2018-2019年高考文科总复习课时跟踪检测试卷(26)平面向量的数量积
2019版文科数学大5.3 平面向量的数量积 含答案
§5。
3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1。
理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2。
了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现,属于中档题。
1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是［0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ,则数量|a｜3。
平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e）的夹角．则（1）e·a＝a·e＝|a|cos θ。
(2）a⊥b⇔a·b＝0。
(3)当a与b同向时,a·b＝|a｜|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a｜|b|.特别地，a·a＝|a｜2或｜a｜＝错误!.（4)cos θ＝错误!.(5）｜a·b｜≤｜a|｜b｜.4．平面向量数量积满足的运算律（1)a·b＝b·a；（2）（λa）·b＝λ（a·b)＝a·(λb）(λ为实数);(3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c。
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1）若a＝（x,y)，则｜a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.（2）设A（x1，y1)，B（x2，y2)，则A，B两点间的距离｜AB|＝|错误! |＝错误!。
(3）设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.（4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角,则cos θ＝错误!＝错误!。
2018届高考文科总复习课时跟踪检测试卷(26)平面向量的数量积
4＋ 2|b|× 12＝ 8，解得 |b|＝ 4．
3．已知 |a|＝ 3， |b|＝2， (a＋ 2b) ·(a－3b)＝－ 18，则 a 与 b 的夹角为 ( )
A ． 30°
B． 60°
C．120 °
D． 150 °
解析： 选 B ( a＋ 2b) ·(a－3b)＝－ 18， ∴ a2－ 6b2－ a·b＝－ 18，
∴－ 4－ 2x＝ 0， x＝－ 2，∴ a＝ (1，－ 2)， a·b＝10，故选 D ．
2． (2017 ·河南八市重点高中质检 )已知平面向量 a， b 的夹角为 23π，且 a·(a－ b)＝ 8， |a|
＝2，则 |b|等于 ( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．4
解析： 选 D 因为 a·(a－ b)＝ 8，所以 a·a－ a·b＝ 8，即 |a|2－ |a||b|cos a， b ＝ 8，所以
3) ·(x－ 1，－
3)＝－ 3x＋3－ 3＝－ 3x＝－ 3 得 x＝ 1．
∵ ―A→P ＝ λ―A→B ，∴ λ＝ 1． 故选 A ． 2
6．已知平面向量 a＝ (2,4)， b＝ (1，－ 2)，若 c＝a－ (a·b)b，则 |c|＝ ________． 解析： 由题意可得 a·b＝ 2× 1＋ 4× (－ 2)＝－ 6，
答案：
－
8 3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量 a＝ (1 ，x)， b＝ (－ 1，x) ，若 2a－ b 与 b 垂直，则 |a|＝ ( )
A． 2
B． 3
C．2
D．4
解析： 选 C 由已知得 2a－ b＝ (3， x)，而 (2a－ b) ·b＝ 0? － 3＋ x2＝ 0? x2＝ 3，所以 |a|
高考数学复习课时跟踪检测-平面向量的数量积及应用含解析
课时跟踪检测（三十一） 系统题型——平面向量的数量积及应用[A 级 保分题——准做快做达标]1．(牡丹江第一高级中学月考)已知圆O 是△ABC 的外接圆,其半径为1,且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→,AB ＝1,则CA ―→·CB ―→＝( )A 。
32 B 。
3 C 。
3D ．2 3解析：选B 因为AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→,所以点O 是BC 的中点,即BC 是圆O 的直径,又AB ＝1,圆的半径为1,所以∠ACB ＝30°,且AC ＝3,则CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠ACB ＝3。
故选B 。
2。
(广州综合测试)如图,半径为1的扇形AOB 中,∠AOB ＝2π3,P是弧AB 上的一点,且满足OP ⊥OB ,M ,N 分别是线段OA ,OB 上的动点,则PM ―→·PN ―→的最大值为( )A 。
22B 。
32C ．1D ． 2解析：选C ∵扇形OAB 的半径为1,∴|OP ―→ |＝1,∵OP ⊥OB ,∴OP ―→·OB ―→＝0。
∵∠AOB ＝2π3,∴∠AOP＝π6,∴PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋ON ―→·PO ―→＋OM ―→·PO ―→＋OM ―→·ON ―→＝1＋|OM ―→|cos 5π6＋|OM ―→|·|ON ―→|cos 2π3≤1＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1,故选C 。
3．(南昌模拟)已知a ＝(cos α,sin α),b ＝(cos(－α),sin(－α)),那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k∈Z)的( )A ．充分不必要条件B 。
必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α,若a ·b ＝0,则cos 2α＝0,∴2α＝2k π±π2(k ∈Z),解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B 。
2018北师大版文科数学高考总复习教师用书：5-3平面向量的数量积及其应用含答案
第3讲平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2。
了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3。
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4。
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6。
会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．知识梳理1．平面向量的数量积（1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，如右图，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫作a与b的夹角．②当θ＝0°时,a与b共线同向．当θ＝180°时，a与b共线反向．当θ＝90°时，a与b互相垂直．(2)向量的数量积定义：已知两个向量a与b,它们的夹角为θ，则数量|a|｜b｜cos θ叫作a与b的数量积（或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ,由定义可知零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.（3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度｜a|与b在a的方向上的射影｜b｜cos θ的乘积，或b的长度｜b|与a在b方向上射影|a｜cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角．（1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2。
(2)模：｜a｜＝错误!＝错误!.（3)夹角：cos θ＝错误!＝错误!.(4）两非零向量a⊥b的充要条件:a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0。
