八年级数学上册 14.1.0《一次函数与二元一次方程》课堂教学实录 新人教版
八年级数学上学期期末复习《一次函数》课堂教学实录 新人教版
一次函数课堂实录师：同学们，今天我们共同复习一次函数。
师：首先，我们来看看同学们的课前延伸完成得怎么样。
生：第一题选A。
师：为什么？生：因为正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0）,只有A符合。
师：那其它几个函数是什么函数？生：一次函数。
师：一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），当一次函数中的b=0时，就是正比例函数。
师：请大家回答问题时简要说明理由，下面请同学说一下第二题的答案。
生：y=3x，y=2x+1师：这种求函数解析式的方法叫什么方法？生齐答：待定系数法。
师：请哪位同学说说第三题。
生：第三题选C，因为k=-5﹤0，图像经过二、四象限，直线与y轴交于（0,3），即直线与y轴交于正半轴。
所以图像经过一、二、四象限。
师：完全正确。
下面请同学们回忆一下如何根据一次函数的解析式判断其图像经过的象限。
同学们自行以小组讨论的形式回忆老师提出的问题。
生：一般得，当k＞0时，图像经过一、三象限；当k＜0时，图像经过二、四象限。
当b＞0时，图像与y轴交与正半轴；当b＜0时，图像与y轴交与负半轴。
师：把你说的两方面相结合，就可以知道图像经过的象限。
第四题呢？生：选C。
因为两条直线平行，所以k值相等。
所以可设y=-x+b，然后把（8，2）代入解析式得b=10。
师：是。
当两条直线平行时，k值相等；反过来，k值相等，两直线也平行。
到了第五道题。
生：（-3，0）（0，-6），9师：如何求直线与两坐标轴的交点？生：直线与x轴的交点坐标，令解析式中的y=0,求出对应的x的值。
直线与y 轴的交点坐标，令解析式中 的x =0,求出对应y 的值。
师：概括的很好。
第六题选哪个？生：选B 。
因为k=1＞0，y 随x 的增大而增大。
师：对。
当k ＞0，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，y 随x 的增大而减小。
一次函数的增减性取决于k 的正负性，与b 的取值没有关系。
师：再看最后的应用性问题，前3分钟的费用2.4元，后面（t-3）分钟的费用是（t-3）×1元，总共的费用y=2.4+（t-3）×1，即y=t-0.6。
八年级数学上册《一次函数》课堂教学实录 新人教版
一次函数课堂实录（新授课）【复习导入】师：同学们，我们在前面学习过正比例函数，它的解析式具有怎样的特点呢？它的一般形式是怎样的呢？（众多学生举手，争相回答）生：正比例函数的解析式是常数与自变量的乘积的形式且自变量的指数为1，它的一般形式是：y =kx （k 是常数且k ≠0•）师：很好.请大家指出下列函数是否是正比例函数？比例系数是多少？(多媒体展示)（1）y =3x (2)y =x 2 (3)y =2x （4）S = πr 2 （众多学生举手，争相回答） 生：（1）是 比例系数是3 （2）不是 （3）是 比例系数是21 （4）不是 师：他的回答正确吗？众生：正确师：大家学得都不错哦，继续加油！〖点评〗巩固学生对正比例函数的理解，为进一步研究一次函数作好铺垫.【探索新知】师：下面请同学们观察屏幕上的问题并思考（多媒体展示）某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km 气温下降6 ℃，登山队员由大本营向上登高x km 时，他们所在位置的气温是y ℃，试用解析式表示y 与x 的关系.师：我们请一位同学分析一下并在黑板上写出解析式，其余同学都是评委（众多学生举手，大家争先恐后）生：y 随x 的变化规律是：从大本营向上当海拔增加x 千米时，气温从5 ℃减少6x ℃.因此y 与x 的函数关系为:y =5－6x .( 并在黑板上写出解析式: y =5－6x )师：同学们对他的回答满意吗？众生：满意师：你真棒！那当登山队员由大本营向上登高0.5 km 时，他们所在位置的气温是多少呢？（同学们争相举手）生：当登山队员由大本营向上登高0.5 km 时，他们所在位置的气温是2℃.师：y =5－6x 这个函数可以写成 y =－6x +5吗？众生：可以师：很好.那么这个函数解析式与正比例函数的解析式相比有什么不同呢？它有什么特点脚呢？大家能否再次通过探究下面的问题找到正确答案呢？〖点评〗通过创设问题情境，引起学生的认知冲突.师：(多媒体展示)(1)有人发现,在20~50 ℃时蟋蟀每分鸣叫的次数c 与温度t (单位： ℃)有关，即c 的值约是t 的7倍与35的差；(2)一种计算成年人标准体重G (单位：千克)的方法是，以厘米为单位量出身高值h ，再减去常数105，所得差是G 的值；(3)某城市的市内电话的月收费额y (单位：元)包括：月租费22元，拔打电话x 分的计时费(按0.1元/分收取)；(4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm,宽不变，长方形的面积y(单位：平方厘米)随x的值而变化.师：大家在独立思考的基础上，也可以互相讨论，给出上面问题中的解析式.（大约两分钟后）师：我们请一位同学展示一下问题中的解析式，其他同学还是做好评委.（同学们争相举手）生：上面问题中的函数解析式分别为：(1)C=7t-35； (2)G=h-105；(3)y=0.1x+22； (4)y=-5x+50 （投影展示）师：同学们说正确吗？众生：正确（掌声一片）师：你真牛！那么大家能不能类比正比例函数形式的特点，用数学语言说出这类函数形式的特点呢？（很多学生跃跃欲试）生：多了一个常数，多了一个常数.生：上面这些函数的形式都是自变量乘以一个常数再加上一个常数.师：他们说得有道理吗？众生：有.师：有没有哪位同学能用含有字母常数的式子描述一下这些函数的特点呢？比如把自变量的系数用字母常数表示（沉默片刻）.生：上面这些函数的形式都是自变量的k（常数）倍与一个常数的和.（掌声一片）师：不错哦！现在请大家把我们刚得到的四个函数解析式和第一个问题的函数解析式与正比例函数的一般形式比较一下，能不能用含有字母常数的式子表示这类函数呢？（大家很兴奋）众生：能师：哪位同学能到黑板上写出来？（同学们争相举手）生：（板演）y=kx+b师：他写得正确吗？有没有要补充说明的？（沉默片刻）生：式子是对的，但要说明k、b是常数且k≠0.•师：你回答得太好了！一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0•）的函数，叫做一次函数。
