河南省郑州市高二数学下学期期末考试试题 文
2020-2021学年河南省郑州市第二高级中学高二数学文下学期期末试卷含解析
2020-2021学年河南省郑州市第二高级中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）参考答案：A【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．2. 已知数列使数列前n项的乘积不超过最小正整数n是( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 参考答案：C略3. “直线直线”是“直线的斜率等于的斜率”的：A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：D4. 命题p：若，则；命题q：下列命题为假命题的是（）A．p或q B．p且q C．q D．￢p参考答案：B5. 已知，，则（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D7. 若存在两个不相等正实数x1、x2，使得等式成立,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ．参考答案：A8. 观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（ ）①正方体 ②圆锥 ③正三棱柱 ④正四棱锥 A 、①② B 、②④ C 、①③ D 、①④ 参考答案： B 略9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C=2B ，则为（ ）A ．2sinCB ．2cosBC ．2sinBD ．2cosC参考答案： B考点：正弦定理． 专题：解三角形．分析：通过C=2B ，两边取正弦，利用正弦定理以及二倍角公式，即可求出结果． 解答：解：在△ABC 中， ∵C=2B ，∴sinC=sin2B=2sinBcosB， 即c=2bcosB ，则=2cosB ． 故选：B ．点评：本题考查正弦定理以及二倍角的正弦的公式的应用，求出是解题的关键 10. 下列命题正确的个数为（ ） ①已知，则的范围是；②若不等式对满足的所有都成立，则的范围是；③如果正数满足，则的取值范围是；④大小关系是A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上时增函数，若，则的解集为.参考答案：12. 已知复数，且，则的最大值为 .参考答案：略13. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下 结论：①②AB 与CM 所成的角为600 ③EF 与MN 是异面直线④以上四个命题中，正确命题的序号是_______.参考答案：1,3略14. 若正三棱柱的棱长均相等，则与侧面所成角的正切值为___.参考答案：15. 已知抛物线y 2=4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，=2，则直线l的斜率为 ．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用=2，求出A的坐标，利用斜率公式求出直线l 的斜率．【解答】解：设A 的横坐标为x ，则 ∵=2，BC=1，∴AB=2， ∴A（2，2），∵F（1，0），∴直线l 的斜率为=2，故答案为：2．16. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学文试卷
郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共4小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ） A 、三角形的三个内角都不大于60° B 、三角形的三个内角都大于60° C 、三角形的三个内角至多有一个大于60° D 、三角形的三个内角至少有两个大于60° 2．设复数z ＝a +bi （i 为虚数单位），a ，b ∈R ，且-3a ii＝b +i ，则复数z 的模等于（ ）A 、10B C 、5D 3．《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ） A 、类比推理B 、归纳推理C 、演绎推理D 、一次三段论4．某同学根据一组x ，y 的样本数据，求出线性回归方程y bx a =+和相关系数r ，下列说法正确的是（ ）A 、y 与x 是函数关系B 、y 与x 是函数关系C 、r 只能大于0D 、｜r ｜越接近1，两个变量相关关系越弱5、（选修4-4：坐标系与参数方程）点M 的直角坐标是（－1），则点M 的极坐标为（ ）A 、（2，3π） B 、（2，－3π） C 、（2，23π）D 、（2，23k ππ+）（k Z ∈）（选修4-5：不等式选讲）若关于x 的不等式｜ax ﹣3｜＜7的解集为{x ｜﹣5＜x ＜2}，则a 的值为（ ） A 、﹣4B 、4C 、﹣2D 、26．雷达图（RadarChart ），又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（SpiderChart ），是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A 、甲、乙两人在能力方面的表现基本相同B 、甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙C 、在培训与销售两个方面甲的综合表现优子乙D 、甲在这五个方面的综合表现优于乙7．已知111555b a⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜1，则下列不等式中一定成立的是（ ） A 、log a b +log b a ＞﹣2 B 、log a b +log b a ＞2 C 、log a b +log b a ≥﹣2D 、log a b +log b a ≤﹣28、（选修4-4：坐标系与参数方程）（圆ρ＝5cosθ﹣3的圆心坐标是（ ） A 、（5，3π） B 、（5，6π） C 、（5，53π） D 、（5，56π） （选修4-5：不等式选讲）函数y ＝4337x x --的最大值为（ ）A 、5B 、8C 、10D 、129．执行如图所示的程序框图，如果输出的a值大于2019，那么判断框内的条件为（）A、k＜10？B、k≥10？C、k＜9D、k≥9？10．某校有A、B、C、D四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社团中，在被问及在哪个社团时，甲说：“我没有参加A和B社团”．乙说：“我没有参加A和D社团”．丙说：“我也没有参加A和D社团”．丁说：“如果乙不参加B社团，我就不参加A社团”．则参加B 社团的人是（）A、甲B、乙C、丙D、丁11．在同一平面直角坐标系中满足由曲线x2+y2＝1变成曲线22''194x y+=的一个伸缩变换为（）12．在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为α，β，则sin2α+sin2β＝1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面AC，平面AB1，平面AD1所成的角分别为β1，β2，β3，则下列说法正确的是（）①sin2α1+sin2α2+sin2α3＝1②sin2α1+sin2α2+sin2α3＝2③cos2α1+cos2α2+cos2α3＝1④sin2β1+sin2β2+sin2β3＝1A、①③B、②③C、①③④D、②③④二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知复数z1＝22ii-+在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量与虚轴垂直，则z2的虚部为．14．恩格尔系数（Engel'sCoefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：若y与x之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为．15．观察下列几个三角恒等式①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+tan（﹣15）°tan5°＝1．一般的，若tanα，tanβ，tanγ均有意义，你可以归纳出结论：16．已知函数f（x）＝，如果对任意t∈R，f（3t2+2t）+f（k2﹣2t2）＜0恒成立，则满足条件的k的取值范围是．三、解答题（本大题共1小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知i是虚数单位，且复数z满足（z+2）（3+i）＝10．（Ⅰ）求z及z2；（Ⅱ）若z•（a+2）i是纯虚数，求实数a的值．18、（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣3，圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ＝4π（ρ∈R ），设C 2，C 3的交点为A ，B ，求△C 2AB 的面积．（选修4-5：不等式选讲） 已知函数f （x ）＝｜x ﹣2｜．（Ⅰ）求不等式f （x ）＞6﹣｜2x +1｜的解集； （Ⅱ）设a ，b ∈（2，+∞），若f （a ）+（b ）＝6，求41a b+的最小值．19．（12分）2019年4月22日是第50个世界地球日，半个世纪以来，这一呼吁热爱地球环境的运动已经演变为席卷全球的绿色风暴，让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然对人类未来的重要性．今年，自然资源部地球日的主题是“珍爱美丽地球，守护自然资源”．某中学举办了以“珍爱美地球，守护自然资源”为主题的知识竞赛．赛后从该校高一和高二年级的参赛者中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩分为7组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布表：现规定，“竞赛成绩≥80分”为“优秀”“竞赛成绩＜80分”为“非优秀” （Ⅰ）请将下面的2×2列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩与年级有关”？优秀 非优秀 合计 高一 50 高二 15 合计100附：独立性检验界值20．（12分）[选修4-4；坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为，（为参数），曲线C 的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（3，2），判断点P 与直线l 位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]设函数f （x ）＝｜x +3｜+｜2x ﹣a ｜﹣1，a ∈R ．（Ⅰ）若不等式f （x ）+｜x +3｜≥3对任意的x ∈R 成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a ＞﹣6时，函数φ（x ）＝2（｜x +3｜﹣x ）﹣f （x ）有三个不同的零点，求a 的取值范围．21．（12分）设f （x ）＝3ax 2+2bx +c ，若a +b +c ＝0，f （0）＞0，f （1）＞0． 求证：a ＞0，－2＜ba＜－1．22．（12分）某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据 年份编号x 1 2 3 4 5 年份 2014 2015 2016 2017 2018 加装户数y3495124181216（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y 与年份编号x 满足线性相关关系求y 与x 的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）=+的斜率参考公式对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线y bx a和截距的最小二乘估计分别为，2018—2019学年下学期期末考试高二数学（文科） 参考答案二、填空题14. 0.26；15 . 90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=则； 16. k <-1或k >1.三、解答题 17.解：⑴i i i i i z -=--+-=-+=12)3)(3()3(102310, ....3分 .i 2)i 1(z22-=-= ....5分（2）(2)(1)(2)(2)(2)z a i i a i a a i +=-+=++-， ...8分令2+a =0，解得a =-2. ....10分18.(选修4-4：坐标系与参数方程） 解：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 3ρθ=-， 3分2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ--+=. ……6分（2）将4πθ=代入24cos 2sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-=AB = ....10分由于2C 的半径为1，所以2C AB ∆的面积为12. ……12分 (选修4-5：不等式选讲）解：（1）2216x x -++>原不等式等价于， ....3分等价于12,1,2,2275.3,33x x x x x x ⎧><-⎧⎧⎪-≤≤⎪⎪⎪⎨⎨⎨>⎪⎪⎪><-⎩⎩⎪⎩或或解得5733x x <->或. ....5分所以原不等式的解集为57.33x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 --------6分(2)),2(,+∞∈b a ，106226)()(=+=-+-=+b a b a b f a f ，即， ....8分109)425(101)45(101101))(14(14=⋅+≥++=⋅++=+b a a b b a a b b a b a b a当且仅当4,10,b aa ba b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 即 20,310.