（5)｜a·b|≤|a｜｜b｜(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2｜≤错误!·错误!.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律）．（2)λa·b＝λ(a·b）＝a·(λb）（结合律）．（3)（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”）精彩PPT展示（1)两个向量的夹角的范围是错误!。
2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十七)平面向量的数量积与平面向量应用举例理(普通高中)
A.— 2B F -1课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积与平面向量应用举例（一）普通高中适用作业A 级一一基础小题练熟练快 1 . （2018 •洛阳第一次统一考试 ）已知平面向量 a , b 满足|a| = 2, |b| = 1, a 与b 的夹么亠2 n 角为"a- ，且（a +入b ）丄（2a — b ），则实数 入的值为（ ） A. B. - 3 C. D. 3 解析：选D 依题意得a • b = 2x 1x cos^ = — 1,由(a +入b)3 2-(2 a — b) = 0,得 2a2—入 b + (2 入一1)a • b = 0,即一3 入 + 9= 0，解得 入=3. 2.已知平面向量a , b 的夹角为nn ，且a -(a — b) = 2, 则|b|等于（A. 2B .C. 4 D. |a| = 2, 解析：选 D 因为 a •( a — b) = 2，所以 a 2— a • b = 2,即 |a| 2— |a||b cos =2,1所以 4— 2|b| x = 2,解得 |b| = 2.I3.已知向量 a = ( — 1,2) , b = (3,1) , c = (x, 4)，若(a — b)丄c ,贝U c ・(a + b)=( A. (2,12) B. ( — 2,12) D. 10C. 14解析：选 C 由题意可得，a — b = ( — 4,1)，由(a — b)丄c ,得(一4) x x + 1x 4= 0,即 —4x + 4= 0,解得 x = 1,所以 c = (1,4).又 a + b = (2,3)，所以 c •( a + b) = 1 x 2+ 4X3 =14. -旷 vU y4. (2018 •湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°, a = (1,1) , |b| = 2，则|3a ) A. 13+ 6\2 C. ,30 + b|等于( B. 2 5D. 34解析：选 D 依题意得 |a| = 2,a • b = _2X 2X cos 45°= 2, /• |3a + b| = , :〕a + b = 9a 2+ 6a • b + b 2= 18+ 12+ 4 = , 34.n\135.若单位向量e 1, e 2的夹角为 ~,向量a = e 1+入e 2（入€ R ），且|a| = ~2，则入=（ ）1C.21 2 2 1 2 3解析：选A 由题意可得e i • e2= 2, |a| = (e 1+入e2)= 1 + 2入x - +入=4,化简得入1 1+入+ 4= o,解得入=一26. (2018 •西安八校联考)已知点A—1,1),耳1,2) , C( —2, —1) , D(3,4),则向量CD在BA方向上的投影是（）A. — 3，./5C. 3 5解析：选A 依题意得，BA = ( —2, —1) , CD= (5,5) , BA • CD= ( —2, —1) • (5,5) NJ >—> l —> —> B A • CD —15 厂=—15, | B A| = ■. 5，因此向量CD在BA方向上的投影是一 =^一 = — 3 5.| !BA| ' 57.已知平面向量a, b满足a・(a+ b) = 3，且|a| = 2, |b| = 1，则向量a与b的夹角的正弦值为___________________ .解析：T a •(a + b) = a2+ a - b = 22+ 2x 1 x cos〈a, b>= 4+ 2cos〈a, b > = 3,「. cos 1〈a, b> = ：—°,又〈a, b >€ [0 , n ], 2• sin.■ 2 3〈a, b> = 1 —cos 〈 a, b>= .2答案：A |亠32& (2018 •张掖一诊)已知平面向量a, b满足|a| = |b| = 1, a丄(a —2b)，则|a + b| =解析：••• a 丄(a —2b) , A a •( a —2b) = 0，解得2a • b= 1, ••• |a + b| = | a|2+ | b|2+ 2a • b= 3.答案：39. 已知向量m=（入+1,1）, n=（入+ 2,2），若（m+ n）丄（m- n），则向量m n的夹角的余弦值为_________解析：因为m+ n= (2 入 + 3,3) , m—n= ( —1, —1),所以由(n+ n)丄(m—n)，得(m+ n) •( m—n) = 0,即(2 入 + 3) x ( —1) + 3X ( —1) = 0，解得入=—3,则 m ^ ( — 2,1) , n = ( — 1,2),1答案：—2B 级一一中档题目练通抓牢-- > ---- > ---- > --- >1. （2018 •惠州三调）若0为厶ABC 所在平面内任一点，且满足（OB — OC ） •（ OB + OC-- >—2 0A ） = 0,则厶ABC 的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形解析：选 A 由("0B — "OC ) -("0l B +"OC — 2"0A ) = 0,--- 1 ------ 1 ----- 1得 cB •( A B + A C ) = 0,-- 1 ----- 1 -------- 1 ----- 1 ---------------- 1 -------- 1••• ( AB — AC ) •( AB + AC ) = 0,即 | AB | = | AC | , •••△ ABC 是等腰三角形.2. (2017 •全国卷n )已知△ ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则-- 1 ------ 1 ------ 1PA •( PB + PC )的最小值是()3 A. — 2B.—-24 c.—3D —1解析：选B 如图，以等边三角形 ABC 的底边 以所以 cos 〈 m n > m-n 4| m i n |—5・4 答案：45 10. 如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA= OB= 1 ,- > ----- > --- > O C •（ O B — oA ）= .解析：由已知得i 鼻B | =Q 2, i ^Ac i =41,则-5・（忌-帚=（+辰）•怎=心・怎+辰-能=7^^+*AB — -C ="CBBC 所在直线为x 轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则0）, C（1,0），设Rx, y）,则-A = ( — x,护一y ), "PB = ( — 1 -x ,— y ) , "PC = (1 — x , - y ),所以"A •( "3 + "C ) = ( — x , 3 — y ) • ( — 2x , — 2y ) = 2x 2 + 2 y —2— -- > ----- > --- > ---- > ----- > O C ) = O B • C A =| O B | ・| cA |cos zAOB O ,I 1 <1 2,同理得，丨2>13 ,作AGL BD 于G,又AB= AD • O^BG= GBOD 而 OAAF = FOOC•••I "OA | •I OB |<| "OC | •I OD | , 而 cos Z AOE = cos Z CO <0 ,"OB >"OC • "O D ,即 11>l 3 ,二 I 3<l 1<I 2. 法二：如图，建立平面直角坐标系，则 B (0,0) , A (0,2) , C (2 , 0).设 D (m n ),由 AD= 2 和 CD= 3,m + n-?2= 4 ,m —2 2+ n 2= 9 ,5—>,PA •( PB3. (2017 •浙江高考)如图，已知平面四边形 ABCDAB 丄BC , AB= BC= AD =2 , Ct = 3 , AC 与 BD 交于点 O 记 l 1= "OA • "OB , I 2="O B • "OC , 13=A. B. C. D .I 1<| 2<| 3 I 1<l 3<l 2 I 3<l 1 <l 2I 2<l 1 <l 3 解析：选C 角线的交点，易得 法一：如图所示，四与/ BOC 为锐角. 根据题意，I 1—i 2="A ・ "O B —"OB • "OC ="B •( "A — ——>••• OA •fl从而有n—m= 4>0,「. n>m从而Z DBC45。
