数学---江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)
江苏省泰兴中学2015-2016学年高二10月阶段检测数学试题 含答案(1)
江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域）1.命题“2,80x Q x∃∈-=”的否定是.2。
椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为。
3.双曲线22221124x y m m-=+-的焦距为 .4.抛物线2y x =的准线方程为 。
5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写）6。
已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±,则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24xy =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为 。
8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A B C-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)ay x =+在（0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y xa x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题,则实数a 的取值范围是 ．10。
已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为____ __。
11。
已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)ypx p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12。
已知椭圆E ：22142x y +=,直线l 交椭圆于,A B 两点,若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ,且2AB =,动点P 在抛物线22yx =上,则PAB ∆面积的最小值是。
江苏省泰兴中学2015-2016学年高二数学高考假期作业2 含答案
江苏省泰兴中学高二数学（理）假期作业（2)完成时间：2016年6月7日 班级： 姓名： 家长签名: 一 填空题1．已知二项分布X ～)32,6(B ，则==)2(X P （用最简分数作答)2．设异面直线12,l l 的方向向量分别为(1,1,0),(1,0,1)a b =-=-，则异面直线12,l l所成角的大小为 。
3．有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为 ．4．已知矩阵12A ⎡=⎢⎣3a ⎤⎥⎦的一个特征值是1-，则矩阵A 的另一个特征值是 ． 5．设7722107)1(x a x a x a a x ++++=- ,则7210,,,a a a a 中最大的数是 ．6．某停车场内有序号为5,4,3,2,1的五个车位顺次排成一排，现在,,,A B C D 四辆车需要停放，若,A B 两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为 ．(用数字作答）7．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为52，则a = （用数字作答）．8．小明通过英语四级测试的概率为43，他连续测试3次，那么其中恰有一次获得通过的概率 _.9．在二项式3nx x ⎫-⎪⎭的展开式中,各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且128A B +=．则n = ．10．参数方程231141t x tt y t -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,化成普通方程是11.若直线m y x =+ 与圆,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数,0>m ）相切，则m 为 ．12。
若*n N ∈，100<n ，且二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项,则所有满足条件的n 值的和是 。
13．在直三棱柱111C B A ABC -中，2π=∠BAC ,11===AA AC AB ，G 与E 分别为11BA 和1CC 的中点,D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）.若EF GD ⊥,则线段DF 长度的取值范围为 。
江苏省泰州市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科) (word版含答案)
2016-2017学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．写出命题“∃x∈R，使得x2＜0”的否定：．2．设复数z=2﹣i（i为虚数单位），则复数z2=．3．抛物线y2=8x的准线方程是．4．命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为．5．已知p：x=1，q：x2﹣3x+2=0，则p是q的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）6．抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为．7．已知函数f（x）=e2x+x2，则f'（0）=．8．在平面直角坐标系xoy中，A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB=2，则线段AB中点M的轨迹方程为．9．若复数z满足|z﹣2i|=1（i为虚数单位），则|z|的最小值为．10．设S n是公差为d的等差数列{a n}的前n项和，则数列S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9是等差数列，且其公差为9d．通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2的等比数列{b n}的前n项积，则数列，，是等比数列，且其公比的值是．11．已知椭圆与双曲线，设C1与C2在第一象限的交点为P，则点P到椭圆左焦点的距离为．12．已知，把数列{a n}的各项按如图的规律排成一个三角形数阵，记F（p，q）表示第p行从左至右的第q个数，则F（8，6）的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P 在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为．14．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=﹣4x3+3x，对任意的s，t∈[，2]，都有f （s）≥g（t）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知m∈R，命题p：复数z=（m﹣2）+mi（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，命题q：复数z=（m﹣2）+mi的模不大于．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若命题￢p，命题q都为真，求m的取值范围．16．（14分）（1）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线2x﹣y﹣4=0上，求p的值；（2）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求双曲线的标准方程．17．（14分）设，数列{a n}满足（a＞0），a n+1=f（a n）（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．18．（16分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P 处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．写出命题“∃x∈R，使得x2＜0”的否定：∀x∈R，均有x2≥0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题得￢p：∀x∈R，均有x2≥0，故答案为：∀x∈R，均有x2≥0．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．设复数z=2﹣i（i为虚数单位），则复数z2=3﹣4i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z2=（2﹣i）2=4﹣1﹣4i=3﹣4i，故答案为：3﹣4i．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣2【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4．命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为若x＞2，则x＞1．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为命题“若x＞2，则x＞1”，故答案为：若x＞2，则x＞1【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．5．已知p：x=1，q：x2﹣3x+2=0，则p是q的充分不必要条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】q：x2﹣3x+2=0，解得x=1，2．即可判断出结论．【解答】解：∵q：x2﹣3x+2=0，解得x=1，2．∴p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要【点评】本题考查了一元二次方程的解法、充分不必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为4．故答案为：4．【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离，要求该点的横坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．7．已知函数f（x）=e2x+x2，则f'（0）=2．【考点】函数的值．【分析】先求出f′（x）=2e2x+2x，由此能求出f'（0）．【解答】解：∵函数f（x）=e2x+x2，∴f′（x）=2e2x+2x，∴f'（0）=2e2×0+2×0=2．故答案为：2．【点评】本题考查导数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．8．在平面直角坐标系xoy中，A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB=2，则线段AB中点M的轨迹方程为x2+y2=3．【考点】轨迹方程．【分析】由题意，OM⊥AB，OM==，即可求出线段AB中点M的轨迹方程．【解答】解：由题意，OM⊥AB，OM==，∴线段AB中点M的轨迹方程为x2+y2=3，故答案为x2+y2=3．【点评】本题考查轨迹方程，考查垂径定理的运用，比较基础．9．若复数z满足|z﹣2i|=1（i为虚数单位），则|z|的最小值为1．【考点】复数求模．【分析】设z=x+yi，（x，y∈R），根据|z﹣2i|=1，可得x2=1﹣（y﹣2）2（y∈[1，3]）．代入|z|=，即可得出．【解答】解：设z=x+yi，（x，y∈R），∵|z﹣2i|=1，∴|x+（y﹣2）i|=1，∴=1，∴x2=1﹣（y﹣2）2（y∈[1，3]）．则|z|===≥=1．当y=1时取等号．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．设S n是公差为d的等差数列{a n}的前n项和，则数列S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9是等差数列，且其公差为9d．通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2的等比数列{b n}的前n项积，则数列，，是等比数列，且其公比的值是512．【考点】类比推理．【分析】由等差数列的性质可类比等比数列的性质，因此可根据等比数列的定义求出公比即可．【解答】解：由题意，类比可得数列，，是等比数列，且其公比的值是29=512，故答案为512．【点评】本题主要考查等比数列的性质、类比推理，属于基础题目．11．已知椭圆与双曲线，设C1与C2在第一象限的交点为P，则点P到椭圆左焦点的距离为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定椭圆、双曲线共焦点，再结合椭圆、双曲线的定义，即可求得结论．【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意，椭圆、双曲线共焦点，则|PF1|+|PF2|=6，|PF1|﹣|PF2|=2∴|PF1|=4故答案为：4【点评】本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知，把数列{a n}的各项按如图的规律排成一个三角形数阵，记F（p，q）表示第p行从左至右的第q个数，则F（8，6）的值为110．【考点】归纳推理．【分析】观察发现：是连续的项的排列，且第m行有2m﹣1个数，根据等差数列求和公式，得出F（8，6）是数列中的项数，再利用通项公式求出．【解答】解：三角形数阵第m行有2m﹣1个数，根据等差数列求和公式，F（8，6）是数列中的1+3+5+…+（2×7﹣1）+6=55项，F（8，6）=a55=2×55=110故答案为：110．