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取等号. --------12分 19.（2）.635.6239.4307065355015152010022<≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=）（-K ....11分所以，没有99％的把握认为“竞赛成绩与年级有关”. -------12分 20.(选修4-4：坐标系与参数方程）解：（1）把极坐标系下的点(3,)2P π化为直角坐标得点(0,3). ....2分因为点P 的直角坐标满足直线l 的方程260x y -+=， ....4分 所以点P 在直线l上. ---6分（2）因为点Q 在曲线C 上，可设点Q 的坐标为(2cos )αα，从而点Q 到直线l 的距离为d ==由此得，当cos(+)13πα=-时，d 取得最小值，且最小值为5 ------12分(选修4-5：不等式选讲）解：（1）4262≥-++a x x 原式即恒成立，即()4262min ≥-++a x x ，6)2()62(262+=--+≥-++a a x x a x x ，...3分 所以，46≥+a ，解得102a a ≤-≥-或 -------6分（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-≤≤--+-<---=+---+=ϕ),2(,43),23(,4),3(,21223a x a x a x a x x a x x a x x x ）（有三个零点， ..9分即0203-><）（且）（aϕϕ，解得1<a <8 . ------12分21. 解：因为(0)0f c =>，(1)322()()0f a b c a b c a c -=++=+++->0=++c b a所以0=0a c b a b c >>>+-<且，即,1bb a a <-<- ------------4分=0a b c +-<可得(1)323220f a b c a b a b a b -=++=+--=+>----8分2,-2 1.b ba a >-<<-即所以 且0.a > -------12分45 5.y x =-所以线性回归方程为 -----4分6,y 265,2019x ==令.年该小区有26到5户居，民有以意向所加得截底装暖气止的居民可以竞拍成功，设竞拍成功的最低报价为x（十元），。
郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试文科数学试题
2a
b
∴
. -----------------------------------12 分
3 a 2b b 2a
21.（选修 4-4：极坐标与参数方程）
x 解：（Ⅰ）由
2
2 cos
（
为参数）化为普通方程为 x
22
y2
4
--------2
分
y 2sin
cos 22 sin 2 4 ，整理得极坐标方程为 4 cos ------------------5 分
（选修 4-5：不等式选讲）
1
3x 1, x 2
解：（Ⅰ）
f
x
x
3,
1
x
2
，-----------------------------------------3
分
2
3x 1, x 2
故当 x 1 时 f x 最小值为 5 ----------------------------------------------6 分
2
x 3 t,
（Ⅱ）过点 P(3, 2) 与直线 l 垂直的直线的参数方程为
2 ( t 为参数)，
y
2
2 t,
2
代入 y2 4x ，可得 t2 8 2t 16 0 ，----------------------------------------8 分
设 M , N 对应的参数分别为 t1 ， t2
a
b2
∴
.
2a b 2b a 3
----------------------------------8 分
2a
b
再证明
.
3 a 2b b 2a
河南省郑州市高二下学期期末考试数学(文)试题-含答案
下期期末考试 高二数学（文）试题卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数111ii-++的虚部是（ ） A ．i - B ．1- C ．1i - D ．12.用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 3.在下列说法中，真命题的个数是（ ）①随机误差是引起预报值与真实值之间误差的原因之一； ②残差平方和越小，预报精度越高；③用相关指数刻画回归的效果，2R 的值越接近1，说明模型的拟合效果越好；④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.（选修4-4：坐标系与参数方程）下列极坐标方程表示圆的是（ ） A ．1ρ= B ．2πθ=C ．sin 1ρθ=D ．(sin cos )1ρθθ+=（选修4-5：不等式选讲）不等式113x <+<的解集为（ ） A ．(4,2)(0,2)--U B ．(2,0)(2,4)-U C ．(4,0)- D ．(0,2)5.某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y bx a e =++（单位：亿元），其中0.8b =，2a =，0.5e ≤，如果今年该地区财政收入是10亿元，年支出预计不会超过（ ）A ．9亿元B ．9.5亿元C ．10亿元D ．10.5亿元6.设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a << 7.若z C ∈且221z i +-=，则22z i --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 8.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l ：1x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．1 （选修4-5：不等式选讲）已知01a b <<<，下面不等式中一定成立的是（ ） A ．log log 20a b b a ++> B ．log log 20a b b a +-> C ．log log 20a b b a ++≤ D ．log log 20a b b a ++≥9.下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段，女主角欲输入一个由十个数字按一定规律组成的密码，但当她果断地依次输入了前八个数字11235813，欲输入最后两个数字时她犹豫了，也许是她真的忘记了最后的两个数字、也许…….请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是（ ）A ．18B ．20C ．21D ．31 10.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 11.（选修4-4：坐标系与参数方程）若(2,1)P -为圆O ：15cos 5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02)θπ≤<的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是（ ）A ．30x y --=B ．20x y +=C ．10x y +-=D ．250x y --= （选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ，c 为三角形的三边，且222S a b c =++，P ab bc ca =++，则（ ）A ．2P S P ≤<B ．2P S P <<C ．S P >D ．2S P ≥ 12.已知3,()3,x a x a f x x a x a-++≥⎧=⎨-+<⎩，2()g x x =，若关于x 的不等式()()f x g x >至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13(3,)4- B ．13(,3)4- C ．(3,3)- D ．1313(,)44- 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某饮料店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：C o ）之间有下列数据：甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方程：①$3y x =-+；②$ 2.8y x =-+；③$ 2.6y x =-+；④$ 2.8y x =+，其中正确方程的序号是 ． 14.在复平面上，复数23(2)i -对应的点到原点的距离为 ． 15.,a b R ∈，若112a b a b ++-+-≤，则a b +的取值范围为 ．16.近几年，人工智能技术得到了迅猛发展，某公司制造了一个机器人，程序设计师设计的程序是让机器人每一秒钟前进一步或后退一步，并且以先前进3步，然后再后退2步的规律前进.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上前进（1步的距离为1个单位长度）.令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中正确的是 ．（请将正确的序号填在横线上）①(3)3P =；②(5)1P =；③(2018)(2019)P P <；④(2017)(2018)P P <；⑤(2003)(2018)P P =.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知z 是复数，2z i +，2z i-均为实数（i 为虚数单位），且复数2()z mi +在复平面上对应的点在第一象限. （1）求复数z ；（2）求实数m 的取值范围.18.随着炎热的夏天到，在海边旅游的人们都喜欢潜水这项活动.某潜水中心调查了200名男性与200名女性下潜至距离水面5米时是否会耳鸣，如图为其等高条形图：（1）绘出22⨯列联表；（2）利用独立性检验的方法，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与耳鸣有关？参考数据及公式：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2x a t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线l 与圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-.（1）若对任意,,()a b c R a c ∈≠，都有()a b b cf x a c-+-≤-恒成立，求x 的取值范围；（2）解不等式()3f x x ≤. 20.证明：（1）已知a ，b 为实数，且1a <，1b <，求证：1ab a b +>+；（2）已知a ，b ，c 均为实数，且1a <，1b <，1c <，求证：2abc a b c +>++.（提示：可利用第一问的结论进行证明） 21.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+，直线l的参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点.（1）求圆心的极坐标； （2）求PAB ∆面积的最大值. 选修4-5：不等式选讲设关于x 的不等式2324x a x x -++≥+的解集为A . （1）若1a =，求A ；（2）若A R =，求a 的取值范围.22.某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费x （单位：万元），对年销售量y （单位：t ）和年利润z （万元）的影响，为此，该公司对近7年宣传费i x 和年销售量(1,2,,7)i y i ==⋅⋅⋅的数据进行了初步处理，得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.xyk721()ii x x =-∑ 721()ii kk =-∑71()()iii x x y y =--∑71()()ii i kk k k =--∑17.4082.303.6140 9.7 2935.1 35.0其中ln i i k y =，7117i i k k ==∑.（1）根据散点图判断，y bx a =+与21c xy c e=哪一个更适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （3）已知这种产品年利润z 与x ，y 的关系为 2.50.110z e y x -=-+，当年宣传费为28万元时，年销售量及年利润的预报值分别是多少？附：①对于一组具有有线性相关关系的数据(,)(1,2,3,,)i i i n μυ=⋅⋅⋅，其回归直线u υβα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ121()()()niii nii u u u u υυβ==--=-∑∑，$µau υβ=-. ②2.5e - 0.75ee3e 7e0.08 0.47 2.7220.09 1096.63。