最新-成功方案2018届高考数学一轮复习课时检测 第四章
第四章第三节平面向量的数量积及平面向量的应用一、选择题1．(2018·广东高考)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )A．4 B．3C．2 D．0解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案：D2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )A．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝a＋b a－b|2a＋b|·|a－b|＝932×3＝22，故夹角为π4.答案：C3．(2018·梅州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)且a·b＝10，则|a－b|＝( )A．－10 B．10C．－ 5 D. 5解析：因为a·b＝10，所以x＋8＝10，x＝2，所以a－b＝(－1，－2)，故|a－b|＝ 5.答案：D4．(2018·辽宁高考)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )A.2－1 B．1C. 2 D．2解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b ＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b －2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.答案：B5．(2018·新课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3)p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π]其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈(π3，π]，反之也成立．答案：A6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·bx 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A ．(0，π6)B ．(π6，π]C ．(π3，π]D ．(π3，2π3]解析：f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·bx 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a·b ＞0⇒cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈(π3，π]．答案：C 二、填空题7．(2018·绍兴模拟)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析：由题设知|e 1|＝|e 2|＝1，且e 1·e 2＝12，所以b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×12－8＝－6答案：－68．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与ka －b 垂直， ∴(a ＋b )·(ka －b )＝0，化简得(k －1)(a ·b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ·b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：19．(2018·江西高考)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为____．解析：由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )(a －b )＝－2，得a ·b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°. 答案：π3三、解答题10．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4，∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0. ∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52.∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－525·52＝－1.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.11．设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)． (1)求证：(a －b )⊥(a －c )；(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值． 解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )，a －c ＝(cos x ，sin x －1)，(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1)＝cos 2x ＋sin 2x －1＝0. ∴(a －b )⊥(a －c )． (2)|a |＝ ＋cos x2＋＋sin x2＝ 3＋x ＋cos x＝3＋22x ＋π4≤ 3＋22＝2＋1.当sin(x ＋π4)＝1，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1. 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .若AB ·AC ＝CA ·CB ＝k (k ∈R)．(1)判断△ABC 的形状； (2)若k ＝2，求b 的值．解：(1)∵AB ·AC ＝cb cos A ，CA ·CB ＝ba cos C ， ∴bc cos A ＝ab cos C ，根据正弦定理，得sin C cos A ＝sin A cos C ， 即sin A cos C －cos A sin C ＝0，sin(A －C )＝0， ∴∠A ＝∠C ，即a ＝c . 则△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知a ＝c ，由余弦定理，得AB ·AC ＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 22.AB ·AC ＝k ＝2，即b 22＝2，解得b ＝2.。
【配套K12】2018-2019学年数学高考一轮复习(文科)训练题：天天练 19 Word版含解析
解析：( －2 )⊥ ⇒( －2 )· ＝0，即 · －2 · ＝0.( －2 )⊥ ，即( －2 )· ＝0，即 · －2 · ＝0，所以 · ＝ · ＝2 · ，即| |＝| |，而cosA＝ ＝ ，所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．
11．(河北衡水四调)在△ABC中，AB＝3，AC＝5.若O为△ABC的外接圆的圆心，则 · ＝________________________________________________________________________.
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
答案：C
解析：根据题意，由 ＝2 ＋ ，可得 － ＝ ＝2 ，则| |＝2| |＝4，由 ＝ － ，可得| |2＝| － |2＝ 2－2 · ＋OA2＝4，故| |＝2，由 ＝ － ＝(2 ＋ )－ ＝ ＋ ，得| |2＝| ＋ |2＝ 2＋2 · ＋ 2＝12，可得| |＝2 .在△ABC中，由| |＝4，| |＝2，| |＝2 ，可得| |2＝| |2＋| |2，则△ABC为直角三角形．故选C.
A．－1 B．2
C．1 D．－2
答案：A
解析：根据题意，对于向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则|a＋b|2＝|a－b|2，变形可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.