【点评】本题是规律探究型题目，此题要发现各行的数字个数和行数的关系，从而进行分析计算．13．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P 在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为﹣1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=c，∠PFO=60°，△FPO为等边三角形，边长为c，P（﹣c，c），代入椭圆方程： +=1，由b2=a2﹣c2，e=，0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，且直线PF的斜率为，则∠PFO=60°，∴△FPO为等边三角形，边长为c，则P（﹣c，c），代入椭圆方程： +=1，由b2=a2﹣c2，e=，则e4﹣8e2+4=0，解得：e2=4±2，由0＜e＜1，解得：e=﹣1，椭圆的离心率﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，三角形中位线的性质，考查数形结合思想，属于中档题．14．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=﹣4x3+3x，对任意的s，t∈[，2]，都有f （s）≥g（t）成立，则实数a的取值范围是a≥1．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】t∈[，2]时，g（t）的最大值为1，若对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，则在[，2]上+xlnx≥1恒成立，构造函数h（x）=﹣x2lnx+x，求其最大值，可得答案．【解答】解∵在[，2]上g′（x）=﹣12x2+3≤0恒成立，∴当x=时，g（x）=﹣4x3+3x取最大值1，∵对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，∴在[，2]上+xlnx≥1恒成立，即在[，2]上a≥﹣x2lnx+x恒成立，令h（x）=﹣x2lnx+x，则h′（x）=﹣x（2lnx+1）+1，h′′（x）=﹣2lnx﹣3，∵在[，2]上h′′（x）＜0恒成立，∴h′（x）在[，2]上为减函数，∵当x=1时，h′（x）=0，故当x=1时，h（x）取最大值1，故a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（2016秋•泰州期末）已知m∈R，命题p：复数z=（m﹣2）+mi （i是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，命题q：复数z=（m﹣2）+mi的模不大于．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若命题￢p，命题q都为真，求m的取值范围．【考点】命题的否定．【分析】（1）根据复数的几何意义结合命题的真假关系进行求解即可．（2）求出命题q的等价条件，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）复数z=（m﹣2）+mi（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则得0＜m＜2，即若p为真命题，则0＜m＜2．（2）命题q：复数z=（m﹣2）+mi的模不大于，则|z|=≤，即m2﹣2m﹣3≤0，得﹣1≤m≤3，即q：﹣1≤m≤3，若命题￢p，命题q都为真，则，即﹣1≤m≤0或2≤m≤3．【点评】本题主要考查复数的几何意义以及命题真假关系的应用．考查学生的转化意识．16．（14分）（2016秋•泰州期末）（1）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线2x﹣y﹣4=0上，求p的值；（2）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求双曲线的标准方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（p，0），又焦点在直线2x﹣y﹣4=0上，∴2p﹣0﹣4=0，解得p=2，（2）由题意知双曲线标准方程为： +=1，（a，b＞0）．∴=，=，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为﹣=1【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．17．（14分）（2016秋•泰州期末）设，数列{a n}满足=f（a n）（n∈N*）（a＞0），a n+1（1）求a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．【考点】数学归纳法；归纳推理．=f（a n）【分析】（1）由，数列{a n}满足（a＞0），a n+1（n∈N*），可得，进而得出a2，a3，a4．猜想a n=．（2）利用数学归纳法证明即可得出．=f 【解答】解：（1）∵，数列{a n}满足（a＞0），a n+1（a n）（n∈N*），∴，∴a2=，a3=，a4=．猜想a n=．（2）利用数学归纳法证明：a n=．①当n=1时，由（1）可知成立．②假设n=k∈N*时成立，即a k=．==，因此n=k+1时也成立，则a k+1综上可得：a n=对于n∈N*都成立．【点评】本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（16分）（2016秋•泰州期末）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O 为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP 游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA 骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠POB的弧度，从而求出PB的长度即可；（2）根据PB的长，求出t（θ）的解析式即可；（3）求出函数的导数，根据函数的单调性求出t（θ）的最大值，带入计算比较即可．【解答】解：（1）∵，∴m．（2）在OAP中，AP=2OAcosθ=3000cosθ，在扇形OPB中，，又BA=2OA=3000，∴小王本次训练的总时间：=，，（3）由（2）得：，令t'（θ）=0，得，∴，列表如下，从上表可知，当时，t（θ）取得极大值，且是最大值，∴t（θ）的最大值是，（3）∵，π＜3.2，∴，∵2200＜40×60，∴小王本次训练时间不能超到40分钟．【点评】本题考查了弧长公式，考查函数的单调性、最值问题，是一道综合题．19．（16分）（2016秋•泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率，a=2c，，点在椭圆上，代入即可求得c的值，即可求得椭圆方程；（2）①设，由|QT|=2，由两点直线的距离公式可知：，将Q点代入椭圆方程，，代入，由m=﹣1，即可求得T点坐标；②由①可知，，利用斜率公式可知：k QT=，直线QT的方程为，即，直线QT过定点（1，0）．【解答】解：（1）由题意，椭圆（a＞b＞0）焦点在x轴上，离心率，∴a=2c，，∵点在椭圆上，∴，解得：c=1，∴，∴椭圆C的标准方程为；…（2）①设，其中0＜t ＜2，∵|QT |=2，∴，即，（*） …（7分）∵点Q （m ，n ）在椭圆上，∴，则，代入（*）式，得，，∴或，∵0＜t ＜2，∴，…（9分）∴，由题意，m=﹣1，∴，∵n ＞0，∴，则T 点坐标，…（11分）②证明：由①可知，，∴直线QT的斜率，…（13分）∴直线QT的方程为，即，∴直线QT过定点S（1，0）．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查只有与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•泰州期末）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题；（2）设出切点坐标，表示出切线方程，得到lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根据函数的单调性求出a的值即可；（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）从上表可知，当x=1时，f（x）取得极大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由题意，直线是曲线y=lnx+ax2的一条切线，设切点，∴切线的斜率为，∴切线的方程为，即，∴…（6分）∴lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，当x∈（0，1）时，t'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此时．…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（ⅰ）当﹣1≤a≤0时，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函数h（x）在区间（0，+∞）上无零点，…（12分）（ⅱ）当a＜﹣1时，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（0，1）上不间断，∴函数h（x）在（0，1）上存在零点，另外，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上是单调减函数，∴函数h（x）在（0，1）上只有一个零点，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（1，+∞）上不间断，∴函数h（x）在（1，+∞）上存在零点，另外，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，故函数h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，∴函数h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，∴当﹣1≤a≤0时，h（x）在区间（0，+∞）上无零点，当a＜﹣1时，h（x）在区间（0，+∞）上恰有2个不同的零点，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．…（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．。
2015-2016学年江苏泰兴中学高二上学期期末数学(理)试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年江苏泰兴中学高二上学期期末数学（理）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：62分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，为中点，定点满足：对于任意的都有，则点的坐标为 ．2、设为抛物线上的两动点，且线段的长为6，为线段的中点，则点到轴的最短距离为 ．3、设函数的导数为，且，则．4、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设，若，则或”是一个假命题；③“”是“”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是 ．（写出所有不正确命题的序号）5、用数学归纳法证明：“”，由不等式成立，推证时，左边应增加的项的项数是 ．6、若集合满足，则命题“”是命题“”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）7、双曲线的渐近线方程为 ．8、已知函数，则．9、命题：“”的否定是 ．10、已知复数，则复数的虚部为 ．11、按如下图所示的流程图，输出的结果为 ．12、在中，，则的外接圆半径；类比到空间，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，则三棱锥的外接球的半径．13、过点作直线交椭圆于两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为 ．14、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．二、解答题（题型注释）15、设为虚数单位，为正整数，．（1）用数学归纳法证明：；（2）已知，试利用（1）的结论计算；（3）设复数，求证：．16、设分别是椭圆的左右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为2，且，求椭圆的方程．17、已知．（1）是的什么条件？（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．18、根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件根据统计资料，每日产品废品率与日产量（件）之间近似地满足关系式（日产品废品率=×100％）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）（1）将该车间日利润（千元）表示为日产量（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？19、阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题： （1）有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值（用表示）；（2）结论：椭圆上任一点处的切线的方程为．记椭圆的方程为． ①过椭圆的右准线上任一点向椭圆引切线，切点分别为，求证：直线恒过一定点； ②设点为椭圆上位于第一象限内的动点，为椭圆的左右焦点，点为的内心，直线与轴相交于点，求点横坐标的取值范围．20、已知函数的图像在点处切线的斜率为，记奇函数的图像为．