【数学】河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试文科试题
河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试文科试题【参考答案】一、选择题二、填空题 13. 10；14.64%；15.),29(*292121N ∈<=-n n b b b b b b n n 16. 32.25 (或者4129). 三、解答题17．解:(1)由题意知，)4,6(,)3,2(,)0,5(-=--==BC AB OA ，所以)3,3()3,2()0,5(-=--+=+=AB OA OB ……………………………………1分 同理)1,3()4,6()3,3(-=-+-=+=BC OB OC ，…………………………………2分 由BC AD =，得)4,1(-D ,…………………………………………………………4分 则点D 对应的复数i z 41+-=．……………………………………………………5分 （2）由0=⋅BC AB ，得BC AB ⊥，即BC AB ⊥. ∴四边形ABCD 为矩形.∴A 、B 、C 、D 四点共圆．……………………………………………………………10分 18.(选修4-4：坐标系与参数方程）解:（1）因为曲线E 的极坐标方程为ρ2＋ρ2sin 2θ＝4． 将ρ2＝x 2＋y 2，ρsinθ＝y ，代入上式，得x 2＋2y 2＝4．所以曲线E 的直角坐标方程为12422=+y x ;…………………………………………3分 又∵曲线E 为椭圆,其左顶点坐标为)0,2(-,∴直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=t y t x 22222(t 为参数)．……………………………………6分（2）设椭圆E 的内接矩形在第一象限的顶点为)2(0)sin 2,cos 2(πθθθ<<…………………………………………………………8分∴椭圆E 的内接矩形的周长y 为:)sin(64sin 24cos 8ϕθθθ+=+=y (其中62cos ,62sin ==ϕϕ)………………………………………………………10分 ∴椭圆E 的内接矩形的周长的最大值为64．…………………………………………12分 (选修4-5：不等式选讲） 解：（1）依题意，f （x ）＝21|x ﹣1|﹣|x +1| ＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<----≤+1,232111,21231,2321x x x x x x …………………2分所以，当1-=x 时，1)(max =x f ；………………3分 函数f （x ）的图象如图所示：……………………6分（2）由（1）可知，利用图象法，直线y ＝x ﹣6只与f （x ）的图像相交于A ，由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=,2321,6x y x y 解得)3,3(-A ……………………………………………………10分故当3≥x 时，直线y ＝x ﹣6在f （x ）图象的上方，即f （x ）≤x ﹣6，故解集为)[3,+∞．………………………………………………………………………12分 19．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成2×2列联表如下：晚上 白天 合计 男婴 10 40 50 女婴 20 30 50 合计3070100…………………………………………………3分根据等高条形图,在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率; 根据列联表,男婴样本中白天出生的频率为80%,女婴样本中白天出生的频率为60%. 因此可以直观得到结论:婴儿的性别和出生时间有关系(二者选其一即可给分)………6分 根据（1）中列联表，计算K 2＝2110030705050)10302040(1002=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈4.762>2.706，……………………………11分所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关．………12分 20．(选修4-4：坐标系与参数方程） 解:(1)依题意，因为射线l :)0(33≥=x x y ，故射线l :)0(6≥=ρπθ；……………3分因为C 1的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11，可得曲线C 1的普通方程:422=-y x ．…………6分（2）曲线C 1的方程为422=-y x ，故曲线C 1的极坐标方程为42cos 2=θρ．………7分 设点A 、B 对应的极坐标分别为),(,),(21θρθρ，联立l 与1C ，得⎪⎩⎪⎨⎧=θρπ=θ,42cos ,62解得A )6,22(π………………………………………9分 联立l 与2C ，得⎪⎩⎪⎨⎧θ=π=θ,sin 8,6ρ解得B )6,4(π …………………………………………11分 故.22421-=-=ρρAB …………………………………………………………12分(选修4-5：不等式选讲）解：（1）当a ＝﹣1时，原不等式可化为9312+≥++-x x x 等价于⎩⎨⎧+≥----≤9321,3x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-<<-9321213x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-≥,9312,21x x x x即25-≤x 或.27≥x 所以不等式的解集是),27()25,(+∞⋃--∞．……………………………6分(每个可给2分) (2)若存在这样的a ，使得43)(+≤++x x x f 的解集中包含[0，1]．即当]1,0[∈x 时,43)(+≤++x x x f 恒成立.…………………………………………7分 可得432+≤+++x x a x ,得12≤+a x ,得2121ax a -≤≤--……………………9分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-,021,121a a解得1-=a …………………………………………………………11分所以存在这样的a ，满足1-=a 使得43)(+≤++x x x f 的解集中包含[0，1].12分 21．解：（1）应该选择模型①．……………………………………………………………1分 理由为:模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高.故选模型①比较合适．…………………………………………………………………3分 (2)由(1)知,选用模型①,xy a b =⋅,用两边取对数,得a x b y ln )(ln ln += 令z ＝ln y ，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则a x b z ln )(ln +=………………………………………………………………4分0.2916848.48)())((ln 81281≈=---=∑∑==i ii iix x z zx x b ……………………………………………6分36.42529.089.2ln ln -≈⨯-=-=b x z a …………………………………………8分 于是有ln y ＝0.29x ﹣4.36，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为36.429.0-=x ey .………………………………10分 当x ＝35时，79.536.43529.0e e y ==-⨯≈327（个）……………………………………11分 所以，在气温在35℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个．………………12分22．解：记△DEF 、△DEP 、△DFP 、△EFP 的面积依次为S 1、S 2、S 3、S ， 记DE ＝m ,DF ＝n ,DP ＝p,结论1：2322212S S S S ++=………………………………………………………………2分 证明：过D 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接PH ，)(41)21()21()21(222222222232221p n p m n m np mp mn S S S ++=++=++ 在Rt △DEF 中，DH ＝22nm mn EF DF DE +=⋅,PH ＝22DH DP +＝22222n m n m p ++， )(4121222222222222222p m p n n m n m n m p n m S ++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++= 2322212S S S S ++=……………………………………………………………………6分 结论2：22221111p n m h ++=．……………………………………………………………8分 证明：过D 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接PH ，过D 作DG ⊥PH ，垂足为G ，设DG=h ， ∵222222p n p m n m mnph ++=,∴22222222222221111p n m p n m p n p m n m h ++=++=． ∴22221111p n m d ++=．……………………………………………………12分。
2022-2023学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列{a n}，满足a n﹣a n﹣1＝2，a1＝0，则a10＝（）A．18B．36C．72D．1442．2023年5月10日，第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60，如果按人民币计（汇率按1美元＝7元人民币），则平均数和方差分别为（）A．30，60B．30，420C．210，420D．210，29403．如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取4个数，则选取的4个数之和为奇数的方法数为（）A．60B．61C．65D．664．下列四个命题中，正确命题的个数为（）①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．②相关系数r＝﹣0.89，表明两个变量的相关性较弱．③若由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈7.103，那么有99%的把握认为两个变量有关．④用最小二乘法求出一组数据（x i，y i），（i＝1，…，n）的回归直线方程y=b x+a后要进行残差分析，相应于数据（x i，y i），（i＝1，…，n）的残差是指e î=y i−(bx i+a)．A．1B．2C．3D．45．已知（x﹣1）n的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若（x﹣1）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n （x +1）n ，则a 1等于（ ） A ．192B ．448C ．﹣192D ．﹣4486．已知函数f （x ）＝ax 2﹣lnx 的图象在点（1，f （1））处的切线与直线y ＝3x 平行，则该切线的方程为（ ） A ．x ﹣3y +5＝0B ．3x ﹣y ﹣1＝0C ．3x ﹣y +1＝0D ．x ﹣3y +1＝07．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10…构成数列{a n }，记a n 为该数列的第n 项，则a 64＝（ ）A ．2016B ．2080C ．4032D ．41608．下列说法中不正确的是（ ）A ．若随机变量X ～N （1，σ2），P （X ＜4）＝0.79，则P （X ＜﹣2）＝0.21B ．若随机变量X ～B(10，13)，则期望E(X)=103C ．已知随机变量 X 的分布列为P(X =i)=ai(i+1)(i =1，2，3)，则P(X =2)=23 D ．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为7109．若需要刻画预报变量w 和解释变量x 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量w 随着解释变量x 的增大而减小，并且随着解释变量x 的增大，预报变量w 大致趋于一个确定的值，为拟合w 和x 之间的关系，应使用以下回归方程中的（b ＞0，e 为自然对数的底数）（ ） A ．w ＝bx +aB ．w ＝﹣blnx +aC ．w =−b √x +aD ．w ＝be ﹣x +a10．对于三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），现给出定义：设f '（x ）是函数f （x ）的导数，f ″（x ）是f '（x ）的导数，若方程f ″（x ）有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)=x 33−x 2+53，则g(19)+g(29)+g(39)+⋯+g(179)=（ ） A ．173B ．172C ．17D ．3411．