高考文科数学平面向量专题
高考文科数学二轮专项训练专题：06 平面向量
．
2【解析】由题意 a b 0 ，所以 2 3 3 m 0 ，即 m 2 ．
21．在△ABC 中， A 60 ，AB=3，AC=2．若 BD 2DC ， AE AC AB （ R ），且
AD AE 4 ，则 的值为
．
3
【解析】 AB AC
3 2 cos 600
A．4
B．3
C．2
D．0
B【解析】 a (2a b) 2a2 a b 2 (1) 3 ，故选 B
3．(2018 天津)在如图的平面图形中，已知 OM 1 ， ON 2 ， MON 120 ， BM 2MA ，
CN 2NA ，则 BC·OM 的值为
A N
M
O
C
B
A． 15
ED
DB
1
AD
1
CB
1
1
( AB
AC)
1
( AB
AC)
2 2 22
2
3
AB
1
AC
．故选
A．
44
优解
EB
AB
AE
AB
1
AD
AB
1
1
( AB
AC)
B
2
22
3
AB
1
AC
．故选
A．
44
A
E
D
C
2．(2018 全国卷Ⅱ)已知向量 a ， b 满足| a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b)
BA BC
1 2
3 2
31 2 2
3 ，所以 ABC 30 ，故选
| BA | | BC |
11
2
A．
8．(2018 浙江)已知 a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足
平面向量-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题 11平面向量1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．a+2bB ．2a+bC ．a –2bD ．2a – b2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1，则点 C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是A ．(2,6) C ．(2,4)B ．(6,2) D ．(4,6)4．【2019年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a ，b 满足|a | 2|b|，且(a b) b ，则 a 与 b 的夹角为πB ． πA ．C ． 6 2π 3 5πD ．365．【2019年高考全国 II 卷文数】已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A ． 2 B ．2 C ．5 2D ．506．【2018年高考全国 I 卷文数】在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB1A ． AB1 AC3 B ． AB3 AC4 3 44 1 4C ．AB 1 AC D ．AB 3 AC 4 44 47．【2018年高考全国 II 卷文数】已知向量 a ，b 满足|a | 1， a b 1，则 a (2a b)A ．4 C ．2B ．3 D ．08．【2018年高考浙江卷】已知 a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 π3，向量 b 满足 b −4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是2A ． 3 −1 C ．2B ． 3 +1 D ．2− 39．【 2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知BC·OM的值为OM 1,ON 2,MON 120,BM 2MA,CN 2NA,则A ．15C ． 6B ．9D．010．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量a (1,1),b (m 1,2m 4)，若a b，则m11．【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD 中， B 60, AB 3，BC 6，且.AD BC, AD AB 3，则实数的值为_________，若M,N是线段BC上的动点，且| MN2则DM DN的最小值为_________．12．【2020年高考北京】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP 1 (AB AC)，则| PD |_________；2PB PD _________．13．【2020年高考浙江】已知平面单位向量e1，e2满足| 2e 1 e2 | 2．设a e 1 e2，b 3e 1 e2，向量a，b 的夹角为，则cos的最小值是_______．14．【2020年高考江苏】在△ABC中，AB 4，AC 3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP 2若PA mPB (3 m)PC（m为常数），则CD的长度是▲．215．【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且a b，则m=__________．a b16．【2019年高考全国III卷文数】已知向量a (2,2),b (8,6)，则cos a,b___________.17．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，AD∥BC, AB 2 3, AD 5, A 30，点E 在线段CB 的延长线上，且 AEBE ，则 BD AE _____________．18．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA ，AD 与 CE 交于点O .若 AB AC6AO EC ，则ABAC 的值是_____. 19．【2019年高考浙江卷】已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍时，|1AB 2BC 3CD 4DA 5AC 6BD|的最小值是________；最大值是_______.20．【2018年高考全国 III 卷文数】已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c ∥2a + b ，则________．21．【2018年高考北京卷文数】设向量 a=（1,0），b=（−1,m ）,若 a (mab)，则 m=_________.22．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点 A 1，0、 B2，0， E 、 F 是 y 轴上的两个动点，且|EF| 2 ，则 AE BF 的最小值为___________．23．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线l : y 2x 上在第一象限内的点，B 5,0，以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点 D ．若 AB CD0，则点 A 的横坐标为___________．。
高三数学平面向量知识点与题型总结材料(文科)