（1）求实数的值；（2）当时，图像恒在的上方，求实数的取值范围；（3）若图像与有两个不同的交点，其横坐标分别是，设，求证：．[来参考答案1、2、23、4、①②5、6、必要不充分7、8、9、10、-211、1112、13、14、15、（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.16、（1）；（2）17、（1）充分不必要条件；（2）18、（1），（2）详见解析.19、（1）；（2）①详见解析；②.20、（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】1、试题分析：设直线方程，与椭圆方程联立，，消元得到：，化简得：，所以，，所以，又点P为AC的中点，所以，则，令，得，假设存在点，使,则即，所以恒成立，所以，解得，因此定点Q的坐标为.考点：直线与椭圆的位置关系2、试题分析：轴，轴，当直线AB不过焦点F时，点A,B,F能构成三角形ABF,此时点M到x轴的距离，而,,而,所以,当直线AB过焦点时，此时A,B,F在一条直线上，点M到x轴的距离，而,,而,所以，所以点到轴的最短距离为2.考点：抛物线的几何性质3、试题分析：，而，所以，，故填：.考点：导数4、试题分析：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真；②命题“设，，若，则或”是一个真命题；③的解集是，故“”是“”的充分不必要条件；正确；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．正确考点：命题真假的判断5、试题分析：分母是公差为1的等差数列，当时，最后一项的分母是，当时，最后一项的分母是，增加的项数为项，故填：.考点：数学归纳法6、试题分析：根据条件可得集合是集合的真子集，所以命题p不能推出命题q,但命题q能推出命题p,所以命题p是命题q的必要不充分条件，故填：必要不充分.考点：充分必要条件7、试题分析：，，所以，双曲线的渐近线方程是，故填：.考点：双曲线的简单几何性质8、试题分析：，所以，故填：2016.考点：导数9、试题分析：特称命题的否定是全称命题，并且后面结论否定，所以“”的否定是.考点：特称命题的否定10、试题分析：的实部是3，虚部是-2，故填：-2.考点：复数11、试题分析：当时，，，进入循环，输出.考点：循环结构12、试题分析：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将此三棱锥补全为以为棱的长方体，而长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，所以,故填：.考点：类比推理13、试题分析：设，，代入方程，两式相减得到：，当时，整理为：，而，所以直线方程为，整理为：，故填：.考点：点差法14、试题分析：根据数形结合，和都是过原点的直线，并且，当在原点处相切时，，所以不等式恒成立，只需，故填：.考点：1.数形结合；2.导数的几何意义.15、试题分析：（1）数学归纳法的证明需两个步骤，第一个步骤需验证初始值，第二步，当时，等式成立，需证明当时，等式也成立，在证明过程需要使用假设的结论；（2）化简为，然后根据（1）的结论计算；（3）根据（1）和（2）可将，然后代入公式计算.试题解析：（1）证明：当时，左边=右边=，所以命题成立；假设当时，命题成立，即，则当时，；综上，由和可得，（2），（3），，记考点：1.数学归纳法；2.复数；3.新定义.16、试题分析：（1）根据点M在椭圆上，并且与轴垂直，得到点M的坐标，,再结合椭圆基本关系式，转化为关于a,c的齐次方程，两边同时除以，即可求得离心率；（2）根据中位线的几何关系，可得，又根据条件,可求得点N的坐标，而点N在椭圆上，代入椭圆方程，再结合椭圆基本关系式，即可求得椭圆方程.试题解析：（1）记，则，由题设可知，则，；（2）记直线与轴的交点为，则①，，将的坐标代入椭圆方程得②由①②及得，故所求椭圆的方程为．考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.17、试题分析：（1）首先求解两个命题中不等式的解集，然后求两个不等式的解集，判定集合间的关系，得到结果，或是利用互为逆否的两个命题等价，将是的什么条件转化为是的什么条件判断；（2）求r不等式的解集，再求其补集，若是的必要非充分条件，集合是集合的真子集，根据数轴判断端点的大小.试题解析：（1），.∴，∴是的充分不必要条件．（2）.∴：.∵是的必要非充分条件．∴.∴的取值范围是.考点：充分必要条件18、试题分析：（1）该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额，所以，代入函数的关系式，得到产量与利润的含关系；（2）根据（1）的结论，利用导数分别求两段函数的导数，分析函数的单调性与极值，比较得到函数的最大值.试题解析：（1）由题意可知，，（2）考虑函数，当时，，令，解得当时，，函数在区间上单调递增，当时，，函数在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，又是整数，，，所以当时，函数由最大值当时，，所以函数在上单调递减，当时，函数取值最大值.考点：1.函数的实际应用；2.导数与函数的单调性与极值和最值.19、试题分析：（1）焦点到长轴端点的距离为或，若球与球桌的接触点是长轴端点，那么第一次回到原焦点的长度分别为或，如果不是长轴端点，而是其他点，根据椭圆的定义，再次回到原焦点，会走两个到焦点的距离和；（2）①设设，再分别写出过点A,B的切线方程，因为都过点M,所以代入点M，得到两个同类形的方程，这个方程就是直线AB的方程，与无关，即得直线AB所过的定点；②：椭圆在处的切线，根据现象（2）可知直线，这样根据切线方程，根据垂直关系，可得点的坐标表示为，这样可求得坐标的范围.试题解析：解（1）记，因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，所以；（2）①设，则，代入，得，则点的坐标均满足方程，所以，直线恒过定点；②由（2）的结论知：椭圆在处的切线的方程为，由事实现象（2）知：直线，令，得点的横坐标为，．考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.新定义做题.20、试题分析：（1）根据导数的几何意义，求得，再根据函数是奇函数，可求得；（2）根据（1）的结论，可将问题转化为恒成立，通过讨论自变量的正负，参变分离后可将问题转化为，这样设函数，利用导数求函数的最值，即得的取值范围；（3）点A,B在曲线上，设出点的坐标，经过指对互化，表示，再通过分析法证明. 试题解析：解：（1），为奇函数，；（2）由（1）知，，因为当时，图像恒在的上方，所以恒成立，，记，则，由，在单调减，在单调减，在单调增，，，综上，所求实数的取值范围是；（3）由（2）知，设，，，，要证，即证，令，即证，令，即证，，在上单调减，在上单调减，，所以，考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性以及最值；3.分析法.。
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二(上)限时训练数学试卷(一)
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（上）限时训练数学试卷（一）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．(★★★★)命题“∃x∈R，使得xsinx-1≤0”的否定是∀x∈R，使得xsinx-1＞0 ．2．(★★★★)抛物线x 2=4y的焦点坐标为（0，1）．3．(★★★★)“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）4．(★★★★)抛物线y 2=4x上的一点A到焦点的距离为5，则点A到x轴的距离是 4 ．5．(★★★★)命题“若a＞-2，则a＞-3”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中，真命题的个数是 2 ．6．(★★★)若存在实数x，使x 2-4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是（-∞，0）∪（．+∞）．7．(★★★)以F 1（0，-1），F 2（0，1）为焦点的椭圆C过点P（，1），则椭圆C的方程为．8．(★★★★)若曲线+ =1表示椭圆，则k的取值范围是．9．(★★★)已知不等式的解集为p，不等式x 2+（a-1）x-a＞0的解集为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 -2＜a≤-1 ．10．(★★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若∠MOA=30o，则该椭圆的离心率的值为．11．(★★★)设F 1、F 2分别是椭圆+ =1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则PM+PF 1的最大值为 15 ．12．(★★★)已知F 1（-c，0），F 2（c，0）为椭圆+ =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点且•=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是，．13．(★★★)直线l：x-y=0与椭圆+y 2=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为．14．(★★)已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则= ．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．(★★★)已知集合A={x|x 2-2x-3＜0}，B={x|（x-m+1）（x-m-1）≥0}，（1）当m=0时，求A∩B（2）若p：x 2-2x-3＜0，q：（x-m+1）（x-m-1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．(★★★)设有两个命题．命题p：不等式x 2-（a+1）x+1≤0的解集是∅；命题q：函数f （x）=（a+1）x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．17．(★★)椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的两个焦点为F 1，F 2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF 2，|PF 1|= ，|PF 2|= ，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆 x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．18．(★★★)已知椭圆=1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，∥．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．19．(★★)已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．20．(★★)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F 1，F 2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF 2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF 1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k 1、k 2，试问是否存在常数λ，使得k 1+λk 2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．。
江苏省泰州市泰兴一中2015-2016学年高二下学期第二次段考数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下)第二次段考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共计70分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：花期（天）11~13 14～16 17～19 20～22个数20 40 30 10则这种卉的平均花期为天．2．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．3．某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为万元．4．已知数据x1，x2,…，x n的方差s2=4,则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5,…，﹣3x n+5的标准差为．5．袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6"这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是．6．设f（x)=x2﹣2x﹣3（x∈R），则在区间[﹣π,π］上随机取一个数x，使f（x)＜0的概率为．7．在（1﹣x）5+（1﹣x）6+(1﹣x）7+（1﹣x)8展开式中，含x3的项的系数是．8．(ax﹣）8的展开式中x2的系数为70，则a=．9．已知﹣=，则C21m=．10．如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点,E为AD的中点,若=λ（+）,则λ=．11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为．12．设点C（2a+1,a+1,2）在点设P(2，0，0），A（1,﹣3，2），B（8,﹣1，4)确定的平面上，则a的值为．13．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为．14．