已知数列{a n }满足a n ={(12−a)n +2，n ＞7a n−6，n ≤7，(n ∈N ∗)，若对于任意n ∈N *都有a n ＞a n +1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(12，1)B ．(12，23)C ．(23，1)D ．(1，23)12．若lnb +b ＝alna +a 2，则下列式子可能成立的是（ ） A ．a ＞b ＞1B ．a ＞1＞bC ．b ＞1＞aD ．1＞b ＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知等比数列{a n }满足：a 1＝8，a 9=132，a 2a 3＜0，则公比q ＝ ． 14．在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有7%，6%，5%的人患了流感．若这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是 ． 15．为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有 ．16．2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），比剉局数的期望值记为f （p ），则f （p ）的最大值是 ． 三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17．（10分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，白球4个，黑球5个． （Ⅰ）若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2饮摸到白球的概率；（Ⅱ）若从袋子中一次性随机摸出3个球，记黑球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布． 18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S n +1＝4a n +2． （Ⅰ）设b n ＝a n +1﹣2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．19．（12分）黄河是中华民族的母亲河、生命河，也是一条桀骜难驯的忧患之河．小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界，是黄河治理开发的关键控制性工程．它控制着黄河92%的流域面积、91%的径流量和近100%的泥沙，以防洪、防淩、减淤为主，兼顾供水、灌溉、发电，不仅是中华民族治黄史上的丰碑，也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一，其大坝为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为HN1渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：并计算得∑10i=1x i2=57457.98，∑10i=1y i2=53190.77，∑10i=1x i y i=55283.20，72.9322＝5319.076624，75.8012＝5745.791601，√240.6≈15.51．（Ⅰ）求该水库HN1号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；（Ⅱ）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为76m．利用以上数据给出此时HN1号渗压计管内水位的估计值．附：相关系数r=∑(x i−x)ni=1(y−y)√∑i=1(x i−x)2⋅∑i=1(y i−y)2，b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．20．（12分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．21．（12分）根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为0.985．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其质量，规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．（Ⅰ）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求P（X≥2），并说明上述监控生产过程规定的合理性；（Ⅱ）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故䧐，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为1﹣p．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用2000元，修理费用6000元，乙部件的检测费用3000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．参考数据：0.98510≈0.86，0.9859≈0.87，0.9858≈0.89．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；ax2+x−ax2．证明：当0＜a＜12时，∀x∈(0，a1−a)，g（x）＞0恒成立．（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）−2022-2023学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列{a n}，满足a n﹣a n﹣1＝2，a1＝0，则a10＝（）A．18B．36C．72D．144解：由a n﹣a n﹣1＝2可知数列{a n}是公差为2的等差数列，所以a10＝a1+9×2＝18．故选：A．2．2023年5月10日，第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60，如果按人民币计（汇率按1美元＝7元人民币），则平均数和方差分别为（）A．30，60B．30，420C．210，420D．210，2940解：由题意，这些商品的价格如果按人民币计，价格是按美元计的7倍，则平均数为7×30＝210，方差为72×60＝2940．故选：D．3．如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取4个数，则选取的4个数之和为奇数的方法数为（）A．60B．61C．65D．66解：阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，从中任取4个数为126种，4个数都为偶数有C44=1种，4个数都为奇数有C54=5种，2奇2偶有C42C52=60种，则选取的4个数之和为偶数的方法数为1+5+60＝66种，则选取的4个数之和为奇数的方法数为126﹣66＝60． 故选：A ．4．下列四个命题中，正确命题的个数为（ ）①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44． ②相关系数r ＝﹣0.89，表明两个变量的相关性较弱．③若由一个2×2列联表中的数据计算得K 2的观测值k ≈7.103，那么有99%的把握认为两个变量有关． ④用最小二乘法求出一组数据（x i ，y i ），（i ＝1，…，n ）的回归直线方程y =b x +a 后要进行残差分析，相应于数据（x i ，y i ），（i ＝1，…，n ）的残差是指e i ̂=y i −(bx i +a )．A ．1B ．2C ．3D ．4解：对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为46+482=47，①错误；对于②，相关系数|r |≥0.75时，两个变量有很强的相关性，②错误；对于③，K 2的观测值约为7.103＞6.635，那么有99%的把握认为两个变量有关，③正确； 对于④，残差分析中，相应数据（x i ，y i ），（i ＝1，2，⋯，n ）的残差e i =y i −(bx i +a )，④正确； 所以命题正确的序号是③④． 故选：B ．5．已知（x ﹣1）n 的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若（x ﹣1）n ＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a n （x +1）n ，则a 1等于（ ） A ．192B ．448C ．﹣192D ．﹣448解：（x ﹣1）n ＝（﹣2+x +1）n =∁n 0(−2)n +∁n 1(−2)n−1(x +1)+∁n 2(−2)n−2（x +1）2+⋯+∁n n (x +1)n =a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a n （x +1）n ，∵（x ﹣1）n的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，∴64=2n2，解得n ＝7．则a 1=∁71(−2)6=448．故选：B ．6．已知函数f （x ）＝ax 2﹣lnx 的图象在点（1，f （1））处的切线与直线y ＝3x 平行，则该切线的方程为（ ） A ．x ﹣3y +5＝0B ．3x ﹣y ﹣1＝0C ．3x ﹣y +1＝0D ．x ﹣3y +1＝0解：由f（x）＝ax2﹣lnx，得f′（x）＝2ax−1 x ，∴f′（1）＝2a﹣1，由2a﹣1＝3，得a＝2．∴f（x）＝2x2﹣lnx，可得f（1）＝2，∴所求切线的方程为y＝3（x﹣1）+2，即3x﹣y﹣1＝0．故选：B．7．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10…构成数列{a n}，记a n为该数列的第n项，则a64＝（）A．2016B．2080C．4032D．4160解：由题意得a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10＝1+2+3+4⋯观察规律可得a n＝1+2+3+…+n=n(n+1)2，所以a64＝2080．故选：B．8．下列说法中不正确的是（）A．若随机变量X～N（1，σ2），P（X＜4）＝0.79，则P（X＜﹣2）＝0.21B．若随机变量X～B(10，13)，则期望E(X)=103C．已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ai(i+1)(i=1，2，3)，则P(X=2)=23D．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为710解：对于A：随机变量X～N（1，σ2）且P（X＜4）＝0.79，则P（X＜﹣2）＝P（X＞4）＝1﹣P（X＜4）＝0.21，故A正确；对于B：随机变量X～B(10，13)，则期望E(X)=10×13=103，故B正确；对于C ：因为P(X =i)=a i(i+1)(i =1，2，3)，所以P(X =1)=a 2，P(X =2)=a 6，P(X =3)=a12， 所以a2+a 6+a 12=1，解得a =43，所以P(X =2)=29，故C 错误；对于D ：从3名男生，2名女生中选取2人， 则其中至少有一名女生的概率P =C 31C 21+C 22C 52=710，故D 正确；故选：C ．9．若需要刻画预报变量w 和解释变量x 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量w 随着解释变量x 的增大而减小，并且随着解释变量x 的增大，预报变量w 大致趋于一个确定的值，为拟合w 和x 之间的关系，应使用以下回归方程中的（b ＞0，e 为自然对数的底数）（ ） A ．w ＝bx +aB ．w ＝﹣blnx +aC ．w =−b √x +aD ．w ＝be ﹣x +a解：对于A ：因为y ＝x 在定义域内单调递增且b ＞0，所以w 随着x 的增大而增大，不合题意，故A 错误；对于B ：因为y ＝lnx 在定义域内单调递增且b ＞0，所以w 随着x 的增大而减小，当解释变量x →+∞，w →﹣∞，不合题意，故B 错误；对于C ：因为y =√x 在定义域内单调递增且b ＞0，所以w 随着x 的增大而减小，当解释变量x →+∞，w →﹣∞，不合题意，故C 错误；对于D ：因为y =e −x =(1e)x 在定义域内单调递减且b ＞0，所以w 随着x 的增大而减小，当解释变量x →+∞，w →a ，故D 正确． 故选：D ．10．对于三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），现给出定义：设f '（x ）是函数f （x ）的导数，f ″（x ）是f '（x ）的导数，若方程f ″（x ）有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)=x 33−x 2+53，则g(19)+g(29)+g(39)+⋯+g(179)=（ ） A ．173B ．172 C ．17 D ．34解：由g （x ）=13x 3﹣x 2+53，得g ′（x ）＝x 2﹣2x ， 所以g′′（x ）＝2x ﹣2，由g′′（x 0）＝0，得2x 0﹣2＝0，解得x 0＝1，而g （1）＝1，即g （x ）的对称中心为（1，1）， 所以g （x ）+g （2﹣x ）＝2，则g(19)+g(29)+g(39)+⋯+g(179) ＝[g （19）+g （179）]+[g （29）+g （169）]+…+[g （89）+g （109）]+g （99）＝2×8+1＝17． 故选：C ．11．