高考文科数学常考题型训练平面向量
常考题型大通关:第14题 平面向量
1、已知向量(,1),(4,2)a x b ==-r r ,若//a b r r ,则a b +=r r _________.
2、设向量(),,11,2()a m b ==r r ,且222a b a b +=+,则m =___________________________
3、已知非零向量,a b r r 满足1,1a b +-r r ,且4a b -=r r ,则a b +=r r _________.
4、若向量,a b r r 满足8,12a b ==r r ,则a b +r r 的最小值是_________;当非零向量,a b r r (,a b r r 不共线)
满足__________时,能使a b +r r 平分,a b r r 的夹角(AOB ∠是向量,OA OB u u u r u u u r 的夹
角,0180AOB ?≤∠≤?).
5、在菱形ABCD 中,60DAB ∠=?,2AB =u u u r ,则BC DC +=u u u r u u u r __________.
6、已知向量()1,2a =-r ,b r ,a b -r r |a b +=r r ____________.
7、已知向量,a b r r 满足1,1a b ==r r ,a r 与b r 的夹角为60°,则2a b +=r r __________.
8、已知平面向量,a b 满足2,4,2a b a b ==+=则a 与b 的夹角为_______.
9、已知平面向量(1)a b =-=-r r ,则a r 与b r 的夹角为__________
10、已知向量(2,3)a =-r ,(3,)b m =r ,且a b ⊥r r ,则m =__________.
11、已知()()1,21,2,2a m b m =-=--r r ,若向量//a b r r ,则实数m 的值为__________.
12、向量()()1,1,1,0a b =-=r r ,若()()2a b a b λ-⊥+r r r r ,则λ=__________.
13、若2sin15a =?r ,4cos15,b =?r a r 与b r 的夹角为?30,则a b ?r r 的值_______________
14、设()5,2a -r =,()6,2b r =,则212|a|a b 2
-?r r r =______________. 15、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ,2AB AC ==,1PA PB ?=u u r u u r ,则PC uu u r 的取
值范围是 。
答案以及解析 1答案及解析: 答案:5
解析:由//a b r r ,得24x -=,即2x =-,则(2,1)a b +=-r r ,所以5a b +=r r .
2答案及解析:
答案: -2
解析:
3答案及解析:
答案:4
解析:如图所示,设OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ,则BA a b =-u u u r r r .
以,OA OB 为邻边作平行四边形OACB ,则OC a b =+u u u r r r . 由于222(71)(71)4+=,故222OA OB BA +=u u u r u u u r u u u r , 所以OAB △是直角三角形,90AOB ∠=?,
从而OA OB ⊥,所以平行四边形OACB 是矩形.
根据矩形的对角线相等得4OC BA ==u u u r u u u r ,即4a b +=r r .
4答案及解析:
答案:4;a b =r r
解析:由已知及向量的三角形不等式,知a b b a +≥-r r r r ,当且仅当a r 与b r 反向时,等号成立,故
a b +r r 的最小值为4.由向量加法的平行四边形法则,知a b =r r 时,平行四边形为菱形,对角线平分一组内角.
5答案及解析:
答案:23
解析:如图所示,设菱形对角线的交点为O .BC DC AD DC AC +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
∵60DAB ∠=?,∴ABD △为等边三角形.
又∵2AB =,∴1OB =.
在Rt AOB △中,223AO AB OB =-=u u u r u u u r u u u r ∴223AC AO ==u u u r u u u r 即23BC DC +=u u u r u u u r 6答案及解析:
答案:3 解析:
7答案及解析:
7
解析:
8答案及解析:
答案:π3
解析:243,a b +=Q 224448,a b a b ∴++?=即4416448,a b ?++?=解得4,a b ?=因此41cos ,,242a b a b a b ?===??则a 与b 的夹角为π.3
9答案及解析:
答案:56
π 解析:
10答案及解析:
答案:2
解析:因为a b ⊥r r ,所以0a b ?=r r ,得630m -+=,所以2m =.