八年级数学上册《一次函数与二元一次方程组的关系》优秀教学案例
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性，树立学好数学的信心。
2.培养学生严谨、认真、踏实的科学态度，养成勤奋好学的良好习惯。
3.通过解决实际问题，让学生体会数学在生活中的广泛应用，认识数学的价值，增强学生的数学应用意识。
4.培养学生勇于面对困难、敢于挑战的精神，以及在团队合作中互帮互助、共同进步的品质。
八年级数学上册《一次函数与二元一次方程组的关系》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，八年级的学生已经具备了一定的代数基础，能够理解并运用一元一次方程。在此基础上，《一次函数与二元一次方程组的关系》章节的教学，旨在帮助学生将一元一次方程的概念拓展到二元一次方程组，并探索它们与一次函数之间的内在联系。本教学案例以八年级数学上册教材为依据，通过生活实例引入，激发学生兴趣，运用探究式教学法，引导学生从实际问题中发现数学模型，理解并掌握一次函数与二元一次方程组的关系，培养学生解决实际问题的能力。在教学过程中，注重学生主体地位，关注学生思维发展，提升学生的数学素养。
同时，强调学生在解决实际问题时，要善于运用数学知识，将实际问题转化为数学模型，从而更好地解决问题。
（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置以下作业：
1.请学生回顾本节课所学内容，总结一次函数与二元一次方程组的关系，并用自己的话进行解释。
2.设计一道实际问题，要求运用一次函数与二元一次方程组的知识解决，并在下节课分享解题过程和答案。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的图像特点及其与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数求解二元一次方程组的方法。
2.能够根据实际问题抽象出一次函数模型，并利用该模型解决生活中的实际问题。
八年级数学上册 14.1.0《一次函数与二元一次方程》课堂教学实录 新人教版
八年级数学上册 14.1.0《一次函数与二元一次方程》课堂教学实录新人教版课堂实录【情境导入】师：生活中我们时常遇到“收费”问题，请看大屏幕．（多媒体播放上网收费生活实例）师：请思考，你能解决这个问题吗？（生思考后举手）生：我们可抓住题中“两种收费方式计算都是一样多”为等量关系，设上网时间为x分钟，构造方程解决本题．师：思路很好，谢谢！请坐！老师请再一位同学讲得更具体一些．（一生举手，发表不同意见）生：我们设上网时间为x分钟，则方式A计费为：0.1x方式B计费为：0.05x+20“两者相等”可列方程：0.1x=0.05x+20解方程即可（师板演过程）师：请坐！（师生鼓掌激励）师：接下来请同学们一起解完，注意应用题的基本步骤，别忘了“答”！（全体静心演算…）（一生突然举手）生：老师，还可以用方程组解决本题！（生议论纷纷）师：请详细说明！生：设上网时间为x分钟，月上网费用为y元．则A方式：y=0.1x B方式：y=0.05x+20y=0.1x可列方程组解方程组易得y=0.05x+20师：对吗？同学们！生：（齐声回答）完全正确！（鼓掌）师：请大家观察y=0.1x，y=0.05x+20有何发现？（生交流）生：y=0.1x y=0.05x+20均为一次函数生：老师，我觉得就是两个二元一次方程而已，好像与函数没什么关系！（生叽叽喳喳争论）师：同学们！那么一次函数与二元一次方程组之间有没关系呢？如果有关系到底有什么样的联系呢？让我们一起研究！（揭示课题：一次函数与二元一次方程组）〖评析〗建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣．因此，用“上网收费”这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来．【探索新知】师：首先，让我们一起来探究一次函数与二元一次方程的关系．（板书填空题，生思考完成后举手．）生：y=5853+-x 生：一定是师：请说明理由．生：3x +5y =8化为y=5853+-x 仅是做了一个恒等变形，所以（x,y ）如果满足y=5853+-x ，也一定满足3x +5y =8．师：你真棒！请坐，请思考第2题．生：可以转化．因为在整个化简过程中，仅是利用等式的性质，所以任意二元一次方程都可以化为一次函数．生：（补充）化简过程中等式两边同乘以或除以了一个不为零的数而已，所以任意二元一次方程都可以化．师：两位同学的表述结合起来，答案完美无缺!（师竖起大拇指，生鼓掌）．师：那么，这一问题与解方程组⎩⎨⎧=-=+12853y x y x 是同一问题吗？生：是，因为…师：能说明理由吗？（生迟疑）师：没思考好吗？请坐！生：理由和（1）相同．师：你回答得太绝了！（生掌声鼓励）师：那么，二元一次方程和一次函数到底有什么关系呢？（生小声交流）生：任何一个二元一次方程均可化为一次函数．生：它们都有两个变量。
人教版数学八年级上册14.1.0《一次函数与二元一次方程组》教学设计
人教版数学八年级上册14.1.0《一次函数与二元一次方程组》教学设计一. 教材分析《一次函数与二元一次方程组》是人教版数学八年级上册第14章的一部分。
本节内容主要介绍了一次函数的定义、性质以及如何与二元一次方程组建立联系。
通过本节课的学习，学生能够理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质，并能够运用一次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了代数基础知识，对解一元一次方程有一定的掌握。