适用标准知识点概括一 . 向量的基本观点与基本运算 1、向量的观点：①向量：既有大小又有方向的量 向量不可以比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是随意的， 0 与随意愿量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量） ：方向同样或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向同样的向量 2、向量加法：设 AB a, BC b ，则 a + b = AB BC = AC（ 1） 0a a 0 a ；（ 2）向量加法知足互换律与联合律；AB BC CDPQ QR AR ，但这时一定“首尾相连” ．3、向量的减法：① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作 λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ） a a ； （Ⅱ） 当0 时， λ a 的方向与 a 的方向同样； 当 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相反；当0时， a 0 ，方向是随意的5、两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得 b = a6、平面向量的基本定理：假如e 1 ,e 2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量a ，有且只有一对实数 1 ,2 使： a1e12e 2 ，此中不共线的向量e 1, e 2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底二 . 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一直量 a 可表示成 axiyj ，记作 a =(x,y) 。
2 平面向量的坐标运算：(1) 若 ax 1 , y 1 ,b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2 , y 1 y 2(2) 若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1(3) 若 a =(x,y) ，则 a =( x,y)(4) 若 a x 1 , y 1 ,b x 2 , y 2 ，则 a // b x 1 y 2 x 2 y 1 0(5) 若 ax 1 , y 1 ,bx 2 , y 2 ，则 a bx 1 x 2y 1 y 2文档大全适用标准若 ab ，则 x 1 x 2 y 1 y 2 0三．平面向量的数目积 1 两个向量的数目积：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 02 向量的投影：︱ b ︱ cos=a b∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影| a |3 数目积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：a aa 2 | a |25 乘法公式建立：a b a b a 2b 222a b ；222a ba 2 2ab b 2a 2ab b6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： a b b a②对实数的联合律建立：a b a b a b R③分派律建立：a b c a c b cc a b特别注意：（ 1）联合律不建立： a b ca bc ；（ 2）消去律不建立a b a c 不可以获得 b c（ 3） a b =0 不可以获得 a = 0 或 b = 07 两个向量的数目积的坐标运算：已知两个向量a ( x , y ),b ( x , y )，则 a· b = x 1x 2 y 1 y 211228 向量的夹角： 已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB =b , 则∠ AOB= （ 00180 0 ）叫做向量 a与 b 的夹角cos = cos a,ba b = x 1 x 2 y 1 y 22ab222x 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时， θ =00，当且仅当 a 与 b 反方向时 θ =1800，同时 0 与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题文档大全适用标准9 垂直：假如 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b 10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ ba ·b ＝ Ox 1x 2y 1 y 2 0 平面向量数目积的性质【练习题】1、给出以下命题：①两个拥有共同终点的向量，必定是共线向量；②若 A ， B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a 与 b 同向，且 |a |>|b |，则 a >b ；④ λ， μ为实数，若 λa ＝μb ，则 a 与 b 共线． 此中假命题的个数为 ( )A ．1B ． 2C ．3D ． 42．设 a 0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若 a 与 a 0 平行，则 a ＝ |a |a 0 ；③若a 与 a 0 平行且 |a |＝ 1，则 a ＝ a 0.上述命题中，假命题的个数是()A ．0B ． 1C ．2D ． 33、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若 AB ＝ a ＋ b ， BC ＝ 2a ＋ 8b ， CD ＝ 3(a － b )．求证： A ， B ， D 三点共线； (2)试确立实数 k ，使 k a ＋ b 和 a ＋k b 共线．4、已知两点 A(4,1)， B(7，－ 3)，则与 AB 同向的单位向量是 ()A.3，－4B. － 3， 4555 5 C. － 4，3D.4，－ 35 5555、在△ ABC 中， M 为边 BC 上随意一点， N 为 AM 中点， AN ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ＋ μ的值为 ()1B.1A. 231C.4D ． 16、已知两个单位向量e 1， e 2 π的夹角为，若向量 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝ 3e 1＋ 4e 2，则 b 1 ·b 2＝ ________.37、已知 |a |＝ 1， |b |＝2， a 与 b 的夹角为 120 °， a ＋ b ＋ c ＝ 0，则 a 与 c 的夹角为 ()A ．150 °B ． 90°文档大全适用标准C ．60°D ． 30°8、已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数， 若向量 a ＋b 与向量 k a － b 垂直，则 k ＝ ________.9、设向量 a ， b 知足 |a |＝ 1， |a － b |＝ 3， a ·(a － b )＝ 0，则 |2a ＋ b |＝ ()A ．2B ．2 3C ．4D ．43110、已知向量 a ＝ (sin x,1)， b ＝ cos x ，－ 2 . (1)当 a ⊥ b 时，求 |a ＋ b |的值；(2)求函数 f(x)＝ a ·(b －a )的最小正周期．11、已知 f( x)＝ a ·b ，此中 a ＝ (2cos x ，－ 3sin 2 x)， b ＝ (cos x,1)( x ∈R )．(1)求 f(x)的周期和单一递减区间；(2)在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ， f(A)＝－ 1， a ＝ 7， AB ·AC ＝3，求边长 b 和c 的值 (b>c)．12、如图，在ABC 中， OA a ， OB b,M 为 OB 的中点， NB为 AB 的中点， P 为 ON 、 AM 的交点，则 AP 等（）A21 B2 1MNaPab3b3 33C1 2 D1 a2ab3b333O A13．