专题七：平面向量常考题型的解题技巧

平面向量专题讲解
向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合.
题型一：考查与向量概念有关的问题
⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义.
⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.
⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.
⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）. ⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.
⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.
题型二：与向量运算有关的问题
⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量（对应坐标相加）. ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋|b |；
②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，
且|+|=||-||；
若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.
⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.
⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中）
+++=.(□ABCD 中)
⑷判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ. 这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.
⑸数量积的8个重要性质
①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则
③⇔⊥)1|.(cos ||==⋅=⋅e a θ0=⋅（∵θ=90°，)0cos =θ ④在实数运算中ab =0a ⇔=0或b=0.而在向量运算中b a ⋅=0a ⇔=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ⋅=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ⋅=||||b a ⋅(θ=0,cos θ=1); 当a 与b 反向时，b a ⋅=-||||b a ⋅(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||b a ⋅=⋅. 特殊情况有2=⋅=2
|a .
或|a ==22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则||a =221221)()(y y x x -+- ⑥|||||b a ⋅≤⋅。

（因1cos ≤θ）
⑦数量积不适合乘法结合律. 如).()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（因为c b a ⋅⋅)(与c 共线，而)(c b a ⋅⋅与a 共线）
⑧数量积的消去律不成立. 若a 、、c 是非零向量且c b c a ⋅=⋅并不能得到b a =这是因为向量不能作除数，即c 是无意义的.
1．（2008安徽理）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（）
A ． （－2，－4）
B ．（－3，－5）
C ．（3，5）
D ．（2，4）
2．(2008湖北文、理)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =（）
A.(-15,12)
B.0
C.-3
D.-11
4．(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（）
A ．2OA O
B - B ．2OA OB -+
C ．
2133OA OB - D ．1233
OA OB -+ 5．(2008全国Ⅰ卷文、理)在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）
A ．2133+b c
B ．5233-c b
C ．2133-b c
D ．1233+b c 6．（2008浙江理））已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是（）
（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2
2 7．（2008北京理）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．
8. (2008江苏) a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= 7 ．
,是不共线的两个向量,
9.已知,2,,2k -=+=+=
若D B A ,,三点共线,求k 值.
思路：由于D B A ,,三点共线,因此必存在实数λ,使BD AB λ=,因而可根据已知条件和向量相等的条件得到关于k ,λ的方程,从而求k .
解:略∴k =-1.
注意：用向量共线的充要条件有时可以很容易解决几何中的三点共线问题.
题型二：与平面向量基本定理及平移有关的问题
⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.
⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。

⑶点的平移公式：（对应坐标相加）
点),(y x P 按给定平移向量),,(k h a =平移后得新点),(y x p '''的坐标公式为
⎩
⎨⎧+='+=';,k y y h x x 反之，由新点求旧点公式变为
⎩
⎨⎧-'=-'=;,k y y h x x 由新旧两点求平移向量公式为
⎩⎨⎧-'=-'=.
,y y k x x h ⑷图象（图形）平移：（对应坐标相减） 给定平移向量=(),k h ，由旧解析式求新解析式，用公式
⎩⎨⎧-'=-'=k
y y h x x , 代入旧解析式中，整理得到；
由新解析式求旧解析式，用公式
⎩⎨⎧+='+='k
y y h x x ,
代入新式，整理得到。

应用以上公式要注意公式中平移前的坐标),(y x 、平移后的坐标),(y x ''、平移向量坐标),(k h 都在同一坐标系中。

确定平移向量一般可采用如下两种思路： 思路一：配凑法：按题目要求进行配凑，如将3)63sin(2+-=π
x y 化简，即可配凑为：
),18(3sin 23π-=-x y 则公式为⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=318''y y x x π此时平移向量为).3,18(--π 思路二：待定系数法：按要求代入公式，再根据题目要求求出.,k h
【例1】
一．选择题
1.已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（ ）. A.|| -||=|-| B.||||b a b a -=+
=+b |-| D.||||||+=+
2.已知向量),,(y x =，其中}{}{,,8,6,4,2,,5,4,2,1∈∈y x 则满足条件的不共线的向量共有（ ）.
A.16个
B.13个
C.12个
D.9个
3.函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是,12cos +=x y 则a 等于（ ）.
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,4π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,4π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,2π D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,2π 4.已知若),5,3(),2,(-==λ和夹角为钝角,则λ的取值范围是（ ）
A.λ＞310
B.λ≥310 λ＜310 λ≤3
10 5.已知向量=()sin 2,cos 2αα，=),sin 3,cos 3(ββ与的夹角为60°，则直线021sin cos =+-ααy x 与圆2
1)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是（ ）. A. 相切 B.相交 C.相离 D.随α、β的值而定
6.已知ABC ∆中,点D 在BC 边上,且,,2s r +=⋅=则s r +的值是（ ）. A.32 B.3
4 C.3- D.0 7.已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比是( ). A.83 B.38 C.83- D.3
8- 8.同时垂直于()()3,5,4,1,2,2==的单位向量是( ) A.)32,32,31
(- B.()32,32,31-- C.(32,31,31-)D.(32,32,31-)或(3
2,32,31--) 9.若)1,sin 2,cos 2(),1,sin 3,cos 3(θθααB A ,则||的取值范围是( )
A.[0,5]
B.[1,5]
C.(1,5)
D.[1,25]。