2001年考研数学二试题答案与解析
考生还有更方便的解法，事实上，等式的左端等于 ( y arcsin x)' , 关系式变成
( y arcsin x)' =1，两边积分得
y arcsin x = x + C,
再以
y
⎛⎜⎜⎜⎝ 12 ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0代入得C
=
−
1 2
.
（5）设方程 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝11a
1 a 1
11a⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
x t−sin
x
,
记此极限为
f
(x) ，求函数
f
(x) 的间断点并指出其类型。
( ) 解 因 f x = e , lim t→x
sin
x t−sin
x
ln
sin sin
t x
cos t
而由洛必达法则得， lim t→x
x sin t −sin
x
ln
sin t sin x
= lim t→x
x⋅
sin t cos t
π
∫ ( ) （3）
2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx =
2
答 应填 π 8
分析 这是对称区间上的定积分，一般都可利用积分性质而化简计算，所以
π
π
∫ ( ) ∫ 2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx = 2
2 sin2 x cos2 xdx
0
2
π
= 2∫ (2 sin2 x −sin4 x)dx
e2
x− y
⎛⎜⎜⎜⎝2
+
dy dx
⎞⎠⎟⎟⎟
+
sin
(
xy)
⎡⎢⎣⎢
y
+
x
dy dx
⎤⎥⎥⎦
=
0,
将 x = 0, y =1代入解得 dy dx
x=0 = −2,
y=1
故所求的法线方程为 x − 2 y + 2 = 0.
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2
1
a a+2
1
1 a+2
110⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
故当 a = −2 时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩都等于 2，从而原方程有无穷多 个解。
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二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
3
⋅4
=6
x,
ds ds dx
1+ 1 4x
d 2ρ ds2
=
d dx
⎛⎜⎜⎜⎝
dρ ds
⎞⎠⎟⎟⎟
1 ds
=
6 2x
⋅
dx
1= 1+ 1
4x
6 4x +1
,
从而
3ρ
d 2ρ ds2
−⎛⎜⎜⎜⎝
dρ ds
⎞⎠⎟⎟⎟2
=
3 2
(4x
+1)32
⋅
4
6 x +1
− 36
x
=
9
六、（本题满分7分）
设函数 f (x) 在[0，+ ∞)上可导， f (0) = 0 ，且其反函数为 g (x), 若
它的图形如右图所示，
则导函数 y = f ' (x)的图形为
答 应选 D
解法一：分析 抓住 y = f (x) 的图形中的曲线上升( f ' (x)≥ 0) 、下降区间 ( f ' (x)≤ 0) ，驻点( f ' (x0 ) = 0)个数，就可知应选D。
本题难度值为0.88，区分度为0.27，属于第Ⅲ类试题。
原式 =
∫
cos
u
⋅
du
(2 tan
2
u
+
1)
=
∫
cos udu 2 sin2 u + cos2 u
=
∫
d sin u 1+ sin2 u
= arctan(sin u)+ C
= arctan⎜⎜⎝⎛⎜⎜
x 1+
x2
⎠⎞⎟⎟⎟⎟
+
C
四、（本题满分6分）
求极限
lim
t→x
⎛⎜⎜⎜⎝
sin sin
t x
⎞⎠⎟⎟⎟sin
2x
4 x3
所以抛物线在点 M (x, y) 处的曲率半径
ρ = ρ(x)=
1
= (1+
)3
y'2 2
=
1 (4x +1)32
;
k
y ''
2
抛物线上 AM 的弧长
∫ ∫ s = s(x) = x 1+ y'2 dx = x 1+ 1 dx.
1
1
4x
由参数方程求导公式得
dρ
=
dρ dx
=
1⋅ 2
2 (4x +1)12
f
( x) =
lim
x→0+
⎡⎢⎣(x +1)ex
+ C⎤⎥⎦ ,
得 C = −1,因此f (x) = (x +1)ex −1.
七、（本题满分7分）
设函数 f (x), g (x) 满足 f ' (x) = g (x), g' (x) = 2ex − f (x), 且f (0) = 0, g (0) = 2,
=
x sin
x
,
x
故 f (x) = esin x , 由此表达式知 x = 0及x = kπ(k = ±1,±2, ) 都是 f (x) 的间
断点。
x
由于 lim f (x) = lim esin x = e,
x→0
x→0
所以 x = 0是f (x) 的可去（或第一类）间断点；而 x = kπ(k = ±1,±2, ) 均为
可得到正确的答案，事实上当 x → 0 时，(1−cos x)ln(1+ x2 ) ∼ 1 x4 , x sin xn ∼ xn+1,
2
ex2 −1 ∼ x2 , 故 应选 n =2.