△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB ＝ a ， CA ＝ b ， a ·b ＝ 0， |a |＝ 1， |b |＝ 2，则 AD ＝( )1122A. 3a － 3bB.3a － 3b3 34 4 C.5a － 5bD.5a －5b14． (2012 郑·州质检 )若向量 a ＝ (x － 1,2)， b ＝ (4， y)互相垂直，则 9x ＋ 3y的最小值为 ()A ．12B ． 2 3C ．32D ． 615． (2012 ·西省四校联考山 )在△ OAB(O 为原点 )中， OA ＝ (2cos α，2sin α)， OB ＝(5cos β，5sin β)，若 OA OB＝－ 5，则△ OAB 的面积 S ＝ ( )·文档大全适用标准3 A. 3B. 2 C ．53D. 5 3216、若 a ， b ， c 均为单位向量，且 a ·b ＝ 0， (a － c ) ·(b － c )≤ 0，则 |a ＋ b － c |的最大值为 ()．A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ．217、已知△ ABC 为等边三角形，→→ → → → →AB ＝ 2.设点 P ， Q 知足 AP ＝λAB ， AQ ＝ (1－ λ)AC ，λ∈R ，若 BQ ·CP ＝－ 3，则 λ＝ ( )．211± 2 1± 10 －3±2 2A. 2B. 2C. 2D. 218 如图，已知平行四边形 ABCD 的极点 A(0，0) ，B(4,1) ， C(6,8)．(1)求极点 D 的坐标；(2)若 DE ＝ 2 EC ，F 为 AD 的中点，求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标．．【课后练习题】1．以下等式：① 0－a ＝－ a ；②－ (－ a )＝ a ；③ a ＋ (－a ) ＝0；④ a ＋ 0＝ a ；⑤ a － b ＝ a ＋ (－ b )．正确的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5分析：选C2． (2012 ·州模拟福 )若 a ＋ b ＋ c ＝ 0，则 a ， b ， c ()A ．都是非零向量时也可能没法组成一个三角形B ．必定不行能组成三角形C ．都是非零向量时能组成三角形D ．必定可组成三角形分析：选A3．(2012 威·海质检 )已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C.若 OA ＋ 2 OC ＝ 3 OB ，则|BC |的值为 ()|AB |11 A. 2B.3文档大全适用标准1 1 C.4 D.6分析：选A4．(2012 海·淀期末 )如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三平分点 (凑近 B)，那么 EF ＝ ()A. 21AB －31 AD B.41AB ＋21 ADC.31AB ＋21DAD.21AB －32AD分析：选D5． (2013 揭·阳模拟 )已知点 O 为△ ABC 外接圆的圆心，且 OA ＋ OB ＋ CO ＝ 0，则△ ABC 的内角 A等于 ()A ．30°B ． 60°C ．90°D ． 120 °分析：选A6．已知△ ABC 的三个极点 A 、B 、C 及平面内一点 P 知足 PA ＋ PB ＋ PC ＝ AB ，则点 P 与△ ABC的关系为 ()A ．P 在△ ABC 内部B ．P 在△ ABC 外面C ．P 在 AB 边所在直线上D ．P 是 AC 边的一个三平分点分析：选D7．(2012 ·州五校联考郑)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC 2＝ 16，| AB ＋ AC |＝ |AB－ AC |，则 | AM |＝ ________.答案： 28． (2013 ·庆模拟大 )已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量OA ， OB ， OC ， OD 知足等式 OA ＋ OC ＝ OB ＋ OD ，则四边形 ABCD 的形状为 ________．答案： 平行四边形9．设向量 e 1， e 2 不共线， AB ＝ 3(e 1 ＋e 2 )， CB ＝e 2－e 1， CD ＝ 2e 1＋ e 2，给出以下结论：① A ，B ，C 共线；② A ，B ，D 共线；③ B ， C ， D 共线；④ A ， C ，D 共线，此中全部正确结论的序号为________．答案： ④10．设 i ，j 分别是平面直角坐标系 Ox ，Oy 正方向上的单位向量， 且 OA ＝－ 2i ＋ m j ，OB ＝ n i ＋ j ，OC＝ 5i －j ，若点 A ，B ， C 在同一条直线上，且m ＝ 2n ，务实数 m ， n 的值．文档大全m＝ 6，适用标准m＝ 3，或3n＝3，n＝2.x7．已知向量a＝8，2， b＝(x,1)，此中x>0，若(a－2b)∥(2a＋ b)，则x＝________.答案： 48． P＝{ a|a＝(－ 1,1)＋ m(1,2) ，m∈R} ，Q＝ { b|b＝ (1，－ 2)＋ n(2,3)，n∈R} 是两个向量会合，则P∩Q 等于 ________．答案： { －13，－23 }9．已知向量OA＝ (1，－ 3)，OB＝ (2，－ 1)，OC＝ (k＋ 1，k－ 2)，若 A，B，C 三点能组成三角形，则实数 k 应知足的条件是 ________．答案： k≠ 110．已知 A(1,1)， B(3，－ 1)， C(a， b)．(1)若 A， B， C 三点共线，求a，b 的关系式；(2)若AC＝ 2 AB，求点 C 的坐标．(5，－ 3)．11．已知a＝ (1,0) ，b＝ (2,1)．求：(1)|a＋ 3b|；(2)当 k 为什么实数时， k a－b与a＋3b平行，平行时它们是同向仍是反向？方向相反．12．已知 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝ t1OA＋ t2AB .(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；文档大全适用标准(2)求证：当t1＝ 1 时，无论t2为什么实数， A， B，M 三点都共线．8．已知向量a， b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a－ b|＝10，则 |b|＝ ________.答案：329．已知向量a＝(2，－1)， b＝( x，－2)，c＝(3，y)，若 a∥b，(a＋b)⊥( b－ c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量 MN 的模为________．答案：8210．已知a＝ (1,2)，b＝(－ 2， n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且 a 与 c－ a 垂直，求 c.1c＝2b＝(－1,3)．11．已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8，a与b的夹角是120 °.(1)计算：① |a＋b|，② |4a－2b|；(2)当 k 为什么值时， (a＋ 2b)⊥ (k a－b)?即 k＝－ 7 时，a＋ 2b与 k a－b垂直．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0≤°α<360°)， b＝－12，23.(1)求证：向量a＋ b 与 a－ b 垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．文档大全适用标准α＝ 30°或α＝ 210 °.文档大全。
文科平面向量专题