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求:如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有种．（用数字作答）二、解答题:本大题共6小题,计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．15．第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子"，身高在175cm以下(不包括175cm）定义为“非高个子"，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐"．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子"中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E 为线段PD上一点,且=．（1）求异面直线PB与EC所成角的余弦值．（2)求平面PAB与平面ACE所成二面角的余弦值．17．有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生．（2）某女生一定要担任语文科代表．（3）某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．18．（1)设（3x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4．①求a0+a1+a2+a3+a4；②求a0+a2+a4；③求a1+a2+a3+a4;(2)求S=C271+C272+…+C2727除以9的余数．19．如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．(Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；(Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．20．设函数，(1）①当m=2时，求f（4,y）的展开式中二项式系数最大的项;②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值(n≥1，n∈N*)．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二(下)第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14个小题，每小题5分,共计70分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：花期（天）11～13 14～16 17~19 20~22个数20 40 30 10则这种卉的平均花期为16天天．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，算出每一组花期的平均花期,根据每一组花期的花卉个数,做出所有花的花期之和，用花期之和除以所用花的个数，得到答案．【解答】解:由表格知，花期平均为12天的有20个，花期平均为15天的有40个，花期平均为18天的有30个,花期平均为21天的有10个，∴这种花卉的评价花期是=16，故答案为：162．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果,并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件,直到满足条件,执行输出．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2,S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6,不满足退出循环的条件,k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：43．某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为12万元．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用频率与频数的关系，列出方程即可求解．【解答】解:根据频率分布直方图得,9时至10时的频率为0。
江苏省泰州市泰兴一中2015-2016学年高二下学期第一次段测数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二(下）第一次段测数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。
1．=．2．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花"与事件“乙分得梅花”是事件．（填“对立”、“不可能”、“互斥事件”、“互斥事件，但不是对立”中的一个）3．下面的伪代码执行后的结果是．4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2, (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．5．若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为．6．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA｜＜1的概率为．7．袋中有1个白球,2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为．8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为45°，则｜|=．9．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0。
02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组)的频数为．10．若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2,x3=3，=2,则输出的数等于．11．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7,n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．12．某班有48名学生,在一次考试中统计出的平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分缺记成了50分，乙实得70分缺记成了100分，则更正后平均分是，方差是．13．从1,3，5,7，9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是．14．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有种（用数字作答）．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，［90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题:(1）求分数在[70，80）内的频率,并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的数学平均分．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．（2)若a∈[2，6］,b∈[0，4],求方程没有实根的概率．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中．已知AB=2,AC=4，A1A=3，D是BC的中点．（1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的正弦值．18．现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排．（用数字作答）(1)若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法？（2）若男女相间，则共有多少种不同的排法?（3)若男生甲不站两端,女生乙不站最中间，则共有多少种不同的排法?19．在三棱锥S﹣ABC中，底面是边长为的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．（1）若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；（2）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值大小．20．如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B⊥平面ABC,AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1)求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P,使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二(下）第一次段测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。
易错汇总2014-2015年江苏省泰州市高二第一学期数学期末试卷(理科)及解析
【精品文档，百度专属】2014-2015学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）一质点运动的位移s（m）与时间t（s）的关系式是s=t2+10，则当t=3s 时的瞬时速度是m/s．2．（5分）双曲线=1的两条渐近线方程是．3．（5分）已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的侧面积为．4．（5分）函数f（x）=e x在点（0，1）处的切线方程是．5．（5分）若方程x2+y2﹣2mx+2m2+2m﹣3=0表示圆，则实数m的范围是．6．（5分）函数y=x3﹣3x的极小值是．7．（5分）若两圆（x﹣m）2+y2=4，（x+1）2+（y﹣2m）2=9相内切，则实数m=．8．（5分）关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中真命题的序号是．（1）若a∥M，b∥M，则a∥b；（2）若a⊥M，a∥N，则M⊥N；（3）若a?M，b?M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M；（4）若a∥b，b?M，则a∥M．9．（5分）椭圆=1上一点到左焦点的距离是4，则它到椭圆的右准线的距离是．10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为a，D为BB1上一点，则三棱锥C1﹣ACD的体积为．11．（5分）A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2x上相异的两点，且在x轴同侧，点C（1，0）．若直线AC，BC的斜率互为相反数，则y1y2=．12．（5分）已知圆O：x2+y2=4和圆O外一点P（x0，y0），过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠AOB=120°．若点C（6，0）和点P满足PO=λPC，则λ的范围是．13．（5分）C是椭圆=1（a＞b＞0）上位于第一象限内的点，A是椭圆的右顶点，F是椭圆的右焦点，且OC=CF．当OC⊥AC时，椭圆的离心率为．14．（5分）已知关于x的不等式|xlnx|≤﹣2x2+cx﹣有解，则正整数c的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：（1）EF∥平面AB1C；（2）平面AB1C⊥平面BDD1B1．16．（14分）已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．17．（15分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角P﹣DC﹣B的余弦值．18．（15分）如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，必须先坐船到BC上某一点D，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设∠BAD=θ．记∠BAD=α（α为确定的锐角，满足tanα＝（1）试将由A到C所用时间t表示为θ的函数t（θ），并指出函数的定义域；（2）问θ为多少时，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．19．（16分）如图所示，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，点D（，）为椭圆上一点，且OD∥AB．（1）求椭圆的标准方程；（2）D′与D关于x轴对称，P为线段OD′延长线上一点，直线PA交椭圆于另外一点，直线PB交椭圆于另外一点F，①求直线PA与PB的斜率之积；②直线AB与EF是否平行？说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x﹣lna（x＞0），其中a＞0（1）求函数h（x）=f（x）+﹣ax+（a﹣1）lnx的单调递增区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围，并证明随a的增大而减小．2014-2015学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）一质点运动的位移s（m）与时间t（s）的关系式是s=t2+10，则当t=3s 时的瞬时速度是6m/s．【分析】求解s′=2t，根据导数的物理意义求解即可得出答案．【解答】解：∵s=t2+10，∴s′=2t，∵t=3s，∴s′（3）=2×3=6根据题意得出：当t=3s时的瞬时速度是6m/s．故答案为：62．（5分）双曲线=1的两条渐近线方程是y=±x．