（3）曲线 y = (x −1)2 (x −3)2 的拐点个数为
（A）0
（B）1
（C）2 （D）3
答 应选 C
分析 本题的曲线是对称于直线 x = 2 的，所以，它或者没有拐点或者只有 2 个
0
=
2 ⎛⎜⎜⎜⎝ π4
−
3 4⋅2
⋅
π 2
⎞⎠⎟⎟⎟
=
π 8
.
（4）过点
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2
,
0⎞⎠⎟⎟⎟
且满足关系式
y'
arcsin
x
+
y =1的曲线方程为 1− x2
答 应填 y arcsin x = x − 1 . 2
分析 题目中把 y' arcsin x + y =1称为“关系式”而不是方程，就是提醒 1− x2
拐点，因此 B、D 排除，又
y' = 4(x −1)(x − 2)(x −3),
对导函数 y' 应用罗尔中值定理，y'' 有两个零点，从而知原曲线有两个拐点。也可 直接求函数的二阶导数的零点，再判断在零点左右附近的二阶导数是否变号。
（4）已知函数 f (x) 在区间(1−δ,1+ δ) 内具有二阶导数， f ' (x)严格单调减少， 且 f (1) = f ' (1) =1, 则 （A）在(1−δ,1)和(1,1+ δ) 内均有 f (x)< x （B）在(1−δ,1)和(1,1+ δ) 内均有 f (x)> x （C）在(1−δ,1) 内， f (x)< x ，在(1,1+ δ) 内， f (x)> x
x1 x2 x3
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−112⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
有无穷多个解，则
a
=
答 应填 -2 分析 利用增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，且使其秩小于 3 的方法确定 a 的 值。
⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎜11a
1 a 1
1 1 a
−112⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
→
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a
a
1 +
于是有 解之得
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
f f f
'' (x)+ f ( (0) = 0, ' (0) = 2,
三、（本题满分 6 分）
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求
∫
dx
(2x2 +1)
. x2 +1
分析 这是一道常规的不定积分题，用换元法解即可。
解 设 x = tan u, dx = sec2 udu.
求
∫π 0
⎡⎢⎢⎢⎣
g (x)
1+ x
−
f( (1+
x) x)2
⎤⎥⎥⎥⎦dx.
分析 本题实质是分两部分：求 f (x) ；计算所求积分，第一部分是解微分方程；
第二部分求积分2，先利用题设条件进行运算，最后再代入 f (x) 的式子得解。
解法1 由 f ' (x) = g (x)得f '' (x) = g' (x) = 2ex − f (x),
2001考研数二真题及解析
2001考研数二真题及解析考研对于众多学子来说，是一场知识与毅力的较量。
数学二作为其中的重要科目，其真题的研究对于备考有着至关重要的作用。
接下来，我们就一同来探讨一下 2001 年考研数学二的真题。
首先来看选择题部分。
第一题考查了函数的极限概念。
这需要我们对极限的定义和性质有清晰的理解。
例如，当 x 趋近于某个值时，函数的变化趋势是怎样的。
第二题则涉及到导数的定义和计算。
导数作为函数变化率的体现，其计算方法和应用在数学中十分常见。
填空题部分，也不乏对基础概念和计算能力的考察。
像第三题，要求我们求出某一函数的不定积分。
这就需要熟练掌握积分的基本公式和运算规则。
而第四题则是关于空间几何的问题，需要我们具备一定的空间想象能力和相关的计算公式。
再看解答题。
第五题是关于函数的单调性和极值问题。
要解决这类问题，首先要求出函数的导数，然后根据导数的正负来判断函数的单调性，进而求出极值。
这道题考查了我们对导数应用的掌握程度。
第六题是一道关于定积分的计算题。
定积分的计算需要我们掌握好积分的基本方法，如换元积分法、分部积分法等。
同时，还要注意积分区间的处理，以及被积函数的特点。
第七题是关于微分方程的问题。
微分方程在实际应用中有着广泛的应用，比如物理、工程等领域。
解微分方程需要我们熟悉常见的类型和相应的解法。
第八题是一道综合性较强的题目，涉及到函数、导数、积分等多个知识点。
这要求我们能够将所学的知识融会贯通，灵活运用。
对于这一年的真题，我们可以总结出一些特点和规律。
首先，基础知识的考察始终是重点。
无论是函数、导数、积分，还是微分方程，都是数学二的核心内容。
其次，题目注重对知识的综合运用能力的考察。
不再是单一知识点的简单测试，而是需要我们将多个知识点串联起来，解决复杂的问题。
在备考过程中，针对这些特点，我们要有针对性地进行复习。
对于基础知识，要做到扎实掌握，不仅要知道是什么，还要知道为什么和怎么用。
多做一些综合性的练习题，提高自己解决实际问题的能力。
2001年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案
2001年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分l5分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分6分)
四、(本题满分7分)
五、(本题满分7分)
六、(本题满分7分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分9分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分6分)
其中E是3阶单位阵，求X．十二、(本题满分6分)
础解系
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
应选（C）。
4．
5．
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、。
2001年数学二试题_考
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x x x x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e yx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（）．4、微分方程11arcsin 2=-+'xy x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ． 2、0→x时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为（ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３． 4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <．5、（同数学一的二1）三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型． 五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝3)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ．若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2x e －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小． 九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆 在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a)(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系，144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系． 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）．2．位于曲线x xe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（）． 3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1limn n →∞=（ ）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) １．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝（Ａ）－１； （Ｂ）０．１； （Ｃ）１； （Ｄ）０．５． ２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是(A)⎰x dt t f 02)(；(B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--xdt t f t f t 0)]()([； (D) ⎰-+x dt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程x e qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有 （Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关；（Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关；(D)21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x xe xe ，求函数⎰-=xdt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+． 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解． 一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3）x y 2=的麦克劳林公式中n x 项的系数是 .