充分必要条件上课用1
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高一上数学必修一第一章《充分条件、必要条件》知识点梳理
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理1.2.3 充分条件、必要条件学习目标1．理解充要条件的概念，并会判断和证明p 是q 的充要条件.2．培养逻辑推理能力．重难点重点：掌握充要条件的概念和判断方法.难点：能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明．一、充分条件、必要条件我们已经接触过很多形如“如果p ，那么q”①的命题，例如：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；（3）如果x>2，那么x>3；（4）如果a>b 且c>0，那么ac>bc.在“如果p ，那么q”形式的命题中，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.若“如果p ，那么q”是一个真命题，则称由p 可以推出q ，记作p q读作“p 推出q”；否则，称由p 推不出q ，记作p q ，读作“p 推不出q”.例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行；而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作x>2⇏x>3.①“如果p ，那么q”也常常记为“如果p ，则q”或“若p ，则q”，【尝试与发现】当p q 时，我们称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当p q 时，我们称p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.因此， “如果p ，那么q”是真命题，⇒⇒⇒p q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.例如，因为“如果x=-y ，则x 2=y 2”是真命题，所以x=-y x 2=y 2，x=-y 是x 2=y 2的充分条件，x 2=y 2是x=-y 的必要条件.再例如，因为命题“若A∩B≠∅，则A≠∅”是真命题，所以A∩B≠∅ A≠∅A∩B≠∅是A≠∅的 条件A≠∅是A∩B≠∅的 条件【思考与辨析】【典型例题】例1 判断下列各题中，p 是否是q 的充分条件，q 是否是p 的必要条件：（1）p:x ∈Z ，q:x ∈R ；（2）p:x 是矩形，q:x 是正方形。
新教材人教B版必修第一册 1.2.3 充分条件、必要条件 课件(45张)
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第一章 集合与常用逻辑用语
数学[必修 · 第一册 RJB]
2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( B )
A．x<0，y<0
B．x<0，y>0
C．x>0，y>0
D．x>0，y<0
解析：第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是
第二象限的点的充要条件是x<0，y>0.
件、必要不充分条件和 习惯，从而提高交流的严谨性和准确
充要条件的简单应用. 性.
·
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第1课时 集合的概念
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第一章 集合与常用逻辑用语
数学[必修 · 第一册 RJB]
必备知识·探新知
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第一章 集合与常用逻辑用语
数学[必修 · 第一册 RJB]
p⇔q
p q且p p
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第一章 集合与常用逻辑用语
AB 集合
BA
A＝B
数学[必修 · 第一册 RJB]
A⊆/ B 且 B⊆/ A
“若 p，则 q” “若 p，则 q” “若 p，则 q” “若 p，则 q”是
命题 是真命题，且 是假命题，且 是真命题，且 假命题，且“若
真假 “若 q，则 p” “若 q，则 p” “若 q，则 p” q，则 p”是假命
a>0，
－a＋3≤0 2a＋3≥0
a<0，
，或－a＋3≥0， 2a＋3≤0，
解得 a≥3 或 a≤－32.
故易得 a∈(－∞，－32]是方程 ax＋3＝0 在[－1,2]上有实数根的充分 不必要条件．
上课1.2《充分条件与必要条件》课件 (共20张PPT)
2
（充要条件） 4）同旁内角互补 " "是 " 两直线平行 "的
5)" x 5" 是 " x 3"的
（必要不充分条件） 6)" a b " 是 " a c b c "的 （充要条件）
7）已知ABC不是直角三角形， "A<B" 是 "tan A tan B "的 （既不充分也不必要条件）
定义： 对于命题“若p则q”
1.若p q, q p, 则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.
2.若p q, q p,即p q, 则p是q充分必要条件， 简称充要条件 . 也说p与q互为充要条件 .
3.若p q, q p, 则p是q的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件.
作业：
• P.15 A组 第4题 B组第2题
真
2 0 ac 00 （5方程有 ）若ab ax ，则 ； 假 bx (a 0) 两个不等的实数解 b 2 4ac 0
(6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 两三角形全等
真
两三角形面积相等
定义：
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q ， 即命题“若p则q” 为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件．
1 1 当x 0, y 0时，有： . x y
必要性(q p) 1 1 yx 若 , 则有： 0,即xy( y x) 0. x y xy x y y x 0 xy 0.