平面向量专题复习一题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义1.设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP += ，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=2.已知a 、b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________. 3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b = ，则AF = _________4、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的 中点,则AE BD ⋅= ________.5、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60 ,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c ,则t =_____ 2; 题型二： 平面向量基本定理1、在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD = _________2、 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE = , 则AB 的长为______.123、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+ ，，则λ=23 ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD = ______________ 4455a b - 题型三: 平面向量的坐标表示与运算1、已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b - 平行，k 值为________2、已知向量(1sin )a θ= ，，(13cos )b θ= ，，则a b - 的最大值为_______ 3、设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______24、已知向量(1,0)a = ，()11b = ，，则 （Ⅰ）与2a b + 同向的单位向量的坐标表示为____________；31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）向量3b a - 与向量a 夹角的余弦值为____________。
高考文科数学二轮专题复习：06 平面向量
(5)若 a＝(x，y)，则 | a | x2 y2
(6)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cos a, b a b | a || b |
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
(7)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
9
3
【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的
坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．
例 3 (1)已知向量 OA (k,12),OB (4,5),OC (k,10) ，且 A、B、C 三点共线，求实数 k 的
于是 4sin＝cos，故 tan 1 ． 4
(Ⅱ)由｜a｜＝｜b｜知，sin2＋(cos－2sin)2＝5，所以 1－2sin2＋4sin2＝5． 从而－2sin2＋2(1－cos2)＝4，即 sin2＋cos2＝－1，
于是
sin(2
π )
4
2 2
又由
0＜＜知，
π 4
2
π 4
9π 4
，所以 2
π 4
－(c·a)(b·c)＝0，所以 c(b·c)a－(c·a)b 与 c 垂直；
(2)假命题．a·c＝b·c≠a＝b；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量 a 与向
量 b 都是与向量 c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是 a、b 这两个向量不相等；
(3)假命题．(a·b)c≠a(b·c)，实际上(a·b)c 是与向量 c 方向相同或相反的一个向量，a(b·c)是与
(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟
全国卷高考—平面向量试题带答案资料讲解
5．平面向量（含解析）一、选择题【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( )A ．(-7,-4)B ．(7,4)C ．(-1,4)D ．(1,4)【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( )A ．B ．21 C ．21 D ． 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________．【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ）A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b（2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2（2014·4）设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρρ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.（2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=uu u r uu u r _______.（2012·15）已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1，|2-a b |b |= .（2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = .5．平面向量（解析版）一、选择题【2015，2】解：(3,1),u u u r u u u r u u u r u u u r Q AB BC AC AB =∴=-=(-7,-4)，故选A【2014，6】解：+EB FC EC CB FB BC +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =111()222AC AB AB AC AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选A 二、填空题【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【解析】由题得(1,3)a b m +=-r r ，因为()0a b a +⋅=r r r ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =；【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 解析：23-．由题意()210x x ⋅=++=a b ，解得23x =-．故填23-． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 解析：2． ∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=． ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0．∴12t ＋1－t ＝0． ∴t ＝2．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________． 【解析】23． 由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅．因为|2|a b -=r r 10||4||422=+⋅-，即06||22||2=--， 解得23||=． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 【解析】因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以1==a b ．又k -a b 与+a b 垂直，所以()()0k +⋅-=a b a b ，即220k k +⋅-⋅-=a a b a b b ，所以10k k -+⋅-⋅=a b a b ，即1cos cos 0k k θθ-+-=．（θ为a 与b 的夹角）所以()()11cos 0k θ-+=，又a 与b 不共线，所以cos 1θ≠-，所以1k =．故答案为1．2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量（解析版）一、选择题此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 （2017·4）A 解析：由||||+=-a b a b r r r r 平方得2222()2()()2()++=-+a ab b a ab b r r r r r r r r ，即0=ab r r ，则⊥a b r r ，故选A.（2015·4）C 解析：由题意可得a 2=2，a ·b =-3，所以(2a +b )·a =2a 2+a ·b =4-3=1.（2014·4）A 解析：2222||210.||2 6.a b a b ab a b a b ab +=++=-=∴+-=r r r r r r r r r r r r Q Q Q 两式相减，则 1.ab =r r二、填空题（2016·13）-6解析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．（2013·14）2解析：在正方形中，12AE AD DC =+uu u r uuu r uuu r ，BD BA AD AD DC =+=-uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .（2012·15）∵|2-a b |=224410-⋅=a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）（2011·13）k = 1解析： (a +b )·(k a -b )=0展开易得k =1.。
高考数学文科总复习五《平面向量》讲义
高考数学文科总复习五《平面向量》讲义第十三讲 平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=，2BM MA =， 2CN NA =，则·BC OM 的值为N MOCB AA ．15-B ．9-C ．6-D ．04．（2017新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则A ．⊥a bB ．||||=a bC ．∥a bD ．||||>a b 5．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为A ．85-B ．81C ．41D ．8117．（2016全国III 卷）已知向量1(2BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠= A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°8．(2015重庆)已知非零向量,a b 满足||=4||b a ，且(+)⊥2a a b ，则a 与b 的夹角为A ．3πB ．2π C ．23π D ．56π 9．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a bD ．22()()+-=-a b a b a b10．（2015新课标2）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．1-B ．0C ．1D ．211．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+FC EBA ．ADB ． AD 21C ． BC 21 D ． BC12．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．513．(2014山东) 已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．BC ．0D ． 14．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．3π C ．6π D ．0 15．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e eD ．12(2,3),(2,3)=-=-e e16．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定17．(2014重庆)已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15218．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1019．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =20．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 21．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ． D ． 22．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，⋅0a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 223．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是A 、2⎛⎝⎦ B 、 ,22⎛ ⎝⎦ C 、2⎛ ⎝ D 、2⎛ ⎝ 24．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．425．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于A ．2B ．12C ．0D ．－1 26．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b27．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ． 14B ．12C ．1D ．228．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1229．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的面积等于A BC ．2221|||()2|-⋅a b a bD ．2221|||()2|+⋅a b a b 30．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-a b ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0=ab B ．=a b b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=a b a b D ．2222()()||||+•=ab a b a b二、填空题 31．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=_． 32．(2018北京)设向量(1,0)=a ，(1,)m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_______．33．（2017新课标Ⅰ）已知向量(1,2)=-a ，(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直，则m =__．34．（2017新课标Ⅲ）已知向量(2,3)=-a ，(3,)m =b ，且⊥a b ，则m = ．35．（2017天津）在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2．若2BD DC =，AE AC ABλ=-（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．36．（2017山东）已知向量(2,6)=a ，(1,)λ=-b ，若a ∥b ，则λ= ．37．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45。