但是，对于一次函数的概念和性质，以及如何将一次函数与二元一次方程组联系起来，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解并掌握新知识。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义和性质；2.学会如何将一次函数与二元一次方程组建立联系；3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质；2.一次函数与二元一次方程组的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考；通过案例分析，让学生理解一次函数与二元一次方程组的联系；通过小组合作学习，促进学生之间的交流和合作。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题；2.准备教学PPT和板书材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决实际问题。
例如，假设某商品的原价为80元，商家进行了一次打八折的促销活动，问促销后的价格是多少？2.呈现（15分钟）通过PPT展示一次函数的定义和性质，以及如何将一次函数与二元一次方程组建立联系。
引导学生理解一次函数的概念，并掌握一次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过解决实际问题，运用一次函数的知识。
例如，某商品的原价为80元，商家进行了一次打八折的促销活动，问促销后的价格是多少？让学生独立解决此类问题。
4.巩固（10分钟）通过PPT展示一些典型的例题，让学生进一步巩固一次函数的知识。
同时，引导学生思考如何将一次函数与二元一次方程组建立联系。
八年级数学上册《一次函数的图像》课堂教学实录 新人教版
一次函数的图象课堂实录【情境导入】复习引入师：上节课我们共学几种函数?它们的形式是什么？生：正比例函数形如y=kx(k≠0)的函数．生：（补充）还有一次函数，形如y=kx+b(k≠0)的函数师：正比例函数与一次函数有何关系？生：（思）正比例函数是特殊的一次函数即b=0时的情形．师：写出下列问题中函数关系式并说明是什么函数?1．已知三角形底边长为8，高为h，三角形的面积为s，则s与h的函数关系式为_______________，其中自变量是___________，自变量的函数是___________．2．y＝x＋2是什么函数？生：1．s=4h；h；s．2．是一次函数师：那么，谁还能写出一些其他的一次函数？生：y＝x．生：y＝－3x+1．师：y＝x是特殊的一次函数，即正比例函数．这两个函数又都是什么函数？同学（齐答）：一次函数．〖评析〗同学们要知道，数学中的事件处处充满着联系．同学们要善于寻找并去努力发现它们间的联系．【探索新知】师：１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？（1）y=-8x．（2）y=8x．（3）y=5x2+6．（3）y=-0.5x-1．２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？（2）求第2．5秒时小球的速度．３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？生：１．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．师：（点头）对，很好．生：２．（1）v=2t，它是一次函数．（2）当t=2．5时，v＝2×2．5=5所以第2．5秒时小球速度为5米／秒．师：回答的不错，第3题呢？生：３．函数解析式：y=50-5x自变量取值范围：0≤x≤10y是x的一次函数．师：同学们前面学的不错，希望能继续努力．本节课我们来研究一次函数图象的其他性质．下面先来看这样一个问题：小兔子输掉了比赛，非常不服气，于是就邀请乌龟进行第二次比赛，为了证明自己的实力，兔子决定让乌龟先跑200米 （如下图）．到底谁会赢？生：乌龟师：确定吗？生：我不同意刚才那位同学的观点，我觉得是兔子． 师：学了本节课后，我们一定能明确的得出，兔子先到．师：我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用图像血流量与时间的关系．有的能用关系式表示，例如表示汽车余油量与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰． 同学们有没有看到过心电图呢？ 生：（齐答）看到过．师：同学们作出y =2x +1的图象，探索一下，能得出什么结论？ 生：好．师：现在我把同学们分成四组，每组的同学画一个一次函数图象，比一比哪个组画得最快 ． 生：在各自的座位上动手作图．师： 画完的同学请举手．同学们基本都画完了，你们所画的图象是什么形状的？ 生：（齐答）是直线．师： 有没有画的不是直线的，请举手．没有．从而你们能得出什么结论呢？ 生：一次函数的图象是直线师： 这就是我们本节课要讲的内容－－－－一次函数的图象． 师： 回想一下，你是用什么方法画出函数图象的呢？ 生：描点法．师： 你描了几个点？ 学：七个点．师： 减少点的个数行不行？六个、五个 …．．二个可不可以画出函数的图象？ 生：不可以，因为点的个数太少，图象不够精确． 生：可以，因为两点确定一条直线． 师：你们赞成谁的说法？生：（齐答）赞成刚才最后一位同学的说法．师：由于一次函数的图象是一条直线，所以今后再画一次函数的图象，只要描出两个点就可以了 ．师：请同学们交流一下，作一次函数的图象的步骤有哪些？生：画一次函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线．经过讨论我们又知道了画一次函数的图象不需要许多点，只要找两点即可．还明确了一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系．如例题：y ＝2x ＋4的图象，你会描出哪两个点？)生：（2，8）；（1，6）． 生：（－2，0）；（－1，2）． 