例2、已知ab 0, 求证：a b 1的充要条件是 a 3 b3 ab a 2 b 2 0.
（充要条件） 4）同旁内角互补 " "是 " 两直线平行 "的
5)" x 5" 是 " x 3"的
（必要不充分条件） 6)" a b " 是 " a c b c "的 （充要条件）
7）已知ABC不是直角三角形， "A<B" 是 "tan A tan B "的 （既不充分也不必要条件）
定义： 对于命题“若p则q”
1.若p q, q p, 则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.
2.若p q, q p,即p q, 则p是q充分必要条件， 简称充要条件 . 也说p与q互为充要条件 .
3.若p q, q p, 则p是q的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件.
作业：
• P.15 A组 第4题 B组第2题
真
2 0 ac 00 （5方程有 ）若ab ax ，则 ； 假 bx (a 0) 两个不等的实数解 b 2 4ac 0
(6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 两三角形全等
真
两三角形面积相等
定义：
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q ， 即命题“若p则q” 为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件．
1 1 当x 0, y 0时，有： . x y
必要性(q p) 1 1 yx 若 , 则有： 0,即xy( y x) 0. x y xy x y y x 0 xy 0.
例2、已知ab 0, 求证：a b 1的充要条件是 a 3 b3 ab a 2 b 2 0.
人教B版数学必修第一册1.2.3充分条件与必要条件课件
高一
必修一
1.2.3 充分条件与必要条件
本节目标
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义．
2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．
3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分
也不必要条件表达命题之间的关系．
4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．
课前预习
任务一：知识预习
预习课本，思考并完成以下问题
1．什么是充分条件、必要条件？
2．什么是充要条件？
课前预习
任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件( √ )
1
(2)α＝ 是sin α＝ 的必要条件( × ) 充分条件
6
2
(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题( √ )
(4)“若p，则q”是真命题，则p是q的必要条件( √ )
课前预习
任务二：简单题型通关
2．不等式 x－1＞0成立的充分不必要条件是( D )
A．－1＜x＜0或x＞1
B．0＜x＜1
C．x＞1
D．x＞2
x－1＞0⇔x＞1
课前预习
a>0，b>0⇒ ab>0
> 0 a>0，
b>0
充分性成立
必要性不成立
新知精讲
1. 充分条件与必要条件
➢ 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，
充分条件
p⇒q
我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的________，
必修一
1.2.3 充分条件与必要条件
本节目标
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义．
2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．
3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分
也不必要条件表达命题之间的关系．
4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．
课前预习
任务一：知识预习
预习课本，思考并完成以下问题
1．什么是充分条件、必要条件？
2．什么是充要条件？
课前预习
任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件( √ )
1
(2)α＝ 是sin α＝ 的必要条件( × ) 充分条件
6
2
(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题( √ )
(4)“若p，则q”是真命题，则p是q的必要条件( √ )
课前预习
任务二：简单题型通关
2．不等式 x－1＞0成立的充分不必要条件是( D )
A．－1＜x＜0或x＞1
B．0＜x＜1
C．x＞1
D．x＞2
x－1＞0⇔x＞1
课前预习
a>0，b>0⇒ ab>0
> 0 a>0，
b>0
充分性成立
必要性不成立
新知精讲
1. 充分条件与必要条件
➢ 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，
充分条件
p⇒q
我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的________，
高一数学人教B版必修第一册课件：1.2.3充分条件、必要条件
2．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】设x＞0，y∈R，当x＝1，y＝－2时，满 足x＞y但不满足x＞|y|，故由“x＞y”推不出“x＞ |y|”．而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|” 的必要不充分条件．故选C．
【答案】(－1,1]
当方程 x2＋y2＋kx＋ 3y＋k2＝0 表示圆时，k2＋3 －4k2>0，解得－1<k<1，所以－1<m≤1，即实数 m 的取值范围 是(－1,1]．
[跟踪训练]
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件， 必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； (2)对于实数x，y，p：x＋y≠6，q：x≠2或y≠4； (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2) ＝0.
