期末数学试卷

高一数学期末练习题（１０）一、选择题1.若直线经过(0,1),4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒2.在200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30︒和60︒,则塔高是( )A.400m 3 B. C.m 3 D.200m 33.在ABC △中, a =b =30A ∠=︒,则c 等于( )A. B. C. D.以上都不对 4.数据123,,,,n x x x x ⋯平均数为5x =，方差22S =，则数据12331,31,31,,31n x x x x ⋯++++的平均数和方差分别为( )A ．5,2B ．16,2C ．16,18D ．16,9 5.已知向量(1,2)a =,(1,0)b =,()3,4c =.若λ为实数, ()//a b c λ+,则λ= ( ) A.14 B. 12C.1D. 2 6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =( ) A.7 B.8 C.15 D.167.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位),这个问题中,甲所得为( )A.53钱B.32钱C.43钱D.54钱 8.已知{}n a 是公比为12的等比数列,且18a =,若从该数列的前5项中任取2项,则其中恰好有1项是整数的概率为 ( ) A. 310 B. 710 C. 25 D.45 9.n S 是等差数列{}n a 前n 项和,2018201620172018,,S S S S <<则0n S <时n 的最大值是( ) A.2017 B.2018 C.4034 D.403510.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2222sin bc A b c a =+-，ABC △的，则a 的值为（ ）A. 1B.2 D.11.已知点(),?a b 在直线()cos sin 2x y R θθθ-=∈上,则22ab +的最小值为( )A. 4B. 2C.８D.12.已知{}n a 前n 项和为12n n S m +=+,且145,,2a a a -成等差数列, 1(1)(1)n n n n a b a a +=--,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11二、填空题13.—个社会调查机构就某地居民的月收入(单位:元)随机调查了1万人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的月收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这1万人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)这一月收人段应抽出______________人.14.设0,0a b >>,3a 与3b 的等比中项,则11a b+的最小值为__________; 15.已知光线经过点()3,4M -,被直线:30l x y -+=反射,反射光线经过点()2,6N ,则反射光线所在直线的方程为__________.16 已知,,,且,则的最小值是三、解答题 17.已知向量(),()3,11,2R ,(.)a b m a kb k =-=-=+∈1.若向量m 与2a b -垂直，求实数k 的值；2.若向量1)1(,c =-，且m 与向量kb c +平行，求实数k 的值.18.某书店销售刚刚上市的某高二数学单元测试卷,按事先拟定的价格进行5天试销,每种单价试销1天,得到如下数据:;附:1122211()(),()n ni i i ii i n n ii i i x x y y x y nxy b a y bx x x x nx ====---===---∑∑∑∑.（2）预计以后的销售中,销量与单价服从上题中的回归直线方程,已知每册单元测试卷的成本是10元,为了获得最大利润,该单元测试卷的单价应定为多少元?19.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos a A= 1.求角A 的大小；2.若2a =，求的面积S 的最大值．20.己知{}n a 是递增的等比数列，23414,3a a a a +==．1.求数列{}n a 的通项公式；2.令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21.设直线l 的方程为12(0R )()a x y a a +++-=∈．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.22.已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项1.求数列{}n a 的通项公式2.设()()13n n b n N n a *=∈+,12n n S b b b =+++是否存在最大的整数t ,使得对任意的n 均有36n t S >总成立?若存在,求出t ;若不存在,请说明理由参考答案一、选择题1.答案：C解析：∵直线经过(0,1),4)A B =两点∴直线的斜率k ===即tan k θ==∴60θ=︒，即直线AB 的倾斜角为60︒故选：C ．2.答案：A解析：如下图,设AB 为山高, D 、C 分别为建筑物顶端与建筑物低端.在ABC △中,由正弦定理,得200sin 90sin 603AC ︒==︒米. 在ACD △中,由正弦定理,得sin 30400sin1203AC CD ︒==︒米. 故该建筑物高为4003米.3.答案：C解析：4.答案：C解析：∵123,,,,n x x x x ⋯的平均数为5， ∴123,,,,5n x x x x n⋯=， ∴1233,3135131,63n x x x x n ⋯+=⨯++=++， ∵123,,,,n x x x x ⋯的方差为2，∴12331,31,31,,31n x x x x ⋯++++的方差是23218⨯=.故选C.解析：由题意知()1,2a b λλ+=+,由()//a b c λ+得()14320λ+⨯-⨯=, 所以12λ=. 故选B.6.答案：C解析：7.答案：C解析：甲、乙、丙、丁、戊五人依次设为等差数列的12345,,,,a a a a a ,1234552a a a a a +=++=,即115225392a d a d +=⎧⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩,解得:14316a d ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩,甲所得为43钱,故选C. 8.