高三文科数学平面向量和三角函数专题
xx 届高三文科数学第二轮复习资料——《平面向量和三角函数》专题1. 证明: βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-．2. 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域；（3）画出函数)(x f 在区间[]ππ,-上的图象.3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若C B A C B sin sin sin sin sin 222+=+，且4=⋅，求△ABC 的面积．4. 观察以下等式：4360cos 30sin 60cos 30sin 22=︒︒+︒+︒ 4350cos 20sin 50cos 20sin 22=︒︒+︒+︒4345cos 15sin 45cos 15sin 22=︒︒+︒+︒分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．5. 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积6. 已知函数x x x x f 2cos cos sin 3)(+=.（I ）写出函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（II ）若函数)(x f 的图象关于直线0x x =对称，且100<<x ，求0x 的值．7．已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[ －5，1 ]，求常数a 、b 的值．8. 设关于x 的函数y=2cos 2x －2acosx －(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=21的a 值，并对此时 的a 值求y 的最大值9. 已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，a ，b ，c 为其对应边，向量.1),sin ,(cos ),3,1(=⋅=-=n m A A n m 且（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若.,cos cos ),1,2(S ABC cbC B AB 的面积求∆==10. 是否存在实数a ，使得函数y=sin 2x+a ·cosx+85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.11.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t ()024,:t ≤≤单位小时的函数,记作()y f x =,下表是某日各时的浪高数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经过长期观察,y=f(x)的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+ （1）以t 为横坐标,y 为纵坐标在直角坐标系中画出表中数据的散点图;（2）根据以上数据,求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T,振幅A 及函数表达式;（3）依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?12. 海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A ，上午11时测得一轮船在A 的北偏东60°的B 处，俯角是30°，11时10分，该船位于A 的北偏西60°的C 处，俯角为60°， （1）求该船的速度；（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A 的正西方向，此时船离A 的水平距离是多少？ （3）若船的速度与方向不变，何时它到A 站的距离最近？参考答案1. 证明：如图：在单位圆上任取两点A 、B ，设以OX 为始边，OA 、OB 为终边的角分别为βα,)sin ,(cos ),sin ,(cos )sin ,(cos ),sin ,(cos ββααββαα==∴B A 则∴βαβαsin sin cos cos +=⋅又)cos()cos(αβαβ-=-⋅=⋅OB OA OB OA ∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-2.解：（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππΘ，x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos sin 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ，ππ≤≤x 2Θ， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤∴πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. (3) 图略3.解：由已知得b 2+c 2=a 2+bc ，A bc a c b bc cos 2222=-+=∴，23sin ;21cos ==∴A A 由8,4cos 4=∴==⋅bc A bc AB AC ，得，32sin 21==∴A bc S4.解:上述各式的共同特点是:一个角的正弦的平方与比这个角大30°的角的余弦的平方和再加上这两个角的正弦与余弦的乘积等于同一个常数3/4．即：43)30cos(sin )30(cos sin 22=++︒++οθθθθ 证明：左边=)30sin sin 30cos (cos sin )30sin sin 30cos (cos sin 22οοοθθθθθθ-+-︒+θθθθθθθθ2222sin 21cos sin 23sin 41cos sin 23cos 43sin -++-+=43)cos (sin 4322=+=θθ5. 解 如图 连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =21·AB ·ADsinA+21·BC ·CD ·sinC ∵A+C=180°，∴sinA=sinC故S=21(AB ·AD+BC ·CD)sinA=21(2×4+6×4)sinA=16sinA由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cosA=20－16cosA ．在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cosC=52－48cosC ，∴20－16cosA=52－48cosC ，∵cosC=－cosA ，∴64cosA=－32，cosA=－21，又0°＜A ＜180°，∴A=120°，故S=16sin120°=86.