生：（0，4）；（2，8）．生：（－3，－2）；（－4，－4）．师：同学举的这些点都可以，只要是在自变量取值范围内函数图象上的点都可以 ． 师：画直线（k ≠0）时，尽管只要在自变量取值范围内取函数图象上的点都可以，但有没有一种选法，使画法较为简单呢？生：取与坐标轴相交的两个点（0，b ）；( ，0)．师： 怎样画直线（k ≠0）比较简单?生：（自信地）取点（0，0）；(1，k )．师：（微笑）说很好．它的图象有什么特点呢？生：由y =2x +1的图象看出，y 的值随x 值的增大而增大．师：对．将由y =2x +1换成y =-2x +1，即y =kx +b ，k <0，还有相同的性质吗？ 生：画图后回答．y=-2x+1的图象，当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小． 师：（点点头）非常好．〖评析〗教师把学生合理分组：①学生能否发现数学式子间的联系；②学生能否正确画图；③学生能否准确找准图像中的信息；④学生能否找到正确画图，读图的方法．师：（减慢语速，板书）形如一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象有何特点？ 生：（1）在一次函数y =kx +b 图象中当k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； 当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小；（2）在作一次函数y =kx +b 的图象时，需要描两个点，一般描(0，b )和(－kb，0) ； （3）在一次函数y =kx +b 中，若k ＞0时，k 的值越大，函数图象与x 轴正半轴所成的锐角越大．〖评析〗在活动中，教师应重点关注：①学生作图正确与否；②准确理解一次函数图像的信息．③学生能否主动合作和交流．师：1．在同一直角坐标系内作出一次函数y =x +1，y =21x +2，y =31x +1．2．已知点(-1，a )和(21，b )都在直线y =332+x 上，试比较a 和b 的大小． 生：1． 正确作图 2 ．a ＜b师：不错．把某个学生的在同一直角坐标系内作出一次函数y =x +1，y =21x +2，y =31x +1．的图展示给大家．师：已知点(-1，a )和(21，b )都在直线y =332+x 上，试比较a 和b 的大小． 是否由函数的增减性得出？生：是师：有没有人说明一下推理过程？ 生：k ＞0时，y 随x 的增大而增大 所以-1＜21 a ＜b ． 师：很对〖评析〗反比例函数的两个条件（1）k ≠0；（2）x 的指数为-1缺一不可．师：同学们，根据我们刚才所学知识把你们课前所做的课前延伸部分检查一下．学生检查自己的课前延伸练习．师：好，谁来把答案说说看？生：我第一题的答案是：发生变化的量；是始终不变 生：我第二题的答案是发生变化的量；是始终不变． 生：我第三题的答案是：横坐标；纵坐标；图像． 生：我第四题的答案是：列表；描点；连线． 生：我第五题的答案是：（3，0）；（0，3） 生：我第六题的答案是：（1）一、二、三 （2）一、三、四 （3）一、二、四 （4）二、三、四师：你们做得很对，再来看第一大题．（出示投影片） 师：谁来说说第一题是如何思考的？ 生：这一题我是这样思考的，首先正确作图，然后观察图形，得出结论：b 决定直线y=kx+b 与y 轴交点的坐标（0，b ）．当b >0时，交点在原点上方． 当b =0时，交点即原点．当b ＜0时，交点在原点下方． 师：这位同学讲得很好． 〖评析〗在学生对一次函数的图象有一定理解后检查自己课前延伸的练习情况，让学生自查自纠，把学习的主动权交给学生；另外，学生在检查的同时既加强了对概念的理解又消除了预习时的一些模糊认识．【巩固新知】 师：（边说边打开准备好的题目）现在我们再一起一次函数图象的理解．大家把学案中出示课内探究题生分组讨论 （1）已知函数y =(m -3)x -32．回答下列问题： ①当m 取何值时，y 随x 的增大而增大? ○2当m 取何值时，y 随x 的增大而减小? （2）①在同一坐标系内作出正比例函数y =21x ，y =x ，y =3x ，y =－2x 的图象． ②观察所画图象，直线y =21x ，y =x ，y =3x 中，哪一个与x 轴正方向所成的锐角最大？哪一个与x 轴正方向所成的锐角最小？师：请一位同学再把一次函数的图象的特点说一下． 生：一次函数y =kx +b 的图象有如下特点． 在一次函数y =kx +b 图象中当k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； 当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小． 师：谁还有要补充的？生：一次函数y =kx +b （k ≠0，b ≠0）的图象不过原点，和两坐标轴相交．在作一次函数y =kx +b 的图象时，需要描两个点，一般描(0，b )和(－kb，0)．生：老师，还有．在一次函数y =kx +b 中，若k ＞0时，k 的值越大，函数图象与x 轴正半轴所成的锐角越大．师：嗯，非常好．请一位同学板书．生：解 ①当m -3>0，即m >3时，y 随x 的增大而增大； ②当m -3<0，即m <3时，y 随x 的增大而减小． 师：很好师：请同学们①在同一坐标系内作出正比例函数y =21x ，y =x ，y =3x ，y =－2x 的图象．○2观察所画图象，直线y =21x ，y =x ，y =3x 中，哪一个与x 轴正方向所成的锐角最大？哪一个与x 轴正方向所成的锐角最小？○3一次函数y =kx +b 的图象有何的特点？ 生：通过列表、描点、连线正确作出图像．师：出示所画图象．请某一位同学回答第二个问题．生：正比例函数y=kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线． 师：还有没有要补充的？生：直线y =21x ， y =x ， y =3x 中， y =3x 与x 轴正方向所成的锐角最大，y =21x 与x轴正方向所成的锐角最小．师：不错，下一题呢？