压应力，为什么？ 6.4 试确定图6-16中各构件的剪切面和挤压面。 6.5 试述圆轴扭转时的受力特点和变形特点。
6.2 如图6-18所示为一拉杆头部，已知D=32mm，d=20mm， h=12mm，杆件材料的许用切应力［τ］=100MPa，许用挤 压应力［σbs］=240MPa。试校核该杆的剪切强度和挤压强 度。
6.3 如图6-19所示，两矩形截面木杆，用两块钢板连接。 截面的宽度b=200mm，沿拉杆顺纹方向承受拉力F=35kN， 木材的顺纹许用挤压应力［σbs］=8MPa，顺纹许用切应力 ［τ］=100MPa。求接头处所需的尺寸l和a。
6.7 一实心等直圆杆受力如图6-23所示，已知MA=2.99k N·m，MB=7.2kN·m，MC=4.21kN·m，材料的许用切应力［τ］ =70MPa。试确定该杆的直径。
矩形截面杆、薄壁杆的扭转
1、泊松方程：2F 2 (在柱形杆横截面所组成区域R内)。
2、边界条件：F(x, y) k（在横截面的周界C上）。
对于矩形截面杆件的扭转问题，能否像椭圆截面杆件扭 转问题一样假设扭转应力函数为其横截面的周界方程 ？
3 a2
a2
a3
a3
图3
设 ai 及 i分别表示扭杆横截面的第i个狭矩形的长度和宽度，
Ti表示该矩形截面上承受的扭矩，T表示整个横截面上的扭矩， i代表该矩形长边中点附近的剪应力， 为单 位长度扭转角。则
由狭长矩形的结果，得
3Ti
Gai
3 i
(2-1)
由式(2-1)得
i
3Ti
ai i 2
(2-2)
4G
13s2
A2 1
2
3
s1
A2 2
12s3 (
A1
A2
)2
(2-14) (2-15) (2-16)
例2 两个截面完全相同的变厚度薄壁杆如图8所示，其
中（a）为闭口，（b）为开口，试分析两杆件在抗扭转 刚度和最大剪应力方面的特点。
解（1）开口薄壁杆
由式(2-6),得单位长度扭转角：
G
3T
ai
1
4
T
图4
(2-6)
T
T
(2-6)
T
(2-6) T
(2-6) T
二 闭口薄壁杆件的扭转
对于闭口薄壁杆件的扭转问题，可以通过薄膜比拟
法求得近似解答。如图5所示，假想在薄杆横截面的外边
界上张一张膜，保证薄膜外边界的垂度为零，内边界处
的垂度为常量。由于杆壁厚度很小，所以沿壁的厚度方
工程力学测试题.doc
一、单项选择题（每题4分，计24分）1、以下关于力的结论中，哪个是正确的?（C）A.力偶能与一个力等效，因此一力也能与一力偶平衡B.三力平衡的充分必要条件是”三力平衡心汇交于一点”C.如果某一力与一个力系等效，则称此力为该力系的合力D.平面任意力系的主矢就是该力系的合力2、两物体间的作用力与反作用力总是等值、反向、共线，分别作用在这两个物体上。
这是_____ o（D）A.二力平衡原理B,加减平衡力系原理C.力的可传递性原理D.作用与反作用定律（P8）3、杆件的正应力强度条件。
max=FN, max/?^[a],不能解决的问题是。
（B）A,强度校核 B.剪应力校核C.选择截面D.确定载荷能力（P97）4、矩形截面杆件受扭时，横截面上的最大切应力出现在__o （A）A.最大截面中性轴B,最小截面中性轴C.角点D,周边（P159）5、高为h=20cm,宽为b=lOcm的矩形截面梁的截面惯性矩等于―cm4。
（D）A.6666.7B.13333.3C.333.33D. 1666.67 （P144）6、是平面一般力系简化的基础。
（B）A.二力平衡公理B.力的可传性定理C.作用和与反作用公理D.力的平移定理（P22）二、是非题（每题2分，计14分）1、均质物体的重心就是它的形心。
（小）2、若两个力大小相等，则这两个力就等效。
（X）3、在求解平衡问题时，受力图中未知约束反力的方向可以任意假设，如果计算结果是正值，那么假设方向就是实际指向。
以）4、当力作用一物体时，若将此力沿其作用线滑动一段距离，是不会改变力对某一点的力矩。