（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则 ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→nn a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C)1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(yxϕ的表达式为 （A ）.22xy - (B) .22x y(C).22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）设⎰=41tan πdx x x I ,dx xxI ⎰=402tan π, 则(A).121>>I I (B) .121I I >>(C).112>>I I (D) .112I I >> [ ]（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r<时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]三 、（本题满分10分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分） 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分） 讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y xϕ绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y xϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ，:2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++cb a一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)zz x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y xdx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x=不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. []（9）lim n →∞（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰ []（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小.（C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++ []（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y=+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭. []（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. []三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分） 设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时,()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分） 设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为 （5）当0→x时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A)F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数.（B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C)32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()( (A)πab . (B)π2ab . (C)π)(b a +. (D)π2ba + . [ ]（11）设函数⎰+-+-++=y x yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A)2222yux u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222y u x u ∂∂=∂∂.(C)222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x xe xf 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.[ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y xϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydyxdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则A dy dx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2B A B E =+，则B=. 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dy y <<∆（B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dyy <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt ⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x=间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数.【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-.（B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 （A ）23.x y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--=（C ）23.x y y y xe '''+-=（D ）23.x y y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）(,).xf x y dy ⎰⎰（B ）(,).f x y dy ⎰⎰（C ）(,).yf x y dx ⎰⎰（D ）(,).f x y dx ⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T CP AP =（D ）.T CPAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xeBx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin x xe dx e⎰求. 17．{}22(,)1,0Dx y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y +=++⎰⎰计算二重积分18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<== 设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim()nx n x nx x +→∞计算.19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时,20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2rA =；Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x+→（A）1- （B）ln（C1 （D）1- [ ]（2）函数1(e e)tan ()e e x x xf x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x = （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2π- （D ）2π（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ] （5）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ]（7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是（A ）()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.（B ）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.（C ）((,)0,0lim0x y →=.（D ）00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且.（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D)1223312,2,2αααααα+++. [ ]（10）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）30arctan sin limx x xx→-= __________. （12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_________.（13）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（14） 二阶常系数非齐次微分方程2432e x y y y '''-+=的通解为y =________.（15） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（16）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） (本题满分10分)设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数，且满足()100cos sin ()d d sin cos f x x t t f t t t t t t --=+⎰⎰，其中1f -是f的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线2(1,0)x ay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ； （Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. （19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1e1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求2002d d ,d d x x zz xx ==.（21） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（22） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（23） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
2001考研数二真题及解析
2001考研数二真题及解析考研的小伙伴们，一提到数二真题，那可真是让人又爱又恨啊！今天咱们就来好好唠唠 2001 年考研数二的真题。
记得我当年考研的时候，数学一直是我心里的一块大石头。
特别是数二，那难度，真不是盖的！有一次，我在图书馆做一套模拟题，做得那叫一个抓耳挠腮，旁边的同学都投来了同情的目光。
咱们说回2001 年的数二真题。
先看看选择题，有些题目看似简单，可一不留神就容易掉进陷阱。
比如说有一道关于函数连续性的选择题，表面上是常见的概念，但它在细节处做了文章，需要我们对定义理解得特别透彻。
再说说填空题，那也是暗藏玄机。
有一题是关于曲线的渐近线，这可需要我们对各种曲线的性质了如指掌，一个小疏忽，答案就错了。
大题部分更是挑战满满。
像那道求极限的题目，需要我们灵活运用各种求极限的方法，什么洛必达法则、等价无穷小替换，一个都不能少。