生：一次函数y =kx +b 的图象有如下特点． 在一次函数y =kx +b 图象中当k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小． 师：谁还有要补充的？生：一次函数y =kx +b （b ≠0）的图象不过原点，和两坐标轴相交．在作一次函数y =kx +b 的图象时，需要描两个点，一般描(0，b )和(－kb，0)． 生：老师，还有．在一次函数y =kx +b 中，若k ＞0时，k 的值越大，函数图象与x 轴正半轴所成的锐角越大．生：板书，教师巡视．师：评析解题过程．这种解题方法叫待定系数法．板书． 学生练习，教师巡视． 【课堂测试】师：好！接下来我们一起做3道题．1．一直角坐标系中画出下列函数图象，并归纳y =kx +b （k 、b 是常数，k ≠0）中b 对函数图象的影响．（1）y =x -1 y =x y =x +1（2）y =-2x +1 y =-2x y =-2x -12．若一次函数y =（2-m ）x +3图象经过A （x 1、y 1）、B （x 2、y 2）两点．当x 1<x 2时，y 1>•y 2，则m 的取值范围是什么？3．若一次函数y =2x +b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求 b 的值． 师：相信大家一定做好了，我们来一起看看．第一小题． 生：师：有没有补充的．生：b 决定直线y =kx +b 与y 轴交点的坐标（0，b ）． 当b >0时，交点在原点上方． 当b =0时，交点即原点． 当b <0时，交点在原点下方．师：你讲得很不错，相信其他同学也有很不错的想法，好，我们再看下一题． 生：m >•2师：很好，再下一题． 生：b =6或b =-6师：是的，你是怎样思考的？生：首先作一示意图，找到函数图象与两坐标轴交点的坐标，再用三角形面积公式，就能得到b 的值．师：你的解题条理很清晰！．〖评析〗掌握一次函数的图象作法，从中读出有用的数学信息，才能做到数形结合．师：好，我们再来看小组合作探究题，大家先独立思考一下．（1）画出函数y=-0.5x+1的图象．（2）点M（-2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离设x取的值分别为x1，x2时，对应的函数值为y1，y2，则y2－y1=（k x2+b）－（k x1+b）=k(x2－x1) ①设x2>x1，则x2－x1>0．当k>0时，由①式得，y2－y1>0，因此y2>y1．这表明x的值增加时，对应的函数值也增大．当k<0时，由①式得，y2－y1<0，因此y2<y1．这表明x的值增加时，对应的函数值反而减小．师：好！同学们再将自己的见解与同伴们交流一下．生：（讨论．交流）〖评析〗教师将学生合理分成小组，各小组进行合作交流，会用简单方法画图象，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数图象特征，使学生对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性．师：最后，谈谈本节课你有哪些收获？生：掌握一次函数的图象的画法及图象特征．生：（补充）还学会如何利用函数去解相关的应用题．师：很好，同学们归纳的不错．〖评析〗当堂训练，及时反馈使学生对所学的新知识得到及时巩固，使对知识点的认识不清的学生得到进一步认识，从而提高教学效果．课后提升请大家记好今天的作业1．画出函数y=-2x+2的图象，结合图象回答下列问题：(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?(2)当x取何值时，y=0?(3)当x取何值时，y＞0?2．画函数y=2x+4图象，用函数y=2x+4的图象，求(1)方程2x+4=0的解(2)当x为何值时，函数y=2x+4的值大于等于0；(3)当-2≤y≤6时，求x的取值范围．。
2019-2020学年八年级数学上册《14.3.3一次函数与二元一次方程(组)》教案 新人教版.doc
2019-2020学年八年级数学上册《14.3.3一次函数与二元一次方程（组）》教案 新人教版教学目标1. 理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法；3. 历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想 教学重点对应关系的理解及实际问题的探究建模 教学难点二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解 教学过程一、提出问题，y =3x +1是什么？同学们有不同的说法：一次函数，二元一次方程. 从而引入新课. 二、新课讲解1.探究一次函数与二元一次方程的关系(1)对于方程358x y +=,如何用x 表示y ? 3855y x =-+ (2)是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？① 30x y -= ②11=623x y + 3y x = 3182y x =-+同学们，你对二元一次方程与一次函数的解析式之间的关系有什么看法？一一对应(3) 直线3855y x =-+上每一点的坐标,)x y （都是方程358x y +=的解吗？ 是(4)你对二元一次方程与一次函数的图像之间的关系有什么看法？分组讨论，交流总结：一次函数与二元一次方程的关系以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上. 反过来：一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 即每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 2.探究一次函数与二元一次方程组的关系 (1)在同一直角坐标系中画一次函数3855y x =-+ 与21y x =-的图象， 它们有交点吗？交点坐标是多少？是方程组385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩的解吗?