【分析】由双曲线方程，得a=b=2，可得所求渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的方程为=1，∴a2=4，b2=4，得a=b=2∴该双曲线的渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．3．（5分）已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的侧面积为15π．【分析】根据圆锥的母线长为5，底面半径为3，直接运用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意知母线长L为5，底面半径r=3，×3×5=15π．则由圆锥的侧面积公式得：S=πrl=π故答案为：15π．4．（5分）函数f（x）=e x在点（0，1）处的切线方程是y=x+1．【分析】求出函数的导函数，把x=0代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率，把x=0代入函数解析式中得到切点的纵坐标，进而确定出切点坐标，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程即可．【解答】解：由题意得：y′=e x，把x=0代入得：y′|x=0=1，即切线方程的斜率k=1，且把x=0代入函数解析式得：y=1，即切点坐标为（0，1），则所求切线方程为：y﹣1=x，即y=x+1．故答案为：y=x+1．5．（5分）若方程x2+y2﹣2mx+2m2+2m﹣3=0表示圆，则实数m的范围是（﹣3，1）．【分析】由条件利用圆的一般方程的特征可得，（﹣2m）2+0﹣4（2m2+2m﹣3）＞0，由此求得实数m的范围．【解答】解：∵方程x2+y2﹣2mx+2m2+2m﹣3=0表示圆，∴（﹣2m）2+0﹣4（2m2+2m ﹣3）＞0，求得﹣3＜m＜1，故答案为：（﹣3，1）．6．（5分）函数y=x3﹣3x的极小值是﹣2．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，该函数在（﹣1，1）单调递减，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，该函数在（﹣∞，﹣1）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，该函数在（1，+∞）单调递增．则该函数在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，故答案为：﹣2．7．（5分）若两圆（x﹣m）2+y2=4，（x+1）2+（y﹣2m）2=9相内切，则实数m= 0或．【分析】根据两个圆相内切可得，它们的圆心距等于半径之差，由此求得r的值．【解答】解：根据圆（x﹣m）2+y2=4，圆心（m，0），半径为2，（x+1）2+（y﹣2m）2=9圆心（﹣1，2m），半径为：3．圆（x﹣m）2+y2=4与圆（x+1）2+（y﹣2m）2=9相内切，可得它们的圆心距等于半径之差，即=3﹣2=1，解得：m=0或．故答案为：0或．8．（5分）关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中真命题的序号是（2）．（1）若a∥M，b∥M，则a∥b；（2）若a⊥M，a∥N，则M⊥N；（3）若a?M，b?M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M；（4）若a∥b，b?M，则a∥M．【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答，找出正确命题【解答】解：对于（1），若a∥M，b∥M，则a与b有相交平行或者异面；故（1）错误；对于（2），若a⊥M，a∥N，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理得到M⊥N；故（2）正确；对于（3），若a?M，b?M，且l⊥a，l⊥b，如果直线a，b平行得不到l⊥M；故（3）错误；对于（4），若a∥b，b?M，则a可能在平面M内．故（4）错误；故答案为：（2）．9．（5分）椭圆=1上一点到左焦点的距离是4，则它到椭圆的右准线的距离是．【分析】先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P 到右准线的距离d．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于10﹣4=6，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=．故答案为：．10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为a，D为BB1上一点，则三棱锥C1﹣ACD的体积为．【分析】如图所示，取AC的中点E，连接BE，由△ABC是等边三角形，可得BE ⊥AC，利用面面垂直的性质可得：BE⊥平面侧面ACC1A1，再利用三棱锥C1﹣ACD的体积V==，即可得出．【解答】解：如图所示，取AC的中点E，连接BE，∵△ABC是等边三角形，∴BE⊥AC，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC，∴BE⊥平面侧面ACC1A1，=﹣．∴三棱锥C1﹣ACD的体积V====．故答案为：．11．（5分）A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2x上相异的两点，且在x轴同侧，点C（1，0）．若直线AC，BC的斜率互为相反数，则y1y2=2．【分析】运用A，B在抛物线上，满足抛物线方程，再由直线的斜率公式，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得，y12=2x1，y22=2x2，k AC=，k BC=，若直线AC，BC的斜率互为相反数，则k AC+k BC=0，即为+=0，即y1y22﹣2y1+y i2y2﹣2y2=0，即为（y1y2﹣2）（y1+y2）=0，由于y1y2＞0，即y1y2=2．故答案为：2．12．（5分）已知圆O：x2+y2=4和圆O外一点P（x0，y0），过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠AOB=120°．若点C（6，0）和点P满足PO=λPC，则λ的范围是[，2] ．【分析】由对称性可知，动点P轨迹一定是圆心在原点的圆，求出|OP|即可得到点P的轨迹方程，再由两点的距离公式，化简整理可得λ＝=，由﹣4≤m≤4，即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得，A，O，B，P四点共圆，且圆的直径为OP，∵∠AOB=120°，PA，PB为圆的切线，∴∠AOP=60°，∵|OA|=2，∠OAP=90°，∴|OP|=4．∴点P的轨迹方程为x2+y2=16，设P的坐标为（m，n），则m2+n2=16，且﹣4≤m≤4，则|PO|==4，|PC|==由题意可得λ＝=，由﹣4≤m≤4，可得λ∈[，2]．故答案为：[，2]．13．（5分）C是椭圆=1（a＞b＞0）上位于第一象限内的点，A是椭圆的右顶点，F是椭圆的右焦点，且OC=CF．当OC⊥AC时，椭圆的离心率为．【分析】由题意，设C（，y），则，可得C的坐标，利用OC⊥AC 时，得椭圆的离心率．【解答】解：由题意，设C（，y），则，∴y2=﹣c2+ac，∵，∴y2=b2﹣，∴b2﹣=﹣c2+ac，化简可得e=．故答案为：．14．（5分）已知关于x的不等式|xlnx|≤﹣2x2+cx﹣有解，则正整数c的最小值为3．【分析】由于x＞0，则原不等式即为|lnx|+2x+≤c，令f（x）=|lnx|+2x+，讨论x≥1，x＜1去绝对值，运用导数判断单调性，即可求得最小值，再由c 为正整数，即可得到最小值c=3．【解答】解：由于x＞0，则不等式|xlnx|≤﹣2x2+cx﹣即为|lnx|+2x+≤c，令f（x）=|lnx|+2x+，当x≥1时，f（x）=lnx++2x，由于f′（x）=+2﹣＞0，则f（x）在[1，+∞）递增，则有f（1）为最小值；当0＜x＜1时，f（x）=﹣lnx+2x+，由于f′（x）=﹣+2﹣=，令f（x）=0，解得x=（舍去），当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增．则有x=处f（x）取得极小值，也为最小值，由于2＜﹣ln+＜3，且c为正整数，即有c≥3，则正整数c的最小值为3．故答案为：3．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：（1）EF∥平面AB1C；（2）平面AB1C⊥平面BDD1B1．【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明EF∥AC即可证明EF∥平面AB1C；（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面AB1C⊥平面BDD1B1．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BC的中点∴EF∥AC，又∵EF?平面AB1C，AC?平面AB1C∴EF∥平面AB1C．（2）正方形ABCD中，AC⊥BD正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BDD1B1又∵AC?平面AB1C∴平面AB1C⊥平面BDD1B1．16．（14分）已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．【分析】（1）线段AB的垂直平分线为2x+y﹣9=0与直线x﹣2y﹣2=0联立，求出圆心坐标，半径，即可求圆C的方程；（2）分类讨论，求出圆心C到直线l的距离，利用直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，结合勾股定理，求出k，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）线段AB的垂直平分线为2x+y﹣9=0与直线x﹣2y﹣2=0联立可得圆心C（4，1），…（3分）∴半径r=5，故所求圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．…（7分）（2）当直线l的斜率不存在时，x=0显然满足题意；…（9分）当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx，∵弦长为6，∴圆心C到直线l的距离d=4，…（11分）即，解得，此时直线l：15x+8y=0，…（13分）故所求直线l的方程为x=0或15x+8y=0．…（14分）17．（15分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角P﹣DC﹣B的余弦值．【分析】（1）以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．通过，即得异面直线BD与PC所成的角为；（2）所求值即为平面BCD的一个法向量与平面PCD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．【解答】解：如图以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则．（1）∵，∴，即异面直线BD与PC所成的角为；（2）由题易得平面BCD的一个法向量为，设平面PCD的一个法向量为，∵，∴，解得平面PCD的一个法向量为，∴cos＜，＞===﹣，即二面角P﹣DC﹣B的余弦值为．18．（15分）如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，必须先坐船到BC上某一点D，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设∠BAD=θ．记∠BAD=α（α为确定的锐角，满足tanα＝（1）试将由A到C所用时间t表示为θ的函数t（θ），并指出函数的定义域；（2）问θ为多少时，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．【分析】（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；（2）对函数进行求导研究函数的单调性，借助三角函数的性质可得出当当θ＝时，用时最少，代入函数关系式求出最值即可．【解答】解：（1）AD=，所以A到D所用时间t1=，BD=50tanθ＝，∴DC=100﹣BD=100﹣50tanθ=100﹣，所以D到C所用时间t2=2﹣，所以t（θ）=t1+t2=2+，定义域为[0，α]，α∈[0，）．（2）t′（θ）==令t'（θ）＞0，则sinθ＞，即有＜，由于∠BAD=α，则＜θ＜α，t（θ）单调增；令t'（θ）＜0，则sinθ＜，即有0＜θ＜，t（θ）单调减；因此，θ＝，t（θ）取到最小值．答：当θ＝时，由A到C的时间t最少，最少时间为小时．19．（16分）如图所示，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，点D（，）为椭圆上一点，且OD∥AB．（1）求椭圆的标准方程；（2）D′与D关于x轴对称，P为线段OD′延长线上一点，直线PA交椭圆于另外一点，直线PB交椭圆于另外一点F，①求直线PA与PB的斜率之积；②直线AB与EF是否平行？说明理由．【分析】（1）依题意，有A（﹣a，0），B（0，b），a=2b，椭圆方程为，把点D（）代入，能求出椭圆方程．（2）①由已知得D′（，﹣），则OD′所在直线方程为y=﹣，设P（2m，﹣m），且有A（﹣2，0），B（0，1），由此能求出直线PA与PB的斜率之积．②设k AP=k，则AP所在直线方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出AB∥EF．【解答】解：（1）依题意，有A（﹣a，0），B（0，b），∵k OD=，∴，∴a=2b，椭圆方程为，∵点D（）在椭圆上，∴=1，解得b2=1，∴所求椭圆方程为=1．（2）①由已知得D′（，﹣），则OD′所在直线方程为y=﹣，设P（2m，﹣m），且有A（﹣2，0），B（0，1），k AP?k BP==．