我当时做这道题的时候，算了好几遍，草稿纸都快写满了，才得出正确答案。
还有一道关于积分的大题，综合性特别强，不仅考查了基本的积分公式，还涉及到换元法、分部积分法。
这就要求我们在平时的复习中，要把各种方法都练得滚瓜烂熟，才能在考场上应对自如。
解析这些真题的时候，会发现每一道题都有它的出题意图和考点。
通过仔细分析，我们能找到自己的薄弱环节，然后有针对性地进行复习。
比如说，如果在某一类题型上总是出错，那就得多找一些类似的题目来加强练习。
总之，2001 年考研数二真题是一份非常宝贵的复习资料。
通过认真研究这些真题，我们能够更好地了解考试的难度和题型，为自己的考研之路打下坚实的基础。
所以，小伙伴们，别害怕真题的挑战，勇敢地去面对它，相信自己一定能在数学的战场上取得胜利！就像我当年一样，虽然过程很艰辛，但坚持下来，总会有收获的！加油吧！。
考研数二历年真题答案
考研数二历年真题答案为了帮助考研数学二科目的学生更好地备考，以下整理了近几年的考研数学二历年真题及其详细答案。
通过仔细研究和解析这些真题，考生们可以更好地了解考试内容和出题思路，从而更有针对性地复习和备考。
一、2000年考研数学二真题及答案（下面是2000年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）二、2001年考研数学二真题及答案（下面是2001年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）三、2002年考研数学二真题及答案（下面是2002年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）四、2003年考研数学二真题及答案（下面是2003年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）五、2004年考研数学二真题及答案（下面是2004年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）六、2005年考研数学二真题及答案（下面是2005年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）七、2006年考研数学二真题及答案（下面是2006年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）八、2007年考研数学二真题及答案（下面是2007年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）九、2008年考研数学二真题及答案（下面是2008年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十、2009年考研数学二真题及答案（下面是2009年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十一、2010年考研数学二真题及答案（下面是2010年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十二、2011年考研数学二真题及答案（下面是2011年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十三、2012年考研数学二真题及答案（下面是2012年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十四、2013年考研数学二真题及答案（下面是2013年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十五、2014年考研数学二真题及答案（下面是2014年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十六、2015年考研数学二真题及答案（下面是2015年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
(最新整理)2001-2002考研数学二历年真题
(完整)2001-2002考研数学二历年真题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)2001-2002考研数学二历年真题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二）试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分）1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续,则=a ( ）． 2．位于曲线x xe y -=（+∞<≤x 0)下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ )． 3．2='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）．4．1lim 1cosn n →∞++=（ ）． 5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时,相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１; (Ｂ）０．１; （Ｃ）１； (Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中,必为偶函数的是 (A)⎰xdt t f 02)(; (B) ⎰xdt t f 02)(；（C ） ⎰--x dt t f t f t 0)]()([; （D ） ⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程x e qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解,则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； （C)等于２； (D) 等于３．４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(Ｂ)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x ；（C ） 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ;(D ） 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关;(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、(本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ,求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=xdt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导,0)(>x f ,1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴,闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时,欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５:４，闸门矩形部分的高h 应为多少? 八、（本题满分８分)设30<<n x ,)3(1n n n x x x -=+（n ＝１,２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分)设0>>a b ,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时, )()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、(本题满分６分）已知Ａ,Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A , 4321,,,αααα均为四维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学（二)试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点（0,1）处 的切线方程为 ：（ ）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）．4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ )． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；(B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于( A ）1;（B ）2；(C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 ( A ）０；（B)１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1—δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小,且 )1(f =)1(f '=1，则(A ）在(1—δ，1)和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ,1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <,在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在(1-δ，1）内有)(x f x >,在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、（同数学一的二1) 三、(本题满分6分）求⎰++221)12(xx dx ．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式,并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x )处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d dsd ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在［0，+∞）可导,)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰,求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2x e －)(x f且)0(f =0,(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分)设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0。
2001考研数学二真题及答案解析
x→1
(2)【答案】 x−2y+2=0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos(xy) = e −1 两边对x求导, 其中 y 视为 x 的函数，得
e2x+y (2x + y)′ + sin(xy) ( xy)′ = 0 ，即 e2x+y ⋅ (2 + y ') + sin(xy) ⋅ ( y + xy ') =0
= f (1) f= '(1) 1, 则
()
(A)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) < x .