解：（I ）21)62sin(2cos 212sin 23cos cos sin 3)(2++=+=+=πx x x x x x x f ππ==∴22T 由226222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈，得 63ππππ+≤≤-k x k )(z k ∈)(x f ∴的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k )(z k ∈（II ）Θ)(x f 的图象关于直线0x x =对称，2620πππ+=+∴k x 620ππ+=∴k x )(z k ∈ 100<<x Θ 60π=∴x7．解： ()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π ．∵ 20π≤≤x ，∴ 32323πππ≤-≤-x ，∴ 1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ．当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b ，∴ ⎩⎨⎧-==+.513b b a ， 解得 ⎩⎨⎧-==.52b a ，当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．∴ ⎩⎨⎧=-=+.153b b a ， 解得 ⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为 ⎩⎨⎧-==52b a 或 ⎩⎨⎧=-=12b a8.解 由y=2(cosx －2a )2－2242+-a a 及cosx ∈［－1，1］得f(a)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a aa∵f(a)=21,∴1－4a=21⇒a=81∉［2,+∞)或 －22a －2a －1=21，解得a=－1(2,2)∈-，此时，y=2(cosx+21)2+21，当cosx=1时，即x=2k π，k ∈Z ，y max =59. 解:（Ⅰ）1=⋅n m Θ，1cos sin 3=-∴A A ，21)6sin(=-∴πA π<<A 0Θ，πππ6566<-<-∴A ，.66ππ=-∴A .3π=∴A（Ⅱ）,cos cos c b C B =Θ∴由正弦定理，得,sin sin cos cos CBC B =,0cos sin sin cos =-∴C B C B即0)sin(=-C B .B Θ、C 为ABC ∆的内角，.C B =∴ 又,3π=A .3π==∴C B ABC ∆∴为正三角形．,514=+=.345432==∴AB S10.),(2132012385,1cos ,2,12.1cos 0,20.21854)2(cos 2385cos cos 1:max 222舍去解得时则当即时若时当解<==-+==>>≤≤≤≤-++--=-++-=a a a y x a a x x a a a x a x a x y π121854,2cos ,20,1202max =-+==≤≤≤≤a a y a x a a 时则当即若)(423舍去或解得-==a a )(512,12185,0cos ,0,02max 舍去解得时则当即若==-==<<a a y x a a综合上述知，存在23=a 符合题设.11.解: (1) 图略(2) 由表中数据可知:周期T=12，61222πππω===T 由t=0,y=1.5得A+b=1.5；由t=3,y=1.0得b=1.0．解得:A=0.5,b=1， 所以,振幅A=1/2, 16cos 21+=t y π(3) 由题意::y>1时海滨浴场才对冲浪者开放，116cos21>+∴t π，.16cos >∴t πz k k t k ∈+<<-∴,22622πππππ，312312+<<-k t k 即． :,2,1,0,240得令分别为又≤≤t242115930≤<<<<≤t t t 或或所以,在上午8:00至晚上20:00之间有6个小时可供冲浪者运动,即上午9:00至下午5:00.12. 解:（1）如图，)(360tan 1km OB =︒⨯=，),(339)21(3332313||,120),(3330tan 1km BC BOC km OC =-⨯⨯⨯-+=∴︒=∠=︒⨯=而∴船的速度);/(39261h km BCv ==（2）设船到达的正西位置为D （x ，0）， ∵B 的坐标为),23,23()30sin 3,30cos 3(=︒︒ 而C 的坐标为),63,21()150sin 33,150cos 33(-=︒︒ ∵B 、C 、D 三点共线，,23212363232323-=⇒+-=-∴x x )0,23(-∴D ，),(6393631||km CD =+=∴∴==(min),5)(121||h v CD Θ该船在上午11时15分到达正西方向； （3）作OE ⊥BC 于E ，则E 点到A 的距离最近，(min),1390)(263||),(1339352949||),(1323||,120sin ||||||||==∴=-=∴=∴︒⋅=⋅h v ED km DE km OE OC OB BC OE Θ∴=-(min),1318139015Θ船在上午11时1318分时到A 的距离最近.。
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一、选择题
平面向量专题
例 1.
ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB a ， CA b ，
a b 0 ， | a | 1， | b | 2 ，则 AD
（ A ） 1
a 1 b
（ B ） 2 a 2
b
（ C ） 3 a 3
b
（ D ） 4 a 4
b
3 3
3 3
5 5
5 5
例 2.设 x
R ，向量 a ( x,1),b (1, 2), 且 a b ，则 | a b |
（ A ） 5
（ B ） 10
（ C ） 2 5
（ D ） 10
例 3.设 a ， b 是两个非零向量。
A. 若|a+b|=|a|-|b| ，则 a ⊥ b B.
若 a ⊥ b ，则 |a+b|=|a|-|b|
C. 若|a+b|=|a|-|b|
，则存在实数 λ ，使得 b=λ a
D.
若存在实数 λ ，使得 b=λ a ，则|a+b|=|a|-|b|
例 4.设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使
a
b | a | | b |
成立的充分条件是（ ）
A 、 | a | | b | 且 a // b
B 、 a b
C 、 a // b
D 、 a 2b
例 5.设向量 a =（ 1. cos ） 与 b =（-1， 2 cos ）垂直，则 cos2 等于 （
）
2 1 A
B
C .0 D.-1
2
2
1
1 例 6. 已知向量 a = (1, —1) ， b = (2,x). 若 a ·b = 1, 则 x =
(A) —1 (B) —
2
(C)
2
(D)1
例 7.若向量 AB
(1,2) ， BC (3,4) ，则 AC
A. (4,6)
B. ( 4, 6)
C. ( 2, 2)
D. (2, 2)
例 8. 对任意两个非零的平面向量
和 ，定义
. 若两个非零的平面向量
a ，
b 满足 a 与 b 的夹角
, ，且 a b 和 b a 都在集合
4 2
5 3 A.
B.
2 2
n
n Z 中，则 a b 2
1 C. 1 D.
2
例 9.已知向量 a=（ x-1,2 ）， b=（ 2,1），则 a ⊥ b 的充要条件 1 A.x=-
2
B.x-1
C.x=5
D.x=0
例 10.在△ ABC 中， A=90 °， AB=1 ，设点 P ，Q 满 足 AP = AB ， AQ
=(1- ) AC ，
R 。
若 BQ
CP =-2 ，则
=
1 （ A ）
3
2 （ B ） 3
4 C ）
（D ） 2
3
例 1 已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b 10 ； 则 b
例 2.设向量a(1,2m) ，b ( m 1,1) ，c (2, m) ，若(a c) b ，则| a | .