5．(2018·上饶二模)已知向量 ， 的夹角为60°，| |＝| |＝2，若 ＝2 ＋ ，则△ABC为()
一、选择题
1．(2018·遂宁一模)给出下列命题：
① ＋ ＝0；②0· ＝0；③若a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)·c＝a·(b·c)．
高三数学一轮总复习 第五章 平面向量与复数 第三节 平面向量的数量积与平面向量课时跟踪检测 文
课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积与平面向量应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________． 解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2. 答案：－22．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ＝________.解析：b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311.答案：－3113．在边长为1的等边△ABC 中，设u u u r BC ＝a ，u u u r CA ＝b ，u u u rAB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________.解析：依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－32. 答案：－324．(2016·太原模拟)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π35．给出下列命题：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确命题的个数为________．解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州调研)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝________.解析：因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.答案：－32．(2016·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为________．解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π33．(2015·盐城调研)平面四边形ABCD 中，u u u r AB ＋uuu r CD ＝0，(u u u r AB －u u u rAD )·u u u r AC ＝0，则四边形ABCD 的形状是________．解析：因为u u u r AB ＋uuu r CD ＝0，所以u u u rAB ＝－uuu r CD ＝u u u r DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(u u u r AB －u u u r AD )·u u u r AC ＝u u u r DB ·u u u rAC ＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案：菱形4．(2016·开封质检)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则u u u u r DM ·u u u r DB 等于________．解析：因为u u u u r DM ＝u u u r DA ＋u u u u r AM u u u u r AM ＝u u u r DA ＋13u u u rAB ，u u u r DB ＝u u u r DA ＋u u u r AB ，所以u u u u r DM ·u u u r DB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u u u r DA ＋13 u u u r AB ·(u u u r DA ＋u u u rAB )＝|u u u r DA |2＋13|u u u r AB |2＋43u u u r DA ·u u u r AB ＝1＋43－43u u ur AD ·u u u r AB＝73－43|u u u r AD |·|u u u r AB |·cos 60° ＝73－43×1×2×12＝1. 答案：15．(2016·江苏太湖高级中学检测)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则u u u u r MA ·u u u u rMD ＝________.解析：由题意，得u u u u r MA ·u u u u r MD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 uuur CB ＋u u u r BA ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 uuu r CB ＋uuu r CD ＝－14|uuu r CB |2＋12uuu r CB ·uuu r CD －12uuu r CB ·u u u r BA ＋u u u r BA ·uuu r CD ＝－14×(2)2＋12×2×1×cos 135°－12×2×2×cos 135°＋2×1×cos 0°＝－12－12＋1＋2＝2.答案：26．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：8 27.(2015·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA＝OB ＝1，u u u rAB ＝4u u u r AC ，则u u u r OC ·(uuu r OB －uuu r OA )＝________.解析：由已知得|u u u r AB |＝2，|u u u r AC |＝24，则u u u r OC ·(uuu r OB －uuu r OA )＝(uuu r OA ＋u u u r AC )·u u u r AB ＝uuu r OA ·u u u r AB ＋u u u r AC ·u u u r AB ＝2cos3π4＋24×2＝－12. 答案：－128．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，u u u r CO ＝x u u u r CA ＋y uuu rCB ，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|u u u r CA －m uuu r CB |(m ∈R)的最小值为32，则|u u u r CO |的最小值为________．解析：由u u u r CO ＝x u u u r CA ＋y uuu rCB ， 且x ＋y ＝1，可知A ，O ，B 三点共线，所以|u u u rCO |的最小值为AB 边上的高，又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点，且函数f (m )＝|u u u r CA －m uuu r CB |的最小值为32，即点A 到BC 边的距离为32. 又AC ＝1，所以∠ACB ＝120°，从而可得|u u u r CO |的最小值为12.答案：129．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3.②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(ka －b )，∴(a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．10．(2016·淮安调研)在平面直角坐标系中，已知点A (4,0)，B (t,2)，C (6，t )，t ∈R ，O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形，求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，求|u u u rOD |的最小值．解：(1)由题意得u u u rAB ＝(t －4,2)， u u u r AC ＝(2，t )，u u u rBC ＝(6－t ，t －2)．若∠A ＝90°，则u u u r AB ·u u u rAC ＝0，即2(t －4)＋2t ＝0，∴t ＝2；若∠B ＝90°，则u u u r AB ·u u ur BC ＝0，即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0，∴t ＝6±22；若∠C ＝90°，则u u u r AC ·u u u rBC ＝0，即2(6－t )＋t (t －2)＝0，无解．∴满足条件的t 的值为2或6±2 2.(2)若四边形ABCD 是平行四边形，则u u u r AD ＝u u ur BC ，设点D 的坐标为(x ，y )，则(x －4，y )＝(6－t ，t －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t ，y ＝t －2，即D (10－t ，t －2)，∴|u u u rOD |＝10－t2＋t －22＝2t 2－24t ＋104，∴当t ＝6时，|u u u rOD |取得最小值4 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．解析：∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2，|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1，∴2c ·(a ＋b )＝c2＋1，∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴1≤c 2＋1≤22|c |，∴c 2－22|c |＋1≤0，∴2－1≤|c |≤2＋1.答案：[2－1，2＋1]2．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且uuu r OA 2＋u u u r BC 2＝uuu r OB 2＋u u u r CA 2＝u u u r OC 2＋u u u r AB 2，则点O 一定为△ABC 的________(填“重心”“垂心”“外心”“内心”中的一个)．解析：∵uuu r OA 2＋u u u r BC 2＝uuu r OB 2＋u u u r CA 2，∴uuu r OA 2－uuu r OB 2＝u u u r CA 2－u u u r BC 2，∴(uuu rOA －uuu r OB )·(uuu r OA ＋uuu r OB )＝(u u u r CA ＋u u u r BC )·(u u u r CA －u u u r BC )，∴u u u r BA ·(uuu r OA ＋uuu r OB )＝u u u rBA ·(u u u r CA －u u u r BC )，∴u u u r BA ·(uuu r OA ＋uuu r OB －u u u r CA ＋u u u r BC )＝0，∴u u u rBA ·(uuu r OA ＋u u u r AC ＋u u u r OC )＝0，∴u u u r BA ·u u u r OC ＝0，∴u u u r BA ⊥u u ur OC .同理可得，u u u r CA ⊥uuu r OB ，uuu r CB ⊥uuu r OA ，∴O 为△ABC 的垂心．答案：垂心3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，c ＝a ＋λb (λ∈R)． (1)当λ取何值时，|c |最小？此时c 与b 的位置关系如何？(2)当λ取何值时，c 与a 的夹角最小？此时c 与a 的位置关系如何？ 解：(1)∵c ＝a ＋λb ＝(1,2)＋λ(－3,4)＝(1－3λ，2＋4λ)， ∴|c |2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋15 2＋4， ∴当λ＝－15时，|c |最小，此时c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65 . 又c ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65 ·(－3,4) ＝85×(－3)＋65×4＝0， ∴b ⊥c .∴当λ＝－15时，|c |最小，此时b ⊥c .(2)设c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝5＋5λ5·25λ2＋10λ＋5＝1＋λ5λ2＋2λ＋1. 若c 与a 的夹角最小，则cos θ最大． 设1＋λ＝t ，即λ＝t －1， ∴cos θ＝t 5t －12＋2t －1＋1＝14t2－8t＋5，当1t＝1，t ＝1时，cos θ取得最大值1， 此时λ＝0，c ＝(1,2)，∴当λ＝0时，c 与a 的夹角最小，此时c 与a 平行．。
【高考汇编】2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测 汇编295页(含答案解析)