❤
(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) > x .
(C)在 (1− δ ,1) 内， f (x) < x .在 (1,1+ δ ) 内， f (x) > x .
又由 y(1) = 0, 解得 C = − 1 . 故曲线方程为： y arcsin x= x − 1 .
2
2
2
(5)【答案】 -2 【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
a 1 1 1
1 1 a −2
A = 1 a 1 1
1 a
1
−2
1, 3行 互换
1 a
a 1
1 1
1
1
1 1 a −2
求 f (x) .
七、(本题满分 7 分)
❤
设函数 f (x), g(x) 满足 f ′(= x) g(x), g′(= x) 2ex − f (x) ，且= f (0) 0= , g(0) 2 ，
∫ 求
2001年考研数学二试题答案与解析
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求
∫
dx
(2x2 +1)
. x2 +1
分析 这是一道常规的不定积分题，用换元法解即可。
解 设 x = tan u, dx = sec2 udu.
求
∫π 0
⎡⎢⎢⎢⎣
g (x)
1+ x
−
f( (1+
x) x)2
⎤⎥⎥⎥⎦dx.
分析 本题实质是分两部分：求 f (x) ；计算所求积分，第一部分是解微分方程；
第二部分求积分2，先利用题设条件进行运算，最后再代入 f (x) 的式子得解。
解法1 由 f ' (x) = g (x)得f '' (x) = g' (x) = 2ex − f (x),
原式 =
∫
cos
u
⋅
du
(2 tan
2
u
+
1)
=
∫
cos udu 2 sin2 u + cos2 u
=
∫
d sin u 1+ sin2 u
= arctan(sin u)+ C
= arctan⎜⎜⎝⎛⎜⎜
x 1+
x2
⎠⎞⎟⎟⎟⎟
+
C
四、（本题满分6分）
求极限
lim
t→x
⎛⎜⎜⎜⎝
sin sin
t x
⎞⎠⎟⎟⎟sin
y '' ）
3
1+ y'2 2
数学二解析2001
2001年数学（二）真题解析一、填空题（1）【答案】72T【解】方法一i . 丿3 —工—%/ ] + g lim X-*l x 2 x 一 21. %/3 — x — V 1 ~F lim —----——--------x->i (jc + 2) (jc 一1)lim --------------- ]------ ----Li (x + 2)(丿3 — 工 + 丿1 + 工)2(1 ―工)x 一 1方法二lim = lim -4-7工~* 1 x + 工一2工一1 + 111x 2 x 一 2 a /3 — x 2 丿]+ 匚（2）【答案】夕=*工+1.【解】e 2x+y — cos xy = e — 1两边对x 求导得严•+ sin xy •夕+熄) = 0,将X =0,y = 1代入得字I = — 2 ,ckr 丨 z=o则法线方程为夕一1 = *（久一0）,即夕=*広+ 1-(3)【答案】 v-O【解】方法一sin 2 x cos 2 x dx — 2 sin 2 x cos 2 x dr4 J 。
，三=2 I 2 sin 2 j; • (1 一 sin 2 jc )dz = 2(12 — I 4 )2” (z 3 + sin 2 jc )cosx dx =方法二(x 3 + sin 2 )cos 2jc dj?=2 sin 2 x cos 2 jc dj? J 0丄72 sin 2 d(2工)=*sin 2x djro2 J 0 o（4）【答案】j/arcsin x = x【解】方法一丄由 j/arcsin x H — …一 =19得（jyarcsin x Y = 19解得 j/arcsin x = x + C 9J \ — 2因为曲线经过点（j,0），所以C=-y,故所求曲线为jarcsin x =x ----.方法二jy'arcsin x ~\-------------= 1 化为 y' ~\—，… ------------y =-----\-----,71-x 2 Jl —/arcsin z arcsln 工f d~r _ f 1 丄解得夕=（［——?——e +C ）e =（工 +c ）・ ———\J arcsin x / arcsin x 因为曲线经过点（y,o ），所以C=-y,1x 2故所求曲线为—丄arcsin x因为r （A ） y^r （A ）,所以方程组无解;（5）【答案】—2.a11【解】由题意得1a 1=（a + 2） （a 一 1 ）2=0,解得 a = — 2 ,或 a = 1,11a /I 111 \I 1111 \当a =1时，才=b11100—3 ,\i11—2丿'o0 '当 a = — 2 时,A =_2111 \1-2111-2—2）因为r （A ）=r （A ）=2 V 3,所以a = —2时方程组有无数个解.二、选择题（6）【答案】（E ）.【解】y[y （z ）] = ]'9丨心）丨€1,丨心）丨＞1,而 I /（J7 ） | ^ 1 （一°°＜工 ＜+ °°）,故 /[/（J ： ）] = 1 ,从而 f）]} =1,应选（E ）.（7）【答案】（E ）.1 2【解】（1 — cos x ）ln （ 1 + z 2）〜—x 4 , x sin 工”〜x n+i , e" — 1 ~ j ?2 , 由题意得2 < n+l<4,解得n =2,应选（E ）.（8）【答案】（C ）.【解】＜‘ = C ； • 2（工一3）2+© • 2（工一1） • 2（工一 3） +C ； • 2（工一I ）?,令夕"=4 (3工 $ — 12_z + 11) = 0,得工 16+V336 — 4^3工2当工＜C X 1时当久1 •＜ X X 2时j/'＜0,当鼻 ＞ 工2时j/‘＞0,故曲线有两个拐 点，应选（C ）.（9） 【答案】（A ）.【解】 由拉格朗日中值定理得/（工）一/（1）= /'（£）（工一1）,其中e 介于1与工之间，当工 6 （1-^,1）时 HVWV 1,再由 f'（x ）单调递减得 ＞ /（I ） =1,于是 y z （$）（— 1）＜工一1,即 y （x ）•— 1＜久一1,或 f （兀）＜工；当工e （1,1十厂 时1 vw ＜工，再由单调递减得1 =y'（i ）＞/"（£）,于是 — 1） ＜工一1,即/•（#） — 1 V# — 1,或/（工）＜工，应选（A ）.（10） 【答案】（D ）.【解】 从题设图形可见,在夕轴的左侧，曲线夕=/■&）是严格单调增加的，因此当工＜0时，一定有于'（工）〉0,对应夕=于'（工）的图形必在工轴的上方，由此可排除（A ）,（C ）； 又的图形在y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理可知，其导函数y=f\x ）的图形在y 轴右侧一定有两个零点，进一步可排除（E ）.应选（D ）.三、解答题（11）【解】djr(2jc 12 + 1)丿兴 + ]1(]___\ 2 3_(1 + j//2 ) 2 ' 4工丿 (4jc + 1) 2Z )= 肿一 I = ~~2'sec 21(2tan 2i + 1 )sec tdtr cos tJ 2sinS + cosL弓豐將=arctan(sin/)+C=arctan .- + C.Jx 2 + 1(12) 【解】f(x ) =Sin "B ，nr = lim [(1 + $1叮一 sm ”)t-~x 'sin x / L 、 sin x /fCx)的间断点为工=kit (k e z),由lim/(j?) = e 得工=0为/(j ：)的可去间断点；•z —*0由f (n — Q) — + °°,/(7r + 0) = 0得工=7T 为第二类间断点,同理工=kn(k 6 Z 且怡H0)为第二类间断点.(13) 【解】“=士，『=—— ，2 V j c 4工』工4«zdp _ dp / dj? ds ds / dr131••4( 4 工 +1)2--------------- ---------=6 J~x , 丿4无+ ]2 J~x6d 2 p d ( 6 \/~t ) /dj?2 \[x 6& $ ds/dx g + 1+ 12则^兽-伴）(4h +l)72一;… 一 — 36 无=9.J 4 无 + ]（14）【解】gCt)dt x 2e 两边求导，得g[_f (j? )]/，(jc ) = (jc 2 +2工)『9 即) = (e + 2)e° 9积分得 /(^) = (h +1)『+ C9由 /(O) = 0 得 C = — 1,故/'(z ) = («z + 1)『一1.(15)【解】 由 g"Q ) = 2e J 一厂(2 )得 g 〃(H ) + g(z ) = 2e J ,解得 g (工)=C] cos x + C 2 sin x + e r ・ 由 g (0)=2 得 Ci = 1 ；由 g'(0) = 2 — /(0) = 2 得 C 2 = 19从而 g (jc ) = cos x + sin jr + e * 9 于是 fCx)= sin jc — cos 无 + e° ,rg(H )1 + zg (工)/(j ?)