（V）5、若一力与空间直角坐标系的X轴和Y轴都相交，则该力在Z轴上的投影为零。
（V）6、光滑面约束只能承受位于接触点的切向压力。
（x）7、在空间问题中，力对轴的矩是代数量，而对点的矩是矢量。
（小三、填空题（每空1分，计29分）1、物体的平衡是指物体相对于地面静止一或作.直线匀速运动一运动的状态。
工程力学-选择题答案
第1章:1—2 选择题：（1）加减平衡力系原理适用于下列哪种情况。
（A）单一刚体;(B）单一变形体；（C）刚体系统；（D)变形体系统正确答案:A。
（2)二力平衡原理适用于下列哪种情况。
（A）单一刚体;(B）单一变形体；（C)刚体系统；（D）变形体系统正确答案：A.（3)力的可传性原理适用于下列哪种情况。
(A）单一刚体;(B)单一变形体；（C）刚体系统;（D）变形体系统正确答案:A。
（4）作用力与反作用力定律适用于下列哪种情况。
(A）只适用刚体；（B)只适用变形体;(C）只适用平衡状态的物体;(D）任何物体正确答案：D。
（5）三力汇交定理适用于下列哪种情况。
（A）三个互不平行的共面力的作用下处于平衡状态的刚体；（B）三个共面力的作用下处于平衡状态的刚体；(C)三个互不平行的力的作用下处于平衡状态的刚体；（D）三个互不平行的共面力的作用下的刚体正确答案：A.（6）若等式F R=F1+F2成立，下列哪种情况成立。
（A）必有F R=F1+F2; （B）不可能有F R=F1+F2；(C)必有F R>F1、F R〉F2；（D）可能有F R〉F1+F2；正确答案：D。
第2章：2—1 选择题:(1）平面力偶系最多可以求解未知量.（A)1个；(B)2个;（C)3个；（D）4个正确答案:A.（2）平面汇交力系最多可以求解未知量。
（A）1个；(B)2个；（C）3个；（D）4个正确答案：B。
（3）平面平行力系最多可以求解未知量.正确答案:B。
（A）1个；（B)2个;(C）3个；（D)4个(4）平面一般力系最多可以求解未知量。
（A）1个；(B）2个；（C）3个；（D)4个正确答案：C。
(5）平面一般力系简化的最终结果有情况。
（A）1个;（B)2个；（C)3个；（D)4个正确答案：C。
(6)作用在刚体上点A的力F,可以等效地平移到刚体上的任意点B,但必须附加一个A，此附加B。
（A ）力偶；(B)力偶的矩等于力F 对点B 的矩；(C)力； (D ）力的大小方向与原力相同(7）对于一般力系，其主矢与简化中心 C ,其主矩与简化中心 A 。
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第九章扭转
P = Mω
2πn P ×10 = M × 60
3
M N⋅m = 9549
P kW nr / min
例: P＝5 kW, n=1450 r/min, 则 ＝
5 kW M＝9549× (N⋅m) = 32.9 N⋅m 1450r/min
单辉祖:材料力学教程 8
扭矩与扭矩图
扭矩
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示， 符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示， 矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正， 的扭矩为正，反之为负
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA=2πρdρ
Ip = ρ dA =
2
∫A
∫
D/ 2
d/2
ρ2 ⋅ 2πρ dρ
πD4 α= d Ip = 1−α4 D 32 Ip πD3 W= = 1−α4 p D 16 2
(
)
(
)
实心圆截面
πd4 Ip = 32
单辉祖:材料力学教程
πd 3 W= p 16
24
γ ≈tanγ =1.0×10−3rad
τ = Gγ