2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测汇编目录2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-1集合Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-2同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-3三角函数的图象与性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-5三角恒等变换Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-6正弦定理和余弦定理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-7正弦定理和余弦定理的应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-1平面向量的概念及其线性运算Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-2平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-3平面向量的数量积与平面向量应用举例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-4数系的扩充与复数的引入Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-1数列的概念与简单表示法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-2等差数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-3等比数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-4数列求和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关系与不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-2一元二次不等式及其解法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-3二元一次不等式（组）及其简单的线性规划问题Word 版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-4基本不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-5合情推理与演绎推理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-6直接证明与间接证明Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-1空间几何体的结构特征及三视图与直观图Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-2空间几何体的表面积与体积Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点、线、面之间的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-4直线、平面平行的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-5直线、平面垂直的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-2两条直线的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-3圆的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-5椭圆Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-6双曲线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-7抛物线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-8圆锥曲线的综合问题Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-1随机事件的概率Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-2古典概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-3几何概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-2随机抽样Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-3用样本估计总体Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-4变量间的相关关系、统计案例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-2参数方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-1绝对值不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-2不等式的证明Word版含解析[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1．(2017届河北石家庄二模)设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∩N ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}＝{x |－2<x <3}，则M ⊆N ，故选C. 答案：C2．(2018届安徽六安质检)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：由题意，得A ＝{x |x <2}．又因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .又因为B ＝{x |x <a }，所以a ≥2，故选D. 答案：D3．(2017届河北唐山二模)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1,2} B ．{0,1,3} C ．{0,2,3}D ．{1,2,3}解析：因为M ∩N ＝{1}，所以log 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1，即M ＝{2,1}，N ＝{3,1}，所以M ∪N ＝{1,2,3}，故选D.答案：D4．(2017届四川泸州一模)已知集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |log 2x >1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2,2] B ．(－2,1] C ．(0,3)D ．(1,3)解析：∵集合B ＝{x |log 2x >1}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]．∵集合A ＝{x |－2<x <3}＝(－2,3)，∴A ∩(∁R B )＝(－2，2]，故选A.答案：A5．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3.又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：C6．(2018届邯郸质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－3≤x <2}C ．{x |－2≤x <2}D ．{x |－3≤x ≤2}解析：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}＝{x |x >2或x <－2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0＝{x |－3≤x <1}，∴∁U A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x <1}． 故选A. 答案：A7．(2017届江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案：C8．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∵B ＝{x |－1<x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}． 答案：{x |－3<x ≤－1}9．(2017届福建泉州二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：∵B ∩(∁U A )＝∅，∴B ⊆A .∵A ＝{－1,2}，∴根据题意知B ＝∅或{－1}或{2}．若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12.答案：0或1或－1210．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，因为A ⊆∁R B ， 所以m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 12．设集合A ＝{x |(x －2m ＋1)(x －m ＋2)<0}，B ＝{x |1≤x ＋1≤4}． (1)若m ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值集合． 解：集合B ＝{x |0≤x ≤3}．(1)若m ＝1，则A ＝{x |－1<x <1}，则A ∩B ＝{x |0≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .当A ＝∅即m ＝－1时，A ∩B ＝A ； 当A ≠∅即m ≠－1时，(ⅰ)当m <－1时，A ＝(2m －1，m －2)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥0，m －2≤3，⇒12≤m ≤5，所以m 的值不存在．(ⅱ)当m >－1时，A ＝(m －2,2m －1)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2m －1≤3，⇒m ＝2.综上，m 的取值集合是{－1,2}．13．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2<0}(m >0)． (1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m >0，所以B ＝(－3m ，m )． (1)m ＝2时，B ＝{x |－6<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}． (2)要使B ⊆A ，只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5⇒m ≤23，所以0＜m ≤23，综上，知m 的取值范围是0<m ≤23.[能 力 提 升]1．(2018届河南开封月考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．答案：B2．(2017届辽宁大连三模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <0D ．a ≤0解析：因为y ＝lg x 的定义域为{x |x >0}，依题意知，对数函数y ＝lg x 的图象与直线x ＝a 没有交点，所以a ≤0.答案：D3．(2017届山东潍坊模拟)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：(1)若a 1∈A ，由①可知a 2∈A ，又A 中只有两个元素，所以a 3∉A ，此时与②矛盾，所以a 1∉A .(2)若a 2∈A ，那么由②可得a 3∈A ，此时a 4∉A ，满足题设条件，所以{a 2，a 3}是一个满足条件的A .(3)若a 2∉A ，由于集合A 中只有两个元素，那么集合A 只可能是{a 3，a 4}，而这与③矛盾．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}4．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2018届邯郸质检)“x >3”是“1x <13”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：“x >3”⇒“1x <13”；反之不成立，例如取x ＝－1.因此“x >3”是“1x <13”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4，∴m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件． 答案：A3．(2017届山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B4．命题p ：“若x 2<1，则x <1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：q ：若x <1，则x 2<1.令x ＝－2，∴x 2＝4，∴q 假． ∵p ：x 2<1，则－1<x <1，∴p 真，故选B. 答案：B5．(2018届鹤壁模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∧q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题解析：因为tan45°＝1，所以p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1是真命题，所以綈p 是假命题．因为x ＝0，x 2＝0，所以命题q ：∀x ∈R ，x 2>0是假命题，所以綈q 是真命题，所以p ∧q 是假命题，綈p ∧q 是假命题，綈p ∧綈q 是假命题，故选择D.答案：D6.(2017届江西新余调研)设p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋m >0；q ：函数f (x )＝－13x 3＋2x 2－mx －1在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则Δ＝16－4m <0，解得m >4；若q 为真，则f ′(x )＝－x 2＋4x －m ≤0在R 上恒成立，则Δ＝16－4m ≤0，解得m ≥4，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A7．(2018届河北唐山二模)已知a ，b 为实数，则“a 3<b 3”是“2a <2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由于函数y ＝x 3，y ＝2x 在R 上单调递增，所以a 3<b 3⇔a <b ⇔2a <2b ，即“a 3<b 3”是“2a <2b ”的充要条件．