已知数列{a n }满足a n ={(12−a)n +2，n ＞7a n−6，n ≤7，(n ∈N ∗)，若对于任意n ∈N *都有a n ＞a n +1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(12，1)B ．(12，23)C ．(23，1)D ．(1，23)解：因为对于任意n ∈N *都有a n ＞a n +1，所以数列{a n }单调递减， 当n ≤7时，a n ＝a n ﹣6，由{a n }单调递减，可得0＜a ＜1，当n ＞7时，a n ＝（12−a ）n +2，由{a n }单调递减，可得12−a ＜0，即a ＞12，又a 7＞a 8，∴a ＞6﹣8a ，解得a ＞23， 综上，实数a 的取值范围是（23，1）．故选：C ．12．若lnb +b ＝alna +a 2，则下列式子可能成立的是（ ） A ．a ＞b ＞1B ．a ＞1＞bC ．b ＞1＞aD ．1＞b ＞a解：由lnb +b ＝alna +a 2，得lnb +b ＝a （lna +a ）， 令f （x ）＝lnx +x ，则f （b ）＝af （a ）， 由f （x ）＝lnx +x （x ＞0），得f ′（x ）=1x+1＞0，则f （x ）单调递增，且f （1）＝1． 若a ＞b ＞1，则f （a ）＞f （b ）＞1，而a ＞1，可得f （b ）＝af （a ）不成立； 若a ＞1＞b ，则f （a ）＞1＞f （b ），而a ＞1，可得f （b ）＝af （a ）不成立； 若b ＞1＞a ，则f （b ）＞1＞f （a ），而0＜a ＜1，可得f （b ）＝af （a ）不成立；若1＞b ＞a ，则f （b ）＞f （a ），而0＜a ＜1，若f （b ）＜0，可得f （b ）＝af （a ）可能成立． 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等比数列{a n }满足：a 1＝8，a 9=132，a 2a 3＜0，则公比q ＝ −12 ． 解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 2a 3＜0，则q ＜0， 又由a 1＝8，a 9=132，则q 8=a 9a 1=1256，解可得q =−12． 故答案为：−12．14．在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有7%，6%，5%的人患了流感．若这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是 631000．解：设事件B 为此人患流感，A 1，A 2，A 3分别代表此人来自甲，乙，丙三个地区， 根据题意可知：P(A 1)=510，P(A 2)=310，P(A 3)=210， P(B|A 1)=7100，P(B|A 2)=6100，P(B|A 3)=5100， P （B ）＝P （A 1）P （B |A 1）+P （A 2）P （B |A 2）+P （A 3）P （B |A 3） =510×7100+310×6100+210×5100=631000． 故答案为：631000．15．为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有 150 ．解：根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，若3组的人数为1、1、3，有C 53=10种分组方法，若3组的人数为1、2、2，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法，则有10+15＝25种分组方法；②将分好的3组安排参加三门劳动实践选修课，有A 33=6种情况， 则有25×6＝150种报名方法． 故答案为：150．16．2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），比剉局数的期望值记为f （p ），则f （p ）的最大值是338．解：设实际比赛局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5， 则P （X ＝3）＝p 3+（1﹣p ）3，P(X =4)=C 31p 3(1−p)+C 31p(1−p)3， P(X =5)=C 42p 2(1−p)2，则f(p)=3[p 3+(1−p)3]+4[C 31p 3(1−p)+C 31p(1−p)3]+5×C 42p 2(1−p)2=6p 4−12p 3+3p 2+3p +3，所以f ′（p ）＝24p 3﹣36p 2+6p +3＝3（2p ﹣1）（4p 2﹣4p ﹣1）， 因为y ＝4p 2﹣4p ﹣1的对称轴为p =12，0≤p ≤1，当p ＝0时，y ＝﹣1＜0，当p ＝1时，y ＝﹣1＜0，所以4p 2﹣4p ﹣1＜0， 所以令f ′（p ）＞0，则0≤p ＜12；令f ′（p ）＜0，则12＜p ≤1，则函数f （p ）在(0，12)上单调递增，在(12，1)上单调递减， 所以f(p)max =f(12)=338，即f （p ）的最大值为338． 故答案为：338．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17．（10分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，白球4个，黑球5个． （Ⅰ）若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2饮摸到白球的概率；（Ⅱ）若从袋子中一次性随机摸出3个球，记黑球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布．解：（Ⅰ）根据题意，一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，白球4个，黑球5个，在第1次摸到白球的条件下，袋中有9个球，其中有红球1个，白球3个，黑球5个， 则在第1次摸到白球的条件下，第2饮摸到白球的概率P =39=13； （Ⅱ）根据题意，X 可取的值为0、1、2、3，P （X ＝0）=C 53C 103=112，P （X ＝1）=C 51C 52C 103=512，P （X ＝2）=C 51C 52C 103=512，P （X ＝3）=C 53C 103=112，则X 的分布列为18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S n +1＝4a n +2． （Ⅰ）设b n ＝a n +1﹣2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；（Ⅱ）求数列{an 2n }的前n 项和T n ． 解：（Ⅰ）证明：∵S n +1＝4a n +2，∴当n ＝1时，S 2＝4a 1+2，即a 1+a 2＝4a 1+2，解得a 2＝3a 1+2＝8， 故a 2﹣2a 1＝4，又a n +2＝S n +2﹣S n +1＝4a n +1+2﹣（4a n +2）＝4a n +1﹣4a n ， 则a n +2﹣2a n +1＝2（a n +1﹣2a n ），∴数列{a n +1﹣2a n }是首项为4，公比为2的等比数列． 又b n ＝a n +1﹣2a n ， 则数列{b n }是等比数列；（Ⅱ）由（1）得a n +1﹣2a n ＝4×2n ﹣1＝2n +1，则a n+12n+1−a n 2n=1，∴数列{a n 2n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n 2n=1+n ﹣1＝n ，∴T n ＝1+2+...+n =n(n+1)2． 19．（12分）黄河是中华民族的母亲河、生命河，也是一条桀骜难驯的忧患之河．小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界，是黄河治理开发的关键控制性工程．它控制着黄河92%的流域面积、91%的径流量和近100%的泥沙，以防洪、防淩、减淤为主，兼顾供水、灌溉、发电，不仅是中华民族治黄史上的丰碑，也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一，其大坝为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为HN 1渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：并计算得∑ 10i=1x i 2=57457.98，∑ 10i=1y i 2= 53190.77，∑ 10i=1x i y i =55283.20，72.9322＝5319.076624，75.8012＝5745.791601，√240.6≈15.51．（Ⅰ）求该水库HN 1号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；（Ⅱ）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为76m ．利用以上数据给出此时HN 1号渗压计管内水位的估计值．附：相关系数r=∑(x i−x)ni=1(y−y)√∑i=1(x i−x)2⋅∑i=1(y i−y)2，b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．解：（Ⅰ）由表格易得：水库的平均水位x=110∑10i=1x i=75.801，HN1号渗压计管内平均水位y=110∑10i=1y i=72.932，又∑10i=1(x i−x)2=∑10i=1(x i2−2x i x+x2)=∑10i=1x i2−2x⋅∑10i=1x i+10x2=∑10i=1x i2−10x2，同理可得：∑10i=1(y i−y)2=∑10i=1y i2−10y2，∑10i=1(x i−x)(y i−y)=∑10i=1(x i y i−xy i−yx i+xy)=∑10i=1(x i y i−10xy)，∴r=∑10i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)2⋅∑i=1(y i−y)2=∑10i=1i i−10xy)√∑i=1x i−10x2⋅√∑i=1y i−10y2=55283.2−10×75.801×72.932√(57457.98−10×75.801)×(53190.77−10×72.932)≈0.95；（Ⅱ）∵b=∑10i=1(x i−x)(y i−y)∑10i=1(x i−x)2=∑10i=1(x i y i−10xy)∑10i=1x i2−10x2=55283.2−10×75.801×72.93257457.98−10×75.8012≈0.23，a=y−b x=72.932−0.2294×75.801=55.50，∴HN1号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为y=0.23x+55.5，当x＝76时，预测值y＝0.23×76+55.5＝72.98，即水库的水位为76m时，HN1号渗压计管内水位的估计值为72.98m．20．（12分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，∵e2x＞0，e x＞0∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2e x+1）（ae x﹣1）＝2a（e x+12）（e x−1a），令f′（x）＝0，解得：x＝ln 1a ，当f′（x）＞0，解得：x＞ln 1a ，当f′（x）＜0，解得：x＜ln 1a ，∴x∈（﹣∞，ln 1a ）时，f（x）单调递减，x∈（ln1a，+∞）单调递增；综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln 1a ）是减函数，在（ln1a，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln 1a ）是减函数，在（ln1a，+∞）是增函数，∴f（x）min＝f（ln 1a ）＝a×（1a2）+（a﹣2）×1a−ln1a＜0，∴1−1a−ln1a＜0，即ln1a+1a−1＞0，设t=1a，则g（t）＝lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=1t+1，由g（1）＝0，∴t=1a＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，∵e2x＞0，e x＞0∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2e x+1）（ae x﹣1）＝2a（e x+12）（e x−1a），令f′（x）＝0，解得：x＝﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x＝﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（﹣lna）＝1−1a−ln 1a ，当a＝1，时，f（﹣lna）＝0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1−1a−ln1a＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1−1a−ln1a＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）＝ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（3a−1），则f（n0）=e n0（a e n0+a﹣2）﹣n0＞e n0−n0＞2n0−n0＞0，由ln（3a−1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．21．（12分）根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为0.985．