为什么？(2)当自变量x 取何值时,函数3855y x =-+与21y x =-的值相等，这个值是多少？1y 1x ==时它们的值相等，我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代人法，也可以用加减法．我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合．比如⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⇔=-=+125853152853x y x y y x y x ①对于①，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x 取什么数值时，两个—次函数的y 值相等?它反映在图象上，就是求直线5853+-=x y 和直线12-=x y 的交点坐标. 教师点拨：根据方程组解的意义和函数的观点，解方程组就是求当x 取何值时，两个函数的y 值相等；从图象上看就是求两条直线的交点坐标.学生分组讨论.教师引导学生从数形两个方面归纳一次函数与二元一次方程组的关系.渗透数形结合思想. 师生共同归纳：＋58一次函数与二元一次方程组的关系：3.例题讲解例3 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B 除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分时，两种方式的计费相等？分析：计费与上网时间有关，所以可设上网时间为 x 分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再考虑自变量为何值时两个函数的值相等.解：设上网时间为x 分，方式A 的计费为0.1y x =元，方式B 的计费为0.0520y x =+元. 方法1.解方程组0.10.0520y x y x =⎧⎨=+⎩的解为40040x y =⎧⎨=⎩方法2.这表示当4.（1）如图是直线则方程组从数的角度看：从形的角度看：求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标x 为何值时，两个函数的值相等x=2x －1=－3x +4（2）根据图象，你能说出哪个方程组的解?解是什么? 由图可以得出方程组2134x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩（3）根据图象，你能说出哪个方程组的解?由图可以得出方程组320x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解为21x y =-⎧⎨=⎩（4） 直线24y x =-+和243y x =+的交点坐标为 （3，-2） . 分析：求两条直线的交点坐标可转化为求相应的方程组242312x y x y +=⎧⎨-=⎩的解.我们很快可以解得方程组的解为32x y =⎧⎨=-⎩，所以可得交点坐标为(3,-2)（5）解方程组025x y x y -=⎧⎨+=⎩，你有哪些方法？2x师生共同得出：用作图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以准确.为了获得准确的结果,我们一般用代数方法. （6）已知方程组125x y x y -=⎧⎨+=⎩ 的解为21x y =⎧⎨=⎩ ，那么直线25y x =-+与直线1y x =-的交点坐标为(2，1).分析：一个方程组对应两个一次函数，即对应两条直线. （7）直线210y x =+与54y x =+的交点坐标为（2，14）. 分析：求方程组21054y x y x =+⎧⎨=+⎩的解即可.（8）在同一坐标系中直线y =2x +10与y =5x +4的图象如图，请根据图象回答下列问题：(1)方程组21054x y x y -=-⎧⎨-=-⎩的解为214x y =⎧⎨=⎩(2)不等式2x +10＜0的解集为x ＜-5 .(3)不等式2x +10＜5x +4的解集为x ＞ 2 . 通过此题，让学生进一步体会数与形的 统一和数形的优势利用. 5.拓广提高例3 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式： 方式以每分元的价格按上网时间计费;方式除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择计费方式使上网者更合算？学生分组讨论，合作交流.教师引导分别从数和形两个方面思考问题. 法1，解不等式；法2，画出两个函数图象，从图象上得出. 三、课堂小结请学生畅所欲言话收获，最后师生共同小结： 1. 一次函数与二元一次方程的关系以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上. 反过来：一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 即每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.+102.一次函数和二元一次方程组的关系3.图象法解方程组的步骤：①将方程组中各方程化为)b ax y +=的形式； ②画出各个一次函数的图象； ③由交点坐标得出方程组的解． 四、课后作业习题14．3第5、6、9、11题．从数的角度看：从形的角度看：求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标x 为何值时，两个函数的值相等。
八年级数学上册 第十四章第2节《一次函数》第一课时教案 新人教版