答案：C8．(2017届河南三市调研)若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2 C.x >yD ．x 3>y 3解析：由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A 、B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C.答案：C9．(2017届浙江宁波一模)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4解析：若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，所以a >3.答案：A10．(2018届河北唐山月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：p ：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．又q ：x >a ，故a ≥1.答案：[1，＋∞)11．(2017届河南濮阳第二次检测)若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．解析：由于f (0)＝m ＋23，因为函数y ＝f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23.由于“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，因此a <－23，故实数a 能取的最大整数为－1.答案：－112．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 13．(2018届江西九江地区高三七校联考)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，命题q ：3a －1＋1<0.(1)若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若“綈q ”是“a ∈[m ，m ＋1]”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)关于命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0， a >0时，显然不成立，a ＝0时成立，a <0时只需Δ＝a 2＋4a <0即可，解得－4<a <0， 故p 为真时，a ∈(－4,0]；关于命题q ：3a －1＋1<0，解得－2<a <1，命题“p 或q ”为假命题，即p ，q 均为假命题， 则a ≤－4或a ≥1.(2)綈q ：a ≤－2或a ≥1，所以m ＋1≤－2或m ≥1， 所以m ≤－3或m ≥1.14．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．求： (1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件；(3)若綈p 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． (2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，(3)P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且SP ，∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [能 力 提 升]1．(2017届济南模拟)若a ＝log 2x ，b ＝2x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：函数a ＝log 2x ，b ＝2x的图象如图所示，由图象可知，若a >b ，则x >2，即x >1成立，反之，若x >1，当x ＝32时，a <b .答案：A2．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]3．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]4．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5. 又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧－5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，②由①得a 无解；由②解得0<a ≤2－ 3.[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：∵綈p ：∃x 0∈R,2x 0≥3x 0，要使(綈p )∧q 为真，∴綈p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x≥1，∴x ≤0. 由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2. 答案：D2．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，故选C答案：C3．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案：C4．(2017届湖北荆州一模)命题“自然数的平方大于零”的否定是( ) A ．∃x ∈Z ，x 2≤0 B ．∀x ∈N ，x 2≤0 C ．∃x ∈N ，x 2≤0D ．∃x ∈N ，x 2＜0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“自然数的平方大于零”的否定是：∃x ∈N ，x 2≤0.故选C.答案：C5．命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ：∃x 0>0，使得x 0－1－ln x 0＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2，c ＝0时不成立，因此是假命题； 命题q ：取x 0＝1，满足x 0－1－ln x 0＝0，因此是真命题； 则为真命题的是(綈p )∧q ，故选C.答案：C6．(2017届河北唐山质检)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．綈p解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.答案：B7．(2018届河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有上实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∨(綈q )，(綈p )∨(綈q )是真命题，故选C.答案：C8．(2017届辽宁大连二模)命题p ：“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x 0＋cos2x 0>a ”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a < 2C ．a ≥1D ．a ≥ 2解析：依题意，命题p 的否定綈p ：“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a ”应为真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a 恒成立，而sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[1， 2 ]，所以实数a 的取值范围是a ≥ 2. 答案：D9．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析：原命题是全称命题，条件为“∀x ∈R ”，结论为“∃n ∈N *，使得n ≥x 20”，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．答案：D10．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．解析：由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真． 当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1. 所以实数m 的取值范围是1<m <2. 答案：(1,2)11．(2017届山东青岛模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，现有以下结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)解析：当x 0＝π4时，tan x 0＝1，所以命题p 为真；不等式x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，所以命题q也为真，故命题“p 且q ”是真命题，①正确；命题“p 且綈q ”是假命题，②正确；命题“綈p 或q ”是真命题，③正确；命题“綈p 或綈q ”是假命题，④正确．答案：①②③④12．(2018届山东潍坊质检)已知命题p ：∀x >0,2ax －ln x ≥0.若命题p 的否定是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 的否定是：∃x 0>0,2ax 0－ln x 0<0，即不等式2ax －ln x <0有解．而不等式2ax －ln x <0可化为2a <ln x x ，令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，可得g (x )在x ＝e 处取得最大值1e ，因此要使不等式2a <ln xx 有解，只需2a <1e ，即a <12e.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，12e 13．(2017届湖北百所重点校高三联考)已知函数f ()x ＝log 0.3()4x －1的定义域为A ，m >0，函数g ()x ＝4x－1()0<x ≤m 的值域为B .(1)当m ＝1时，求()∁R A ∩B ；(2)是否存在实数m ，使得A ＝B ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －1>0，log 0.3(4x －1)≥0，解得14<x ≤12，即A ＝⎝⎛⎦⎤14，12. 当m ＝1时，因为0<x ≤1，所以14<4x －1≤1，即B ＝⎝⎛⎦⎤14，1，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎦⎤12，1. (2)因为B ＝⎝⎛⎦⎤14，4m －1，若存在实数m ，使A ＝B ，则必有4m －1＝12，解得m ＝12， 故存在实数m ＝12，使得A ＝B .14．已知命题p ：∃x 0∈[0,2]，log 2(x ＋2)<2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：对于命题p ：f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在[0,2]上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )的最小值为f (0)＝1，若p 为真命题，则2m >1，∴m >12.对于命题里q ，Δ＝4－12m 2>0即m 2<13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，∴－33<m <33.(1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，故－33<m ≤12， 即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－32，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 、q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m >12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33； 若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，即－33<m ≤12. 综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.15．已知m ∈R ，命题p ：对∀x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：∃x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围． 解：(1)设y ＝2x －2，则y ＝2x －2在[0,1]上单调递增， ∴y min ＝－2.∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴m 2－3m ≤－2，即m 2－3m ＋2≤0，解得1≤m ≤2. ∴m 的取值范围为[1,2]．(2)a ＝1时，y ＝2x 在区间[－1,1]上单调递增，∴y max ＝2. ∵存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1. ∵p ∧q 假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假，①当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1＜m ≤2；②当p 假q 真时，可得⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，解得m <1.综上可得1＜m ≤2或m ＜1.∴实数m 的取值范围是(－∞，1)∪(1,2]．[能 力 提 升]1．(2017届江西南昌二模)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是“∃x 0>0，x 0x 0－1≤0或x 0＝1”，即“∃x 0>0,0≤x 0≤1”，故选B.答案：B2．