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其质量，规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．（Ⅰ）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求P（X≥2），并说明上述监控生产过程规定的合理性；（Ⅱ）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故䧐，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为1﹣p．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用2000元，修理费用6000元，乙部件的检测费用3000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．参考数据：0.98510≈0.86，0.9859≈0.87，0.9858≈0.89．解：（1）由题可知，单件产品为次品的概率为0.015，所以X～B（10，0.015），所以P（X＝0）=C100×0.0150×0.98510≈0.86，P（X＝1）=C101×0.0151×0.9859≈0.131，所以P （X ≥2）＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）≈0.009，由P （X ≥2）≈0.009可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中， 至少出现2个次品的概率约为0.009，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况， 需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的．（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为ξ 元，则ξ的所有可能值为8000，9000， 则P （ξ＝8000）＝p ，P （ξ＝9000）＝1﹣p ， 所以E （ξ）＝8000p +9000（1﹣p ）＝9000﹣1000p ；若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为η 元，则η的所有可能值为7000，11000， 则P （η＝7000）＝1﹣p ，P （η＝11000）＝p ， 所以E （η）＝7000（1﹣p ）+11000p ＝7000+4000p ， 所以 E （ξ）﹣E （η）＝2000﹣5000p ，则当0＜p ＜25时，E （ξ）＞E （η），应先检测乙部件； 则当p =25时，E （ξ）＝E （η），应先检测甲部件或乙部件； 则当25＜p ＜1时，E （ξ）＜E （η），应先检测甲部件．22．（12分）已知函数f （x ）＝lnx +1x． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ）设函数g （x ）＝f （x ）−ax 2+x−a x 2．证明：当0＜a ＜12时，∀x ∈(0，a 1−a )，g （x ）＞0恒成立． 解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为(0，+∞)，f ′(x)=x−1x 2， 令f ′（x ）＞0得x ＞1，令f ′（x ）＜0得0＜x ＜1，所以f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以f （x ）的最小值为f （1）＝ln 1+1＝1； 证明：（Ⅱ）g(x)=lnx +a(1x 2−1)，g′(x)=1x +a(−2x 3)=x 2−2ax 3， ∵x ∈(0，a1−a )，0＜a ＜12，∴x 2−2a ＜(a1−a )2−2a =a(1−2a)(a−2)(1−a)2＜0，∴g ′（x ）＜0，即g （x ）在(0，a1−a )上单调递减， ∴g(x)＞g(a1−a )=ln(a1−a )+1−2a a =ln(a 1−a )+1−aa−1，由（1）知，f（x）的最小值为f（1）＝1，所以f（x）⩾1，即lnx⩾1−1x（当且仅当x＝1时，等号成立），∴ln(a1−a)＞1−1−aa，故g（x）＞0．。
河南省郑州市2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题文(含参考答案)
河南省郑州市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们残差平方和如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）．A ．0.09B ．0.13C ．0.21D ．0.882．用反证法证明“若,a b R ∈，220a b +=，则a ，b 至少有一个为0”时，假设正确的（ ）． A ．a ，b 中只有一个为0 B ．a ，b 全为0 C ．a ，b 至少有一个不为0 D ．a ，b 全不为03．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”．若复数i z e i π=-，则||z =（ ）．A ．2B ．1CD ． 4．下列框图中，可作为流程图的是（ ）．ABCD 5．（选修4-4：极坐标与参数方程）点M 的直角坐标为7sin,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 的极坐标为（ ）． A ．111,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．21,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．51,3π⎛⎫⎪⎝⎭（选修4-5：不等式选讲）如果实数a ，b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成．．立的是（ ）．A ．||||a b >B ．11a b a >- C ．11b a< D ．220b a -< 6．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20205的末四位数字为（ ）． A ．0625 B ．3125 C ．5625 D ．81257．2020年初，新型冠状病毒（COVID 19-）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示： 周数（x ） 1 2 3 4 5 治愈人数（y ）21736103142由表格可得y 关于x 的回归方程为2ˆ6yx a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ）．A ．5B ．13-C ．13D ．08．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值（其中P 表示π的近似值）”．若输入9n =，输出否的结果P 可以表示为（ ）．A ．11114135711P ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭… B ．11114135713P ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭…C ．11114135715P ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭… D ．11114135717P ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭… 9．（选修4-4：极坐标与参数方程）以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 4ρθρθ+=的最短距离是（ ）．A ．1B ．2C ．22D ．32 （选修4-5：不等式选讲）已知,,0a b c >，且1a b c ++=，则212121a b c +++++的最大值为（ ）．A ．15B ．15C ．18D ．3210．郑州市某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第3届全国青少年科技创新大赛，赛后通知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”．若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B ·曼德尔布罗特（Benoit. Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图的分形规律生长成一个树形图，则第13行的实心圆点的个数是（ ）．A ．55个B ．89个C ．144个D ．233个12．若12x <<，则ln 212+，221x x e+，221x x e +的大小关系正确的是（ ）．A ．2221ln 21212x xx x e e +++>> B ．222121ln 212x x x x e e+++>>C ．222ln 212112x x x x e e +++>> D ．222ln 211212x x x x e e+++>> 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥，1x ，2x ，…，n x 互不相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =…都在直线2100y x =-+上，则这组样本数据的样本相关系数为________．14．化简：202020191z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________．15．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛．如数式12122+++…是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得1x =±1x =+=________．16．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵．记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为________． 123234134521221nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-………………………三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分10分）设实部为正数的复数z，满足||z =，且复数(2)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若2(1)4()z m i mi m R +-++∈为纯虚数，求实数m 的值． 18．（本小题满分12分）在新冠肺炎流行期间，为了指导不同人群科学合理选择和使用口罩，现在对N95口罩的使用范围进行调查．现随机抽取40人进行调查，其中45岁以下的有20人．在接受调查的40人中，对于N95这种口罩了解的占50%，在了解的人中45岁以上（含45岁）的人数占14． （Ⅰ）将答题卡上的列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为对这种N95口罩的了解与否与年龄有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K ab c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：19．（本小题满分12分）（选修4-4：极坐标与参数方程）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 42sin4x m y m ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（m为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(3,2)P 作直线l 的垂线，交曲线C 于M ，N 两点，求||||PM PN +． （选修4-5：不等式选讲）函数()|2||21|f x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若()f x 的最小值为M ，22a b M +=，(0,0)a b >>，求证：1142117a b +≥++． 20．（本小题满分12分）对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式2222a b a bM a b b a a b b a+≤≤+++++对任意正数a ，b 恒成立．（Ⅰ）试给出这个常数M 的值（不需要证明）；（Ⅱ）在（Ⅰ）所得结论的条件下证明命题P ． 21．（本小题满分12分） （选修4-4：极坐标与参数方程）在直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为03πθαα⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，射线2l 的极坐标方程为3πθα=-．