τ = (80×109 Pa)(1.0×10−3 rad) = 80 MPa
注意： 虽很小， 很大， 注意：γ 虽很小，但 G 很大，切应力 τ 不小
单辉祖:材料力学教程 18
例 3-2 一薄壁圆管，平均半径为 0，壁厚为δ，长度为 ， 一薄壁圆管，平均半径为R 长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G， 横截面上的扭矩为 ，切变模量为 ，试求扭转角ϕ。
解：1. 扭矩分析
大工15秋《工程力学(一)》在线作业3满分答案
大工15秋《工程力学(一)》在线作业3满分答案大工15秋《工程力学（一）》在线作业3一、单选题（共5道试题，共20分。
）1.矩形截面梁的剪应力沿截面高度呈（）分布。
A.直线B.双曲线C.正弦曲线D.抛物线正确答案：D2.在径向均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线为（）。
A.圆弧线B.抛物线C.悬链线D.正弦曲线正确答案：A3.荷载和约束条件均相同，仅刚度不同的两刚架（）。
A.内力相同，变形不同B.内力和变形都相同C.内力不同，变形相同D.内力和变形都不同正确答案：A4.温度变化时，静定结构（）。
A.无位移，无内力B.有位移，无内力C.有位移，有内力D.无位移，有内力正确答案：B5.中心受压直杆在临界力作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳定性的现象，称为（）。
A.屈服B.愚昧C.失稳D.平衡正确答案：C大工15秋《工程力学（一）》在线作业3二、多选题（共5道试题，共40分。
）1.塑性资料的梁许用拉应力等于许用压应力，故宜采用中性轴为对称轴的截面，如（）。
A.矩形B. T型C.圆形D.工字型正确答案：ACD2.在拉弯组合变形前提下，建立杆件强度前提的主要步骤可分为（）。
A.肯定危险点B.计算弯矩C.计较危险点正应力D.计算剪力正确答案：AC3.结构中杆件相互连接的部分称为结点。
其中，刚结点的特点有（）。
A.相互连接的杆件在连接处不克不及相对移动和相对滚动B.各杆端结为团体C.可传递力D.可传递力矩正确答案：ABCD4.常见的静定平面刚架按照多少组成方式可以分为三种形式，包括（）。
A.简支刚架B.悬臂刚架C.两铰刚架D.三铰刚架正确答案：ABD5.分布荷载是指作用在一定面积或长度上的荷载，以下属于分布荷载的是（）。
A.结构自重B.风荷载C.水压力D.雪压力正确答案：ABCD大工15秋《工程力学（一）》在线作业3三、判断题（共10道试题，共40分。
）1.在求桁架的内力时，可截取桁架的结点为隔离体，利用各结点的静力平衡前提来计较各杆内力，这类方法称为结点法。
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6.2 如图6-18所示为一拉杆头部，已知D=32mm，d=20mm， h=12mm，杆件材料的许用切应力［τ］=100MPa，许用挤 压应力［σbs］=240MPa。试校核该杆的剪切强度和挤压强 度。
6.3 如图6-19所示，两矩形截面木杆，用两块钢板连接。 截面的宽度b=200mm，沿拉杆顺纹方向承受拉力F=35kN， 木材的顺纹许用挤压应力［σbs］=8MPa，顺纹许用切应力 ［τ］=100MPa。求接头处所需的尺寸l和a。
6.6 如何计算扭矩？扭矩的正负号如何规定？ 6.7 圆轴扭转时，横截面上产生什么应力？如何计算？试 给出分布图。 6.8 横截面面积相同的情况下，空心轴与实心轴哪个抗扭 强度高？ 6.1 一托架如图6-17所示，铆钉和钢板之间为搭接。已知 铆钉的直径d=20mm，外力F=35kN。试求最危险的铆钉剪 切面上切应力的数值及方向。
