正交回归
回归正交试验设计
－1
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1
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5
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－2/3
－2/3
二元二次回归正交组合设计编码表
因素水平编码
01
试验因素的水平被编为－γ，－1，0，1，γ
02
变化间距：Δj＝上水平－零水平＝零水平－下水平
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
演讲人姓名
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案 回归正交设计（orthogonal regression design） ： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归方程 例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
二次项偏回归平方和：
一次项偏回归平方和：
回归正交试验设计
回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。
它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。
因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。
所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。
正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。
（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。
根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。
二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。
当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。
可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。
第七章 回归正交设计
y 26. 9 28. 3 28. 7 28. 9 29. 6 30. 0 30. 4
y2 723. 61 800. 89 823. 69 835. 21 876. 16 900. 00 924. 16
l iy
k
2
(k ) yk
14.8 28 0. 5286 7.823 1
y 202 .8
(1 )
z 16 2
ˆ (2) y ˆ (1) b 2 2 ( x ) y ˆ (1 ) 0 . 04762 ( x 2 8 x 12 ) y
0 . 04762 z 16 2 z 16 12 8 2 2
根据表 7. 2. 2 的计算，得回归计算 ˆ (1 ) b 0 b1 1 ( x ) 28 . 971 0 . 5286 ( x 4 ) y
26 . 857 0 . 525 x 26 . 857 0 . 525
=22. 628+0. 2625z. 或 =
ˆ y
方差分析
方差来源
平方和
自由度
平均平方和 7. 823 0. 190 0. 135 0. 131 0. 0175
F
显著性 **
一次 二次 回归 三次 四次
7 . 716 Q1 0 . 190 Q2 8 . 279 Q3 0 . 135 Q4 0 . 137
其中 k (x) x a1k x 是l 次待定系数多项式
k k 1
a 2k
k 2
a k 1,k x a kk , (k 1,2,p)
y b0 b1 φ (x) b2φ (x) bpφ 1 2 p(x)
回归正交
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4
称z ( z1 , z2 ,, z p ) 的可能取值的空间为因子空间。我们的 0 使E(y) 0( z10 , z 2 ,, z 0 任务便是从因子空间中寻找一个点z p) 满足质量要求。 当f 的函数形式已知时，可以通过最优化的方法去寻找z0 。 在许多情况下f 的形式并不知道，这时常常用一个多项式去 逼近它，即假定：
b0 b j z j b jj z 2 y j bij zi z j
j j i j
为y关于 z1 , z 2 ,, z p 的多项式回归方程。
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在实际中常用的是如下的一次与二次回归方程（也称一阶 与二阶模型）：
ˆ b0 b j z j y
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2
§7.1 回归设计的基本概念 回归设计（也称为响应曲面设计） 目的是寻找试验指标与各因子间的定量规律， 考察的因子都是定量的 。 它是在多元线性回归的基础上用主动收集数据的 方法获得具有较好性质的回归方程的一种试验设计 方法。 本章主要介绍 Box 的回归设计方法及其应用，并 假定读者已具有多元线性回归分析的基础知识。为 了符号上的统一 ，在7.1.2中列出了回归分析中的主 要公式。
Cov(bi , bj ) cij 2
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3．对回归方程的显著性检验 对回归方程的显著性检验是指检验如下假设： 1 2 p 0 H0 ： 1 , 2 ,, p 不全为0 HA： 检验方法是作方差分析。 ˆ i b0 b1 xi1 bp xip，i 1,2,, n 记 y 则有平方和分解式 n n n
第七章 回归设计
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5 回归设计的基本概念 一次回归正交设计 二次回归的中心组合设计 二次回归正交设计 二次回归旋转设计
7回归正交设计
X2
X3
X1X2 X1X3 X2X3 y
1
11
1
1
1 11
y1
2
1•(2) 回1 归方程1及偏回归-1系数的1显著性检-1验 -1
y2
3
•在1 一次回1 归正交设-1计下， 1
-1 1 -1 y3
4
1 1 -1 -1 -1 -1 1 y4
5
•因1 素项回-1归平方和1
1
-1 -1 1
y5
6
1 -1 1
•在一次回归正交设计下，由于偏回归系数两两相互独立， •回归平方和等于各偏回归平方和之 和 •回归自由度为各偏回归自由度之和
•剩余（误差）平方和 •剩余（误差）自由度
•(2) 回归方程及偏回归系数的显著性检验
•由上面的计算可知，各项偏回归平方和分别与 或 的平方成正比。这说 明在由回归正交设计所求得的回归方程中，偏回归系数绝对值的大小表示了 对应变量（因素或互作）作用的大小，其符号反映了这种作用的性质。
-1
-1
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y5