②设k AP=k，则AP所在直线方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，并整理，得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，则由，∴x E=，y E=k（x E+2）=，E（，），由①知k BP=，直线BP所在直线方程为y=，同上，得，∴k EF==，∴AB∥EF．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x﹣lna（x＞0），其中a＞0（1）求函数h（x）=f（x）+﹣ax+（a﹣1）lnx的单调递增区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围，并证明随a的增大而减小．【分析】（1）确定函数的定义域，分类讨论，利用导数的正负可得函数的单调递增区间；（2）f（x）要有两个零点，须满足f（1）＞0，即lna＜﹣1，可得a的取值范围是（0，e﹣1）．设，则，所以F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，对于任意，且a1＞a2，设F（ξ1）=F（ξ2）=a1，其中0＜ξ1＜1＜ξ2，证明ξ1＞η1，ξ2＜η2，即可得出结论．【解答】解：（1），定义域为（0，+∞）且a＞0，因为，…（2分）①当a=1时，h'（x）≥0恒成立，所以h（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（3分）②当a＞1时，所以h（x）的单调递增区间为（0，1）或（a，+∞）；…（5分）③当0＜a＜1时，所以h（x）的单调递增区间为（0，a）或（1，+∞）．…（7分）（2）由，得x=1．当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗﹣lna﹣1↘…（10分）这时，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．当x大于0且无限趋近于0时，f（x）的值无限趋近于﹣∞；当x无限趋近于+∞时，f（x）的值无限趋近于﹣∞．所以f（x）要有两个零点，须满足f（1）＞0，即lna＜﹣1，所以a的取值范围是（0，e﹣1）．…（12分）因为x1，x2是函数f（x）的两个零点，即lnx1﹣x1﹣lna=0，lnx2﹣x2﹣lna=0，则，．因为f（1）=﹣lna﹣1且a∈（0，e﹣1），则得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．设，则，所以F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．对于任意的，且a1＞a2，设F（ξ1）=F（ξ2）=a1，其中0＜ξ1＜1＜ξ2；F（η1）=F（η2）=a2，其中0＜η1＜1＜η2；因为F（x）在（0，1）上单调递增，故由a1＞a2，即F（ξ1）＞F（η1），可得ξ1＞η1；类似可得ξ2＜η2．由ξ1＞η1＞0，则，所以．所以，随a的增大而减小．…（16分）Baidubaidu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiu Baiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuiBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuduBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu adiuBaidubaidu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidubaidu bai dubaid ubadiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidubadiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu赠送—高中数学知识点【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及在集合B中都有唯一确定的数()A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b ，满足a x b 的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b 的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ，或a x b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b 的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b ++．注意：对于集合{|}x a x b 与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z +．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2a y时，由于,x y为实数，故必须有++=，则在()0()()()0a y xb y xc y2()4()()0=-，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的→．对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A Ba Ab B．如果元素a和元素b对应，那么②给定一个集合A到集合B的映射，且,我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．。
江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）一。
填空题（每题5分,共计70分)1．投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g(x)=f(x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是．3．如图，空间四边形O A BC中，=,=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）4．某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式(﹣)6的展开式中的常数项是．（用数字作答)7．如图，在正四面体ABCD中,点E为BC中点，点F为AD中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N＊）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx)n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7)=．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查,正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有种．（用数字作答）13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如下表），使得任意相邻(有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．1 2 34 5 67 8 914．已知数列｛a n｝为a0，a1，a2，a3，…,a n(n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n｝为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=．二.解答题(本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80mg/100mL（不含80）之间,属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80)以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点,不包括右端点)（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人,记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y｜≤10的概率是多少？16．已知(+2x）n．（1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．18．如图:已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．(1)试用，，表示，并求｜|;(2）求证:CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．19．一个袋中装有黑球,白球和红球共n（n∈N＊）个,这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ;（2）当n取何值时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？20．数学运算中，常用符号来表示算式,如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1,求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x)k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+［（﹣1)i b i C]且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N＊恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果,满足条件的事件共4种结果，从而得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12,有（2，6)、（3，4）、（4，3)、（6，2）共4种结果，∴要求的概率是=．故答案为：．2．已知某算法的伪代码如图,根据伪代码,若函数g（x)=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是(﹣∞,0)∪{1｝．【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x)=f(x）﹣m在R上有且只有两个零点,则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x)=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点,则由图可得m＜0或m=1，故答案为：(﹣∞，0）∪{1}．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点,则等于．（用向量表示）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】连接AM，根据向量的加减运算三角形法则，求出,，即可求．【解答】解：由题意：=，=，=，∴，．点N为BC中点，那么：,=，则，连接AN，则，那么：===,故答案为：．4．某校现有高一学生210人,高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为10．【考点】分层抽样方法．【分析】设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求．【解答】解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x=10,故答案为10．5．某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟)分别为x,y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=208．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组,求解即可．【解答】解：由题意可得：x+y=20，(x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解得则x2+y2=208，故答案为：208．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）【考点】程序框图．【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项,分析可得常数项．【解答】解：第一次循环：b=3,a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4;第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值,取一组空间基底为{｝，用这组基底分别表示出向量，可设正四面体的棱长为1，这样即可求出，,从而根据求出，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．【解答】解：，;设正四面体的棱长为1，则，=;=；∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．故答案为:．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=1或127．【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得a0=（﹣m）7，根据展开式中x3的系数是35,求得m=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中,令x=1，可得(1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①,分当m=1时和当m=﹣1时两种情况，分别由①求得a1+a2+a3+…+a7的值．【解答】解：∵(x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，∴a0=(﹣m）7．