_1+乂 (1 + )2dj ： +/(j ： )d土）J 0g&) 1, fCx )i+7d " +TT7lo _Jg (#)1 +Ax_/（7T ）_e n + 1= i + tt = 7t + r（16）r 解】（i ）丨 op |=好 +$2,切线方程为Y —y =j/（X —乂），令X = 0,则切线在y 轴上的截距为Y = y — xy',由题意得y — xy' = Jx 2 + j^2，整理得字=2 — /1 + (―),dr jc \ \戈丿令u =—,则"+ z 学 =u — \/1 + z/2，变量分离得 d ----=——工 山 丿1 + / 工______ ______ 「积分得 ln(“ + \/m 2 + 1 ) = In C — In x ,即"+ a /m 2 + 1 = 一，x 再由 -“ + vV +1 =咅得“=*岸-咅)，或$=*9 -青)，因为曲线经过点（*,0），所以C=y,故所求曲线为夕=土一工2.(H)曲线汁* —在第一象限与两坐标轴所围成的面积为设切点为P1X 22) 9切线为y —=一 2a (jc 一 a ) 9令夕=0得z =二 + #；令工=0得，=++/oa z 4切线与L 及两个坐标轴围成的位于第一象限的面积为4a112 5Sa • 4a令s'++斜4a 2T + fl24a 24)=°得「古所求的切线方程为丿—(土―召)，整理得(17)［解】 设/时刻雪堆的半径为r(Z ),r(0) =r 0,v 2 3 Q 9 2 dV 2 "V = —nr ， o = Z7tr 9 -7— = Z7ir • —3 dt dtdV" d 厂由题意得不=TS,整理得不=T,解得")=f+c°,由厂(0)=厂 ° 得 C =r Q= —kt +r 09再由 r (3) = #•得怡=¥•，故 r ⑺=----t + r 0 ,Z令r (?) =0得t =6,故雪堆全部融化需要6小时.(18) ( I )【解】/(^)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式为/(J?) = /(0) + /''(0)工 + I ；£)乂2= /，(0)jf + ［『力2，其中£介于0与工之间.(II )【证明】/(j ： ) =/，(0)j' +食,)工2两边在［—a ,a ］上积分得［/(jc)dj- = _1_［ /7,($)2d:r ,J —au J —a因为f'\x )在［—a ,a ］上连续，所以f'\x )在［—a ,a ］上取到最小值m 和最大值M,由W */"(£)広2 C yMjr 2 得扌a 3 C yj 厂(£)工'dr < y-a 3 ,m ra m 3 f a即百^3 W /(工)clr W —a 3 9或 Tzz — /(j : )djc M ,3 J —a 3 a J —a由介值定理，存在少E [—a,a],使得/'"（可）=弓[/'（工）山，a J —a故 a "/■"(”)=3〕/ ( jc ) d j ?.(19)【解】 由 AXA +BXB =AXB + BXA + E 得(A -B)XCA -B) =E,解得 X = [(A -B)2]"1 ,/I — 1 — 1而A - B = 0 1 一 1'o 0 1/!-1一1\J 1(AB)2=01-11 0'001丿'0I 1_ 2-110°\I 1由01-2010 -* 0'0100J'0-1-1I 1-2一1\1-1=01-201/'o 01 100125\10012|得0100/]25\X =-012 •、00J（20）【解】0] ,p 2，“3，04为AX =0的基础解系的充分必要条件是01 ,庆，/h ，力线性无关,1t0100t '而(01 902 9 03，04)=(。
考研数学二历年真题(2000-2021)
2000年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1．2．3.4.5.二、选择题6.7.8.10.三、解答题11.12.13.14.15.17.18.19.20.21.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1、213lim21-++--→x x xx x =（）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e yx 在点（0，1）处的切线方程为：（）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（）．4、微分方程11arcsin 2=-+'xy x y 满足(21y =0的特解为：（）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（A ）0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ；（D ）1110>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为（A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f '严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <；（B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >；（D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <．5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示：则)(x f y '=的图形为()三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim(sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ．若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ，)(x g '=2xe －)(x f 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π02)1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、求L 的方程2、求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r 0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adxx f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系，144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （）．2．位于曲线xxey -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（）．4．1limn n →∞+=（）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是(A)⎰x dt t f 02)(；(B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--xdt t f t f t 0)]()([；(D)⎰-+x dt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim20x y x x +→(A)不存在；（Ｂ）等于１；(C)等于２；(D)等于３．４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C)当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D)当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B)21321,,,ββααα+k 线性相关；（Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关；(D)21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x x x x f y x xe xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h 应为多少？八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ，4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设α为3维列向量，T α是α的转置.若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα，则ααT =.（6）设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立.(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[]（2）设dx x x a n n nn n +=⎰+-123101,则极限n n na ∞→lim 等于(A)1)1(23++e .(B)1)1(231-+-e .(C)1)1(231++-e .(D)1)1(23-+e .[]（3）已知x x y ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则(yxϕ的表达式为（A ）.22xy -(B).22x y (C).22yx -(D).22yx []（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有一、一个极小值点和两个极大值点.二、两个极小值点和一个极大值点.