高二理科数学期末复习题(2)

高二数学周周练（五）一、选择题（本大题共12小题，每题4分，共计48分．在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的）（1）椭圆221169x y +=的离心率是(A) 4(B) 3 (C) 54 (D) 45（2）下列各组向量中不平行的是(A) )4,4,2(),2,2,1(--=-=b a (B) )0,0,3(),0,0,1(-==d c(C) )0,0,0(),0,3,2(==f e (D) )40,24,16(),5,3,2(=-=h g（3）设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(A) 原命题真，逆命题假 (B) 原命题假，逆命题真(C) 原命题与逆命题均为真命题(D) 原命题与逆命题均为假命题 （4）“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（5）若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为(A) ()0,0 (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 (C) ()2,1 (D) ()2,2 （6）空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC <>的值是(A) 21 (B) 22 (C) 12- (D) 0 （7）若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是(A)( (B)(C)( (D)(1)- （8）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值为（A（B（C ）35 （D ）25（9）如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，且//,90,1,2AB DC DAB AS AD DC AB ∠=====，则AS 与面SBC 所成的角的正弦值为 A DS（A （B（C （D （10）如图（9题图），四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，且//,90,1,2AB DC DAB AS AD DC AB ∠=====，则二面角A SB C --的角的正弦值为（A ）3 （B ）6 （C ）5 （D ）5（11）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是 (A) x y 22±= (B) x y 2±= (C) x y 3±= (D) x y 22±=（12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共计16分．将答案填在答题纸相对应题号横线上）（13）已知向量,3,5k r j i b k j i m a ++=-+=若//a b 则实数=m ______；=r _______．（14）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 ．（15）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为10F （，），直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点，若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为 ．（16）已知1F 、2F 是椭圆22x a2211y a +=-的左右焦点，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的周长为12，则椭圆的方程为 ．三、解答题（本大题共4小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本题满分8分）直角坐标系下，O 为坐标原点，定点(4,0)E ，动点(,)M x y 满足2.MO ME x ⋅=（Ⅰ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点(1,0)F 作互相垂直的直线12,l l 分别交轨迹C 于点,M N 和点,R Q ，求四边形MRNQ 面积的最小值.（18）（本题满分8分） 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为.12+ （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C （m ，0）是线段OF 上的一个动点（O 为坐标原点），是否存有过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由。

（19）（本题满分10分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角余弦值；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值。

（20）（本题满分10分）如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离.21．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上任意一点．(1)求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；(2)判断直线B 1P 与平面ACC 1A 1是否垂直，请证明你的结论；(3)当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C －B 1P －C 1的余弦值．22．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝1，AD ＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面P AC的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；(3)当BE为何值时，P A与平面PDE所成角的大小为45°？参考答案一、选择题ADACD DDDAB DB二、填空题（13）115,5- （14（15）y x = （16）22198x y += 三、解答题（17）解：（Ⅰ）由题意：2(,)(4,)x y x y x --⋅--=. 24y x ∴=为点M 的轨迹方程.（Ⅱ）由题易知直线l 1，l 2的斜率都存有，且不为0，不妨设，MN 方程为(1)y k x =-与24y x = 联立得：2222(24)0k x k x k -++=，设),(),,(2211y x N y x M ∴212224k x x k ++=由抛物线定义知：|MN |=|MF |+|NF |21224(1)2k x x k +=++= 同理RQ 的方程为1(1)y x k=--，求得24(1)RQ k =+. ∴222221(1)188(2)322MRNQ k S MN RQ k k k +=⋅==++≥． 当且仅当21,1k k ==±时取“=”，故四边形MRNQ 的面积的最小值为32．（18）解：（Ⅰ）因为⎪⎩⎪⎨⎧+=+==1222c a a c e 所以,1,12=∴⎩⎨⎧==b c a 椭圆方程为：1222=+y x （Ⅱ）由（Ⅰ）得F （1，0），所以10≤≤m 。

假设存有满足题意的直线l ，设l 的方程为)1(-=x k y代入,0224)12(,12222222=-+-+=+k x k x k y x 得 设1222,124),,(),(222122212211+-=+=+k k x x k k x x y x B y x A 则 ① 122)2(22121+-=-+=+∴k k x x k y y 设AB 的中点为M ，则),12,121(222+--+-k k k k M ||||,,1CM AC BC CM AB k k =∴⊥=-即。

,)21(01222124222m k m k k k m k k =-⇔=+-+-+∴2 m m k m a 21,21-±=<≤∴时当，即存有这样的直线l ；当121≤≤m 时， k 不存有，即不存有这样的直线l ； (19) 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M . （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC .510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存有,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得 0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.5552cos(,).3||||2.3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-⋅-故所求的二面角的余弦值为 （20）解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .∵1AEC F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴ （II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量， )1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α，则.333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC α∴C 到平面1AEC F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d解：(1)V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1 ＝34×22×2＝2 3.(2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AP ＝a ，则A ，C ，B 1，P 的坐标分别为(0，－1,0)，(0,1,0)，(3，0,2)，(0，－1，a )，AC →＝(0,2,0)，B 1P →＝(－3，－1，a －2)，AC →·B 1P →＝－2≠0，∴B 1P 不垂直AC ，∴直线B 1P 不可能与平面ACC 1A 1垂直．(3)BC 1→＝(－3，1,2)，由BC 1⊥B 1P ，得BC 1→·B 1P →＝0，即2＋2(a －2)＝0，∴a ＝1.又BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面CB 1P ，∴BC 1→＝(－3，1,2)是平面CB 1P 的法向量．设平面C 1B 1P 的法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎨⎧B 1P →·n ＝0B 1C 1→·n ＝0，则n ＝(1，3，－23)．设二面角C －B 1P －C 1的大小为α，则cos α＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝64，∴二面角C －B 1P －C 1的余弦值的大小为64.22.解：(1)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点， ∴EF ∥PC .又EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则 P (0,0,1)，B (0,1,0)，F (0，12，12)，D (3，0,0)，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·(0，12，12)＝0，∴PE ⊥AF .(3)设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)，由⎩⎨⎧m ·PD →＝0m ·PE →＝0，得m ＝(13，1－x 3，1)． 而AP →＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|， ∴113＋(1－x 3)2＋1＝12， 得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍)． 故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.。