6
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0
0
0
y11
Bi
[资料]正交回归（正交多项式回归）
![[资料]正交回归（正交多项式回归）](https://img.taocdn.com/s3/m/29b98fe1bb0d4a7302768e9951e79b896802683c.png)
正交回归（正交多项式回归）多项式回归虽然是一种有效的统计方法，但这种方法存在着两个缺点：一是计算量较大，特别是当自变量个数较多，或者自变量幂较高时，计算量迅速增加；二是回归系数间存在着相关性，从而剔除一个变量后还必须重新计算求出回归系数。
当自变量x的取值是等间隔时，我们可以利用正交性原理有效地克服上述缺点。
这种多项式回归方法就是本节将要介绍的正交多项式回归。
一、正交多项式回归的数学模型设变量y和x的n组观测数据服从以下k次多项式(2-4-17)令(2-4-18)…分别是x的一次、二次,…k次多项式，a ij是一些适当选择的常数，如何选择将在下面讨论(i=1,2,…，n)。
将(2-4-18)式代入(2-4-17)式，则有(2-4-19)比较(2-4-19)和(2-4-17)式可知，二者系数间存在简单的函数关系，只要求出，就可以求出。
若把…看作新的自变量，则(2-4-19)式就成为一个k元线性模型，其结构矩阵为(2-4-20)正规方程为(2-4-21)(2-4-22)其中在上节中我们遇到的困难是解正规方程系数矩阵的工作量太大，如果我们有办法使其对角线上的元素不为零，而其余元素均为零，那么计算就大大简化了，而且同时消去了系数间的相关性。
对于…我们可以通过选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-i,…,a k0使得(2-4-23)（2-4-24）从而使则正规方程组为(2-4-29)回归系数为(2-4-30)满足(2-4-23)和(2-4-24)式的多项式组…我们称之为正交多项式。
显然这里关键的问题是如何找出一组正交多项式。
换言之，就是如何选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-i,…,a k0使(2-4-23)和(2-4-24)式成立。
在正交多项式回归中自变量的选择是等间隔的，设间隔为h,x0=a, 则(2-4-31)若令(2-4-32)则(2-4-33)由此可见，是1至n的正整数。
只要我们用代替x作为自变量，问题就变得简单了。
正交回归设计(2)
2．检验一次方程的合适性 为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效 应，在中心点进行了m=5次试验，结果为： 40.3，40.5，40.7，40.2，40.6 5 其平均值为 y 0 40.46 ，偏差平方和为 S0 ( y0i y0 ) 2 0.172 ， i 1 其自由度=4。 采用方法1中的检验统计量t作检验。 ˆ 0 40.425， y 0 40.46 ， 现在 y
最后再将编码式
2 206 .23 14 .338 x 2 21 .818 x12 35.868 x 2
x1
F 250 A 3.5 ，x2 109 1.74
代入，即可得y关于F，A的二次回归方程： ˆ 86.5547 1.0497 F 0.0018 F 2 82.9291 A 11.8470 A 2 y 为延长寿命，可以将回归方程对F与A分别求导，并令 其为零以解出最佳水平组合为F=291.58，A=3.50，在该水 平组合下，平均寿命的估计是211.6。
2 2
0 0 0 0
0 0
这里mc=4，2p=4，则n=mc+2p+m0=8+m0，再记
h 4 2 2
f 4 2 4
那么
n 0 0 X X 0 h h 0 0 h 0 0 h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h 0 0 0 f mc h 0 0 0 mc f
1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的建模方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
而正交回归是一种特殊的回归方法，它可以解决自变量之间共线性的问题，提高模型的稳定性和可解释性。
本文将介绍三元二次正交回归旋转通用设计方法，以及其在实际应用中的意义和优势。
一、三元二次正交回归在传统的回归分析中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致模型的方差变大，降低模型的预测能力。
而正交回归通过将自变量进行正交化处理，消除它们之间的相关性，从而提高模型的稳定性。
在三元二次正交回归中，通常会将自变量进行二次展开，以更好地捕捉自变量之间的非线性关系。
二、回归旋转回归旋转是一种将原始自变量进行旋转变换的技术，旨在提高模型的解释能力和预测准确性。
通过回归旋转，可以将原始的自变量空间转换为一个新的正交空间，从而使模型更容易解释和理解。
在三元二次正交回归中，回归旋转可以进一步优化模型的设计，提高模型的拟合效果和泛化能力。
三、通用设计三元二次正交回归旋转通用设计是一种灵活而有效的建模方法，适用于各种类型的数据分析和预测问题。
通过将正交回归和回归旋转相结合，可以充分挖掘数据中隐藏的非线性关系，提高模型的拟合效果和预测准确性。
同时，通用设计的特点使得模型具有较强的适应能力，可以应用于不同领域和不同类型的数据集。
四、应用意义三元二次正交回归旋转通用设计在实际应用中具有重要的意义和应用价值。
首先，它可以帮助研究人员更好地理解数据中的复杂关系，揭示隐藏在数据背后的规律和模式。
其次，通过建立高效稳健的模型，可以为决策者提供可靠的决策支持，帮助他们更好地制定策略和规划。
最后，三元二次正交回归旋转通用设计还可以为学术研究和工程实践提供有力的工具和方法，推动科学技术的发展和创新。
三元二次正交回归旋转通用设计是一种强大而灵活的建模方法，具有广泛的应用前景和深远的意义。
通过合理运用这一方法，可以更好地理解和利用数据，为决策和创新提供有力支持，推动社会经济的持续发展。
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正交回归
正交回归用于检验两个连续变量之间的线性关系：一个响应 (Y) 和一个预测变量 (X)。
正交回归经常在您希望知道临床化学和实验室设置中的两种设备或两种方法是否测量相同的内容时使用。
与简单线性回归不同，正交回归中的响应和预测变量均包含测量误差。
在简单回归中，只有响应变量包含测量误差。
如果在 X 和 Y 都包含测量误差时使用最小二乘回归分析数据，斜率可能会出现偏倚，从而影响结果的有效性。
正交回归提供与数据“最佳”拟合的线。
然后可将这条线用于：
·确定两种检验方法是否等价
·检验响应变量如何随预测变量的变化而变化
·针对预测变量 (X) 预测响应变量 (Y) 的值
在正交回归中，最佳拟合线就是最小化标绘点与直线之间的加权正交距离的线。
如果误差方差比为 1，加权距离为 Euclidean 距离。
在正交回归中，必须满足以下假定：
·预测变量和响应分别包含一个表示为 x 和 y 的固定未知数量以及一个误差分量。
·误差项为独立的项。
·误差项的均值为零而且包含恒定方差。
·预测变量和响应呈线性相关。