11答案及解析:
答案:0m =或52
m =
解析:
12答案及解析:
答案:3 解析:由于()()2,1,22,2a b a b λλ-=-+=-+r r r r ,
则由(
)()2a b a b λ-⊥+r r r r 可得()()
()22220a b a b λλ-?+=--++=r r r r , 解得3λ=.
13答案及解析:
解析:
14答案及解析:
答案:45
解析:
15答案及解析:
答案:??
解析:以点A 为坐标原点,AB AC ,所在的直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系(如图),
则()()(00202)0A B C ,,,,,.设()P x y ,,则由1PA PB ?=u u r u u r 得,
()(2)x y x y ---?-,,2221x x y =-+=, 则点P 的轨迹方程是()2
212x y -+=,
轨迹是位于三角形内(含边界)的一段圆弧.
设点F 为其圆心,则0(1)F ,
,如图.当点C P F ,,共线时,
min CP CF PF =-,当点P 的坐标为(0)1,
时,
CP 取得最大值1.故CP 的取值范围是??.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结
第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要: 1. 向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量,一般用c b a ,,来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如AB (其中A 为起点,B 为终点)。 2. 向量的大小:又叫向量的模,也就是向量的长度,记作||a 或||AB 。 3. 零向量:长度为0的向量,记作0,其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线(平行),即a ∥0。 4. 单位向量:模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时,很明显| |a a ± 是与向量a 共线(平行)的单位向量。 5. 相等向量:大小相等,方向相同的向量,记为b a =。 6. 相反向量:大小相等,方向相反的向量,向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量(平行向量):方向相同或方向相反的向量,叫做平行向量,也叫做共线向量,因为任何平行向量经过平移后,总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法: 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,,在平面内任取一点A ,作b BC a AB ==,,则向量AC 叫做向量a 和b 的和(或和向量),即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义:向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则,如图: 1.3. 若向量b a ,不共线,加法的三角形法则和平行四边形法则都适用;当向量b a ,共线时,只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和,如图:
2. 向量的减法: 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量,即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义:向量的减法符合三角形法则,同起点,指向被减数,如图: 3. 向量的数乘运算: 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量,记为a λ,其长度与方向规定如下: ①||||||a a λλ= ②当0>λ时,a λ与a 的方向相同;当0<λ时,a λ与a 的方向相反;当0=λ时,0=a λ,方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ,为实数,则 ①a a a μλμλ+=+)(; ②a a )()(λμμλ=; ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理:如果)(R b a ∈=λλ,则b a ∥;反之,如果b a ∥且0≠b 时,一定存在唯一实数λ,使b a λ=。 2. 三点共线定理:平面内三点A,B,C 共线的充要条件是,存在实数μλ,,使μλ+=,其中 1=+μλ,O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=(1=+μλ) ? 典型例题精讲精练: 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题:①若a =b ,b =c ,则a =c ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB ―→=DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;其中正确命题的序号是________.[答案] ①② 2. 给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②λa =0(λ为实数),则λ必为零;③λ, μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线.其中错误的命题的个数为( )D A .0 B .1 C .2 D .3
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 (1) 常见题型分类 题型一:向量的有关概念与运算 例1:已知a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b = (-3,4)平行的单位向量,则向量a的终点坐标是. 例2:已知| a |=1,| b |=1,a与b的夹角为60°, x =2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二:向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1(1),a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 (2)已知O ,N ,P 在ABC ?所在平面内,且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=,且PA PB PB PC PC PA ?=?=?,则点O ,N ,P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2.已知平面向量a =(3,-1),b =(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ,便得x =a +(t 2-3)b , y =-k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数的关系式k =f(t);(2) 根据(1)的结论,确定k =f(t)的单调区间. 例3: 已知平面向量a ?=(3,-1),b ?=(2 1,23),若存在不为零的实数k 和角α,使向量c ?=a ?+(sin α -3)b ?, d ?=-k a ?+(sin α)b ?,且c ?⊥d ?,试求实数k 的
取值范围. 例4:已知向量)1,2(),2,1(-==b a ,若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直,求k 的最小值. 题型三:向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查. 例7.设函数f (x )=a · b ,其中向量a =(2cos x , 1), b =(cos x ,3sin2x ), x ∈R.(1)若f(x )=1-3且x ∈[-
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法