(2018届山东临沂调研)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项，∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项，存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项，x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题． 答案：C3．(2017届湖北百校联考)已知命题p ：对任意x ∈(0，＋∞)，log 4x <log 8x ；命题q ：存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q解析：当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ，所以命题p 是假命题；函数y ＝tan x 的图象与y ＝1－3x 的图象有无数个交点，所以存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，即命题q 是真命题，故(綈p )∧q 是真命题，选D.答案：D4．(2017届河南安阳模拟)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．解析：命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1.答案：{m|m≤－2或m>－1}[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )且角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．答案：C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0解析：在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A 、C 、D 三项． 答案：B3．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25B.25 C ．0D.25或－25解析：因为x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，所以r ＝－5a ，所以sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25.故选A. 答案：A4．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．tan1<sin1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1解析：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad>π4 rad.因为OM <22<MP <AT ，所以cos1<sin1<tan1.故选D.答案：D5．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周角的16，即为－16×2π＝－π3.答案：C6．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( ) A ．sin2 B ．－sin2 C ．cos2D ．－cos2解析：因为r ＝(2sin2)2＋(－2cos )2＝2，由任意角三角函数的定义得sin α＝yr ＝－cos2.答案：D7．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．答案：C8．已知点A 的坐标为(43，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.332B.532C.112D.132解析：设OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则OB 的倾斜角为π3＋α.因为A (43，1)，所以tan α＝143，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝n m ， n m ＝3＋1431－3×143＝1333，即m 2＝27169n 2， 因为m 2＋n 2＝(43)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49，所以n ＝132或n ＝－132(舍去)，所以点B 的纵坐标为132.答案：D9．某扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6. ∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：51810．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22，根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π411．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6. (1)求AB ；(2)求这个扇形所含的弓形的面积．解：(1)∵120°＝23π rad ，∴AB ＝23π×6＝4π.(2)S 弓＝S 扇－S △AOB ＝12×6×4π－12×63×3 ＝12π－9 3.12．若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α的值． 解：在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则|OP |＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，sin α＋cos α＝15；当t <0时，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，sin α＋cos α＝－15.综上得sin α＋cos α的值为±15.13．已知α为第四象限角，cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解：∵α为第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－513.∴tan α＝sin αcos α＝－512.[能 力 提 升]1．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：B2．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2角终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限； 其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2角终边在第二、四象限． (3)当α2角在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．tan ⎝⎛⎭⎫－233π的值为( ) A.3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：tan ⎝⎛⎭⎫－233π＝tan ⎝⎛⎭⎫－8π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 答案：B4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A.223B ．－223C.13D ．－13解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 答案：D5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.答案：B6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在；当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan θ＝sin αcos α＝－43，故选D.答案：D7．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25. 答案：－258．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55. 答案：559．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan －π－π3＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得，sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.11．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.12．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，①所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0， 所以sin A －cos A ＝75，②所以由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[能 力 提 升]1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋cos 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象做关于x 轴的对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.答案：D2．设偶函数f (x )的部分图象如图所示，△KML 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cosπx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 答案：D3．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称，故选C. 答案：C4．(2017届河南中原名校模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6 B.5π6 C.7π6D.11π6解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π，所以π<φ<2π.所以当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．答案：C5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π，ω>0得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意结合选项知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.答案：A6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2。
2019高考真题名校模拟(文数)平面向量的数量积及其应用(含答案)
5.2 平面向量的数量积及其应用五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点一平面向量的数量积1．（2018课标全国II ，4，5分）已知向量a ，b 满足=⋅=b a a ,1||,1-则=-⋅)2(b a a ( )4.A 3.B 2.C 0.D2．（2015课标II ．4,5分．0.662）向量),2,1(),1,1(-=-=b a 则=⋅+a b a )2(( )1.-A 0.B 1.C2.D3．（2014课标11,4,5分．Q.523）设向量a ，b 满足,10||=+b a ,6||=-b a 则=⋅b a ( )1.A2.B3.C 5.D4．（2014大纲全国．6,5分）已知a 、b 为单位向量，其夹角为,600则=⋅-b b a )2(( ) 1.-A 0.B 1.C 2.D5．（2017课标全国I ，13，5分）已知向量).1,(),2,1(m b a =-=若向量a+b 与a 垂直，则=m ________6．（2017课标全国m ．13,5分）已知向量),,3(),3,2(m b a =-=且a⊥b．则=m _________7．（2016课标全国I ．13,5分）设向量),2,1(),1,(=+=b x x a 且a⊥b，则=x _______考点二尊面向量数量积的应用（2016课标全国Ⅲ．3,5分）已知向量==),23,21(=∠ABC 则),21,23(( )o A 30. 45.B 60.C o D 120.B 组 自主命题·省（区、市）卷题组考点一 平面向量的数量积1．（2015广东，9，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形),1,2(),2,1(=-= =( )5.A 4.B 3.C 2.D2．（2016天津，7，5分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ．E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE EF .,2则=的值为( )85.A 81.B 41.C 811.D 3．（2018北京．9，5分）设向量).,1(),0,1(m b a -==若ma a （⊥),b -则=m ________4．（2015湖北．11,5分）已知向量,3||,=⊥=_______5．（2014重庆．12，5分）已知向量a 与b 的夹角为,600且=a ,10||),6,2(=--b 则=⋅b a _______6．（2017北京．12.5分）已知点P 在圆122=+y x 上，点A 的坐标为（-2，0），0为原点，则⋅ 的最大值为______7．（2015安徽．15,5分）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足,2,2b a a +==则下列结论中正确的是_____．（写出所有正确结论的编号）①a 为单位向量; ②b 为单位向量； ;b a ⊥③ ;//b ④ .)4(b a ⊥+⑤8．（2015天津，13,5分）在等腰梯形ABCD 中，已知AB//DC ，AB= 2,BC=1．