海南省万宁市思源实验学校八年级数学上册第十四章第2节《一次函数》第一课时教案新人教版教学难点正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（k m）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．解：１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．• • • •一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？[活动一]活动内容设计：画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x活动设计意图：通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣．教师活动：引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述学生活动：利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．活动过程与结论：１．函数y=2x画出图象如图（1）．２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．尝试练习：在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．１．y=12x ２．y=-12x比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=12x•的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-12x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx．[活动二]活动内容设计：经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？活动设计意图：通过这一活动，让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．教师活动：引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法．从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法．学生活动：在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．活动过程及结论：经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3x解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：１．y= 32x （2，3）２．y=-3x （1，-3）小结：本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．课后作业习题14．2─1、2题．Ⅵ．活动与探究某函数具有下面的性质：１．它的图象是经过原点的一条直线． ２．y 随x 增大反而减小．请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象． 解：函数解析式：y=-0．5x备选题：汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，•t （小时）表示汽车行驶的时间．如图所示１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？ ２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？ 解法一：用图象解答：从图上可以看出4个小时可到达．速度＝1204=30（千米／时）．行驶１小时离开天津约为30千米．当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时． 解法二：用解析式来解答：由图象可知：Ｓ与t 是正比例关系，设S=kt ，当t=4时S=120 即120=k ×4 k=30 ∴S=30t ．当t=1时 S=30×1=30（千米）．当S=100时 100=30t t=103（小时）．以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．毛。
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一次函数与二元一次方程（组）
课堂实录
【情境导入】
师：生活中我们时常遇到“收费”问题，请看大屏幕．（多媒体播放上网收费生活实例）师：请思考，你能解决这个问题吗？
（生思考后举手）
生：我们可抓住题中“两种收费方式计算都是一样多”为等量关系，设上网时间为x
分钟，构造方程解决本题．
师：思路很好，谢谢！请坐！老师请再一位同学讲得更具体一些．
（一生举手，发表不同意见）
生：我们设上网时间为x分钟，则方式A计费为：0.1x
方式B计费为：0.05x+20“两者相等”可列方程：
0.1x=0.05x+20解方程即可
（师板演过程）
师：请坐！（师生鼓掌激励）
师：接下来请同学们一起解完，注意应用题的基本步骤，别忘了“答”！
（全体静心演算…）
（一生突然举手）
生：老师，还可以用方程组解决本题！
（生议论纷纷）
师：请详细说明！
生：设上网时间为x分钟，月上网费用为y元．
则A方式：y=0.1x B方式：y=0.05x+20
y=0.1x
可列方程组解方程组易得
y=0.05x+20
师：对吗？同学们！
生：（齐声回答）完全正确！
（鼓掌）
师：请大家观察y=0.1x，y=0.05x+20有何发现？
（生交流）
生：y=0.1x y=0.05x+20均为一次函数
生：老师，我觉得就是两个二元一次方程而已，好像与函数没什么关系！
（生叽叽喳喳争论）
师：同学们！那么一次函数与二元一次方程组之间有没关系呢？如果有关系到底有什么样的联系呢？让我们一起研究！
（揭示课题：一次函数与二元一次方程组）
〖评析〗建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣．因此，用“上网收费”这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来．
【探索新知】
