第七章 回归正交试验设计
第07章：最优回归试验设计与分析
第7章最优回归试验设计与分析方差分析一章介绍的方差分析技术主要用于析因试验结果的分析。
但在多处理情形下，虽然我们在理论上可以容易地将双因子方差分析的模型和方法推广到多因子方差分析的情况，但在实践中，做多个因子的完全试验会有实际的困难，因为完全试验所要求的试验次数太多，乃至无法实现。
例如，假定要考虑5个三水平因子，则完全试验（重复数为1）要求做35=243次试验；假如再加一个四水平因子，则完全试验（同样重复数为1）要作972次试验，如果要能够分析全部交效应，同时还能够做平方和分解，则试验次次还需要加倍！显然，如此大的试验次数在实际中几乎是无法实施的。
解决这个困难的技术之一是采取正交试验设计进行试验。
本章介绍的最优回归试验设计包括一般正交试验设计、正交回归、正交旋转组合设计及均匀设计的试验设计及其分析技术。
第1节正交试验统计分析1．概述正交试验是解决科学试验中多因素、多水平试验，如按全面试验方法，试验处理个数急剧上升的问题。
例如有6个因素，每个因素5个水平的试验，全面试验的试验数目是56＝15625个，一般是不可能完成这么多试验处理的。
因此，统计学家发明了一类试验设计的方法－正交因子设计，或简单地称为“正交设计“。
在这种试验设计中，可以安排许多因子，而试验次数远远小于完全试验所需的试验次数；同时统计分析具有分离各因子的主效应和一阶交互效应两优点。
由于这个优点，正交设计在工、农业试验和科学试验中得到了广泛的应用，并发挥了巨大的作用。
2．分析前先编辑定义数据矩阵，数据矩阵的左边放正交表,右边输入试验结果(试验可是单个或有重复),一行一个正交试验组合。
然后, 将正交表和试验结果一起定义成数据矩阵, 如有1个包含3个处理(A,B,C)和2个空闲因子、重复3次的试验,的其数据编辑定义格式为如图7－1。
然后进入菜单选择“一般正交试验”功能，系统提示用户输入试验因子(处理+空闲因子)的总个数(系统一般能自动识别出来,故一般只需回车)。
第七章 响应面回归设计
二次回归正交设计
应用二次回归正交设计法，所得的 回归系数的估计之间相互独立，因 此删除某些因子时不会影响其它的 回归系数的估计，从而很容易写出 所有系数为显著的回归方程。 二次回归正交设计的试验点由正交 点、主轴点和中心点组成。
二次回归正交设计
两个变量的试验点组合方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M n x1 1 1 −1 −1 x2 1 −1 1 −1 0 0 3 2 用 L 4 ( 2 ), m c = 2 = 4 星号点 , 2 p = 4 中心点 m 0
Ey H0： ： 假设： 假设： Ey H1： ： = β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
≠ β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
统计量： 统计量：
FLf =
S Lf / f Lf Se / fe
当拒绝H 需要寻找原因， 当拒绝 0时，需要寻找原因，改变模型 否则认为线性回归模型合适，可以将S 否则认为线性回归模型合适，可以将 e 合并作为S 检验方程是否显著。 与SLf合并作为 E检验方程是否显著。
回归设计
回归设计概述 回归模型 因素水平编码 Box－Benhken设计 － 设计 二次回归正交设计
概述
回归设计也称为响应面设计。 是一种通过少量试验，获得数据， 估计参数，有效地建立试验指标和 连续变量之间的定量关系的方法。 它是由英国统计学家G.Box在20世 纪50年代初真对化工生产提出的， 后来这一方法得到了广泛的应用。
(
)
Y —响应变量；xj —第j个自变量； ε—正态随机误差；β0 —回归截距； βj βjj’βjj —回归系数；
第七章 回归正交试验设计
个因素之间的函数关系。
因素水平编码表
自然变量xj 规范变量zj 1 -1 0 △j x1 700 300 500 200 x2 2400 1800 2100 300 x3 10 8 9 1
7.1.2一次回归方程的建立
设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为 mc，零水平试验次数为m0，即有： N 建立回归方程
m
mc m0
ˆ a b j x j bkj xk x j，k 1,2,, m 1( j k ) y
j 1 k j
其系数的计算公式如下：
将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，
然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
14
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：
y 0.50475 0.03375z2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
N 1 SST Lyy ( yi y ) 2 yi2 ( yi ) 2 N i 1 i 1 i 1 N N
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
10
②一次项zj偏回归平方和
SS j m b ，j＝ 1 ， 2， ，m
8.正交试验设计
K Y3 Y5 Y7
C 3
=>因素C在1,2,3水平上试验值的平均数分别为
1 C k K1 , 3
C 1
1 C k K2 , 3
C 2
1 C k K3 3
C 3
化工产品转化率的试验值
试验号
1 2
A
1 1 1 2 2 2 3
B
1 2
C
1 2
转化率
31
3
4
3
1 2
3
2
54 38 53 49
Y1 a1 b1 c1 1 Y2 a1 b2 c2 2 Y3 a1 b3 c3 3 Y4 a2 b1 c2 4 Y5 a2 b2 c3 5 Y a b c 2 3 1 6 6 Y7 a3 b1 c3 7 Y8 a3 b2 c1 8 Y9 a1 b3 c2 9
C 1 2 C 2 2 C 3 2