又展开式中x3的系数是35,可得•(﹣m）4=35，∴m=±1．∴a0=（﹣m）7=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1,可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，当m=1时,a0=﹣1,由①可得0=﹣1+a1+a2+…+a7 ,即a1+a2+a3+…+a7=1．当m=﹣1时，a0=1,由①可得27=1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=127，故答案为：﹣1或129．9．某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据n次独立重复实验中至少发生k次的概率公式求得播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是即可．【解答】解：根据题意，播下4粒种子至少有2粒发芽即4次独立重复事件至少发生2次，由n次独立重复事件至少发生k次的概率的公式可得，P=•+•+=，故答案为：．10．已知（1+mx）n(m∈R，n∈N＊）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则(1+mx)n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为﹣5．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得:2n=32，解得n=5，由(1+mx）5的展开式的通项公式，及其展开式中含x3项的系数为80．解得m=2．把（1+2x）5（1﹣x）6展开即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32,解得n=5，=（mx）r=m r x r，令r=3，（1+mx）5的展开式的通项公式：T r+1则=80,解得m=2．则(1+2x）5（1﹣x）6=，∴展开式含x2项的系数为=+﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7)=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4,3，2，1个，黑球相应个数为0，1,2，3个,得分的随机变量ξ=4，6,8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3,2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个,∴得分的随机变量ξ=4，6，8,10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P(ξ=6）==．故答案为：．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来,采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有7920种．（用数字作答)【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，分2种情况讨论:①、前6次取出的全部为白球,②、前5次取出3个红球、2个白球，第6次取出红球，分别求出每种情况下的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意，恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分开来,则一共有2种情况:①、前6次取出的全部为白球，需要将6个白球全排列，安排在前6次取出，有A66=720种情况，②、前5次取出3个红球、2个白球，第5次取出红球，需要在4个红球中取出3个,6只白球中取出2个，安排在前5次取出,第6次取出第4只红球,有C43C62A55=7200种情况，则一共有720+7200=7920种不同的抽取方式．故答案为：7920．13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…，9的9个小正方形(如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108种．1 2 34 5 67 8 9【考点】排列、组合的实际应用．【分析】当1,5，9，为其中一种颜色时，2,6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2,6及3，一样有6种可能并且与2，6,3,颜色无关，当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，相乘得到结果．【解答】解：首先看图形中的1，5，9,有3种可能，当1,5,9,为其中一种颜色时,2,6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2,6及3，一样有6种可能并且与2,6,3,颜色无关．当1,5，9换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种,故答案为：10814．已知数列{a n｝为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N),b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n｝为等差数列a n=2n（n∈N）,则（b i）=（n2+3n）•2n﹣2．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的求和公式可得：b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n==n(n+1）．因此（b i）=1×2×++…+n（n+1），构造等式:x（x+1）n=+++…+，两边对x两次求导，令x=1即可得出．【解答】解:∵a n=2n（n∈N)，∴b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n===n(n+1）．∴（b i）=1×2×++…+n(n+1），∵x（x+1）n=+++…+，两边对x求导:（x+1）n+nx(x+1）n﹣1=1+2x+3x2+…+（n+1），两边对x求导：n（x+1)n﹣1+n（x+1）n﹣1+nx(x+1)n﹣2=1×2×+x+…+n(n+1）x n ﹣1，令x=1可得：（n2+3n)•2n﹣2=1×2×++…+n（n+1），故答案为：(n2+3n）•2n﹣2．二。
2015-2016学年江苏省泰州市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共60分）．1．（5分）一组数据8，12，10，11，9的均值为．2．（5分）已知＝10×9×8，那么m＝．3．（5分）某校高二年级1000名学生中，血型为O型的有400人，A型的有250人，B型的有250人，AB型的有100人，为了研究血型与色弱之间的关系，要从中抽取1个容量为100的样本，则应从O型血的学生中抽取人．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的S为．5．（5分）若圆的极坐标方程为ρ＝2，则该圆的面积为．6．（5分）在（1+x）n的展开式中，若第三项和第七项的系数相等，则n＝．7．（5分）一根绳子长为5米，若将其剪为两段，则其中一段大于3米的概率为．8．（5分）为了了解某校学生一学期内的课外阅读情况，现随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得样本数据都在[50，150]内（单位：小时），其频率分布直方图如图所示，若该样本在[125，150]内的频数为100，则n的值为．9．（5分）设随机变量X的概率分布如表所示，且随机变量X的均值E（X）为2.5，则随机变量X的方差V（X）为．10．（5分）已知向量，，满足2+＝（0，﹣5，10），＝（1，﹣2，﹣2），且•＝﹣18，则•＝．11．（5分）若（x﹣）9展开式中的各项系数之和为﹣1，则该展开式中的常数项为．12．（5分）从甲乙丙等10名学生中选派4人参加某项活动，若甲入选则乙一定入选，若甲不入选则丙一定入选，则共有种选派方案．13．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，且∠A1AB＝∠A1AD ＝60°，则当＝时，AC1⊥A1B．14．（5分）现将6人A，B，C，D，E，F随机排成一排，则事件“A与B相邻，且A与C 不相邻”的概率为．二、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n．（1）若m，n∈N*，求方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率；（2）若m，n∈R，求方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．16．（14分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（2，），曲线C的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝1，曲线D的参数方程为（α为参数）．曲线C和曲线D相交于A，B两点．（1）求点P的直角坐标；（2）求曲线C的直角坐标方程和曲线D的普通方程；（3）求△P AB的面积S．17．（15分）某校举行校园达人秀初赛，共有3名评委老师参加评审，某一节目至少有2名评委老师同意通过，则该节目晋级．假如该校高二（1）班共有2名选手参加比赛，其中甲选手获得每位评委老师同意通过的概率均为，乙选手获得每位评委老师同意通过的概率均为，各评委老师评审的结果相互独立．（1）分别求甲、乙两名选手晋级的概率；（2）设高二（1）班甲、乙两选手的晋级的人数为X，试求随机变量X的概率分布列．18．（15分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝2，M，N分别是棱B1B，BC的中点．（1）用向量方法证明：A1M∥平面D1AN；（2）求A1D1与平面D1AN所成角的正弦值；（3）在平面AA1B1B内是否存在一点P，使得PD⊥平面D1AN？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．19．（16分）有N个人随机等可能地抢n（1≤n≤N）个红包，红包金额互不相同，且全部被抢光．（1）若每人最多可以抢一个红包，则有多少种结果？若每人可以抢多个红包，则有多少种结果？（2）记“某指定的人恰好抢到k（k≤n）个红包”为事件A k，求事件A k的概率P（A k）；（3）求某指定的人抢到的红包个数X的数学期望E（X），请写出推理过程．20．（16分）设（3+2）n＝a n+b n（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求a3，b3的值；（2）证明：对于任意的n∈N*，a n为奇数；（3）对于任意的n∈N*，a n2﹣2b n2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．2015-2016学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共60分）．1．【解答】解：一组数据8，12，10，11，9的均值为：＝（8+12+10+11+9）＝10．故答案为：10．2．【解答】解：∵＝10×9×8＝，∴m＝3．故答案为：3．3．【解答】解：某校高二年级1000名学生中，血型为O型的有400人，A型的有250人，B型的有250人，AB型的有100人，为了研究血型与色弱之间的关系，要从中抽取1个容量为100的样本，则应从O型血的学生中抽取：＝40人．故答案为：40．4．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为s＝1，n＝2，经过第二次循环得到的结果为s＝3，n＝3，经过第三次循环得到的结果为s＝6，n＝4，经过第四次循环得到的结果为s＝10，n＝5，此时满足判断框中的条件输出10，故答案为：10．5．【解答】解：圆的半径为2，∴圆的面积为S＝π×22＝4π．故答案为：4π．6．【解答】解：如果（1+x）n展开式中，第三项和第七项的系数相等，则有∁n2＝∁n6，∴2+6＝n，解得n＝8，故答案为：8．7．【解答】解：从第0﹣2米范围剪开，第二段的长度大于3米，其概率是，从第3﹣5米范围剪开，第一段的长度大于3米，其概率是，故满足条件的概率是：+＝，故答案为：．8．【解答】解：该样本在[125，150]内的频数为100，由频率分布直方图得该样本在[125，150）内的频率为0.008×25＝0.2，∴n＝＝500．故答案为：500．9．【解答】解：∵随机变量X的均值E（X）为2.5，∴由随机变量X的概率分布列，得：，解得a＝，，∴V（X）＝（1﹣2.5）2×+（2﹣2.5）2×+（3﹣2.5）2×+（4﹣2.5）2×＝．故答案为：．10．【解答】解：∵向量，，满足2+＝（0，﹣5，10），＝（1，﹣2，﹣2），且•＝﹣18，∴[（0，﹣5，10）﹣2]•＝（0，﹣5，10）•（1，﹣2，﹣2）﹣2＝﹣18，可得：•＝4．故答案为：4．11．【解答】解：（x﹣）9展开式中的各项系数之和为﹣1，令x＝1时，（1﹣a）9＝﹣1，解得a＝2，则（x﹣）9展开式中的通项公式为C9r（﹣2）r x9﹣3r，令9﹣3r＝0，解得r＝3，故该展开式中的常数项为C93（﹣2）3＝﹣672，故答案为：﹣67212．【解答】解：第一类，甲入选，有C82＝28种，第二类，甲不入选，有C83＝56种，根据分类计数原理可得28+56＝84种，故选：8413．【解答】解：设A1在底面ABCD内的射影为P，过P作PM⊥AB，PN⊥AD，连结A1P，A1M，A1N，则A1M⊥AB，A1N⊥AD，∵∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∴A1M＝A1N，∴PM＝PN，∴P在∠DAB的角平分线上，∴∠MAP＝45°，设AM＝a，则AP＝，AA1＝2a，∴∠A1AP＝45°，设AC，BD交点为O，以O为原点，以AC，BD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：设AB＝1，AA1＝m，则A（﹣，0，0），A1（﹣+m，0，），B（0，，0），C1（+，0，），∴＝（+，0，），＝（﹣，，﹣），若AC1⊥A1B，则•＝0，即（+）•（﹣）﹣＝0，解得m＝．