6.4 如图6-20所示铆接接头。已知：板宽b=200mm，主板 厚t1=20mm，盖板厚t2=20mm，铆钉直径d=30mm，接头所 受拉力F=400kN，板与铆钉的材料相同。试计算： 6.5 如图6-21所示，传动轴以200r/min的转速匀速转动， 主动轮B的输入功率为60kW，从动轮A、C、D、E的输出功 率分别为18kW、12kW、22kW、8kW。试作轴的扭矩图。 6.6 如图6-22所示，传动轴的直径为100mm，已知MA=1k N·m，MB=2kN·m，MC=3.5kN·m，MD=0.5kN·m，［τ］=60M Pa。试作扭矩图，并校核该轴的强度。
6.5 矩形截面杆件的扭转
4.扭矩T是受扭构件横截面上分布内力系的合力偶矩，是由作用 在与杆轴线垂直的横截面上的外力偶矩引起的，正负号按右手 螺旋法则确定，即让右手四指沿扭矩的转向握住圆杆，若拇指 的指向离开截面向外扭矩为正，反之为负。 5.受扭圆轴横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正 比，圆心处切应力为零，最大切应力出现在圆轴边缘各点处。 6.等直圆轴扭转时的强度条件为 7.矩形截面杆件扭转变形后横截面产生翘曲现象，不再保持为 平面。
的指向离开截面向外扭矩为正，反之为负。
5.受扭圆轴横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正 比，圆心处切应力为零，最大切应力出现在圆轴边缘各点处。
6.等直圆轴扭转时的强度条件为
7.矩形截面杆件扭转变形后横截面产生翘曲现象，不再保持为 平面。
面发生相对错动，这种变形称为剪切变形。
2.工程中采用实用的计算方法，建立剪切强度条件和挤压强度 条件，保证构件的正常工作，即
3.圆轴两端受到一对大小相等、方向相反，且作用面垂直于杆 轴线的力偶作用，杆件的任意两个横截面将绕轴线相对转动，
杆件的轴线仍保持为直线，这种变形称为扭转变形。
4.扭矩T是受扭构件横截面上分布内力系的合力偶矩，是由作用 在与杆轴ห้องสมุดไป่ตู้垂直的横截面上的外力偶矩引起的，正负号按右手 螺旋法则确定，即让右手四指沿扭矩的转向握住圆杆，若拇指
6.5 矩形截面杆件的扭转
1.当杆件受到两个大小相等、方向相反、作用线相距很近而且 垂直于杆件轴线的外力作用时，杆件将沿着两外力之间的横截 面发生相对错动，这种变形称为剪切变形。 2.工程中采用实用的计算方法，建立剪切强度条件和挤压强度 条件，保证构件的正常工作，即 3.圆轴两端受到一对大小相等、方向相反，且作用面垂直于杆 轴线的力偶作用，杆件的任意两个横截面将绕轴线相对转动， 杆件的轴线仍保持为直线，这种变形称为扭转变形。
6.5 矩形截面杆件的扭转
图6-14 非圆截 面杆的自由扭转
6.5 矩形截面杆件的扭转
图6-15 矩形截面 杆扭转切应力分布
6.5 矩形截面杆件的扭转
表6-1 矩形截面扭转的有关系数α和γ
1.当杆件受到两个大小相等、方向相反、作用线相距很近而且 垂直于杆件轴线的外力作用时，杆件将沿着两外力之间的横截
6.7 一实心等直圆杆受力如图6-23所示，已知MA=2.99k N·m，MB=7.2kN·m，MC=4.21kN·m，材料的许用切应力［τ］ =70MPa。试确定该杆的直径。
6.8 由同一材料制成的实心和空心圆截面杆的长度和质量
均相等，实心杆的直径为D1，空心杆的外径为D2，内径为 d2，且α=d2/D2，二者承受的外力偶矩分别为M1和M2，若两 杆横截面上的最大切应力相等，试求M1和M2的比值。
41239Z6B
主编
6.4.2 圆轴扭转时的强度条件 6.5 矩形截面杆件的扭转 6.1 剪切的受力特征和变形特征是什么？ 6.2 挤压与压缩有何区别？挤压面与计算挤压面是否相同？ 试举例说明。 6.3 在工程设计中，对于铆钉、销钉等圆柱形连接件的挤 压强度问题，可以采用“直径截面”，而不是用直接受挤 压的半圆柱面来计算挤压应力，为什么？ 6.4 试确定图6-16中各构件的剪切面和挤压面。 6.5 试述圆轴扭转时的受力特点和变形特点。