可以证明：QT QA QB QC QE
QA ——因素A引起的离差平方和 QB ——因素B引起的离差平方和 QC ——因素C引起的离差平方和 QE ——误差平方和
定理 (1)
2 （2）当 H01 , H02 , H03 成立时，
QE
~ 2 2
试验值
Y1 Y2 Y3 Y4
4
5 6 7 8 9
A2 B2C3 A2 B3C1 A3 B1C3
Y5 Y6
Y7
A3 B2C1 A3 B3C2
Y8 Y9
假定因素A,B,C没有交互作用。 设因素A在水平 A1 , A2 , A3 上的效应分别为 a1 , a2 , a3 因素B在水平 B1 , B2 , B3 上的效应分别为 b1 , b2 , b3 因素C在水平 C1 , C2 , C3 上的效应分别为 c1 , c2 , c3
回归正交试验设计
回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。
它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。
因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。
所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。
正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。
（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。
根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。
二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。
当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。
可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。
第七章 回归正交设计
y 26. 9 28. 3 28. 7 28. 9 29. 6 30. 0 30. 4
y2 723. 61 800. 89 823. 69 835. 21 876. 16 900. 00 924. 16
l iy
k
2
(k ) yk
14.8 28 0. 5286 7.823 1
y 202 .8
(1 )
z 16 2
ˆ (2) y ˆ (1) b 2 2 ( x ) y ˆ (1 ) 0 . 04762 ( x 2 8 x 12 ) y
0 . 04762 z 16 2 z 16 12 8 2 2
根据表 7. 2. 2 的计算，得回归计算 ˆ (1 ) b 0 b1 1 ( x ) 28 . 971 0 . 5286 ( x 4 ) y
26 . 857 0 . 525 x 26 . 857 0 . 525
=22. 628+0. 2625z. 或 =
ˆ y
方差分析
方差来源
平方和
自由度
平均平方和 7. 823 0. 190 0. 135 0. 131 0. 0175
F
显著性 **
一次 二次 回归 三次 四次
7 . 716 Q1 0 . 190 Q2 8 . 279 Q3 0 . 135 Q4 0 . 137
其中 k (x) x a1k x 是l 次待定系数多项式
k k 1
a 2k
k 2
a k 1,k x a kk , (k 1,2,p)
y b0 b1 φ (x) b2φ (x) bpφ 1 2 p(x)
正交试验设计
正交试验设计1. 什么是正交试验设计？正交试验设计（Orthogonal Experimental Design）是一种实验设计方法，旨在通过少量试验点，充分收集实验数据，从而减少实验变量的数量，提高实验效率。
正交试验设计适用于产品工艺改进、优化设计、参数选择以及产品性能分析等场景。
正交试验设计的核心思想是通过合理的设计选择，通过改变实验因素的组合，以及试验点数的把握，实现大量试验数据的获取。
在正交试验设计中，通过选择一组适当的实验因素、水平和试验点数，保证实验结果具有可靠性和有效性。
2. 正交试验设计的原理正交试验设计的原理是通过合理选取试验因素的水平，使得因素之间的影响相互独立，避免因素之间的干扰，以确保实验结果的可靠性和有效性。
正交试验设计使用正交表作为设计工具，正交表是由一组正交矩阵构成的，每个矩阵的行数代表试验因素的水平数，列数代表试验点数。
正交表的特点是每一列中任意两个数字之间都正交，即两个数字的乘积等于零。
这种正交性保证了试验因素之间的独立性，减小了因素之间的相互影响，提高了试验效率。
正交试验设计的步骤如下：1.确定试验目标和要素：明确需要优化的目标和相关的要素。
2.选择正交表和水平数：根据要素和水平数选择合适的正交表。
3.确定试验因素和水平：根据试验目标和要素，确定需要进行试验的因素和每个因素的水平。
4.填写正交表：根据选择的正交表和确定的试验因素水平，将试验因素填写到正交表中。
5.进行试验和收集数据：按照正交表中的设计进行试验，记录实验数据。
6.数据分析和优化：通过对实验数据的分析，得出结论并优化设计。
3. 正交试验设计的优势正交试验设计具有以下几个优势：•提高实验效率：通过合理选择试验因素和水平数，正交试验设计可以通过少量的试验点获取大量的实验数据，提高了实验效率。
•确保实验结果可靠性：正交试验设计通过合理的设计选择，避免了因素之间的干扰，保证了实验结果的可靠性。
•降低实验成本：正交试验设计可以在保证实验效果的前提下，减少试验点的数量，降低实验成本。
第七章-回归正交试验设计
例7-1：用石墨炉原子吸收分光光度计测定食品中 的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y)大。为 提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化 温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素对吸光度的影 响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝ 300~700℃， x2＝1800~2400℃，x3＝8~10mA。 试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间