（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于O 、A 两点，射线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求ABO 面积的取值范围． （选修4-5：不等式选讲）已知函数()|1||2|f x x x =-++，()|1|||g x x x a a =+-+-． （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()()6f x g x +<的解集；（Ⅱ）若存在实数1[3,0]x ∈-，对任意实数2x ，不等式()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）为了打破国外的技术封锁，某公司很重视芯片的研究．为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数型：①2y x αβ=+，②x iy eλ+=，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，1,2,,12i =…，并对这些数据作了初步处理，得到了下侧的散点图及一些统计量的值．令2i i u x =，ln i i v y =，(1,2,12)i =…，经计算得如下数据：()1221ii uu =-∑()()121ii i uu y y =--∑()1221ii v v =-∑()()121ii i xx v v =--∑3125000 215000.30814（Ⅰ）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（Ⅱ）（ⅰ）根据（Ⅰ）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数()()()()12211niii nniii i x x yy r x x yy ===--=--∑∑∑，回归直线ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆnii i ni i xx y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-； ②参考数据：308477=⨯999.4868=， 4.499890e ≈．郑州市2019-2020学年下期期末考试 高中二年级数学（文）评分参考一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ADCCBACDBCCD二、填空题13．1-； 14．1i --； 15．2； 16．10102021．三、解答题17．解：（Ⅰ）设z a bi =+，,a b R ∈，0a >． 由题意：2210a b +=．①()2()2(2)i a bi a b a b i ++=-++，得220a b a b -++=，30a b +=，② 2分①②联立，解得1a =，3b =- 4分 得13z i =-． 5分（Ⅱ）()()()22214143z m i mi m m m i +-++=-++++ 6分由题意可知2210430m m m ⎧-+=⎪⎨++≠⎪⎩ 8分解得1m = 10分18．解：（Ⅰ）由题意可得对于N95这种口罩了解的人数为4050%20⨯=， 则45岁以上的人对N95这种口罩了解的人数为12054⨯=． 2分 故列联表如下：6（Ⅱ）由题意可得，()22401515551020202020K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ 11分因为10 6.635>，所以有99%的把握认为对N95这种口罩的了解与否与年龄有关． 12分 19．（选修4-4：极坐标与参数方程）（Ⅰ）直线l 的参数方程为1cos 42sin 4x m y m ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（m为参数），消去参数可得10x y --=， 3分 曲线C 的极坐标方程为2sin4cos ρθθ=，化为24y x =． -6分（Ⅱ）过点(3,2)P 与直线l垂直的直线的参数方程为3222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）， 代入24y x =，可得2160t +-= 8分设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t∴12t t +=-1216t t =-，1t ，2t 异号 10分 故1212PM PN t t t t +=+=-==分（选修4-5：不等式选讲）解：（Ⅰ）()131,213,2231,2x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 3分故当12x =-时()f x 最小值为526分 （Ⅱ）由①可知，25a b +=， 由柯西不等式得：()()21121111211a b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭10分 ∴1142117a b +≥++，当且仅当54a =，52b =时等号成立 12分 20．解：（Ⅰ）令a b =得：2233M ≤≤，故23M =； 4分（Ⅱ）先证明2223a b a b b a +≤++．∵0a >，0b >，要证上式，只要证()()()()3232222a b a b a b a b b a +++≤++， 即证222a b ab +≥，即证()20a b -≥，这显然成立． ∴2223a b a b b a +≤++． 8分再证明2322a ba b b a≤+++． ∵0a >，0b >，要证上式，只要证()()()()3232222a a b b b a a b b a +++≥++， 即证222a b ab +≥，即证()20a b -≥，这显然成立． ∴2322a ba b b a≤+++． 12分 21．（选修4-4：极坐标与参数方程） 解：（Ⅰ）由22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程为()2224x y -+= 2分()()22cos 2sin 4ρθρθ-+=，整理得极坐标方程为4cos ρθ= 5分曲线C 是以()2,0为圆心，2为半径的圆． 6分 （Ⅱ）令14cos OA ρα==，24cos 2cos 3OB πρααα⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭8分)()121sin 4cos 2cos 22346ABOSππρραααα⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭分 ∵0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．ABO 面积的取值范围为⎡⎣ 12分（选修4-5：不等式选讲）解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式化为215x x +++<．则1235x x ≥-⎧⎨+<⎩或2115x -≤<-⎧⎨<⎩或2235x x <-⎧⎨--<⎩， 3分即11x -≤<或21x -≤<-或42x -<<-， 所以不等式的解集是()4,1-． -6分（Ⅱ）当[]3,0x ∈-时，21,32()3,20x x f x x ---≤≤-⎧=⎨-<≤⎩∴()max ()35f x f =-= 8分11 ()11g x x x a a a a =+-+-≤--， ∴max ()1g x a a =--． 10分据题意，max max ()()f x g x ≥，则51a a ≥--，解得2a ≥-，所以a 的取值范围是[)2-+∞，． 12分22．解：（Ⅰ）()()1210.86i i uu y y r --===∑，2分 ()()1220.91i ix x v v r --==≈∑ 4分则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x ty e λ+=的拟合程度更好 5分 （Ⅱ）（ⅰ）由x t y e λ+=，得ln y t λx =+，即v t x λ=+． 由于()()()1211221140.018770i i i i i x x v v x x λ==--==≈-∑∑．4.200.01820 3.84t v x λ=-=-⨯=， 7分 ∴ˆ0.02 3.84v x =+，所以0.02 3.84ˆx y e += 8分（ⅱ）下一年销售额y 需达到90亿元，即90y =，代入0.02 3.84ˆx y e +=得，0.02 3.8490x e +=， 10分 又 4.499890e ≈，所以4.49980.02 3.84x ≈+，所以32.99x ≈，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元． 12分。
郑州市2022—2023学年下学期期末考试高二数学参考答案
郑州市2022—2023学年下学期期末考试高中二年级数学 评分参考一、单选题二、1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 11.C 12.D 三、填空题 13.12-；14.631000；15.150；16.338.四、解答题17． 解：（1）设“第1次摸到白球”为事件A ；“第2次摸到白球”为事件B . 则5291094)(=⨯⨯=A P 15291034)(=⨯⨯=AB P ， 由条件概率公式可得3152152)()()|(===A P AB P A B P ， ∴从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是白球，另一个小球也是白球的概率为31....5分（2）X 可能的取值为0，1，2，3．35310C 1(0)C 12P X ===，1255310C C 5(1)C 12P X ===，2155310C C 5(2)C 12P X ===，35310C 1(3)C 12P X ===，...............................10分18.(1)证明: 由a 1＝2及S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴a 2＝8，∴b 1＝a 2－2a 1＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2n ≥2， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝4，公比为2的等比数列．............6分 (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝4·2n －1＝2n+1 ， ∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，故2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，a n 2n ＝1＋(n －1)＝n ．(1)1232n n n T n +=++++=.........................................12分 19.解:（1）水库的平均水位101175.80110i i x x ===∑，HN1号渗压计管内平均水位101172.93210i i y y ===∑.()()1010101010222222211111221010iii ii i i i i i i xx x xx xxx x x x x =====-=-+=-⋅+=-∑∑∑∑∑，同理可得：()10102221110i i i i y y y y ==-=-∑∑，()()101010111()10ii i i i i i i i i i xx y y x y xy yx xy x y xy ===--=--+=-∑∑∑，()()1010nii i ixx y y x yxyr ---∴==∑∑0.95=≈ (8)分（3）()()()10101110102222111055283.21075.80172.932ˆ0.22940.2357457.981075.80110ii i ii i iii i xx y y x yxybxx xx ====----⨯⨯===≈≈-⨯--∑∑∑∑，ˆˆ72.9320.229475.80155.50ay bx =-=-⨯=， ∴HN1ˆ0.2355.5yx =+， 当76x =时，预测值ˆ0.237655.572.98y=⨯+=， 即水库的水位为76m 时，HN1号渗压计管内水位的估计值为72.98m ......................12分20.解：（1）()x f 的定义域为R ，()()()'211,x x fx e ae =+-若0≤a 则01<-x ae 恒成立，()0'<∴x f ，即()x f 在R 上单调递减；若0>a 令01=-x ae ，得a x ln -=，当()a x ln ,-∞-∈时()0'<x f ，当()∞+-∈，a x ln 时，()'0.f x >()x f ∴在()a ln ,-∞-上单调递减，在()∞+-，a ln 单调递增.................................6分 （2）因为()x f 有两个零点，所以0>a ，否则()x f 在R 上单调递减，至多一个零点，与题设不符；所以()0ln <-a f ，即()0ln 1212<+⨯-+⎪⎭⎫⎝⎛⨯a a a a a ，即0ln 11<+-a a ，令1()1ln ,a a a φ=-+ 211()0,a a a φ'=+>()a ϕ在）（+∞,0上单调递增，()10,φ= 故a 的取值范围 ()0,1. 又()()022224>+-+=---e a aef ，()x f ∴在()a ln ,-∞-上有一个零点；设存在正整数0n ，满足⎪⎭⎫ ⎝⎛->13ln 0a n ， 则()()022*******>->->--+=n n e n a aee nf n n n n ，由于a a ln 13ln ->⎪⎭⎫⎝⎛- ()x f ∴ 在()∞+-，a ln 上有一个零点. 