立的充分条件是( )
A．a＝－b
B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b 且|a|＝|b|
【答案】C
a 与 b 分别表示与 a，b 同向的单位向量，当 a，b |a| |b|
同向时，可以推出 a ＝ b ，选项 |a| |b|
A，B，D
中，a，b
都可能反
向．故选 C．
4．已知“－1<k<m”是“方程 x2＋y2＋kx＋ 3y＋k2＝0 表 示圆”的充分条件，则实数 m 的取值范围是________．
∵q 是 p 的充分不必要条件，∴B A.
高一数学必修一《充分条件与必要条件》PPT课件
(2)集合法 对于集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，具体情 况如下： 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件．
(3)对充分条件和必要条件的进一步划分：
条件 p 与结论 q 的关系
结论
p⇒q，且 q⇒/ p
p 是 q 的充分不必要条件
q⇒p，且 p⇒/ q
p 是 q 的必要
p ⇒/ q，且 q ⇒/ p
p 是 q 的既不充分也不必要条件
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √ ) (2)q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( √ ) (3)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命 题．( √ ) (4)q 不是 p 的必要条件时，“p⇒/ q”成立．( √ )
设 p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，
则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 A.若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直， 即 p⇒q；反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一 定是菱形，故 q⇒/ p，所以 p 是 q 的充分不必要条件．
设 p：x＜3，q：－1＜x＜3，则 p 是 q 成立的( ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C.因为x|－1<x<3 {x|x<3}，所以 p 是 q 成立的必要
充分必要条件课件ppt
在数学和逻辑推理中，充分必要条件通常用于证明某个结论或推理的正确性，确 保结论的可靠性和严密性。
表示方法
01
在数学公式中，充分必要条件通 常用等号（=）来表示，即A=B 。这意味着A和B同时成立，缺一 不可。
02
在逻辑推理中，充分必要条件可 以用“当且仅当”（iff）来表示 ，表明两个命题之间既是充分条 件又是必要条件的关系。
充分必要条件课件
目录
CONTENTS
• 充分必要条件的基本概念 • 充分条件的证明 • 必要条件的证明 • 充分必要条件的判定 • 充分必要条件的应用
01
CHAPTER
充分必要条件的基本概念
定义
充分必要条件在逻辑学中是指一个命题成立所必须同时满足的条件。如果这些条 件得到满足，则命题成立；反之，如果命题不成立，则这些条件一定不满足。
反证法
定义
适用范围
反证法是通过否定一个命题来推导其 充分必要条件的方法。
适用于难以直接判断真假的命题，特 别是含有量词、逻辑联结词等复合命 题。
步骤
首先假设一个命题不成立，然后根据 这个假设推导出与已知事实相矛盾的 结论，从而否定假设，得出原命题的 充分必要条件。
数学归纳法
定义
数学归纳法是通过数学 归纳原理来证明一个命 题的充分必要条件的方 法。
步骤
首先证明基础步骤，即 当$n=1$时命题成立； 然后假设当$n=k$时命 题成立，证明当 $n=k+1$时命题也成立 ；最后根据数学归纳原 理得出结论。
适用范围
适用于与自然数有关的 命题，特别是与数列、 组合数学等有关的命题 。
05
CHAPTER
充分必要条件的应用
在逻辑推理中的应用
表示方法
01
在数学公式中，充分必要条件通 常用等号（=）来表示，即A=B 。这意味着A和B同时成立，缺一 不可。
02
在逻辑推理中，充分必要条件可 以用“当且仅当”（iff）来表示 ，表明两个命题之间既是充分条 件又是必要条件的关系。
充分必要条件课件
目录
CONTENTS
• 充分必要条件的基本概念 • 充分条件的证明 • 必要条件的证明 • 充分必要条件的判定 • 充分必要条件的应用
01
CHAPTER
充分必要条件的基本概念
定义
充分必要条件在逻辑学中是指一个命题成立所必须同时满足的条件。如果这些条 件得到满足，则命题成立；反之，如果命题不成立，则这些条件一定不满足。
反证法
定义
适用范围
反证法是通过否定一个命题来推导其 充分必要条件的方法。
适用于难以直接判断真假的命题，特 别是含有量词、逻辑联结词等复合命 题。
步骤
首先假设一个命题不成立，然后根据 这个假设推导出与已知事实相矛盾的 结论，从而否定假设，得出原命题的 充分必要条件。
数学归纳法
定义
数学归纳法是通过数学 归纳原理来证明一个命 题的充分必要条件的方 法。
步骤
首先证明基础步骤，即 当$n=1$时命题成立； 然后假设当$n=k$时命 题成立，证明当 $n=k+1$时命题也成立 ；最后根据数学归纳原 理得出结论。
适用范围
适用于与自然数有关的 命题，特别是与数列、 组合数学等有关的命题 。
05
CHAPTER
充分必要条件的应用
在逻辑推理中的应用
第一章习题课充分条件与必要条件的综合应用课件高一上学期数学人教A版(1)
(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件,
就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时必有M∩P={x|5<x≤8};
反之,若M∩P={x|5<x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个充分不必要条件.
规律方法
对于充分条件、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据
的( C )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 “四边形ABCD为平行四边形”等价于“AB与CD平行且相等”,故选C.
1 2 3 4
2.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件,则a的取值范围是( B )
A.{a|a≥3}
B.{a|a≤-1}
C.{a|-1≤a≤3}
(4)解不等式(组)或方程(组)求出参数的取值范围.
变式训练 2
(1)已知“不等式 m-1<x<m+1
数 m 的取值范围是( D )
1
A.{m|m<-2或
4
m>3}
1
B.{m|m<-2或
4
m≥3}
1
4
C.{m|- <m< }
2
3
1
4
D.{m|- ≤m≤ }
2
3
1
1
成立”的充分条件是“3<x<2”,则实
(1)A∪B=R的一个充要条件;
(2)A∪B=R的一个必要不充分条件;
(3)A∪B=R的一个充分不必要条件.
解 集合A={x|x>-3},B={x|x≤b,b∈R},
(1)若A∪B=R,则b≥-3,
就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时必有M∩P={x|5<x≤8};
反之,若M∩P={x|5<x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个充分不必要条件.
规律方法
对于充分条件、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据
的( C )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 “四边形ABCD为平行四边形”等价于“AB与CD平行且相等”,故选C.
1 2 3 4
2.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件,则a的取值范围是( B )
A.{a|a≥3}
B.{a|a≤-1}
C.{a|-1≤a≤3}
(4)解不等式(组)或方程(组)求出参数的取值范围.
变式训练 2
(1)已知“不等式 m-1<x<m+1
数 m 的取值范围是( D )
1
A.{m|m<-2或
4
m>3}
1
B.{m|m<-2或
4
m≥3}
1
4
C.{m|- <m< }
2
3
1
4
D.{m|- ≤m≤ }
2
3
1
1
成立”的充分条件是“3<x<2”,则实
(1)A∪B=R的一个充要条件;
(2)A∪B=R的一个必要不充分条件;
(3)A∪B=R的一个充分不必要条件.
解 集合A={x|x>-3},B={x|x≤b,b∈R},
(1)若A∪B=R,则b≥-3,
1.2充分条件和必要条件(上课用)g
x= 0
＞
x y=0。
要使结论xy=0成立，只要有条件x =0就足够了， “足够”就是“充分”的意思，因此称x =0是 xy=0的充分条件。另一方面如果xy≠0，也不可 能有x =0，也就是要使x =0，必须具备xy=0的条 件，因此我们称xy =0是x =0的必要条件。
合作探究
一般地,如果p
q,那么称 p是q的充分条件
例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
pq
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命 题（1）（2）中的p是q的充分条件
例2 、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些 命题中的q是p的必要条件？
（B）必要条件但不是充分条件
（C）既不是充分条件，也不是必要条件 （D）既是充分条件，也是必要条件
【解析】选C.设A={x|-2<x<1}, B={x||x|>1}={x|x>1或x<-1}. 显然A B且B A， ∴“-2<x<1”既不是“|x|>1”的充分条件，也不是必要条件.
４.(2010·三明高二检测）已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-
原命题 （1） 逆命题
真
假
（2）
（3）
假
真 假 真
真
真 假 假
（4）
（5）
命题：若x＞2，则x＞0。
若p 则q
若为假命 题则记为 p ＞ q
＞
一般地, “若 p , 则 q ”为真命题 , 是指由 p 通过推理可以得出 q . 这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p q .
＞
x y=0。
要使结论xy=0成立，只要有条件x =0就足够了， “足够”就是“充分”的意思，因此称x =0是 xy=0的充分条件。另一方面如果xy≠0，也不可 能有x =0，也就是要使x =0，必须具备xy=0的条 件，因此我们称xy =0是x =0的必要条件。
合作探究
一般地,如果p
q,那么称 p是q的充分条件
例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
pq
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命 题（1）（2）中的p是q的充分条件
例2 、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些 命题中的q是p的必要条件？
（B）必要条件但不是充分条件
（C）既不是充分条件，也不是必要条件 （D）既是充分条件，也是必要条件
【解析】选C.设A={x|-2<x<1}, B={x||x|>1}={x|x>1或x<-1}. 显然A B且B A， ∴“-2<x<1”既不是“|x|>1”的充分条件，也不是必要条件.
４.(2010·三明高二检测）已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-
原命题 （1） 逆命题
真
假
（2）
（3）
假
真 假 真
真
真 假 假
（4）
（5）
命题：若x＞2，则x＞0。
若p 则q
若为假命 题则记为 p ＞ q
＞
一般地, “若 p , 则 q ”为真命题 , 是指由 p 通过推理可以得出 q . 这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p q .
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4.1充分条件与必要条件课件新人教A版必修第一册
1
解:(1)由a<1不一定能得到 >1(如a=-1);
1
但当 >1时,有0<a<1,从而一定能推出a<1,
所以p是q的必要不充分条件.
(2)解不等式x(x+1)>0可得x>0或x<-1,
所以由“x>0”能推出“x>0或x<-1”;
由“x>0或x<-1”不能推出“x>0”,
所以p是q的充分不必要条件.
(3)p⇒q Biblioteka 含义是什么?提示:p⇒q说明命题“若p,则q”为真,即如果p成立,那
么q一定成立,如果“若p,则q”为假,那么应记作“p⇏q”.
[基础测试]
判断.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)“x>0”是“x>1”的充分条件. (
)
答案:×
(2)若x2=36,则x=6. (
)
答案:×
(3)“x>1”是“x>0”的充分条件. (
1
1
解得a=- 或a= .
2
3
1
1
综上可知,a=- 或a= .
2
3
5.拔高练若 p:-4<x-a<4,q:2<x<3,且 q 是 p 的充分不必
要条件,则求实数 a 的取值范围是 -1≤a≤6 .
解析:设q,p对应的不等式的解集为集合A,B,则A=
{x|2<x<3},B={x|a-4<x<a+4}.
“A∩{0,1}={0}”不能推出“A={0}”.故“A∩{0,1}={0}”
是“A={0}”的必要不充分条件
2.下列各题中,p 是 q 的什么条件?(请用“充分不
解:(1)由a<1不一定能得到 >1(如a=-1);
1
但当 >1时,有0<a<1,从而一定能推出a<1,
所以p是q的必要不充分条件.
(2)解不等式x(x+1)>0可得x>0或x<-1,
所以由“x>0”能推出“x>0或x<-1”;
由“x>0或x<-1”不能推出“x>0”,
所以p是q的充分不必要条件.
(3)p⇒q Biblioteka 含义是什么?提示:p⇒q说明命题“若p,则q”为真,即如果p成立,那
么q一定成立,如果“若p,则q”为假,那么应记作“p⇏q”.
[基础测试]
判断.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)“x>0”是“x>1”的充分条件. (
)
答案:×
(2)若x2=36,则x=6. (
)
答案:×
(3)“x>1”是“x>0”的充分条件. (
1
1
解得a=- 或a= .
2
3
1
1
综上可知,a=- 或a= .
2
3
5.拔高练若 p:-4<x-a<4,q:2<x<3,且 q 是 p 的充分不必
要条件,则求实数 a 的取值范围是 -1≤a≤6 .
解析:设q,p对应的不等式的解集为集合A,B,则A=
{x|2<x<3},B={x|a-4<x<a+4}.
“A∩{0,1}={0}”不能推出“A={0}”.故“A∩{0,1}={0}”
是“A={0}”的必要不充分条件
2.下列各题中,p 是 q 的什么条件?(请用“充分不
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答案 A 解析 由|x－2|<4，得－2<x<6.
(
)
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
思考题 2 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件？ (1)p：x2－2x－3≥0，q：x≤1 或 x≥2； 3 (2)p：△ABC 中，∠A≠60° ，q：sinA≠ 2 ； (3)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB； (4)非空集合 A、B 中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (5)对于实数 x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6.
3．(2011· 天津)设 x，y∈R，则“x≥2 且 y≥2”是“x2＋ y2≥4”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
答案 A
( B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
)
1." x 1" 是 " x 2 x "的 A A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
m m 【解析】 ∵4x＋m<0，∴x<－ ，∴p：x<－ . 4 4 ∵x2－x－2>0，∴x<－1 或 x>2.∴q：x<－1 或 x>2. m ∵p⇒q，∴－ ≤－1，∴m≥4. 4 即 m 的取值范围是[4，＋∞)．
【答案】 [4，＋∞)
2．充分、必要条件的判定方法 (1)定义法． (2)传递法． (3)集合法：若 p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式 出现，即 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 ①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； ②若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件； ③若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件． (4)等价命题法： 利用原命题和逆否命题是等价的这个结论， 有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．
充分条件，q是s的充分条件，你们s，r， p分别是q的什么条件？ 。
设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1
＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条 件
ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx所以x 1 x 2 x， 但x 2 x x 1. /
3.圆x y 1与直线y kx 2没有公共点的充要
2 2
条件是 B
A.k ( 2，2) B.k ( 3，3) C.k (， 2) ( 2， ) D.k (， 3) ( 3， )
2．“a>0”是“|a|>0”的 A．充分不必要条件 C．充要条件
答案 A
( B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
)
解析 因为|a|>0⇔a>0 或 a<0，所以 a>0⇒|a|>0，但|a|>0 a>0，所以 a>0 是|a|>0 的充分不必要条件，故选 A.
3．0＜x＜5 是不等式|x－2|＜4 成立的 A．充分不必要条件 C．充要条件
【解析】 设 q，p 表示的范围为集合 A，B， 则 A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)． 因为 q 是 p 的充分条件，则有 A⊆B，
a－4≤2， 则 a＋4≥3，
所以－1≤a≤6.
【答案】 －1≤a≤6
(2)已知 p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，若 p 是 q 的一个充 分不必要条件，求 m 的取值范围．
5.如果不等式 x a 1成立的充要条件是 "1 x 3"， 则实数a的值是 2 .
解析：依题意可知，由1 x 3 a 1 x a 1， a 1 1 得 ，于是a 2. a 1 3
例3、已知p，q都是r的必要条件，s是r的
解析：圆与直线没有公共点的充要条件是圆心到直线 的距离大于半径．解不等式 2 1 k 2 1，得k ( 3，3)．
4.在下列两个结论中正确的有 ①② (填序号)． ①若p是q的必要不充分条件，则q也是p的必要不充 分条件； ② " x 0" 是 " x x 0"的必要不充分条件．
例 3 已知 p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若 非 p 是非 q 充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围．
【思路】 ①遇到不等式应首先化简，求出其解集的最简 形式． ②由非 p 与非 q 之间的关系可推得 p 与 q 之间的关系，原 命题与逆否命题同真假．
思考题 3 (1)已知 p：－4<x－a<4，q：(x－2)· (x－3)<0， 且 q 是 p 的充分条件，则 a 的取值范围为______．
解析：因为原命题与其逆否命题等价，所以若p是q的 必要不充分条件，则q也是p的必要不充分条件． 故①正确．x 0 x x 0，反例：x 2 x x 0. 但x x 0 x 0 x 0，所以" x 0"是 " x x 0" 的必要不充分条件．故②正确．
－2＝0平行的( )． A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必 要条件
对任意的实数x，不等式x＋2x＋a>0均成立”
的充要条件是（ Ａ． a>1 D. a≤1
） B． a≥1
C. a<1
(
)
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
思考题 2 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件？ (1)p：x2－2x－3≥0，q：x≤1 或 x≥2； 3 (2)p：△ABC 中，∠A≠60° ，q：sinA≠ 2 ； (3)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB； (4)非空集合 A、B 中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (5)对于实数 x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6.
3．(2011· 天津)设 x，y∈R，则“x≥2 且 y≥2”是“x2＋ y2≥4”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
答案 A
( B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
)
1." x 1" 是 " x 2 x "的 A A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
m m 【解析】 ∵4x＋m<0，∴x<－ ，∴p：x<－ . 4 4 ∵x2－x－2>0，∴x<－1 或 x>2.∴q：x<－1 或 x>2. m ∵p⇒q，∴－ ≤－1，∴m≥4. 4 即 m 的取值范围是[4，＋∞)．
【答案】 [4，＋∞)
2．充分、必要条件的判定方法 (1)定义法． (2)传递法． (3)集合法：若 p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式 出现，即 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 ①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； ②若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件； ③若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件． (4)等价命题法： 利用原命题和逆否命题是等价的这个结论， 有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．
充分条件，q是s的充分条件，你们s，r， p分别是q的什么条件？ 。
设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1
＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条 件
ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx所以x 1 x 2 x， 但x 2 x x 1. /
3.圆x y 1与直线y kx 2没有公共点的充要
2 2
条件是 B
A.k ( 2，2) B.k ( 3，3) C.k (， 2) ( 2， ) D.k (， 3) ( 3， )
2．“a>0”是“|a|>0”的 A．充分不必要条件 C．充要条件
答案 A
( B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
)
解析 因为|a|>0⇔a>0 或 a<0，所以 a>0⇒|a|>0，但|a|>0 a>0，所以 a>0 是|a|>0 的充分不必要条件，故选 A.
3．0＜x＜5 是不等式|x－2|＜4 成立的 A．充分不必要条件 C．充要条件
【解析】 设 q，p 表示的范围为集合 A，B， 则 A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)． 因为 q 是 p 的充分条件，则有 A⊆B，
a－4≤2， 则 a＋4≥3，
所以－1≤a≤6.
【答案】 －1≤a≤6
(2)已知 p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，若 p 是 q 的一个充 分不必要条件，求 m 的取值范围．
5.如果不等式 x a 1成立的充要条件是 "1 x 3"， 则实数a的值是 2 .
解析：依题意可知，由1 x 3 a 1 x a 1， a 1 1 得 ，于是a 2. a 1 3
例3、已知p，q都是r的必要条件，s是r的
解析：圆与直线没有公共点的充要条件是圆心到直线 的距离大于半径．解不等式 2 1 k 2 1，得k ( 3，3)．
4.在下列两个结论中正确的有 ①② (填序号)． ①若p是q的必要不充分条件，则q也是p的必要不充 分条件； ② " x 0" 是 " x x 0"的必要不充分条件．
例 3 已知 p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若 非 p 是非 q 充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围．
【思路】 ①遇到不等式应首先化简，求出其解集的最简 形式． ②由非 p 与非 q 之间的关系可推得 p 与 q 之间的关系，原 命题与逆否命题同真假．
思考题 3 (1)已知 p：－4<x－a<4，q：(x－2)· (x－3)<0， 且 q 是 p 的充分条件，则 a 的取值范围为______．
解析：因为原命题与其逆否命题等价，所以若p是q的 必要不充分条件，则q也是p的必要不充分条件． 故①正确．x 0 x x 0，反例：x 2 x x 0. 但x x 0 x 0 x 0，所以" x 0"是 " x x 0" 的必要不充分条件．故②正确．
－2＝0平行的( )． A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必 要条件
对任意的实数x，不等式x＋2x＋a>0均成立”
的充要条件是（ Ａ． a>1 D. a≤1
） B． a≥1
C. a<1