指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归
方程：
m
yˆ a bj x j
bkjxk x j , k 1,2,..., m 1( j k)
j 1
k j
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
➢ 根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标 的影响方向
(4)方差分析
SST
n i 1
yi2
1( n n i1
yi )2
2.049044
4.0382 8
0.010864
SS1 mcb12 8 0.009752 0.000761
SS2 mcb22 8 0.033752 0.009113
0.010741
SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
(4)方差分析
dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1 dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=7-5=2 MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113 MS3=SS3/df3=0.000265 MS12=SS12/df12=0.000181 MS13=SS13/df13=0.000421 MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148 MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062 F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27 F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98 F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27 F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92 F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79 FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65
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y 0.50475 0.03375z2
21
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
4、回归方程的回代，建 立回归方程：
z2
x2
2100 300
，代入回归方程：
y 0.50475 0.03375 x2 2100 300
0.2685 0.0001125 x2
xj0
x j1
2
xj2
称xj0为xj的零水平。
Xj的变化间距用△j表示：
j xj2 xj0
或
j
xj2
2
x j1
3
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
2.因素水平的编码
将xj的各水平进行如下的线性变换：
zj
xj
xj0 j
Zj就是xj的编码，两者一一对应。
因素水平编码表
自然变量xj
规范变量zj
①总变动平方和
SST
Lyy
N
( yi
i 1
y)2
N i 1
yi2
1 N
N
(
i 1
yi )2
10
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
②一次项zj偏回归平方和
SS j mcb2j，j＝1，2， ，m
③交互项zkzj偏回归平方和
SSkj mcbk2j，j k, k 1,2, , m 1
④回归平方和U
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，即可得到一次回归正
交设计表。例如 L8 (27 ) 经过变换后得到如下的回归正交设计表：
试验号 1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
-1
-1
-1 -1
3
1
-1 -1
1
1
-1 -1
4
1
-1
-1
-1
-1
1
1
5
-1
1
-1
1
-1
1
-1
6
-1
1
-1 -1
1
-1
1
7
-1
1
第七章 回归正交试验设计
回归正交试验设计将正交试验设计和回归分析两者的 优势统一起来，它可以在因素的试验范围内选择适当的试 验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归 方程，并能解决试验优化问题。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
一次回归正交设计欲建立如下的回归方程：
yˆ a b1x1 b2 x2 bm xm 或
SS12 mCb122 8 0.00475 2 0.000181
SS13 mCb123 8 0.00725 2 0.000421
U SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 0.010741
Q SST U 0.000123
19
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
m
ˆy a bj x j bkjxk x j，k 1,2, ,m 1( j k )