综上，a 的取值范围 ()1,0 ................................................12分21.解:(1)由题可知，单件产品为次品的概率为0.015，所以(10,0.015)X B ~，所以001010(0)0.0150.9850.86P X C ==⨯⨯≈，11910(1)0.0150.9850.1305P X C ==⨯⨯≈，所以(2)1(0)(1)0.0095P X P X P X ≥=-=-=≈.由(2)0.0095P X ≥≈可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.0095，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.............................................................6分(2)若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为ξ元，则ξ的所有可能值为8000，9000， 则(8000)P p ξ==，(9000)1P p ξ==-， 所以()80009000(1)90001000E p p p ξ=+-=-，若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为η元，则η的所有可能值为7000，11000， 则(7000)1P p η==-，(11000)P p η==， 所以()7000(1)1100070004000E p p p η=-+=+， 所以()()20005000E E p ξη-=-， 则当205p <<时，()()E E ξη>，应先检测乙部件；当25p =时，()()E E ξη=，先检测甲部件或乙部件均可；当215p <<时，()()E E ξη<，应先检测甲部件.....................................12分 22.解：(1)()f x 的定义域为()0,∞+，()21x f x x -'=． 所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．所以()f x 的最小值为()1ln111f =+=.................................................4分(2)①法一：()21ln 1g x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()232x ag x x -'=． ∵()()()22212222011a a a a x a a a a --⎛⎫-<-=< ⎪-⎝⎭-， ∴()0g x '<，即()g x 在0,1a a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调递减．∴()121ln ln 1111a a a a ag x g a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=+=+-⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 由（1）知，()f x 的最小值为()11f =，即1ln 1x x≥-（当且仅当1x =时，等号成立）． ∴1ln 11a a a a -⎛⎫>-⎪-⎝⎭，即()0g x >．.............................................12分 法二：由（1）知，()f x 的最小值为()11f =， 即1ln 1x x ≥-（当且仅当1x =时，等号成立）．因为102a <<，所以011a a<<-. 所以()()()22211111ln 1110x a x a g x x a a x x x x ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+->-+-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得证．..............12分。
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2017-2018学年下期期末考试高二数学（文）试题卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数111i i-++的虚部是（ ） A ．i - B ．1- C ．1i - D ．12.用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数3.在下列说法中，真命题的个数是（ ）①随机误差是引起预报值与真实值之间误差的原因之一；②残差平方和越小，预报精度越高；③用相关指数来刻画回归的效果，2R 的值越接近1，说明模型的拟合效果越好；④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验.A ．1B ．2C ．3D ．44.（选修4-4：坐标系与参数方程）下列极坐标方程表示圆的是（ ）A ．1ρ=B ．2πθ= C ．sin 1ρθ= D ．(sin cos )1ρθθ+=（选修4-5：不等式选讲）不等式113x <+<的解集为（ ）A ．(4,2)(0,2)--UB ．(2,0)(2,4)-UC ．(4,0)-D ．(0,2)5.某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y bx a e =++（单位：亿元），其中0.8b =，2a =，0.5e ≤，如果今年该地区财政收入是10亿元，年支出预计不会超过（ ）A ．9亿元B ．9.5亿元C ．10亿元D ．10.5亿元6.设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a aa b a <<7.若z C ∈且221z i +-=，则22z i --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 8.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l ：1x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．1 （选修4-5：不等式选讲）已知01a b <<<，下面不等式中一定成立的是（ ）A ．log log 20a b b a ++>B ．log log 20a b b a +->C ．log log 20a b b a ++≤D ．log log 20a b b a ++≥9.下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段，女主角欲输入一个由十个数字按一定规律组成的密码，但当她果断地依次输入了前八个数字11235813，欲输入最后两个数字时她犹豫了，也许是她真的忘记了最后的两个数字、也许…….请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是（ ）A ．18B ．20C ．21D ．3110.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611.（选修4-4：坐标系与参数方程）若(2,1)P -为圆O ：15cos 5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02)θπ≤<的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是（ ）A ．30x y --=B ．20x y +=C ．10x y +-=D ．250x y --= （选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ，c 为三角形的三边，且222S a b c =++，P ab bc ca =++，则（ ）A ．2P S P ≤<B ．2P S P <<C ．S P >D ．2S P ≥12.已知3,()3,x a x a f x x a x a-++≥⎧=⎨-+<⎩，2()g x x =，若关于x 的不等式()()f x g x >至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13(3,)4-B ．13(,3)4-C ．(3,3)-D ．1313(,)44- 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某饮料店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：C o）之间有下列数据：甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方程：①$3y x =-+；②$ 2.8y x =-+；③$ 2.6y x =-+；④$ 2.8y x =+，其中正确方程的序号是 ．14.在复平面上，复数23(2)i -对应的点到原点的距离为 ． 15.,a b R ∈，若112a b a b ++-+-≤，则a b +的取值范围为 ．16.近几年来，人工智能技术得到了迅猛发展，某公司制造了一个机器人，程序设计师设计的程序是让机器人每一秒钟前进一步或后退一步，并且以先前进3步，然后再后退2步的规律前进.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上前进（1步的距离为1个单位长度）.令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中正确的是 ．（请将正确的序号填在横线上）①(3)3P =；②(5)1P =；③(2018)(2019)P P <；④(2017)(2018)P P <；⑤(2003)(2018)P P =.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z 是复数，2z i +，2z i-均为实数（i 为虚数单位），且复数2()z mi +在复平面上对应的点在第一象限.（1）求复数z ；（2）求实数m 的取值范围.18.随着炎热的夏天到来，在海边旅游的人们都喜欢潜水这项活动.某潜水中心调查了200名男性与200名女性下潜至距离水面5米时是否会耳鸣，如图为其等高条形图：（1）绘出22⨯列联表；（2）利用独立性检验的方法，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与耳鸣有关？参考数据及公式： 20()P K k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 19.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2x a t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求直线l 与圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-.（1）若对任意,,()a b c R a c ∈≠，都有()a b b c f x a c-+-≤-恒成立，求x 的取值范围； （2）解不等式()3f x x ≤.20.证明：（1）已知a ，b 为实数，且1a <，1b <，求证：1ab a b +>+；（2）已知a ，b ，c 均为实数，且1a <，1b <，1c <，求证：2abc a b c +>++.（提示：可利用第一问的结论进行证明）21.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+，直线l的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点.（1）求圆心的极坐标；（2）求PAB ∆面积的最大值.选修4-5：不等式选讲设关于x 的不等式2324x a x x -++≥+的解集为A .（1）若1a =，求A ；（2）若A R =，求a 的取值范围.22.某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费x （单位：万元），对年销售量y （单位：t ）和年利润z （万元）的影响，为此，该公司对近7年宣传费i x 和年销售量(1,2,,7)i y i ==⋅⋅⋅的数据进行了初步处理，得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.x y k 721()ii x x =-∑ 721()i i k k =-∑ 71()()i i i x x y y =--∑ 71()()i i i k k k k =--∑17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0其中ln i i k y =，7117i i k k ==∑. （1）根据散点图判断，y bx a =+与21c x y c e =哪一个更适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品年利润z 与x ，y 的关系为 2.50.110z ey x -=-+，当年宣传费为28万元时，年销售量及年利润的预报值分别是多少？附：①对于一组具有有线性相关关系的数据(,)(1,2,3,,)i i i n μυ=⋅⋅⋅，其回归直线u υβα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ121()()()n ii i n i i u u uu υυβ==--=-∑∑，$µa u υβ=-. ②2.5e - 0.75e e 3e 7e 0.08 0.47 2.7220.09 1096.63。