060=∠ABC ．点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且.,61,32则==的值为_______ 9．（2016江苏，13,5分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点．E ，F 是AD 上的两个三等分点，,1.,4.-==则.的值是_______10．（2017天津．14,5分）在△ABC 中，.2,3,60===∠AC AB A 若),(,2R ∈-==λλ 且,4.-=AE AD 则λ的值为______ 考点二 平面向量数量积的应用1．（2018浙江．9，4分）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为,3π向量b 满足,0342=+⋅-b e b 则||b a -的最小值是( ) 13.-A 13.+B 2.C 32.-D2．（2018天津．8，5分）在如图的平面图形中，已知==ON OM ,1,2,1202MON ==∠ .,2则=的值为( )15.-A 9.-B 6.-C 0.D3．（2015重庆．7,5分）已知非零向量a ，b 满足⊥=a a b 且|,|4||),2(b a +则a 与b 的夹角为( )3.πA 2.πB 32.πC 65.πD 4．（2014山东．7,5分）已知向量).,3(),3,1(m b a ==若向量a ，b 的夹角为,6π则实数m=( ) 32.A 3.B 0.C 3.-D5．（2014安徽．10.5分）设a ．b 为非零向量，|,|2||a b =两组向量 4321,,,x x x x 和432,,,y y y y l 均由2个a 和2个b 排列而成若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为,||42a 则a 与b 的夹角为 ( ) 32.πA 3.πB 6.πC 0.D 6．（2016北京．9，5分）已知向量),1,3(),3,1(==b a 则a 与b 夹角的大小为_______7．（2014湖北，12.5分）若向量]0|,||0|),3,1(=-===||,0则________8．（2015浙江，13,4分）已知21,e e 是平面单位向量，且=⋅21e e 21若平面向量b 满足,12=⋅=⋅e b e b l 则 =||b ________9．（2017江苏．12.5分)如图，在同一个平面内，向量,.,OB OA 的模分别为OC OA 与,2,1,1的夹角为α且OC OB 与,7tan =α的夹角为),,(.45R n m n m ∈+=若 则=+n m __________10.(2017内蒙古百校联盟3月质量检测）已知向量=a ),1,1(),,3(),4,2(-=-=-c x b 若,)2(c b a ⊥+则=||b ( )9.A 3.B 109.C 103.D突破方法方法1 求解平面向量模的方法例1 （2017内蒙古百校联盟3月质量检测）已知向量a=(2,-4),b=(-3,x),c=(1,-1),若（2a+b ）⊥c,则 ∣b ∣=( ) A.9 B.3 C.109 D.1031-1（2017重庆八中适应性月考（八））已知)1,1(=a ),0,1(=b 则当∣a-tb ∣取最小值时，实数t=_________方法2 求解平面向量夹角的方法例2 （2017吉林大学附中八模）若量a 与b 不共线，⋅a ,0=/b 且,)(b ba a a a c ⋅⋅-=则向量a 与c 的夹角为 ( ) 0.A 6.πB 3.πC 2.πD 2-1 已知i 、j 分别是与x 轴、y 轴方向相同的单位向量，a ,,2j i b j i λ+=-=且a 、b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ))21,.(-∞A ),21[+∞⋅B ),32()3.2,2[+∞-⋅ C )21,2()2,.(---∞ D 2-2（2014四川．14，5分）平面向量,4(),2,1(==b a ),(),2R m b ma c ∈+=且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ______三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点一平面向量韵数量积。
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课时跟踪检测 (二十六) 平面向量的数量积与平面向量应用举例一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝( ) A．－6 B．10C． 5 D．10解析：选D ∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D．2．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为2π3，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )A． 3 B．2 3C．3 D．4解析：选D因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b a，b＝8，所以4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4．3．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为( ) A．30° B．60°C．120° D．150°解析：选B (a＋2b)·(a－3b)＝－18，∴a2－6b2－a·b＝－18，∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a·b＝－18，∴a·b＝3，∴a，b＝a·b|a||b|＝36＝12，∴a，b＝60°．4．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2． 答案：－25．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→＝________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．∴AD ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13(AC ―→2＋AC ―→·AB ―→－2AB ―→2) ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83． 答案：－83二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4解析：选C 由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a |＝1＋x 2＝4＝2．2．(2017·贵州适应性考试)若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝( ) A ．－12B ．32－1C ．12D ．32解析：选A 由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12，故选A ．3．平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形解析：选C 因为AB ―→＋CD ―→＝0，所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝DB ―→·AC ―→＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．4．(2016·重庆适应性测试)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3C ． 3D ．332解析：选A 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos2π3＝－12，|a |＝e 1＋2e 22＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3， a·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝－923＝－332，故选A ． 5．(2017·成都模拟)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP ―→＝－3，则λ的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13解析：选A 法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2cos π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)． 令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1．∵AP ―→＝λAB ―→，∴λ＝12．故选A ．6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________．解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝82．答案：8 27．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 所以由(m ＋n )⊥(m －n )得(m ＋n )·(m －n )＝0， 即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3， 则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45． 答案：458．如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________．解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝(OA ―→＋AC ―→)·AB ―→＝OA ―→·AB ―→＋AC ―→·AB ―→＝2cos 3π4＋24×2＝－12．答案：－129．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°． (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )． 解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16．(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝43．②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝163．(2)∵(a ＋2b )⊥(ka －b )，∴(a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0．∴k ＝－7． 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．10．如图，已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(3cos x,3sin x )，OB ―→＝(3cos x ，sin x )，OC ―→＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2．(1)求证：(OA ―→－OB ―→)⊥OC ―→； (2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值． 解：(1)证明：OA ―→－OB ―→＝(0,2sin x )， ∴(OA ―→－OB ―→)·OC ―→＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA ―→－OB ―→)⊥OC ―→．(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ， 整理得2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0，或cos x ＝32．∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，x ＝π6． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·商丘二模)已知a ，b 均为单位向量，且a·b ＝0．若|c －4a |＋|c －3b |＝5，则|c ＋a |的取值范围是( )A ．[3，10 ]B ．[3,5]C ．[3,4]D ．[10，5]解析：选B ∵a ，b 均为单位向量，且a·b ＝0，∴设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )， 代入|c －4a |＋|c －3b |＝5，得x －2＋y 2＋x 2＋y －2＝5．即(x ，y )到A (4,0)和B (0,3)的距离和为5，∴c 的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，|c ＋a |＝x ＋2＋y 2，表示M (－1,0)到线段AB 上点的距离，最小值是点(－1,0)到直线3x ＋4y －12＝0的距离．∴|c ＋a |min ＝|－3－12|5＝3． 最大值为|MA |＝5．∴|c ＋a |的取值范围是[3,5]．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA ―→·BC ―→＝c CB ―→·CA ―→．(1)求角B 的大小；(2)若|BA ―→－BC ―→|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C ．根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4． (2)因为|BA ―→－BC ―→|＝6，所以|CA ―→|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤2＋2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32．。