答案：C 解析：由条件可得41()2n n a -=,则前5项中的整数项有1234,,,a a a a ,从这5项中任取2项,不同的取法有121314152324(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a a a a a a 253435,(,),(,),(,)a a a a a a 45,(,)a a ,共10种不同情况,其中恰好有1项为整数的情况有4种,故所求概率为42105P ==,故选C. 9.答案：A解析：10.答案：B解析：11.答案：A解析：22a b +表示直线上的点(),?a b 与原点之间距离的平方,故22a b +的最小值为原点到直线cos sin 2x θθ-=的距离的平方,由点到直线的距离公式求解即可.12.答案：C解析：二、填空题13.答案：25解析：由频率分布直方图知,月收入在[2500,3000)内的频率为0.00055000.25⨯=,所以应抽出的人数为1000.2525⨯=.解析：15.答案：660x y --=解析：设点()3,4M -关于直线:30l x y -+=的对称点为()',M a b ,则()4113343022b a a b -⎧⨯=-⎪--⎪⎨-++⎪-+=⎪⎩,解得1{0a b ==. 又反射光线经过点()2,6N ,所以所求直线方程为016021y x --=--, 即660x y --=. 答案：解析： 解:因为,,,且, 代入计算可得为 三、解答题17.答案：1. 因为(3122)4)7(m a kb k k a b =+=-+--=-，，，，又m 与2a b -垂直，所以(3)(7)(12)420b k k m a ⋅-+⋅-+--⋅==， 解得53k =. 2. 因为()112)3(21kb c k k m k k +=+--=-+-，，，， 又m 与向量kb c +平行，所以()321112 ()()()0k k k k -+⋅---+⋅-=， 解得13k =-. 解析：18.答案：(1)1819202122205x ++++== 6156504845205y ++++== 2222221(94247)33.25y s =++++=55211()()40,()10i i ii i x x y y x x ==--=--=∑∑51521()()4()i ii ii x x y y b x x ==--==--∑∑ 52204132a y bx =-=+⨯=y 关于x 的回归直线方程为4132y x =-+. (2)获得的利润()()()10104132z x y x x =-=--+,即241721320z x x =-+-, 二次函数241721320z x x =-+-的图象开口向下,∴当17221.58x ==时,z 取最大值 ∴当单价定为21.5元时,可获得最大利润. 解析：19.答案：1.已知cos cos b a B A-+=， 正弦定理化简可得：sin sin cos cos B C A B A -+=， cossin cos sin cos sin C A A B B A C =+=0πC <<∵，sin 0C ≠，1A =．即cos A =． π4A =∴．2.π2,4a A ==∵． 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：224b c +=+．2A bc≥∴，当且仅当b c =时取等号．解得：2(2bc ≤那么三角形面积11sin 2(2122S bc A =≤⨯+=． 解析：20.答案：1.解法1：设等比数列}{n a 的公比为q ，因为234a a +=，143a a =，所以2113114,3.a q a q a a q ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 解得19,1,3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或11,33.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 因为}{n a 是递增的等比数列， 所以113a =，3q =． 所以数列}{n a 的通项公式为23n n a -=．解法2：设等比数列}{n a 的公比为q ，因为234a a +=，14233a a a a ==，所以2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根．解得231,3,a a =⎧⎨=⎩或233,1.a a =⎧⎨=⎩ 因为}{n a 是递增的等比数列，所以21a =，33a =，则3q =．所以数列}{n a 的通项公式为23n n a -=．2.由1知23n n b n -=⨯．则10121323333n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯， ①在①式两边同时乘以3得，012131323333n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯， ② ①-②得10121233333n n n S n ----=++++-⨯，即()111332313n n n S n ---=-⨯-， 所以()111213412n n S n -=-⨯+． 解析：21.答案：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴2a =，方程即为 30x y +=.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴221a a a -=-+，即11a +=， ∴0a =，方程即为20x y ++=.综上，l 的方程为30x y +=或20x y ++=.(2)将l 的方程化为1()2y a x a =-++-，∴1020a a -+>⎧⎨-≤⎩或1020a a -+=⎧⎨-≤⎩∴1a ≤-.综上可知，a 的取值范围是1a ≤-.解析：22.答案：1. 由题意得()()()2111134a d a d a d ++=+,整理得212a d d =. ∵11a =,解得(0d =舍), 2d =()21n a n n N*∴=-∈ 2. 11111(3)2(1)21n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭ 12111111122231n n S b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 假设存在整数t 满足36n t S >总成立.又+11102(2)2(1)2(2)(1)n n n n S S n n n n +-=-=>++++, ∴数列{}n S 是单调递增的11 114S ∴=为n S 的最小值,故1364t <,即9t < 又∵*,t N ∈∴适合条件的t 的最大值为8。