∴＝．故答案为：．14．【解答】解：现将6人A，B，C，D，E，F随机排成一排，基本事件总数n＝，事件“A与B相邻，且A与C不相邻”的基本事件个数m＝，事件“A与B相邻，且A与C不相邻”的概率为p＝＝＝．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．【解答】解：（1）∵在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n，m，n∈N*，∴m＝1，2，3，4，5，n＝1，2，3，4，∴基本事件总数N＝5×4＝20，∵方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m＞n，满足条件的基本事件（m，n）有10个，分别是：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），∴方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率p1＝＝．（2）∵在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n，m，n∈R，∴D：，∵方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴（m，n）满足d：，∴方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率：p2＝＝＝．16．【解答】解：（1）P点的直角坐标为（0，2）；（2）曲线C的直角方程为：x﹣y﹣1＝0；曲线D的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1．（3）曲线D的圆心（1，0）到直线C的距离＝0，∴曲线C经过圆D的圆心，∴|AB|＝2，又P（0，2）到直线AB的距离d＝＝，∴S△P AB＝＝＝．17．【解答】解：（1）设甲、乙两名选手晋级的概率分别为P1，P2，则P1＝＝，P2＝＝＝．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：18．【解答】证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，6），D1（0，2，6），M（2，0，3），N（2，1，0），＝（2，0，﹣3），＝（2，1，0），＝（0，2，6），设平面D1AN的一个法向量为＝（x，y，z），则，取z＝2，得＝（3，﹣6，2），∵＝0，A1M⊄平面D1AN，∴A1M∥平面D1AN．解：（2）＝（0，2，0），设A1D1与平面D1AN所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴A1D1与平面D1AN所成角的正弦值为．（3）设P（x，0，z），∵D（0，2，0），则＝（x，﹣2，z），∵PD⊥平面D1AN，∴，解得x＝1，z＝﹣，∴P（1，0，﹣），∴在平面AA1B1B内存在一点P，使得PD⊥平面D1AN，点P为矩形AA1B1B内距离AA1有1个单位长度，距离AB有个单位长度的点．19．【解答】解：（1）若每人最多可以抢一个红包，则有种结果，若每人可以抢多个红包，则有N n种结果．（2）记“某指定的人恰好抢到k（k≤n）个红包”为事件A k，则事件A k的概率P（A k）＝．（3）当n≥2时，kP（A k）＝＝＝＝，又E（X）＝0×P（A0）+1×P（A1）+2×P（A2）+…+k×P（A k）+…+n×P（A n）＝[++…+]＝＝．当n＝1时，E（X）＝，综上，E（X）＝．20．【解答】（1）解：∵（3+2）3＝＝27++72+＝．∴a3＝99，b3＝70；（2）证明：∵（3+2）n＝＝，∴＝2[]+1为奇数；（3）解：对于任意的n∈N*，a n2﹣2b n2是否为定值1．事实上：∵＝，＝．∴由（3+2）n＝a n+b n（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z），得（3﹣2）n＝a n﹣b n（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．又∵（3+2）n•（3﹣2）n＝1，∴（a n+b n）•（a n+b n）＝a n2﹣2b n2＝1．。
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2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号）9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sin x≤kx恒成立，则实数k的取值范围是．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y 轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．16．（14分）设F1，F2分别是椭圆C：+（a＞b＞0）的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求椭圆标准方程．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cos nθ+isin nθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+b i（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I 为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．参考答案一、填空题1．﹣2【解析】复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2；故答案为：﹣2．2．∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x ∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．3．2016【解析】f′（x）=75x2+26x+2016，∴f′（0）=2016，故答案为：2016．4．y=±x【解析】∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．5．11【解析】模拟执行程序，可得a=1满足条件a＜10，执行循环体，a=3满足条件a＜10，执行循环体，a=11不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．故答案为：11．6．必要不充分【解析】集合A，B满足A∩B=B且A≠B，∴B⊊A，∴x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．7．2k【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．①②【解析】①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故①错误；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”，是真命题，故②错误；③由x＞2，得＜，反之，由＜，不一定有x＞2，x可能为负值，∴“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故③正确；④一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，∴一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，故④正确．故答案为：①②．9．【解析】若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．10．﹣【解析】由，得f′（x）=f′（）cos x﹣sin x，则f′（）=f′（）•cos﹣sin，解得f′（）=﹣1，∴=﹣cos x﹣sin x=﹣cos﹣sin=﹣=，故答案为：﹣．11．8x+25y﹣58=0【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．∵M（1，2）恰为线段AB的中点，∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．故答案为8x+25y﹣58=0．12．k≥1【解析】令f（x）=sin x﹣kx，x∈[0，π]，f′（x）=cos x﹣k，k≥1时，f′（x）≤0，f（x）在[0，π]递减，f（x）的最大值是f（0）=0，符合题意，结合y=sin x和y=kx的图象，如图示：k＜0时，不合题意，故答案为：k≥1．13．2【解析】设A（x1，y1）B（x2，y2），抛物线准线方程y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d==﹣1由抛物线定义d=﹣1≥﹣1=2（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号），故答案为：2．14．（﹣3，0）【解析】直线的方程为y=k（x+4），由，化简得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，∴x1=4，x2=，∴D（，），又∵点P为AD的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，则k OP•k EQ=﹣1，即﹣•=﹣1，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．二、解答题15．解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a≥2或a+1≤，即a≥2或a≤﹣，即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．16．解：（1）依题意，椭圆C：+（a＞b＞0）焦点在x轴上，MF2为椭圆通径的一半，即×=，∴M点坐标为（c，），由F1（﹣c，0），依题意有k MN===，即2b2=3ac，由b2=a2﹣c2，∴2c2+3ac﹣2a2=0，两边同时除以a2，整理得：2e2+3e﹣2=0，解得：e=，e=﹣2，由0＜e＜1，∴e=﹣2（舍），故椭圆C的离心率为；（2）设直线MN与y轴交点为D（0，2），过N作NE⊥y轴，依题意，原点O为F1F2的中点，∴MF2∥y轴，∴在△MF1F2中，OD为△MF1F2的中位线，∵D（0，2），∴=4，即b2=4a①，设N（x1，y1），由题意可知：x1＜0，y1＜0，由|MN|=5|F1N|，∴丨DF1丨=2丨F1N丨，∵△DF1O∽△DNE，∴，解得：，代入C的方程，得②，由c2=a2﹣b2③，将①③代入②中得：，解得：a=7，b2=4a=28，∴椭圆的标准方程为：．17．解：（1）由题意可知，（2）考虑函数当1≤x≤9时，，令f'（x）=0，得．当时，2B，函数f（x）在上单调增；当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调减．所以当时，a取得极大值，也是最大值，又x是整数，，f（9）=9，所以当x=8时，f（x）有最大值．当10≤x≤20时，，所以函数f（x）在[10，20]上单调减，所以当x=10时，f（x）取得极大值，也是最大值．由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．18．（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）k=cos kθ+isin kθ，则当n=k+1时，（cos x+isinθ）k+1=（cosθ+isinθ）k•（cosθ+isinθ）∴当n=k+1时，命题成立；综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）n=cos nθ+isin nθ．（2）解：∵，∴，（3）解：，∵，∴，记，∴z n=r n（cos nθ+isin nθ），∴|z n|=r n=|z|n．19．解：（1）记，因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，所以S=2（a﹣c）或S=2（a+c）或S=4a；[（4分）]（2）①设，则，代入，得，则点A，B的坐标均满足方程，所以，直线AB恒过定点；②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，由事实现象（2）知：直线PI⊥l，∴令y=0，得点N的横坐标为，∵x0∈（0，2），∴．20．解：（1）∵f'（x）=2ae2ax，∴，∵g（x）=kx+b为奇函数，∴b=0；（2）由（1）知f（x）=e x，g（x）=kx，因为当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，所以∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，∵x=0时，k∈R，∴，记，则，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），∴h（x）在（﹣1，0）单调减，在（0，1]单调减，在[1，2）单调增，∴，∵，∴，综上，所求实数k的取值范围是；（3）由（2）知0＜x1＜1＜x2，设x2=tx1（t＞1），∵，∴，，∴，要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），即证φ（μ）＜0，，∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，∴φ'（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，∴φ（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ（μ）＜φ（1）=0，所以，x1•x2＜1.。