三、两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]（5）01x dx x02tan ,则(A).121>>I I (B).121I I >>(C).112>>I I (D).112I I >>[]（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关.(C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关.[]三、（本题满分10分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax 问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(A)求曲线y=f(x)的方程；(B)已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式；(2)求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰；(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ，:2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a 2004年考硕数学（二）真题一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x =.（2）设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定,则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定,则3z zx y∂∂+=∂∂______.（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,矩阵B 满足2ABA BA E **=+,其中A *为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =______-.二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ（B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ（D ）,,.βγα[]（8）设()(1)f x x x =-,则（A ）0x =是()f x 的极值点,但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.（B ）0x =不是()f x 的极值点,但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（C ）0x =是()f x 的极值点,且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点,(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim n →∞等于（A ）221ln xdx ⎰.（B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰.（D ）221ln (1)x dx +⎰[]（10）设函数()f x 连续,且(0)0f '>,则存在0δ>,使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加.（B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小.（C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++.（B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++.（C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x*=+++[]（12）设函数()f u 连续,区域{}22(,)2D x y x y y =+≤,则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 200(sin cos )d f r rdrπθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（D ）011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵,则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.（C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义,在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-,若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+,其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时,()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体,其体积为()V t ,侧面积为()S t ,在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<,证明2224ln ln ()b a b a e->-.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy=.（2）曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx.（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=.（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(D)F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数.（B ）F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+.(B)32ln 81+-.(C)32ln 8+-.(D)32ln 8+.[]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A)πab .(B)π2ab .(C)π)(b a +.(D)π2ba +.[]（11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂.（B ）2222y ux u ∂∂=∂∂.(C)222yuy x u ∂∂=∂∂∂.(D)222xuy x u ∂∂=∂∂∂.[]（12）设函数,11)(1-=-x x ex f 则五、x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B ）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ.(B)02≠λ.(C)01=λ.(D)02=λ.[]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则[]15.交换*A 的第1列与第2列得*B .(B)交换*A 的第1行与第2行得*B .(C)交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D)交换*A 的第1行与第2行得*B -.三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x （16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象.过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x （18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I ）存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y)的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.（3）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是（5）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则0d d x y x==（6）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则[](A)0d y y <<∆.(B)0d y y <∆<.(C)d 0y y ∆<<.(D)d 0y y <∆<.（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数.[]（9）设函数()g x 可微，1()()e,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-.