j 1
k j
2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
7.1.1一次回归正交设计的基本方法
1.确定因素的变化范围
设因素xj的变化范围为[xj1,xj2]，分别称xj1和xj2为因素
xj的下水平和上水平，取它们的算数平均值
∑
4.038 2.049044 0.078
z2y
z3y (z1z2)y (z1z3)y
0.552 0.554 -0.480 -0.472 0.516 0.532 -0.448 -0.484
0.270
0.552 -0.554 0.480 -0.472 0.516 -0.532 0.448 -0.484
14
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个 因素进行考察，并考虑交互作用x1x2、 x1x3。已知x1=300～700 ℃, x2=1800～2400℃，x3=8～10mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三 个因素之间的函数关系。
-1
1
1
-1
-1
1
8
-1
-1
1
-1
1
1
-1
5
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
回归正交表具有如下的特点： （1）任一列编码的和为0
N
z ji 0 或 z j 0，j 1,2, , m
i 1
（2）任意两列编码的乘积之和等于零
N
z ji zki 0，k 1,2, , m 1( j k)
i 1
说明回归正交设计表同样具有正交性，可使回归 计算大大简化。
6
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
4.试验方案的确定 交互作用列的编码正好等于表中对应两列因素编码的乘积，所
以用回归正交表安排交互作用时，可以不参考正交表的交互作用表， 直接根据这一规律写出交互作用列的编码。
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
因素水平编码表
自然变量xj
规范变量zj
x1
x2
x3
1
700
2400
10
-1
300
1800
8
0
500
2100
9
△j
200
300
1
15
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
试
验 z1 z2 z1z2 z3 z1z3 得率y
y2
z1y
号
1 1 1 1 1 1 0.552 0.304704 0.552 2 1 1 1 -1 -1 0.554 0.306916 0.554 3 1 -1 -1 1 1 0.480 0.230400 0.480 4 1 -1 -1 -1 -1 0.472 0.222784 0.472 5 -1 1 -1 1 -1 0.516 0.266256 -0.516 6 -1 1 -1 -1 1 0.532 0.283024 -0.532 7 -1 -1 1 1 -1 0.448 0.200704 -0.448 8 -1 -1 1 -1 1 0.484 0.234256 -0.484
20
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
将z1、z3、z1z2、z1z3的平方和并入误差项
差异源
SS
f
V
F
显著性
回归（z2） 0.009113
1
0.009113 31.21
**
残差 0.001751
6
0.000292
总和 0.010864
7
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
差异源
SS
f
V
F
显著性
z1
0.000761
1
0.000761 12.27
z2
0.009113
1
0.009113 146.98
**
z3
0.000265
1
0.000265 4.27
z1z2 0.000181
1
0.000181 2.92
z1z3 0.000421
1
0.000421 6.79
回归 0.010741
8 i 1
yi
4.038 8
0.50475
8
b1
z1i yi
i 1
mC
0.078 8
0.00975
8
b2
z2i yi
i 1
mC
0.270 8
0.03375
8
b3
z3i yi
i 1
mC
0.046 8
0.00575
17
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
8
b12
( z1z2 )i yi
数学模型不合理，需要重新考虑拟合的数学模型。只有数学
模型合理而且据此得到的回归方程显著时才有意义。
当零水平试验次数m0≥2，可进行回归方程的失拟性检验。
23
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0，则：
①重复试验误差变动平方和及其自由度：
SSe2
U SS j SSkj
⑤剩余平方和Q
Q SST U
11
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
(2)计算各种平方和的自由度 ①总变动平方和自由度
fT N 1
②偏回归平方和自由度
f j fkj 1
③回归平方和U自由度
fU f j fkj
④剩余平方和Q自由度
fQ fT fU
12
x1
x2
…
xm
zj1=-1
x11
x21
…
xm1
zj0=0
x10
x20
…
xm0
zj2=1
x12
x22
…ห้องสมุดไป่ตู้
xm2
△j
△1
△2
…
△m
4
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
由于规范变量zj的取值范围都在[－1，1]之间，不受自然变量xj 的单位和取值大小的影响，所以将y与xj之间的回归转化为y与zj之间 的回归问题，会大大简化回归计算量。 3.一次回归正交设计表
F
U/ Q/
fU fQ
~
F ( fU ,
fQ )
②偏回归系数的显著性检验