例3.如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P，AP 3 且AP AC = .
例4.已知向量a=（1,0），b=（1,1），则
（Ⅰ）与2a+b 同向的单位向量的坐标表示为；
（Ⅱ）向量b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为。
例5.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB 的值为，DE DC 的最大值为。
练习：
1.AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB (2,4), AC (1,3), 则AD （）
A．(2, 4) B ．(3,7) C ．(1,1) D．( 1, 1)
2.平面向量 a ，b 共线的充要条件是
A. a ，b 方向相同
B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量
C. R，使得b a
D. 存在不全为零的实数 1 ， 2 ， 1 a 2 b 0
3.如图，在等腰直角ABO 中，设OA a, OB b, OA OB 1,C 为AB 上靠近点A的四等分点，过 C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任一点，OP p, 则p (b a)
1
A. B.
2 1
C.
3
D .
3 2 2 2
4.已知平面向量 a (1,2), b ( 2, k), 若a与b 共线，则3a b =
A． 5 B．2 5 C．5 2 D．5
5.已知| a | 6 ，| b | 3 ，a b 12 ，则向量 a 在向量b 方向上的投影是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
6.已知平面向量 a 和b ，| a | 1 ，| b | 2 ，且a 与b 的夹角为120°，则| 2a b | 等于
A．6 B．2 5 C．4 D．2
( 2, ) ( ,
)
r r r r
7. 已知向量 a (2,1) ， b (1,k) ，且 a 与 b 的夹角为锐角，则 k 的取值范围是（
）
（ A ）
2,
（ B ） 1 1
2 2
（C ） ( , 2) （ D ） ( 2,2)
8.
ABC 中，设 2
2
AC
AB
2 AM BC ，那么动点 M 的轨迹必通过
ABC 的（
）
A. 垂心
B. 内心
C. 外心
D.
重心
9. 过点 M (2,0) 作圆 x
2
y
2
1的两条切线 MA ， MB (A ， B 为切点 ) ，则 MA MB （
）
（ A ） 5 3
（ B ） 5
（ C ） 3 3
（D ） 3
2 2 2 2
10.
已知向量 a (1,x) ， b ( 1, x) ，若 2a b 与 b 垂直，则 | a | (
)
A ． 2
B
． 3
C
． 2
D
． 4
11.
向量 a (1,1),b (2,t ) , 若 a b , 则实数 t 的值为 A.
2
B.
1
C.
1
D.
2
12.
若向量 a (3, m) ，
b (2, 1) ， a b ，则实数 m 的值为
（
）
A .
3 2
B ．
3
C
． 2
D
． 6
2
13. 如图，在 ABC 中, BD
2DC .若AB a , AC = b ,则AD =
C
D
A
B
2 a 1 b A.
3 3
2 a 1 b
B.
3 3
1 a
2 b
C.
3 3
1 a
2 b
D.
3 3
14.
已知向量
a ,
b 满足 | a | 1, |b |
2 , a b 1 , 则 a 与 b 的夹角为 ( )
A 、
B 、 3
3
4
C 、
D 、
4
6
15.
等腰三角形
ABC 中， AB AC 5, B 30 , P 为BC 边中线上任意一点，则 CP BC 的值为（
）
A 、75
2
B 、
25
2
75
C
、5 D 、
2
16.已知向量a(1,3) ，b (m ,2 m1) ．若向量 a 与b 共线，则实数m ．
17.设a ，b ，c 是单位向量，且 a b c ，则向量 a ，b 的夹角等于．
18.在直角三角形ABC 中，ACB 90 ，AC BC 2 ，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则
CP CB CP CA ．
19.若向量a ，b 满足a 1 ，b 2 ，且a ，b 的夹角为，则a b = ，a b ．
3
20.设平面向量 a (1,2), b ( 2, y) ，若a / /b ，则y
21.向量a, b的夹角为120°，| a | 1,| b | 3, 则| 5a b |= ．
22.已知a 1 ， b 2 。
（1）若a与b 的夹角为3
，求( a
4
b) (a b) 的值；
（2）若 a b与a 垂直，求a与b 的夹角。
23.已知向量a
3
(sin x, ), b
4
(cos x, 1) ．（1）当a // b 时，求cos2 x sin 2x 的值；
（2 ）设函数 f (x) 2(a b) b ，已知在△ABC 中，内角A、B 、C 的对边分别为a、b、c ，若
a 3,
b 2,s i n B
6
3
, 求f x 4 cos 2A （x
6
0, ）的取值范围．
3。