师：首先，让我们一起来探究一次函数与二元一次方程的关系． （板书填空题，生思考完成后举手．） 生：y=5853+-x
生：一定是
师：请说明理由．
生：3x +5y =8化为y=5
853+-x 仅是做了一个恒等变形，所以（x,y ）如果满足y=58
53+-x ，
也一定满足3x +5y =8．
师：你真棒！请坐，请思考第2题．
生：可以转化．因为在整个化简过程中，仅是利用等式的性质，所以任意二元一次方程都可以化为一次函数．
生：（补充）化简过程中等式两边同乘以或除以了一个不为零的数而已，所以任意二元一次方程都可以化．
师：两位同学的表述结合起来，答案完美无缺!（师竖起大拇指，生鼓掌）．
师：那么，这一问题与解方程组⎩⎨
⎧=-=+1
28
53y x y x 是同一问题吗？
生：是，因为… 师：能说明理由吗？ （生迟疑）
师：没思考好吗？请坐！ 生：理由和（1）相同． 师：你回答得太绝了！ （生掌声鼓励）
师：那么，二元一次方程和一次函数到底有什么关系呢？ （生小声交流）
生：任何一个二元一次方程均可化为一次函数． 生：它们都有两个变量。
师归纳：正如同学们所说：“二元一次方程与一次函数，仅是形式的不同而已，可以互化．”
〖评析〗教学过程循序渐进，不断引导学生反思归纳“数”与“形”间的关系，培养学生良好的思维习惯的同时，激发学生学习兴趣，激起课堂教学高潮．
师：接下来，我们再来探究：一次函数与二元一次方程组的关系，请同学们思考（1）． （生动手作图…） （生观察后互相交流）
生：通过作图，我们发现两一次函数的交点就是方程组的解． 师：能说明这一结论的一般性吗？（生思考） 师：请坐下继续思考…
生：两一次函数图象交点，一定在函数图象上，既满足y=5853+-x 即3x+5y=8；
3x +5y =8
同时也满足y=2x-1即2x-y=1，也就是说一定是方程组 的解． 2x -y =1 师：那么，同学们能找出二元一次方程组和一次函数关系吗？ （生议论纷纷）
生：二元一次方程组中的方程可转化为两一次函数．
生：二次一次方程组的解可转化为求两一次函数图象的交点． 师：解二元一次方程组相当于确定两直线的交点． 师：请思考（2） （生思考、演算） 生：当x =1时，y=5
8
53+-
x 与y=2x -1值相等，这个值为1，这一问题与解方程组 3x +5y =8
是同一问题，这与（1）中的问题理由相同． 2x -y =1
师：请哪位将“与（1）中的理由相同”具体些！
生：一次函数y=5853+-x 和y=2x -1值相等，即求两次函数交点，从而转化为求
y =5
85
3+-x 3x +5y =8
方程组 的解，即求 的解，两者是同一问题．
y =2x -1 2x -y =1 （师生鼓掌）
师：通过刚才的学习，哪位同学能完整的概况一下二元一次方程组与一次函数的关系！ （生交流，议论纷纷）
生：两直线交点坐标一定是相应的方程组的解．
生：两直线交点坐标与相应二元一次方程的解是一一对应关系． 师：能具体一些阐述吗？
生：两直线交点坐标一定是相应方程组的解，反之，由二元一次方程构成的方程组的解一定可以通过两直线交点求得．
生：也就是说：要求两直线交点，求转化为求相应二元一次方程组的解，而要二元一次方程的解又可以通过相应两直线求得．
师：准确、精辟．（师示意，师生鼓掌表示祝贺）
〖评析〗学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程．此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验． 【巩固新知】
师：请大家看例题． （生思考）
生1：设上网时间为x 分钟，计费y 元．
A 方式：y=0.1x
B 方式：y =0.05x +20 作出两函数图象结合图象，利用直线上
点位置高低得出结论：
当时间少于400分钟时，选A 方式省钱；
当时间等于400分钟时，选A、B方式一样；
当时间多于400分钟时，选B方式省钱．
师：太棒了！
请大家看大屏幕，反思和模仿解题步骤．
（生自学议论思考）
师：课后请了解你家的上网收费方式，实际计算一下所选方式好吗？
（生议论）
【课堂测试】
师：请看大屏幕，抢答．
生：y=3x-2
（生迅速计算，举手）
x=1
生：
y=0
〖评析〗抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度．在学生感兴趣的旅游问题中，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构．
【课堂延伸】
师：通过本节课的学习，大家有哪些收获？你印象最深的是什么？
生：二元一次方程的解与相应一次函数点的坐标是一一对应关系，以后我们处理二元一次方程解的问题可以通过相应一次函数图象上的点来解决．要一次函数图象上点的坐标的性质，可以通过相应二元一次方程的解来反映．
生：求两直线交点可转化为求相应二元一次方程组的解．
生：利用函数图象解决方程等实际问题使更直观．
师：同学们都总结得很好，希望同学们能将本节课学到的方法应用于解决实际问题．〖评析〗培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价．
师：请大家记住及时完成数学日记，记好今天的作业：
2．作业
（1）当自变量x取何值时，函数
5
1
2
y x
=+与517
y x
=+的值相等？这个函数值是
什么？（必做）
（2）北京2008奥运的理念是“科技奥运、人文奥运、绿色奥运”．为了响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。
已知甲班每小时植树20棵，乙班每小时植树24棵．由于某些原因，甲班植完8棵后，乙班才开始．你认为哪个班植树棵数多？（必做）（3）结合一次函数，就“如何选择最佳方案”这一话题写一份调查报告．（选做）〖评析〗新课程强调发展学生数学交流的能力，用数学日记给学生提供一种表达数学思想方法和情感的方式，以体现评价体系的多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值．作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的发展”．。