2012函数与导数(较难)含答案)

函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析【考情分析】

【常见题型及解法】

1. 常见题型

2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

【基本练习题讲练】

【例1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发

现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚

乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ） 【答案】 B

【解析】在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．【点评】函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，

在复习时应引起重视．

【例2】（山东高考题）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若

方程

()(0

f x m m =>在区间

[8,8

-上有四个不同的根

123,,,x x x x

，则

1234

_________.x x x x +++=

A B C D

【例3】若1x 是方程lg 3x x

+=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ）

A ．

2

3错误！未指定书签。 B ．

3

2

C ．3

D ．

31

【例4】若函数

()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．

【例

5】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1

()3

f 的x 取值范围是（ ）

（A ）（

1，2） (B) ［1，2） (C)（1，2） (D) ［1，2）

【例6】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，

如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积

购地总费用

）

【典型题剖析及训练】 【例2】已知函数

2()ln f x a x bx =-图象上一点()()2,2P f 处的切线方程为

32ln22y x =-++。

（1）求a b 、的值

【例3】设函数

()ln f

x x =，()a

g x x

=

，()()()F x f x g x =+。 （1）求函数()F x 的单调区间； （2）若函数

()(03)y F x x =<≤图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率

1

2

k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）若方程

()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解，求实数m 的取值范围；

（

4）是否存在实数t ，使得函数2

(1)y f x =+的图象与函数2211a y g t x ??

=+- ?+??

的图象恰好有4

个不同的交点？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，说明理由。

【例4】（2009 全国I ）设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[10],[1,2].x x ∈-∈，

（I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； (II) 证明：()21

10

f x -≤≤-

【例5】已知函数()ln a

f x x x

=+

， ()g x x =， ()(1)()x F x f e g x =+- （x R ?） （1）若函数()f x 的图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率都不大于1

2

，求实数a 的取值范围。

（2）当0a =时，若12x x R ?、且12x x 1，证明：[]12121

()()22

x x F F x F x +??<+ ???

（3）当0a =时，若关于x 的方程2

1[()()]

m f x g x x +=

（0m >）有唯一实数解，求m 的值。

【例6】（2011 湖南 文 22）设函数1

()ln ().f x x a x a R x

=-

-∈ (I)讨论()f x 的单调性；

（II ）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在

【例7】（2011辽宁）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．

（I ）讨论)(x f 的单调性；

（II ）设0>a ，证明：当1

0x a <<时，11f

x f x a a ????+>- ? ?????

； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．

【例8】（2011 江苏 19）已知a ，b 是实数，函数

32(),(),f x x ax g x x bx =+=+ )(x f ' 和)(x g ' 是

()()f x g x 、的导函数，

若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致. （1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （2）设,0

且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求a b

-的最大值.

【说明】本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等

式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.(1)中档题；（2）难题.

【例9】（2009 湖北）已知关于x 的函数f(x)＝

33

1

x ＋bx 2＋cx ＋bc,其导函数为f +(x)。.令g(x)＝()

f x ',记函数g(x)

在区间[-1、1]上的最大值为M.

(Ⅰ)如果函数f(x)在x ＝1处有极值-

3

4

，试确定b 、c 的值： （Ⅱ）若∣b ∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M ≧K 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值。

【例10】（2010 湖北）已知函数()(0)b

f x ax c a x

=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-

（1）用a 表示出b 、c 。 （2）若

()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围。

（3）证明：1111ln(1)(1)232(1)

n n n n n +

+++>++≥+

【例11】（2011 湖南 理）已知函数f （x ） =3

x ，g （x ）=x （1）求函数()()()h x f x g x =

-的零点个数，并说明理由；

（2）设数列*{}

()n a n N ∈ 满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数

M ，使得

对于任意的*

n N ∈，都有n

a M ≤.

【专题演练】 1．函数2

2log 2x

y x

-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在 ()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ） A ．21y x =+ B ． ||1y x =+

C ． 321,01,0

x x y x x +≥?=?+

=?

3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )

A ．(25)(11)(80)f f f -<<

B ． (80)(11)(25)f f f <<-

C ． (11)(80)(25)f f f <<-

D ． (25)(80)(11)f f f -<<

4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ?

??>---≤-0),2()1(0

),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．

5． 已知函数()f x 在R 上满足2

()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程

是 ． 6．已知函数3

21(),3

f x x ax bx =

++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN