高中数学第二册(上)同步练测(32)双曲线的简单几何性质.
双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=， 则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点， 所以，且803m->， 即，且0m <，解得221m =，且0m <， 所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=， 所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=， 故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<， 故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点， 则有2ba>， 即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±， 点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条， 所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-， 设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >， 故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥， 由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=， 由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=， 因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-， 化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥， 故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点， 故OQ 为12F F C 的中位线， 所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ， 又因为P 、2F 、C 共线， 故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=， 因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=， 故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =， 故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =， 当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=， 因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--， 整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足， 若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-， 由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方， 显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小， 由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=， 可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=， 当P 与N 重合时，可得||OP 最大， 可得2212232S c b a =⋅⋅=， 即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=， 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支， 由题得22,2,1a c a ===， 所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=， 消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--， 因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=， 于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =， 所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=， 所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-， 因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---， 将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。
【高中数学】3.2.2 双曲线的简单几何性质(分层练习)高二数学新教材配套练习(人教A版选择性
3.2.2 双曲线的简单几何性质基 础 练巩固新知 夯实基础1.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 2.双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( ) A.y ＝±3xB.y ＝±13xC.y ＝±3xD.y ＝±33x 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A ．x 220－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1C ．x 280－y 220＝1D ．x 220－y 280＝14．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A ．32B ．3C ．23D ．45.已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为______. 6．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________，渐近线方程是________．7．以y ＝±x 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．8.已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.能 力 练综合应用 核心素养9．若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴相等C ．离心率相等D ．焦距相等10．(多选题)关于双曲线C 1：4x 2－9y 2＝－36与双曲线C 2：4x 2－9y 2＝36的说法正确的是( ) A ．有相同的焦点 B ．有相同的焦距 C ．有相同的离心率 D ．有相同的渐近线11．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)12.已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( ) A.32B.52C.72D.9213．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若△PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率是( )A ． 2B ．1＋ 2C ．2＋2D ．3－2 14.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为________.15.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________. 16. 已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为左焦点F 1，右焦点F 2，点P 是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF 1|＝________，cos△F 1PF 2的值为________． 17.已知圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G 的方程.18．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点是F (2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．【参考答案】1. A 解析 依题意知焦点在x 轴上，c ＝4，c a ＝2，△a ＝2.△b 2＝c 2－a 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.2. C 解析 双曲线方程可化为标准形式为x 21－y 23＝1，△a ＝1，b ＝3，△双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .3. A [双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，又点P (2,1)在C 的渐近线上，所以4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2 △.又a 2＋b 2＝c 2＝25 △. 由△△，得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1，故选A.]4. B [根据题意，可知其渐近线的斜率为±33，且右焦点为F (2,0)，从而得到△FON ＝30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y ＝3(x －2)， 分别与两条渐近线y ＝33x 和y ＝－33x 联立，求得M (3，3) ，N ⎝⎛⎭⎫32，－32， 所以|MN |＝⎝⎛⎭⎫3－322＋⎝⎛⎭⎫3＋322＝3.] 5. 4x ±3y ＝0 解析 由椭圆x 225＋y 216＝1知长轴端点分别为(－5，0)和(5，0)，焦点是(－3，0)，(3，0)，由此可知双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)，顶点为(－3，0)，(3，0)，所以双曲线方程为x 29－y 216＝1，△渐近线方程为4x ±3y ＝0. 6. 2 y ＝±2x[a 2＝1，b 2＝m ，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋m ＝3，m ＝2.渐近线方程是y ＝±mx ＝±2x .] 7. x 24－y 24＝1 [以y ＝±x 为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，△x 2－y 2＝4，即x 24－y 24＝1.] 8.解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3.△当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，△⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝12.△双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1； △当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，△⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36.△双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由△△可知双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1.9. D [由于16＋(5－k )＝(16－k )＋5，所以焦距相等．]10.BD [两方程均化为标准方程为y 24－x 29＝1和x 29－y 24＝1，这里均有c 2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x 轴上，另一个在y 轴上，所以A 错误，B 正确；又两方程的渐近线均为y ＝±23x ，故D 正确．C 1的离心率e ＝132，C 2的离心率e ＝133，故C 错误．] 11. C [由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.△a ＞1，△0＜1a 2＜1，△1＜1＋1a2＜2，△1＜e ＜ 2.故选C.]12. B 解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎨⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.13. B [因为|PF 2|＝|F 2F 1|, P 点满足c 2a 2－y 2b 2＝1，△y ＝bac 2－a 2，△2c ＝b a c 2－a 2，即2ac ＝b 2＝c 2－a 2，△2＝e －1e，又e ＞0，故e ＝1＋ 2.]14. y ＝±2x 解析 因为双曲线的离心率为3，所以ca ＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以y ＝±2x .15.y ＝±2x 解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 16.6＋313[因为F 1，F 2分别为左、右焦点，点P 在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎨⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得cos△F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝13.]17. 解 椭圆C ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.△圆M 的圆心为(0，5)，半径为r ＝3..△|5a |a 2＋b 2＝3，△a ＝3，b ＝4. △双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.18. [解] (1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3.所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m2＝－⎝⎛⎭⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)， 可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l 的方程为y ＝x± 2.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高二数学双曲线几何性质同步练习(含答案)
高二数学双曲线几何性质同步练习(含答案 )双曲线方程的观察是圆锥曲线的要点知识点，以下是双曲线几何性质同步练习，请大家认真练习。
1.动点与点与点知足，则点的轨迹方程为______________2.假如双曲线的渐近线方程为，则离心率为____________3.过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为 _____________4.已知双曲线的离心率为，则的范围为____________________5.已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为 _____6.已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为 1，则双曲线的方程为__________________7.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为.8.双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为.9.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为.10.若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为 .11.若椭圆和双曲线有同样的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为.12.是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为 .13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线- =1 的通径的长是 _______________ 14.双曲线 16x2-9y2=144 上一点 P(x0,y0)(x00 ) 到左焦点距离为 4，则 x0= .15.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程.16.如图，某农场在处有一堆肥料沿道路或送到大田中去，已知，，且，，可否在大田中确立一条界限，使位于界限一侧沿送肥料较近 ?若能，请成立适合坐标系求出这条界限方程 .17.试求以椭圆+ =1 的右焦点为圆心，且与双曲线- =1 的渐近线相切的圆方程.参照答案1.2. 或 3.4.5. 6. 7. 8. 9. 7 10.11. 12. 13. 14.15。
3.2.2 双曲线的简单几何性质高二数学上学期同步讲与练(人教A版选择性必修第一册) (解析版)
3.2.2双曲线的简单几何性质一、双曲线的简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)性质图形性质范围x ≤－a 或x ≥a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a，0)，A 2(a，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段A 1A 2，长：2a ；虚轴：线段B 1B 2，长：2b ；半实轴长：a ，半虚轴长：b 离心率e ＝ca ∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b a x y ＝±a bx 二、等轴双曲线在双曲线中，若=a b ，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：1、离心率：等轴双曲线的离心率为：=e 2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：=±y x ；（2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°.三、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程22221x y a b-=与直线方程:l y kx b =+联立消去y得到关于x 的一元二次方程()22222222220b a k x a mkx a m a b----=，1、当2220b a k -=，即bk a=±时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个交点；2、当2220b a k -≠，即b k a≠±时，设该一元二次方程的判别式为∆，若0∆>，直线与双曲线相交，有两个公共点；若0∆=，直线与双曲线相切，有一个公共点；若∆<0，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.四、弦长公式若直线:l y kx m =+与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12A B x -或12AB y y =-（0k ≠）．题型一由双曲线的方程求几何性质【例1】求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标.（1）22832x y -=；（2）22981x y -=；（3）224x y -=-；（4）2214925x y -=-．【答案】（1）实轴长为4，顶点的坐标(0)-和.（2）实轴长为6，虚轴的长为18，顶点的坐标(3,0)-和(3,0).（3）实轴长为4，虚轴的长为4，顶点的坐标(0,2)-和(0,2).（4）实轴长为10，虚轴的长为14，顶点的坐标(0,5)-和(0,5).【解析】（1）由双曲线的方程22832x y -=，可化为221324x y -=，此时双曲线的焦点在x 轴上，且2232,4==a b ，所以2a b ==，可得双曲线的实轴长为2a =，虚轴的长为24b =，顶点的坐标(0)-和.（2）由双曲线的方程22981x y -=，可化为221981x y -=，此时双曲线的焦点在x 轴上，且229,81a b ==，所以3,9==a b ，可得双曲线的实轴长为26a =，虚轴的长为218b =，顶点的坐标(3,0)-和(3,0).（3）由双曲线的方程224x y -=-，可化为22144-=y x ，此时双曲线的焦点在y 轴上，且224,4a b ==，所以2,2a b ==，可得双曲线的实轴长为24a =，虚轴的长为24b =，顶点的坐标(0,2)-和(0,2).（4）由双曲线的方程2214925x y -=-，可化为2212549y x -=，此时双曲线的焦点在y 轴上，且2225,49a b ==，所以5,7a b ==，可得双曲线的实轴长为210a =，虚轴的长为214b =，顶点的坐标(0,5)-和(0,5).【变式1-1】双曲线2212x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）B．22【答案】C【解析】因为双曲线2212x y -=的顶点为()，渐近线方程为2y x =，20y ±=，3=.故选：C.【变式1-2】关于双曲线2212:C x y -=与222:2C y x -=，下列说法中错误的是（）A．它们的焦距相等B．它们的顶点相同C．它们的离心率相等D．它们的渐近线相同【答案】B【解析】由2212:C x y -=，可得221:122x y C -=，其焦距为4=，顶点坐标为()，=y x =±；由222:2C y x -=，可得222:122y x C -=，其焦距为4=，顶点坐标为(0,，=y x =±；所以双曲线2212:C x y -=与222:2C y x -=的顶点坐标不同.故选:B.【变式1-3】已知双曲线()22:049x y C m m -=≠，当m 变化时，下列关于双曲线C 说法正确的是（）A．顶点坐标不变B．焦距不变C．离心率不变D．渐近线不变【答案】D【解析】①若0m >，则双曲线的标准方程为22149x y m m-=，顶点坐标为()±，焦距为离心率为2e ==，渐近线方程为32y x =±；②若0m <，则双曲线的标准方程为22194y x m m-=--，顶点坐标为(0,±，焦距为离心率为3e ==，渐近线方程为32y x =±.因此，不论m 怎么变化，双曲线的渐近线不变.故选：D.题型二由几何性质求双曲线的标准方程【例2】焦点坐标为()5,0，()5,0-，实轴长为6，则此双曲线的标准方程为（）A．22110091x y -=B．22110091y x -=C．221916y x -=D．221916x y -=【答案】D【解析】因为焦点坐标为()5,0，()5,0-，实轴长为6，所以5c =，3a =，所以4b =所以此双曲线的标准方程为221916x y -=，故选：D【变式2-1】顶点在y 轴上，两顶点间的距离为8，54e =的双曲线的标准方程为（）A．221169y x -=B．2211625y x -=C．221916y x -=D．221259y x -=【答案】A【解析】因为两顶点间的距离为8，所以28a =，所以4a =因为54c e a ==，所以5c =，所以3b =因为顶点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为221169y x -=，故选：A【变式2-2】中心在坐标原点，离心率为54的双曲线的焦点在x 轴上且虚轴长为12，则该双曲线的方程为（）A．221169x y -=B．2216436x y -=C．2213664x y -=D．221916x y -=【答案】B【解析】因为双曲线的虚轴长为12，所以212b =，即6b =，因为双曲线的离心率为5454=，所以264a =，所以该双曲线的方程为2216436x y -=.故选：B.【变式2-3】已知双曲线C ：2222x y a b -=1(a >0，b >0)的离心率为32，且与椭圆22110x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（）A．22810x y -=1B．2245x y -=1C．2254x y -=1D．22108x y -=1【答案】B【解析】椭圆22110x y +=的焦点坐标为()3,0±，则双曲线的焦点坐标为()3,0±，可得c =3，又双曲线C ：2222x y a b-=1的离心率为32，所以32c a =，即a =2，所以b 故所求的双曲线方程为2245x y -=1.故选：B.题型三与双曲线渐近线相关的问题【例3】双曲线2221y x a-=的实轴长为4，则其渐近线方程为（）A．40x y ±=B．40x y ±=C．20x y ±=D．20x y ±=【答案】D【解析】由题意知，2a =，所以双曲线的标准方程为2214y x -=，双曲线2214y x -=的渐近线方程为2204y x -=，即20x y ±=.故选：D．【变式3-1】椭圆1C ：22143x y+=与双曲线2C ：22221x y a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．π6，π6-B．π3，π3-C．π6，5π6D．π3，2π3【答案】D【解析】因为椭圆1C ：22143x y+=与双曲线2C ：22221x y a b-=的离心率之积为1，所以有2243132b a b a⋅=⇒=⇒，因此双曲线2C的两条渐近线方程为：by x y a=±⇒=，所以双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为π3，2π3，故选：D【变式3-2】与双曲线2222x y -=共渐近线且一个焦点为()0,6-的双曲线方程为（）A．2211224x y -=B．2211224y x -=C．2212412x y -=D．2212412y x -=【答案】B【解析】设所求的双曲线方程为222x y m -=，即2212x y m m -=，因为焦点为(0,6)-在y 轴上，所以0m <，所以双曲线方程为2212y x m m -=--，且26362m m --==，所以24m =-，双曲线方程为2211224y x -=．故选：B．【变式3-3】1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程是（）A．y =B．y =±C．y =±D．y =±【答案】B【解析】因为22::3:4:5AB BF AF =，所以可设3AB k =，24BF k =，25AF k =，其中0k >，所以22222AB BF AF +=，所以2ABF 为直角三角形．又因为12||2AF AB BF a +-=，212AF AF a -=，所以1221||AF AB BF AF AF +-=-，所以13AF k =，所以2a ＝2k ，所以k ＝a ，所以16BF a =，24BF a =，又因为2221212BF BF F F +=，所以22452c a =，所以2213c a =，又222c a b =+，所以2212b a =，所以ba=y =±．故选：B．题型四求双曲线离心率的值或取值范围【例4】已知双曲线2221(0)y x b b-=>的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（）A．3【答案】D【解析】由双曲线2221(0)y x b b-=>可得1a =，一条渐近线l ：0bx ay -=，设双曲线的右焦点为(),0F c ，则点F 到直线l 的距离2bc d b c===，所以c ce a=.故选：D 【变式4-1】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为C 右支上一点，P与x 轴切于点F ，与y 轴交于,A B 两点，若APB △为直角三角形，则C 的离心率为（）A．232B．26211+【答案】B【解析】不妨设点P 在x 轴的上方，因为PF x ⊥轴，将P 点的横坐标P x c =代入22221x y a b-=，得2P b y PF a==.由题意可知90APB ∠=︒，且PA PB PF ==，则有PF =，即2ba=，22c a =-，即210c c a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则262c e a ==.故选:B.【变式4-2】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过原点作一条直线分别交C 的左右两支于A ，B 两点，若3AFB π∠=，2BF AF =，则此双曲线的离心率为（）D．3【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为1F ，连接1BF ，根据椭圆的对称性可得1BF AF =，由双曲线的定义可得122,BF BF AF AF AF a -=-==所以4,BF a =在AFB △中，222cos 2AF BF ABAFB AF BF+-∠=⋅，结合3AFB π∠=，||2||BF AF =可得|AB AF ==，所以222BF AF AB =+即AF AB ⊥，AO =在Rt AFO V 中，222OF AF AO =+即22243c a a =+，所以c =，则ce a==【变式4-3】已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A．()1,2B．()1,3C．(]1,3D．()2,4【答案】C【解析】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()2221224448PF m a a m a a a PF mm +==++≥+=，当且仅当24a m m=，即2m a =时，等号成立，∴当212PF PF 的最小值为8a 时，14PF a =，22PF a =，此时2m a c a =≥-，解得3ce a=≤，又1e >，∴(]1,3e ∈．故选：C．【变式4-4】已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（）A．()1,2B．()1,4C．)2D．)4【答案】B【解析】设双曲线的半焦距为()0c c ＞，离心率为e ，由214OQ OF =，则154QF c =，234QF c =，因为PQ 是12F PF ∠的平分线，所以12:5:3PF PF =,又因为122PF PF a -=，所以125,3PF a PF a ==，所以53222a a c a c+>⎧⎨<⎩，解得14c a <<，即14e <<，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4).故选：B题型五直线与双曲线的位置关系【例5】直线322y x =+与双曲线22149x y -=的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【答案】B【解析】由22322149y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得22322149x x +-=（），整理得，613x =-；所以136x =-，故直线和双曲线只有一个交点；又双曲线22149x y -=的渐近线方程为：32y x=±322y x =+与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.所以直线和双曲线的位置关系为相交．故选：B【变式5-1】直线3b y x a =+与双曲线22221x y a b-=的交点个数是（）A．1B．2C．1或2D．0【答案】A【解析】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：b y x a =±，因为直线3b y x a =+与双曲线22221x y a b-=的一条渐近线平行，在y 轴上的截距为3，所以直线3b y x a =+与双曲线22221x y a b-=的交点个数是：1．故选：A．【变式5-2】直线2100x y --=与双曲线221205x y -=的交点坐标为______．【答案】()6,2，142,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由2221001205x y x y --=⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 得2151604200x x -+=即2332840x x -+=，解得6x =或143x =代入直线得62x y =⎧⎨=⎩或14323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线与双曲线的交点坐标为()6,2，142,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：()6,2，142,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式5-3】直线2y kx =+与双曲线222x y -=有且只有一个交点，那么实数k 的值是（）A．1k =±B．k =或k =C．1k =±或k =D．k =【答案】C【解析】联立2222y kx x y =+⎧⎨-=⎩，得()221460k x kx ---=①.当210k -=，即1k =±时，方程①化为一次方程，直线2y kx =+与双曲线222x y -=有且只有一个交点；当210k -≠，即1k ≠±时，要使直线2y kx =+与双曲线222x y -=有且只有一个交点，则方程①有两个相等的实数根，即()()()2244160k k =---⋅-=△，解得：k =.综上，使直线2y kx =+与双曲线222x y -=有且只有一个交点的实数k 的值是±1或故选C.【变式5-4】已知双曲线2212y x -=，过点()1,1P 作直线l ，若l 与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】根据双曲线方程可知1a =∴右顶点为(1,0)，使l 与C 有且只有一个公共点的情况为：①当l 垂直x 轴时，此时过点(1,1)P 的直线方程为1x =，与双曲线C 只有一个公共点，②当l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为1(x 1)y k -=-联立方程221(1)12y k x y x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得222(2)2(1)(23)0k x k k x k k -+---+=()i 当220k -=即k =()ii 当22k -≠0时，22224(1)4(2)(23)0k k k k k ∆=-+--+=，整理可得460k -=即32k =，选：D 题型六直线与双曲线相交弦长问题【例6】若经过双曲线221168y x -=的一个焦点，且垂直于实轴的直线l 与双曲线交于A ，B两点，则线段AB 的长为______.【答案】4【解析】双曲线221168y x -=的4a =，b =c =可得一个焦点为(0,，直线:l y =代入双曲线的方程可得2241168x -=，解得2x =±，则||4AB =，故答案为：4．【变式6-1】已知双曲线22:22C x y -=，过点(1,2)P 的直线l 与双曲线C 交于M ､N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长|MN |等于（）A．423B．334C．D．【答案】D【解析】由题设，直线l 的斜率必存在，设过(1,2)P 的直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线：224(2)2(2)(46)0k x k k x k k -+---+=设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(2)22P k k x x x k -+=-=-，所以22(2)22k k k --=-，解得1k =，则122x x +=，123x x =-.弦长|MN|===【变式6-2】已知双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>的一条渐近线方程是y=，过其左焦点(F作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长||AB=（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>的一条渐近线方程是y，ba∴，即.=b∵左焦点()F，c∴222233c a b a∴=+==，21a∴=，22b=，∴双曲线C的方程为22 1.2yx-=易知直线l的方程为(2=y x，设11(,)A x y，22(,)B x y，由(22212y xyx⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消去y可得270++=x，12x x∴+=-127.10.x x AB=∴=故选：D【变式6-3】已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线20x y+=交于A，B两点，若AB=）A．2225y x-=B．2216y x-=C．229y x-=D．226y x-=【答案】C【解析】由题意可设双曲线方程为22y x m-=，0m>，由2220y x mx y⎧-=⎨+=⎩得23x m=，则x=0m>，不妨假设Ax=Ay=-，由图象的对称性可知，AB=OA，，解得9m=，故双曲线方程为：229y x-=，故选：C【变式6-4】以直线20x y+=为渐近线，且截直线30x y--=所得弦长为3的双曲线的标准方程是___.【答案】2214x y-=【解析】根据双曲线的一条渐近线为20x y+=，可设双曲线为224x y k-=(0k≠)，将3y x=-代入双曲线得：2324360x x k-++=，若直线与双曲线交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则128x x +=，12363k x x +=，3=，解得：4k =，故双曲线的方程为2214x y -=.故答案为：2214x y -=.题型七双曲线的中点弦与点差法【例7】已知双曲线22214x y b-=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则b 的值是（）A．2C．32【答案】D【解析】设()11,A x y 、()22,B x y ，则2211214x y b -=，2222214x y b-=，两式相减可得()()()()1212121221104x x x x y y y y b-+--+=，P 为线段AB 的中点，122p x x x ∴=+，122p y y y =+，2121212124y y y y b x x x x -+∴⋅=-+，又12122AB y y k x x -==-，121214y y x x +=+，2124b ∴=，即22b =，b ∴=【变式7-1】直线l 交双曲线22142x y -=于A ，B 两点，且()4,1P 为AB 的中点，则l 的斜率为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，因()4,1P 为AB 的中点，则有121282x x y y +=⎧⎨+=⎩，又点A ，B 在双曲线上，则221122222424x y x y ⎧-=⎨-=⎩，即12121212()()2()()x x x x y y y y +-=+-，则l 的斜率12121212822()22y y x x k x x y y -+====-+⨯，此时，直线l 的方程：12(4)y x -=-，由222724y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：27561020x x -+=，256471022800∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线交于两点，所以l 的斜率为2.故选：C【变式7-2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线l 与C 交于,P Q 两点，D 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则l 与OD 的斜率的乘积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差，并化简得，()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，所以()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=⋅+-，因为D 为线段PQ 的中点，即120120+=2+=2x x x y y y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以()()22120201222y y y c a a x x x --=⋅-，即21l PQ e k k -=，由2e =，得=3l PQ k k .故选：B.【变式7-3】已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为()2,0F -，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的离心率为()【答案】B【解析】由F 、N 两点的坐标得直线l 的斜率1k =．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c =2．设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=-，122y y +=-，12121y y x x -=-．由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=，即22620a b-+=，∴223a b =，易得23a =，21b =，24c =，∴双曲线C 的离心率233c e a ==．故选：B．【变式7-4】已知双曲线221164x y -=，以点()5,1P -为中点的弦所在的直线方程为（）A．45210x y +-=B．54210x y +-=C．240x y --=D．240x y +-=【答案】B【解析】设弦的两个端点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，则1212102x x y y +=⎧⎨+=-⎩，则2211222211641164x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212416y y y y x x x x -+-+=，所以，弦所在直线的斜率()()1212121245164x x y y k x x y y +-===--+，故所求直线方程为()5514y x =---，即54210x y +-=.故选：B.【变式7-5】已知点A ，B 在双曲线224x y -=上，线段AB 的中点()3,1M ，则AB =（）B．D．【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则可得方程组：2211222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：()()()()12121212x x x x y y y y +-=+-，即121212121y y y y x x x x +-⋅=+-，其中因为AB 的中点为()3,1M ，故121213y y x x +=+，故12123y yx x -=-，即直线AB 的斜率为3，故直线AB 的方程为：()133y x -=-，联立()221334y x x y ⎧-=-⎨-=⎩，解得：2212170x x -+=，由韦达定理得：126x x +=，12172x x =，则AB =选：D题型八双曲线的定点定值与最值问题【例8】已知两点()0,4M -，()0,4N ，动点P 在x 轴的投影为Q ，且23PM PN PQ ⋅=，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程.（2）过点()F 的直线与曲线C 在y 轴右侧相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点H ，试问AB FH是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）221168x y -=；.【解析】（1）设(),P x y ，则(),0Q x ，(),4PM x y =---，(),4PN x y =--，()0,PQ y =-.因为23PM PN PQ ⋅=，所以222163x y y +-=，故C 的方程为221168x y -=.（2）由题可知直线AB 的斜率一定存在，且不为0，不妨设直线AB的方程为(y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y .联立方程组22(1168y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消去y 整理得()22221248160k x x k -+--=，则()()42221222122Δ384121926400124816012k k k x x k k x x k ⎧=+-+>⎪⎪-⎪+=>⎨-⎪⎪--=>⎪-⎩，整理得212k >.2122212x x k +=--，122212y y k +=--，则线段AB的垂直平分线的方程为22211212y x k k k ⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭，令0y =，得226612x k =--，则H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，FH ==AB ===()228112k k+=-则263AB FH ==.故AB FH是定值，该定值为3.【变式8-1】已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b ab-=>>的左、右焦点，且双曲线C 过点,33P ⎛ ⎝⎭，120PF PF ⋅=．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知过点()0,1-的直线l 交双曲线C 左、右两支于M ，N 两点，交双曲线C 的渐近线于P ，Q （点Q 位于y 轴的右侧）两点，求MP QNPQ PQ+的取值范围．【答案】（1）2212y x -=；（2）(1⎤⎦.【解析】（1）设双曲线的半焦距为c ，∵12,,03333PF PF c c ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴23c =．又2254331a b -=，222+=a b c ，解得1a =，b =∴双曲线C 的方程为2212y x -=．（2）由题意可设直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C的渐近线方程为y =，联立,1,y y kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得P x =,1,y y kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得Q x =∴P Q PQ x -==联立221,21,y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得()222230k x kx -+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12222kx x k +=--，12232x x k -=-，由()()22212220,44230,30,2k k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=-⨯-⨯->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩即22k <，∴22MN k ==-，∴111MP QN MP QN PQ MP QN PQ MNPQ PQ PQ PQ PQ PQ++++=+-=-=-2112k =---．又202k ≤<，∴2133k <-≤，∴011<≤，∴MP QN PQPQ+的取值范围为(1⎤⎦．【变式8-2】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为()1,0A ，点P 是其渐近线上的一点，且以PF 为直径的圆过点A ，2PO =，点O 为坐标原点.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）当点P 在x 轴上方时，过点P 作y 轴的垂线与y 轴相交于点B ，设直线():0l y kx m km =+≠与双曲线C 相交于不同的两点M 、N ，若BM BN =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）3m <-或04m <<【解析】（1）(),0F c -，(),0A a ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，以PF 为直径的圆过点A ，所以，PA AF ⊥，不妨取点P 在b y x a =上，设点,b P t t a ⎛⎫⎪⎝⎭，,bt AP t a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),0FA a c =+，因为PA AF ⊥，则()()0AP FA t a a c ⋅=-+=，可得t a =，则点(),P a b ,2PO =，则224a b +=，1a =，则23b =，所以，双曲线C 的标准方程为2213y x -=.（2）由题意可知(B ，设()11,M x y 、()22,N x y ，线段MN 中点()00,Q x y ，联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2223230k x kmx m ----=，依题意()()()22223024330k km k m ⎧-≠⎪⎨∆=----->⎪⎩，即2223030k m k ⎧-≠⎨+->⎩①，由韦达定理可得12223km x x k +=-，212233m x x k +⋅=--，则120223x x km x k +==-，00233my kx m k =+=-，BM BN =，BQ MN ∴⊥，20023133BQmy k k km x k k-∴===--，所以，24333k m -=②，又243303k m =->③，由①②③得：433m <-或3304m <<.【变式8-3】设直线x m =（0m >）与双曲线C ：223yx m -=的两条渐近线分别交于A ，B两点，且OAB （O（1）求m 的值；（2）与坐标轴不垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为M '，F 为C 的右焦点，若M '，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】（1）双曲线C ：223y x m -=()0m >的渐近线方程为y =，不妨设点A 在x 轴上方，则A ，B两点的坐标分别为()m和(),m ，所以12OABSm =⨯=解得1m =.（2）由（1）知C ：2213y x -=，则F 的坐标为(2,0)，设l 与x 轴交于点(p,0)，则l 的方程为()y k x p =-（0k ≠），设1122(,),(,)M x y N x y .则11(,)M x y '-.联立()2213y k x p y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得22222(3)2(3)0k x pk x k p -+-+=，由题可知230k -≠，所以22212122223,.33pk k p x x x x k k ++==--因为M '，F ，N 三点共线，所以,FM FN '共线，即1221(2)(2)y x y x --=-，所以1221()(2)()(2).k x p x k x p x ---=--因为0k ≠，所以1221()(2)()(2)0x p x x p x --+--=，所以12122(2)()40x x p x x p -+++=，所以22222322(2)4033k p pk p p k k +⋅-+⋅+=--，所以22222226244120k p p k pk pk p +--+-=，解得12p =，所以直线l 经过x 轴上的定点1(,0).2。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类(讲+练)(学生版24-25学年高二必修一数学同步知识题型
3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类一、双曲线的性质x≥a或x≤－aa ，b ，c 间的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)二、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y ＝±x ，三、直线与双曲线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba 时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．四、弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝（一）双曲线的标准方程与几何性质1．由双曲线的方程研究几何性质(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质．2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．（二）求双曲线的渐近线与离心率双曲线的渐近线、离心率：双曲线的方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)a,b,c 的关系c 2＝a 2＋b 2离心率e ＝c a ∈(1，＋∞)性质渐近线y ＝±b a xy ＝±a bx求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca得解．(2)解方程法：若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．3-5．（2024·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .3-6．（2024高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示，点12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足121,BF BF BF ^与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的渐近线斜率为（ ）A ．±3B ．23±C ．13±D ．15±（三）直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba 时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．（四）双曲线的中点弦与点差法1、双曲线的中点弦结论：若直线l(不平行于y轴)过双曲线上x2a2－y2b2＝1(a>b>0)两点A、B，其中AB中点为)(yxP，，则有k=b2x0a2y0.2、根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.3．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．（五）双曲线的综合问题双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.8-2．（2024高二上·全国·期中）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过点()3,2A -，且离心率5e =(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果B ，C 为双曲线上的动点，直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定值，并求出该定值.8-3．（2024高三上·浙江绍兴·期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.8-4．（2024高二下·全国·开学考试）已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，A ，B 分别是线段1PF ，2PF 的中点，且2ABa=，3OA OB -=．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点()3,0M -，()3,0N ，当P 与M ，N 不重合时，设直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．离是680m ，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上)A ．西偏北45°方向，距离3403mB ．东偏南45°方向，距离3403mC ．西偏北45°方向，距离1703mD ．东偏南45°方向，距离1703m10-3．（2024高二·全国·课后作业）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点2F 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点1F ．已知双曲线的方程为221x y -=，则当入射光线2F P 和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），12F F P Ð的大小为（ ）A ．12pB ．6pC ．3pD ．512p10-4．（2024高三上·河南·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线22116y x m-=的图象的一部分，当拱顶M 到水面的距离为4米时，水面宽AB 为43米，则当水面宽度为46米时，拱顶M 到水面的距离为（ ）A ．4米B ．()824-米C ．()264-米D ．()474-米一、单选题1．（2024高三下·江西·阶段练习）已知双曲线()22:102x y C a a a -=>，下列结论正确的是（ ）A ．CB ．C 的渐近线方程为12y x=±C ．CD ．C 的一个焦点的坐标为)2．（2024高二上·全国·课后作业）已知中心在原点，焦点在y ，则它的渐近线方程为（ ）A ．2y x=±B ．y =C ．12y x=±D ．y =3．（2024高二下·山东济宁·阶段练习）双曲线22916144x y -=的焦点坐标为（ ）A ．(B ．(0,C ．(5,0),(5,0)-D ．(0,5),(0,5)-4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，O 为原点，,A B 分别为该双曲线的左，右顶点12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点P 在双曲线的渐近线上，OP 为2APF Ð的平分线，且线段OP 的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．5．（2024高二下·河南·阶段练习）已知双曲线222x y -=，点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若1260F PF Ð=°，则三角形12F PF 的面积为（ ）A ．2B ．CD ．6．（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线y kx =与双曲线C 交于A ，B 两点，若12AB F F =，则1ABF V 的面积等于（ ）A ．18B ．10C ．9D ．6二、多选题7．（2024高二上·山西太原·期末）直线:(2)l y k x =-与双曲线22:2C x y -=的左、右两支各有一个交点，则k 的可能取值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12三、填空题8．（2024高二上·全国·课后作业）直线4y x =-+与双曲线221169y x-=上支的交点个数为 ．9．（2024高二上·广西北海·期末）若直线l 过点(1,2)-，且与双曲线2299x y -=有且只有一个公共点，则满足条件的直线有条．10．（2024高二下·上海徐汇·期中）已知直线:2l y tx =+和双曲线22:8C x y -=，若l 与C 的右支交于不同的两点，则t 的取值范围是 ．11．（2024高二下·安徽六安·开学考试）已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点，若A ，B 两点在双曲线的左支上，则实数a 的取值范围是．12．（2024·北京平谷·一模）已知双曲线2213x y m +=的离心率为2，则实数m =．13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知直线y x =是双曲线2222:1x yC a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线，则C 的离心率为 .14．（2024高二上·全国·课后作业）过双曲线22136x y -=的右焦点作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，则AB 的长为 ．15．（2024高二下·四川南充·阶段练习）经过点()2,1A -且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为16．（2024高二·全国·课后作业）双曲线22916144x y -=的一条弦的中点为()8,3A ，则此弦所在的直线方程为 .17．（2024高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与抛物线28y x =的焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若122PF PF -=，且1260F PF Ð=°，则12F PF V 的面积为.18．（2024·河南新乡·模拟预测）已知双曲线C ：22212x y b -=（0b >）的离心率为3，焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上.若12PF F V 的周长为，则12PF F V 的面积是 .19．（2024高二下·湖北宜昌·阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左，右焦点，经过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第三象限，四边形12F AF B 为平行四边形，a 为直线1BF 的倾斜角，若,43p p a æöÎç÷èø，则该双曲线离心率的取值范围是 .20．（2024·安徽合肥·模拟预测）设点F 为双曲线22:113x y C m m-=+-的左焦点，经过原点O 且斜率k ³直线与双曲线C 交于A ､B 两点，AF 的中点为P ，BF 的中点为Q .若OP OQ ^，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 .21．（2024高二下·福建福州·期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的左顶点为A ，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若3AQ AP ³，则该双曲线的离心率的取值范围是 .四、解答题22．（2024高二下·四川资阳·期末）解答下列两个小题：（1）双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>(在双曲线E 上，求E 的方程；（2）双曲线C 实轴长为2，且双曲线C 与椭圆22184x y +=的焦点相同，求双曲线C 的标准方程．23．（2024·湖南·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的其中一个焦点为)，一条渐近线方程为20x y -=（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知倾斜角为34p的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程.24．（2024高二下·四川资阳·期末）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求C 的方程；(2)经过点()1,4M 的直线l 交C 于,A B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程.25．（2024高二·全国·课后作业）过双曲线2213y x -=的左焦点F ，作倾斜角为6p 的直线l .(1)求证：l 与双曲线有两个不同的交点,A B ；(2)求线段AB 的中点M 的坐标和AB .26．（2024高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，且该双曲线过点(2,P -．(1)求双曲线的标准方程；(2)过左焦点1F 作斜率为的弦AB ，求AB 的长；(3)在（2）的基础上，求2F AB V 的周长．27．（2024高二上·甘肃庆阳·期末）在①C 的渐近线方程为y x =± ②C 这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．已知双曲线C 的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点(2,P 在C 上，且______．(1)求C 的标准方程；(2)已知C 的右焦点为F ，直线PF 与C 交于另一点Q ，不与直线PF 重合且过F 的动直线l 与C 交于M ，N 两点，直线PM 和QN 交于点A ，证明：A 在定直线上．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．28．（2024·湖北·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>()1,0E 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积（O 为坐标原点）；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB 4=，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由29．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为2y x =，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)是否存在直线l ，经过点()1,4M 且与双曲线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若存在，求l 的方程：若不存在，说明理由．30．（2024高二下·江西萍乡·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，且C 的一条渐近线经过点D .(1)求C 的标准方程；(2)是否存在过点(2,1)P 的直线l 与C 交于不同的A ，B 两点，且线段AB 的中点为P .若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.31．（2024·浙江·二模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点，A 是C 上一点，线段2AF 与C 交于B 点.(1)证明：2AB BF ³；(2)若1ABF V 的面积为8，求直线AB 的斜率.32．（2024高二下·上海宝山·期中）已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.(1)若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；(2)若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB △k 的值.33．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>经过点()2,3M ，它的左焦点为1F ，且1F (1)求C 的方程；(2)过点M 的直线l 交C 左支于一点N ，且l 的斜率是12，求MN 长．。
3.2.2 双曲线的简单几何性质(精练)(原卷版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一
3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）1．（2023秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为该双曲线的渐近线方程为（）Ay ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=2．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（）A ．π3B ．π4C ．6πD ．2π33．（2023春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）（多选）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>一条渐近线与实轴夹角为θ，且ππ,64θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则离心率e 的可能取值是（）AB C D 4．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与22214()2b b M x a y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 交于第一象限内的两点A ，B ，若MAB △为等边三角形，则双曲线的离心率e =（）AB C ．2D ．5．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点A 在E 上,且12cos 53F AF ∠=,122AF AF =,则E 的渐近线方程为（）A ．58y x=±B ．85y x=±C ．5y x =±D ．4y x =6．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，过原点的直线l 与C 相交于,A B 两点，122||F F AO =，四边形12AF BF 的面积等于2c ，则C 的离心率等于（）A BC ．2D7．（2023·山东·模拟预测）过双曲线222x y -=的左焦点作直线l ，与双曲线交于,A B 两点，若AB 4=，则这样的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．（2023春·陕西安康）已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为1F ，右焦点为2F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若2PO PF =，则12PF F △的面积为（）A ．34B ．1C ．54D ．329．（2023秋·高二单元测试）双曲线C ：224x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，则1F AB 的内切圆半径等于（）A ．12B ．2C D ．210．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>直线l 与C 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为()1,2N ，则直线l 的斜率为（）A ．1-B ．1C D ．211．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>与直线2y x =-+相交于A 、B 两点，弦AB 的中点M 的横坐标为1-，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．3y x=±C ．13y x=±D ．y x =12．（2023春·河南周口·高二校考开学考试）过点()2,1M 作斜率为1的直线，交双曲线()222210,0y x a b a b-=>>于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，则该双曲线的离心率为（）AB C D 13．（2022秋·高二课时练习）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =.若水面下降5m ，则水面宽是（）(结果精确到0.1m )( 1.41≈ 2.24≈ 2.65≈)A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m14．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点2F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为22221x y a b-=，12,F F 分别为其左、右焦点，若从右焦点2F 发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后（2F ，A ，B 在同一直线上），满足3,4AB AD ABC π∠⊥=，则该双曲线的离心率的平方为（）A 1+B 3C ．5+D ．5-15．（2022·全国·校联考模拟预测）北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm ，上口直径为100cm 3，底座直径为25cm ，最小直径为20cm ，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（）A ．2B ．135C ．74D ．7316．（2023秋·山西太原·高二校考期末）（多选）直线l 交双曲线2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB的中点，则l 的斜率不可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．117．（2022秋·山东青岛·高二统考期末）（多选）已知双曲线22:14x C y -=，点A ，B 在C 上，AB 的中点为()1,1，则（）A ．C 的渐近线方程为2y x =±B ．C 的右焦点为()2,0C ．C 与圆221x y +=没有交点D ．直线AB 的方程为430x y -+=18．（2023秋·云南楚雄·高二统考期末）若直线l 与单位圆（圆心在原点）和曲线22148x y -=均相切，则直线l 的一个方程可以是19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆221259x y +=与双曲线()2222:10,0x y C m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，点94,5P ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为．20．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）不与x 轴重合的直线l 过点()(),00N N N x x ≠，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A B ､关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为M x .若3N M x x =，则双曲线C 的离心率为.21．（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）不与x 轴重合的直线l 过点N （N x ,0）（xN ≠0），双曲线C ：22221x ya b-（a ＞0，b ＞0）上存在两点A 、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为M x ．若4N M x x =，则C 的离心率为．22．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，设P 为线段AB 的中点，若212OP PF F F =，则双曲线的离心率为．23（2022·高二课时练习）已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为(4,2)M ，则直线AB 的斜率为.24（2023春·广东广州·高二执信中学校考期末）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =．25．（2023·云南·校联考模拟预测）已知双曲线方程为2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.26．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线224x y -=，直线():1l y k x =-，若直线与双曲线的右支有两个交点，求k 的取值范围．27（2023秋·高二课时练习）已知双曲线224x y -=，直线():1l y k x =-，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求k 的取值范围．28．（2023秋·高二课时练习）经过点()2,2M 作直线l 交双曲线2214y x -=于,A B 两点，且M 为AB 中点．(1)求直线l 的方程．(2)求线段AB 的长．29．（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点12,F F 的坐标分别为()5,0-和()5,0，离心率为54e =，求：(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线l 与该双曲线交于交于,A B 两点，且,A B 中点()5,1P ，求直线AB 的弦长．30．（2023广东）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所到的时间比其他两个观测点晚期4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上）．1．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率2e =，,A B 是双曲线上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上异于,A B 的动点，直线,PA PB 的斜率分别为1k ，2k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围是（）A ．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]4,2--D ．[]2,42．（2023·全国·高二专题练习）直线3260x y -+=与曲线2194x xy -=的公共点的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．43．（2023秋·高二单元测试）已知点F 是双曲线22221x y a b-=（00a b >>,）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．(1)∞,+B ．(1,2)C ．(2,1D ．(1,1+4．（2023·河南·校联考模拟预测）F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，O 是坐标原点，直线y =与双曲线C 的左、右两支分别交于,P Q 两点，且FO PF =，则双曲线的离心率为（）A1B 1+CD ．13+5．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，若152AF AB=，则双曲线C 的离心率为（）AB ．9C ．2D ．36．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第十一中学阶段练习）过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F作C 的其中一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，l 与C 的另一条渐近线交于点N ，且0MN MF +=，则C 的渐近线方程为（）A ．20x y ±=B0y ±=Cy ±=D ．0x y ±=7．（2023·江西抚州）如图，已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 作圆O ：222x y a +=的切线2F A ，切点为A ，且切线2F A 在第三象限与C 及C 的渐近线分别交于点M ，N ，则（）A ．直线OA 与双曲线C 有交点B ．若12MF b =，则2AM a b=-C ．若224MF AF =，则C 的渐近线方程为34y x=±D ．若22|4|NF AF =，则C8．（2022秋·甘肃兰州·高二统考期中）（多选）已知1F 、2F 是双曲线22221x ya b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =，则该双曲线的离心率为（）.AB C D 9．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 作直线l 垂直于双曲线C 的一条渐近线，直线l 交双曲线C 于点M ，若123MF MF =，则双曲线C 的渐近线方程可能为（）A ．y =B ．y =C ．22y x =±D ．y x=±10．（2022秋·高二课时练习）过双曲线2218y x -=的右焦点作直线与双曲线交于,A B 两点，若16AB =，则这样的直线有（）A ．一条B ．两条C ．三条D ．四条11．（2023春·四川自贡·高二统考期末）已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，过F 倾斜角为30︒的直线与双曲线渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A ．B ．C ．D ．12．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，点()P 在双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>上，C的一条渐近线的方程为0x =，左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F C 的两条渐近线于,A B 两点，则下列结论正确的个数为（）①②直线AB 0y --=；③直线AB 截双曲线所得弦长为3；④9OA OB ⋅=．A ．1B ．2C ．3D ．413．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，()0,3M b ，若直线l 与E的右支交于,A B 两点，且F 为MAB △的重心，则E 的离心率的取值范围为（）A ．)∞⋃+⎝B ．)∞⋃+⎝C ．3⎛ ⎝⎭D ．1,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭14．（2023春·江苏南通·高二期末）（多选）双曲线2221y x a-=的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为（）．AB C ．32D ．215．（2023·全国·高三专题练习）（多选）双曲线具有如下光学性质：如图1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，从右焦点2F 发出的光线m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线过左焦点1F ．若双曲线C 的方程为224121x y -=，则（）A ．双曲线的焦点2F B ．若m n ⊥，则1242PF PF =C ．当n 过点()3,6Q 时，光线由2F P Q →→所经过的路程为8D ．反射光线n 所在直线的斜率为k ，则k ⎡∈⎢⎣⎭13．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F C 右支于M ，N 两点，且1||||MF MN =.写出C 的一条渐近线方程.14．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，过双曲线C 的右焦点F 作直线l 交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第四象限，且满足12BF FA =，3AF a =，则双曲线C 的离心率为.15．（2022·全国·高三专题练习）过点(3,3)P 作双曲线C ：221x y -=的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 的方程．。
人教版数学高二 2.3.2 双曲线的简单几何性质 优化训练(人教A版选修2-1)
2.3.2 双曲线的简单几何性质 优化训练1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是( ) A.32 B.52 C.54 D.32 解析：选B.∵a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝5.∴e ＝c a ＝52. 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2C. 3 D ．1解析：选A.双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y ＝±3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.3．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________． 解析：双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b 2x (b >0)，∴b ＝1. 答案：14．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. 解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k－x 2k ＝1② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾，无解；把(3,92)代入②，得k ＝9，故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.一、选择题1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是( )A.x 23－y 2＝1，x 29－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1，y 2－x 23＝1C ．y 2－x 23＝1，x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1，y 23－x 29＝1 解析：选A.B 中渐近线相同但e 不同；C 中e 相同，渐近线不同；D 中e 不同，渐近线相同．故选A.2．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( ) A ．2 B. 3C.32 D ．1 解析：选D.∵c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a ＝2，∴a ＝1.3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A.椭圆4x 2＋y 2＝64即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b 2＝12，所以双曲线方程为y 2－3x 2＝36.4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A. 5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.y 24－x 24＝1B.x 24－y 24＝1 C.y 24－x 29＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选A.2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c ，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)，∴(a －b )2＝0，即a ＝b .∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3C.43D.53解析：选D.依题意，2a ＋2c ＝2·2b ，∴a 2＋2ac ＋c 2＝4(c 2－a 2)，即3c 2－2ac －5a 2＝0，∴3e 2－2e －5＝0，∴e ＝53或e ＝－1(舍)．故选D. 二、填空题7．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上． 答案：(±7，0)8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，∴c ＝4.∵e ＝c a ＝2，∴a ＝2，∴b 2＝12，∴b ＝2 3.∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x ，化为一般式为3x ±y ＝0.答案：(±4,0) 3x ±y ＝09．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________． 解析：依题意设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)， 将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1. 答案：x 23－y 212＝1 三、解答题10．求以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．解：椭圆的焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，即为双曲线的顶点．∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上，∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A 1(－4,0)，A 2(4,0)，所以c ＝4，a ＝7， ∴b ＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程为x 27－y 29＝1. 实轴长为2a ＝27，虚轴长为2b ＝6，离心率e ＝c a ＝477，渐近线方程为y ＝±377x .11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和点B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的方程． 解：∵e ＝233，∴c a ＝233， ∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2. ① 又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∵d ＝ab a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)． ② 解由①②组成方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 12．已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1,2)．(1)求过点P (1,2)的直线l 的斜率k 的取值范围，使l 与C 只有一个交点；(2)是否存在过点P 的弦AB ，使AB 的中点为P?解：(1)设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入双曲线C 的方程，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0(*)①当2－k 2＝0，即k ＝±2时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点．②当2－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝32.此时只有一个公共点． 又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x ＝1上，而x ＝1为双曲线的一条切线． ∴当k 不存在时，直线与双曲线只有一个公共点．综上所述，当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个交点． (2)假设以P 为中点的弦AB 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根，则由根与系数的关系，得2(k 2－2k )2(k 2－2)＝1，∴k ＝1. ∴这样的弦存在，方程为y ＝x ＋1(－1≤x ≤3)，即x －y ＋1＝0(－1≤x ≤3)．。
3.2.2双曲线的简单几何性质(知识解题达标测试)(原卷版)
3.2.2 双曲线的简单几何性质【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【考点2：离心率的值及取值范围】【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【考点4：求共焦点的双曲线方程】【考点5：双曲线的渐近线】【考点6：等轴双曲线】【考点7：双曲线的实际应用】知识点1双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R知识点2 双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.【考点1： 双曲线的方程、图形及性质】【典例1】双曲线9x 2−4y 2=36的一个焦点坐标为（ ） A ．(√13,0)B ．(0,√13)C ．(√5,0)D ．(0,√5)【变式11】已知双曲线C:x 25−y 2b 2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√31【变式12】若双曲线x 2m 2+1−y 2=1的实轴长为4，则正数m =（ ） A ．√3 B ．2C ．94D ．72【考点2：离心率的值及取值范围】【典例2】已知双曲线x2−y2=4，则其离心率是（）A．2B．√2C．√3D．√5【变式21】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．√2【变式22】已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则此双曲线的离心率e为（）A．2B．2√33C．2或2√33D．√3或2【变式23】若双曲线x 2a2−y2=1(a>0)的离心率为√2，则a=（）A．2B．√2C．1D．√22【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【典例3】已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为√2，则C的标准方程为（）A．x2−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x2=1D．y2−x23=1【变式31】双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(√6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）A．x24−y212=1B．x22−y26=1C．x23−y29=1D．x2−y23=1【变式32】已知双曲线x 2a2−y2b2=1的虚轴长为4，离心率为√2，则该双曲线的方程为（）A．x2−y24=1B．x24−y2=1C．x24−y24=1D．x22−y22=1【变式33】以椭圆x 28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1【考点4：双曲线的渐近线】【典例4】已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√5x B．y=±√6x C．y=±√55x D．y=±√66x【变式41】双曲线x 23m −y26m=1的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√22xC．y=±2x D．y=±12x【变式42】双曲线y 24m −x22m=1的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√2x C．y=±2x D．y=±12x【变式43】已知双曲线C1:x2+y2m=1(m≠0)与C2:x2−y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为（）.A．x±y=0B．√2x±y=0C．x±√3y=0D．√3x±y=0【变式44】双曲线x 24−y25=1的渐近线方程为.【考点5：等轴双曲线】【典例5】已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=1【变式51】等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x【变式52】若双曲线C：x 2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−2【变式53】中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=4【考点6：共焦点的双曲线】【典例6】多选题过点(3,2)且与椭圆x 28+y23=1有相同焦点的圆锥曲线方程为（）A．x225+y220=1B．x215+y210=1C．x23−y22=1D．x22−y23=1【变式61】过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x29−y2=1C．x22−y29=1D．x29−y25=1【变式62】与双曲线x 216−y24=1有公共焦点，且过点(3√2,2)的双曲线方程为．【考点7：双曲线的实际应用】【典例7】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6√2cm，下底直径为9√2cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（）A．272cm B．18cm C．27√22cm D．18√2cm【变式71】单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为50√22m，楼顶直径为50√6m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（）A．350m B．375m C．400m D．450m【变式72】祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x2−y24=1（−2≤y≤1），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．【变式73】青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16cm，上瓶口圆的直径为20cm，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12cm，则该双曲线的离心率为.一、单选题1．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=12．等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x3．若双曲线C：x2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−24．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=45．设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若|BF|=√2|OA|，则E的离心率等于（）A．√62B．√2C．√3D．36．若双曲线x25+y2m=1的离心率为2，则m的值为（）A．−5B．−10C．−15D．−207．已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实半轴长为√3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√3x B．y=±√33x C．y=±√32x D．y=±2√33x8．双曲线E:x29−y236=1的渐近线方程为（）A．y=±14x B．y=±12x C．y=±2x D．y=±4x9．已知双曲线C:x24−y23=1，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A．r>2√217B．0<r<4√57C．r>67D．r>110．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为（0,b），若C上存在点P使得|PB|<b成立，则C的离心率取值范围是（）A．[√2+12,+∞)B．[√5+32,+∞)C．(√2,+∞)D．(√5+12,+∞)11．双曲线y23−x26=1的焦点坐标为（）A．(±√3,0)B．(0,±√3)C．(±3,0)D．(0,±3)12．已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若△ABC是等腰直角三角形，则△ABC的面积是（）A．4B．89C．169D．329二、填空题13．双曲线x29−y27=1的右焦点坐标为.14．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在y轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为．15．已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与左支交于A,B两点，若|AB|=5，且双曲线的实轴长为8，则△ABF2的周长为.三、解答题16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4．(1)求双曲线C的方程；(2)若点A(12,0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值．17．已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±√22x.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求实数m的值.。
3.2.2 双曲线的简单几何性质(精练)高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
3.2.2双曲线的简单几何性质【题组1由双曲线的方程求几何性质】1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程：（1）22149x y -=；（2）22194y x -=．【答案】（1）双曲线实轴长为4，虚轴长为6，顶点坐标为(20)±,，离心率为2，渐近线方程为32y x=±（2）实轴长为6，虚轴长为4，顶点坐标为(0,3)±，离心率为133，渐近线方程为32y x=±【解析】（1）由题意，双曲线方程为22149x y -=，故222224,9,13a b c a b ===+=故双曲线的实轴长为：24a =虚轴长为：26b =，顶点坐标为：(20)±,离心率为：c e a ==32b y x x a =±=±故双曲线实轴长为4，虚轴长为6，顶点坐标为(20)±,，离心率为132，渐近线方程为32y x=±（2）由题意，双曲线方程为22194y x -=，故222229,4,13a b c a b ===+=故双曲线的实轴长为：26a =虚轴长为：24b =，顶点坐标为：(0,3)±离心率为：c e a ==32a y x x b =±=±故双曲线实轴长为6，虚轴长为4，顶点坐标为(0,3)±，32y x=±2、（多选）已知双曲线22:184x y C -=，则下列说法正确的是（）A．渐近线方程为y =B．焦点坐标为()±C．顶点坐标为()±D．实轴长为【答案】BC【解析】对于双曲线22:184x y C -=，a =2b =，c =.所以，双曲线C 的渐近线方程为b y x a =±=，焦点坐标为()±，顶点坐标为()±，实轴长为因此，AD 选项错误，BC 选项正确.故选：BC.3、我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A．离心率B．渐近线C．焦点D．顶点【答案】B【解析】共轭双曲线22221x y a b-=和22221y x b a -=的c =0a >，0b >，可得它们的焦点分别为(,0)c ±，(0,)c ±，渐近线方程均为by x a=±，离心率分别为c a 和cb，它们的顶点分别为(,0)a ±，(0,)b ±，故选：B．4、曲线221259x y -=与曲线221259+x y k k -=-（925k -<<）的（）A．顶点相同B．虚轴长相等C．焦点相同D．离心率相等【答案】C【解析】顶点坐标为()5,0±，虚轴长为6，焦点坐标为()考查曲线221259+x y k k-=-（925k -<<）的性质：顶点坐标为()，虚轴长为焦点坐标为()；据此可知两曲线的焦点相同.本题选择C 选项.5、（多选）已知双曲线222(0)3x y m m -=≠，则不因m 的值改变而改变的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程【答案】BD【解析】∵双曲线222(0)3x y m m -=≠，∴222213x y m m-=，c =该双曲线焦距为：=顶点坐标为)和()0，渐近线方程为y =不因m 的值改变而改变的是离心率与渐近线方程.故选：BD.【题组2由几何性质求双曲线的标准方程】曲线的标准方程为（）A．2244x y -=1B．2244y x -=1C．2248y x -=1D．2284x y -=1【答案】B【解析】由方程组2222222a a b c a b c =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得a =2，b =2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为2244y x -=1.故选：B.2、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（）A．2212x y -=B．22x y -C．222x y -=D．224x y -=【答案】D【解析】由一个焦点到一条渐近线的距离为2，得2b =，又因双曲线的实轴与虚轴相等，所以2a =，由双曲线焦点在x 轴上，可知双曲线方程为224x y -=.故选：D.3、已知双曲线的虚轴在y 轴上，且虚轴长为，离心率为3，则该双曲线方程为（）．A．2218y x -=B．2218y x -=C．22198x y -=D．2218x y -=【答案】A【解析】设双曲线方程22222221,x y a b c a b-=+=，32c b a⎧⎪⎨==⎪⎩，所以1,a b ==所以双曲线方程为2218y x -=，故选：A4、已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为（）A．221164x y -=B．221169x y -=C．221916x y -=D．221259x y -=【答案】B【解析】依题意可得222222500a b a b a b -=⎧⎪+=⎨⎪>>⎩，，得43a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线的方程为221169x y -=．故选B．5、以椭圆22x y 143+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A．22y x 13-=B．22y x 13-=C．22x y 143-=D．22x y 134-=【答案】B【解析】设双曲线为22221x y a b-=，由椭圆22143x y +=得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2﹣a 2＝3．∴双曲线为2213y x -=．故选B ．【题组3与双曲线的渐进线相关的问题】1、双曲线()221R x my m -=∈的右焦点坐标为()2,0，则该双曲线的渐近线方程为（）A．13y x =±B．3y x=±C．y =D．y x =【答案】C【解析】双曲线221(R)x my m -=∈，即2211y x m-=的右焦点坐标为()2,0，所以2112m +=，解得13m =，所以双曲线方程为2213y x -=，则双曲线的渐近线为y =；故选：C2、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）A．12y x =±B．y =C．y =D．2y x=±【答案】D【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>即c a =，所以2222215a b b a a +=+=，则2ba=，故C 的渐近线方程为2y x =±.故选：D.3、与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点()2,1的双曲线的标准方程为___________.【答案】22133y x -=【解析】由题意可知，设()220x y λλ-=≠，因为所求双曲线过点()2,1，所以2221λ-=，解得3λ=.所以所求双曲线的标准方程为：22133y x -=.故答案为：22133y x -=.4、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 为虚轴上的端点，若12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，则C 的渐近线方程为（）A．22y x =±B．y =C．2y x=±D．y =±【答案】A【解析】设原点为O ，由12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，可1||tan 303OA b OF c ==︒=，c ∴=，a =，22b a ∴=故C 的渐近线方程为22y x =.故选：A.5、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F且斜率为-直线与双曲线在第二象限交于点A ，M 为2AF 的中点，且120MF MF ⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（）A．y =B．3y x =±C．125y x =±D．512y x =±【答案】A【解析】由1AF k =-12tan AF F ∠=-又121212sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠=∠，且221212sin cos 1AF F AF F ∠+∠=，解得121cos 8AF F ∠=-或121cos 8AF F ∠=（舍去），由12MF MF ⊥且M 为2AF 的中点，知1122AF F F c ==，∴2222214422298AF c c c c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，∴23AF c =，∴212a AF AF c =-=，又222c a b =+，∴b =，∴渐近线方程为y =.故选：A【题组4求双曲线的离心率的值或取值范围】1、双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，则其离心率为（）A．3D．5【答案】A【解析】由条件可知b a =3c a =.故选：A2、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足1222MF MO MF ==，则双曲线的离心率为（）A．6B．3【答案】C【解析】因为1222MF MO MF ==,则2MO MF =，M 在双曲线右支上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，则A 为2OF 的中点，所以22cAF =，132c AF =，设2MF m =，则12MF m =，故在1Rt MAF △中，2229||44MA m c =-.在Rt 2MAF 中，222||4cMA m =-，则22229444c m c m -=-，即2232m c =.因为122MF MF a -=，则2m a =，所以223(2)2a c ⨯=，即226c a =，所以ce a==3、已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为（）A．32B．2C．2【答案】C【解析】由题意可得，121222MF MF a p MF MF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1244p MF a p MF a⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又12F F 为直径，所以四边形12F NF M 为矩形，所以22124p S MF MF a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，又232S p =，所以222324p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2232p a =，由2221212MF MF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，所以22232c e a ==，即2e =．故选：C．4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，1A ，2A 是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12(1,2)i PA A i =△构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）．A．⎭B．⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，所以b a >，2222b c a a =->，解得ce a=>且圆心(0,0)到直线BF ：0bx cy bc +-=的距离d a =<，化简得2b ac <，所以22c a ac -<，210e e --<，又1e >，解得1e <e <<5、已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A．()1,+∞B．(]2,3C．(]1,3D．(]1,2【答案】C【解析】1F ，2F 是左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，所以212PF PF a -=，代入221PF PF 得()22212111124448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==+++= ，当且仅当12PF a =时取等号，即12PF a =，又点P 是双曲线左支上任意一点，所以1PF c a - ，即23a c a e -⇒ ，13e < .故选：C．【题组5直线与双曲线的位置关系】1、直线1y x =+与双曲线221x y -=的交点个数为______．【答案】1【解析】由2211y x x y =+⎧⎨-=⎩得：10x y =-⎧⎨=⎩，∴直线1y x =+与双曲线221x y -=有且仅有1个交点.故答案为：1.2、判断直线)1y x =-与双曲线221x y -=的公共点的个数．【答案】2.【解析】由)2211y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，可得2320x x -+=，∴()234210∆=--⨯=>，∴直线)1y x =-与双曲线221x y -=的公共点的个数为2.3、已知双曲线22:13x C y -=，直线:10l x -=，求直线l 与双曲线C 的公共点的坐标．【答案】2,3⎛ ⎝⎭.【解析】直线l 与双曲线C的公共点的坐标就是方程组221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩的解，解之得，2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线l 与双曲线C的公共点的坐标为⎛ ⎝⎭.4、（多选）下列曲线中与直线23y x =--有交点的是（）A．4210x y +-=B．223x y +=C．2212y x -=D．2212x y -=【答案】BCD【解析】对于A,直线23y x =--和4210x y +-=的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．对于B,由22233y x x y =--⎧⎨+=⎩，得251260x x ++=，1441200∆=->，所以直线与B 中的曲线有交点．对于C,由222312y x y x =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得221270x x ++=，212560∆=->，所以直线与C 中的曲线有交点．对于D,由222312y x x y =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2724200x x ++=，2245600∆=->，所以直线与D 中的曲线有交点．故选：BCD5、过点P （4，4）且与双曲线221169x y -=只有一个交点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D【解析】双曲线方程为：221169x y -=，当k 不存在时，直线为x ＝4，与221169x y -=1的图象有且只有一个公共点，当k 存在时，直线为：y ＝k （x ﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：()()2222916128128256+5124000k x kk x k k -+---=，（1）若2916k -＝0，k 34=±时，y ＝34±（x ﹣4）+4与双曲线的渐近线y 34=±x 平行，所以与双曲线只有1个公共点，（2）k 34≠±时，()()()222212812849162565124000k k k k k ∆=----+=，即k 2532=，此时直线y 2532=（x ﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点．综上过点P （4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．故选：D.【题组6直线与双曲线相交弦长问题】1、过双曲线22136x y -=的右焦点作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，则AB 的长为______．【解析】双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F ，所以直线l的方程为3)y x =-．由221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-，所以1635AB ===．2、已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |）A．x 2－y 2＝6B．x 2－y 2＝9C．x 2－y 2＝16D．x 2－y 2＝25【答案】B【解析】设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB×3aa ＝3故选B.3、已知双曲线x 223y -=1，过点P （2，1）作一条直线交双曲线于A ，B ，并使P 为AB 的中点，求AB 所在直线的方程和弦AB 的长【答案】AB 直线方程：6x ﹣y ﹣11＝0；AB的长为33.【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）由221213y k x y x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩（）得（3﹣k 2）x 2+2k （2k ﹣1）x ﹣4（k 2﹣k +1）＝0设此方程两实根为x 1，x 2，则x 1+x 222213k k k -=-（）又P （2，1）为AB 的中点，所以22213k k k -=-（）4，解得，k ＝6当k ＝6时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0∆>,所求直线AB 的方程为y ﹣1＝6（x ﹣2）化成一般式为6x ﹣y ﹣11＝0．∴|AB|4244233==．4、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .【答案】（1）22142x y -=（2x ≠±）；（2）【解析】（1）设(),M x y ，则AM ，BM 的斜率分别为12yk x =+，22y k x =-，由已知得1222y y x x ⋅=+-，化简得22142x y -=（2x ≠±），即曲线C 的方程为22142x y -=（2x ≠±）；（2）联立221423x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得212220x x -+=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则1212x x +=，1222x x =，12EF x =-==5、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0）．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝x +2与双曲线交于A ，B 两点，求弦长|AB |．【答案】（1）23x -y 2＝1；【解析】（1）由已知得a =c ＝2，再由c 2＝a 2+b 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为23x -y 2＝1．（2）由直线与双曲线联立得2x 2+12x +15＝0，解得x ＝﹣3±62,AB,∴|AB|=【题组7双曲线的中点弦与点差法】1、已知椭圆22154x y +=，倾斜角为4π的直线l 与椭圆分别相交于A .B 两点，点P 为线段AB的中点，O 为坐标原点，则直线OP 的斜率为（）A．15-B．45-C．15D．45【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②整理得1212121211()()()()054x x x x y y y y +-++-=，又因为1212tan 14y y x x π-==-，则12120y y x x -=-≠，所以121211()()054x x y y +++=，又因为点P 为线段AB 的中点，则1201202,2x x x y y y +=+=，所以0021052x y +=，即0045y x =-，所以0045OP y k x ==-，即直线OP 的斜率为45-，故选：B.2、直线l 交双曲线2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB 的中点，则l 的斜率为（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因点A ，B 在双曲线2214xy -=上，则221114x y -=，222214x y -=，两式相减得：121212121()(0)()()4x x x x y y y y +--+-=，因P 为AB 中点，则128x x +=，122y y +=，于是得2121y y x x --＝1，即直线l 的斜率为1，此时，直线l 的方程为：3y x =-，由22344y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：2324400x x -+=，2244340960∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线2214x y -=交于两点，所以直线l 的斜率为1.故选：D3、已知直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为（1，2），则直线l 的斜率为（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由AB 的中点坐标为（1，2），则12x x ≠，且12122,4x x y y +=+=所以1212AB y y k x x -=-又A ，B 两点在双曲线2212y x -=上，所以221112y x -=，222212y x -=，由两式相减可得2222121222y y x x -=-，即()()()()121212122y y y y x x x x ---+=所以()()()121212122y y y y x x x x -++=-，即44AB k =,所以1AB k =此时直线l 的方程为：1y x =+由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2230x x --=，4+430∆=⨯>满足条件.故选：C4、已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（）A．()1,1B．()1,2C．()2,1D．()2,2【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，，所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+.把1322y x =+代入双曲线方程得0∆>.对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足0∆>.故选：B5、已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A．B．3C．D．2±【答案】A【解析】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=则22620a b-=，即22=3a b，则a =则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为a b ±=的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP的斜率为C 的离心率为（）B．2D．3【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+.因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y .因为1212AB y y k x x -==-，00OP y k x ==2=224b a=，故e =【题组8双曲线的定点定值与最值问题】1、已知双曲线2221x y a-=的渐近线倾斜角分别为30°和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点.（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值.【答案】（1）)+∞，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）双曲线渐近线方程为y x =，又1b =，所以23a =，双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y ，0)x ∈+∞则22220000||((13x PF x y x =++=++-200413x =++所以2||5PF ≥+…所以||PF 的取值范围是)+∞（2）因为2200|3|||||4x y PQ PR -⋅==又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值.2、已知P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设不与y 轴垂直的直线l 过点1F 且交曲线E 于M ，N 两点，曲线E 与x 轴的交点为A ，B ，当||MN ≥AM NB AN MB ⋅+⋅的取值范围．【答案】（1）22122x y -=；（2）(,4][12,)-∞-+∞【解析】（1）依题意，P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为即12124PF PF F F -=<=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹E 是以12(2,0)(2,0)F F -、为焦点，其中224a c ==，所以2a c ==，则b =所以轨迹E 的方程为22122x y -=．（2）设直线l 方程为(2)y k x =+，点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组22(2)122y k x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()()222214420k x k x k ---+=，可得()222121222442,,81011k k x x x x k k k++==-∆=+>--且21k ≠．由弦长公式，可得221||1k MN k +=-因为||MN ≥22121k k +≥-，解得2113k ≤<或213k<≤因为(A B，所以())())11222211,,AM NB AN MB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅--++⋅-()()21212121242242222x x y y x x k x x =--=--++()()222121228422481k x x k x x k k =-+-+-=-，因为2113k ≤<或213k <≤，所以28(,4][12,)1k ∈-∞-+∞-，所以AM NB AN MB ⋅+⋅的取值范围是(,4][12,)-∞-+∞．3、已知双曲线C 经过点(P ，它的两条渐近线分别为0x=和0x -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设双曲线C 的左､右焦点分别为1F ､2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，求2ABF 周长的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）∞⎫+⎪⎪⎢⎭⎣【解析】（1）设双曲线C 的方程为223x y λ-=，代入点(P ，得22333λ=-=，所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=.（2）双曲线C 的左焦点为)(12,0F -，设)(11,A x y ､)(22,B x y ，①若直线l 的斜率不存在，则:2l x =-，得A ､B的坐标分别为⎛- ⎭⎝和2,⎛- ⎭⎝，此时ABC的周长为3.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)(2y k x =+，由)(22213y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得)(222213121230k x k x k ----=，因为直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，所以)()()(222222122212213012413123012013123013k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪⎪∆=----->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩，得213k >设2ABF 的周长为z，22112z AF BF AB AF BF AB AB =++=++=======设231t k =-，由213k >，得0t >，11163163333t z t t ++==+，0t >，所以,3z ∞⎛⎫∈+ ⎪⎪ ⎭⎝，综上，由①②可得2ABF 的周长的取值范围∞⎫+⎪⎪⎢⎭⎣.4、已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）,2)(((2,)-∞-+∞U U U 【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，，所以1011AP k k -===.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A，B 两点于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-．所以AB 的垂直平分线方程为2221()22m kmy x k k k -=----．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -．由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠．所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >．所以k的取值范围是,2)(((2,)-∞-+∞U U U ．5、在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.【答案】（1）221169x y -=；（2）证明见解析【解析】54=，即222162516(5)5x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得221169x y -=；（2）设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，显然直线AP 斜率不为0，设直线AP 方程为2x my =+，联立2211692x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理得()22916361080m y my -+-=，由题设29160m -≠且()22Δ(36)41089160m m =+⨯->，化简得243m >且2169m ≠，由韦达定理可得12236916m y y m -+=-，122108916y y m -=-，直线BD 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得()()()21112212112112121222x x y y my y my x y x y x xy y y y y y -++++=+==+++()1212121212221082222836my y y y y y m m y y y y m++==⨯+=⨯+=++，所以直线BD 过定点()8,0.。
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高中数学第二册（上）同步练测（32）
双曲线的简单几何性质
班级 学号 姓名
[基础练习]
1．双曲线14
32
2=-y x 的实轴长和虑轴长分别是( ) A. 32，4 B.4，32 C.3，4 D. 2，3
2．双曲线122
22=-b
y a x 的焦点到它的渐近线的距离等于( ) A. 22b a b + B.b C. a D. 22b a a +
3．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A.
23 B. 26 C. 2
3 D.2 4．双曲线的渐近方程是x y 2
1±=，焦点在坐标轴一，焦距为10，其方程为( ) A. 152022=-y x B. 152022=-y x 或 152022=-x y C. 12052
2=-y x D. 152022±=-x y 5．双曲线116
92
2=-y x 的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是( ) A.43- B.3
4- C. 53- D. 35- 6．双曲线125
162
2=-y x 的两条渐近线所成的角是( ) A.54arctan 2 B. 45arctan 2 C. 54arctan 2-π D. 45arctan 2-π 7．双曲线122
22=-b
y a x 与其共轭双曲线有( ) A.相同的焦点 B. 相同的准线 C. 相同的渐近线 D. 相等的实轴长
8．等轴双曲线的一个焦点是F 1（4，0），则它的标准方程是 ，渐近线方程是
9．若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为
10．若双曲线136
642
2=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离是8，则到它的右准线之间的距离为
11．若双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，左焦点坐标为)0,26(-，则它的两条准线之间的距离为
12．写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）双曲线的两个焦点是椭圆164
10022
=+y x 的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个焦点：
（2）双曲线的渐近线方程为x y ±=，两顶点之间的距离为2：
13．P 为双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）上一点，x PM ⊥轴于M ，射线MP 交渐近线于Q 。
求证：22MP MQ -是定值。
14．双曲线的其中一条渐近线的斜率为7
2，求此双曲线的离心率。
15．已知双曲线116
82
2=-y x （1）过右焦点F 2作一条渐近线的垂线（垂中为A ），交另一渐近线于B 点，求证：线段AB 被双曲线的左准线平分；
（2）过中心O 作直线分别交双曲线于C 、D 两点，且1CDF ∆)(1为左焦点
F 的面积为20，求直线CD 的方程。
[深化练习]
16．已知双曲线的渐近线方程为x y 4
3±=，则此双曲线的 （ ） A ．焦距为10 B ．实轴长与虚轴长分别为8与6
C ．离心率e 只能是45或35
D ．离心率e 不可能是45或3
5 17．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上的两点，如果ABC ∆是正三角形，则m 的取值范围是
18．设圆过双曲线116
92
2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是
19．已知双曲线19
162
2=-y x 上一点M 到左焦点F 1的距离是它到右焦点距离的5倍，则M 点的坐标为
20．已知直线l 过定点（0，1），与双曲线122=-y x 的左支交于不同的两点A 、B ，过线段AB 的中点M 与定点)0,2(-P 的直线交y 轴于),0(b Q ，求b 的取值范围。