（B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-[]（10）函数212e ee xxx y C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）23e .xy y y x '''--=（B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=[]（11）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y .（B ）00(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x .(D)(,)d y f x y x .[]（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[](A)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=.(B)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠.(C)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（13）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是[]16.若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.17.若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.(C)若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D)若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=.（Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =.（Ｄ）TC PAP =.［］三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()xBx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求arcsin e d e x xx ⎰.（17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== （Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与等价的无穷小量是（A）1-（B）（C）1-（D）1-[]（2）函数1(e e)tan ()e e x x xf x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x =[]（A ）0（B ）1（C ）2π-（D ）2π（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F =（D ）5(3)(2)4F F =--[]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f =（B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[]（5）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.[]（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A)若12u u >，则{}n u 必收敛.(B)若12u u >，则{}n u 必发散(C)若12u u <，则{}n u 必收敛.(D)若12u u <，则{}n u 必发散.[]（7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[]（A ）()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=.（B ）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.（C ）((,)0,0lim0x y →=.（D ）00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且.（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y xππ+⎰⎰（D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y xππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---.(D)1223312,2,2αααααα+++.[]（10）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B (A)合同且相似（B ）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）30arctan sin limx x xx →-=__________.（12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_________.（13）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（14）二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（15）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z z x y x y ∂∂-=∂∂__________.（16）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数，且满足()100cos sin ()d d sin cos f x x t t f t t t t t t --=+⎰⎰，其中1f -是f 的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分）设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1e1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求2002d d ,d d x x z z x x ==.（21）(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（22）(本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（23）(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（24）(本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（II ）求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（）()A 0()B 1.()C 2()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A ''''''440y y y y +--=()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛.()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F u ∂=∂()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .（12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______.（13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（）()A 1.()B 2.()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点.()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点.()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,y xydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰.()B ()241,xx dx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点.()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点.()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：1()f x -2023x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()f x 023x1-2-11()B .()f x 023x1-2-11()C .()f x 023x1-11()D .()f x 023x1-2-11（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。