高二下学期期末数学试题及答案
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。
19道题，共100分。
考试时长90分钟。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2021-2022学年山东省德州市高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省德州市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--<，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．（－1，2）B ．（－1，2]C ．（1，2）D ．（1，2]【答案】C【分析】解不等式确定集合,A B ，然后由交集定义计算． 【详解】由已知{|12}A x x =-<<，{|10}{|1}B x x x x =->=>， 所以{|12}A B x x =<<． 故选：C ．2．对于方程根的存在性问题，有一个著名的定理——“代数基本定理”，其内容为：任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根．则“代数基本定理”的否定为（ ） A ．任意一个一元复系数方程，在复数域中至多有一个根 B ．任意一个一元复系数方程，在复数域中没有根 C ．存在一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根 D ．存在一个一元复系数方程，在复数域中没有根 【答案】D【分析】含有全称量词的命题否定是含特称量词的命题.【详解】“任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根”的否定为“存在一个一元复系数方程，使得在复数域中没有根”. 故选：D.3．幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ） A ．27 B ．9C ．19D ．127【答案】A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数m 的值，得到幂函数的解析式，即可求解. 【详解】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-， 当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A.4．已知21log 5a =，12b -=，453c -=则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b <c <a【答案】B【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比大小即可.【详解】221log log 105a =<=，5455232381⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以4523<，所以41523-->，所以0b c >>，所以a c b <<.故选：B.5．函数32()lg(1)f x x x ex =++的部分图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的单调性排除求解即可.【详解】对()f x 求导得42222()3lg(1)0(1)ln10x f x x x e x '=+++>+恒成立,故()f x 在R 上单调递增，A 正确. 故选：A.6．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()3x f x =，则()3log 12f 的值为（ ）A ．112B ．12C ．43D ．34-【答案】D【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到()333log 12(log )4f f =-，代入即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，即()()2f x f x =--， 且当10x -<<时，()3x f x =，又由()33log 4333333log 12(2log 12)(1log 4)(log )344f f f f =--=--=-=-=-.故选：D.7．若函数()()121,032,0ln x x a x f x ax a x ⎧++++>=⎨+-≤⎩在R 上是单调函数，且()0f x =存在负的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．23,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，求解即可． 【详解】因为当0x >时，1()201f x x '=+>+，所以函数()f x 必然单调递增. 所以0321320a a a a >⎧⎪-≤+⎨⎪->⎩，解得2332a <≤所以a 的取值范围是23,32⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C8．设2()(1)1f x x =--，已知关于x 的方程2[()]()30f x kf x k +++=恰有6个不同的实数根，则k 的取值范用为（ ） A ．（-2，0） B ．（-3，-2） C ．［-3，-2） D ．［-2，0）【答案】B【分析】设关于t 的方程230t kt k +++=的两个根分别为12,t t ，由关于x 的方程2[()]()30f x kf x k +++=恰好有6个不同的实数根，等价于关于()t f x = 的图象与12,t t t t == 公有6个交点，结合图象即可求解.【详解】()f x 的图象如图所示，令()t f x =，设关于t 的方程230t kt k +++=的两个根分别为12,t t ，由关于x 的方程2[()]()30f x kf x k +++=恰好有6个不同的实数根，等价于关于()t f x = 的图象与12,t t t t == 公有6个交点，由图可知：1201,1t t <<> 或者1201,0t t <<=，设2()3g t t kt k =+++，当1201,1t t <<>时，则(0)03032(1)0240g k k g k >+>⎧⎧⇒⇒-<<-⎨⎨<+<⎩⎩；当1201,0t t <<=，(0)0g = 则3k =- 不符合要求； 故32k -<<- 故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．“x ∀∈N ，20x >”是假命题 B ．“(0,1)x ∀∈，ln lg x x <”是真命题 C ．33a b >是22a b >的充分不必要条件D ．a ，b ∈R ，+=+a b a b 的充要条件是0ab ≥ 【答案】ABD【分析】根据命题的真假，充分必要条件的定义判断． 【详解】0x =∈N ，但200=，A 中命题是假命题，正确； ln lg ln10x x =，ln101>，101ln10<<，01x <<，ln 0x <，所以ln ln ln10x x >，即lg ln x x >，B 正确；1233-->，但22(1)(2)-<-，不充分，C 错误；2222a b a b ab +=++，222()2a b a b ab +=++，因此充分条件为22ab ab =，即0ab ≥，D 正确． 故选：ABD ．10．已知x >0，y >0，且x +2y =3，则下列正确的是（ ） A ．12x y+的最小值为3B 2x y 6C ．xy 的最大值为98D ．1248x y ++≥【答案】ACD【分析】根据基本不等式求解判断． 【详解】因为0,0,23x y x y >>+=，12112122122(2)()(5)(52)3333x y x yx y x y x y y x y x+=++=++≥+⋅=，当且仅当22x y y x =，即1x y ==时等号成立，A 正确；由2x y +得22(2)6x y ≤+=B 错；32x y =+≥98xy ≤，当且仅当322x y ==时，等号成立，C 正确；11224228x y x y +++=+≥，当且仅当1222x y +=，即1,1x y ==时等号成立，D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数()y f x =在R 上可导，其导函数()f x '满足()()()()10f x f x x '-+>，()()xf xg x =e ，则（ ） A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 必有2个零点D ．()()2ee e 2f e f >【答案】BD【分析】结合()g x '判断ABD 选项的正确性，根据()1g -来判断C 选项的正确性. 【详解】函数()()x f x g x =e ，则()()()e xf x f xg x '-'=， 当1x >-时，()()0f x f x '->，()0g x '>，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误； 当1x <-时，()()0f x f x '-<，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数()g x 的极小值点，B 正确；若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误：()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2e g g <，即()()2e 2e e ef f <，化简得()()2ee e e 2f f >，D 正确. 故选：BD12．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（ ） A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =- B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根 【答案】BCD【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可【详解】对于A ，当[1,0]x ∀∈-时，[]00=，所以A 错误，对于B ，因为对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[]1x x <+，所以B 正确， 对于C ，由选项B 可知[]1x x <+，所以[]1x x -<，因为对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[]0x x -≥，所以[]01x x ≤-<，所以函数[]y x x =-的值域为［0，1），所以C 正确，对于D ，由22022[]20230x x --=，得220222023[]x x -=，令220222023,[]y x y x =-=，则方程22022[]20230x x --=的解转化为两函数220222023,[]y x y x =-=图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程22022[]20230x x --=有两个实数根，所以D 正确，故选：BCD 三、填空题13．已知函数()25,24,2x x f x x m x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩．若[(7)]5f f =，则m =______．【答案】3【分析】由分段函数定义计算(7)f ，再计算((7))f f 后可得参数值． 【详解】由已知(7)752f =-=． ((7))(2)25f f f m ==+=，3m =，故答案为：3．14．函数22()34e x f x x x =-+在点（0，f （0））处的切线与直线22x ay =-平行，则a =______． 【答案】1-【分析】求出导数得切线斜率，由斜率相等可得a 值． 【详解】2()642e x f x x '=-+，(0)0422f '=-+=-， 由题意22a=-，1a =-． 故答案为：1-．15．若2,1a b >>-，且满足26ab a b +-=，则1921a b +-+的最小值为______． 【答案】3【分析】由条件可得()()21224a b ab a b -+=+--=，由均值不等式可得出答案. 【详解】由()()2122624a b ab a b -+=+--=-= 又2,1a b >>-，则20,10a b ->+>所以19321a b +≥=-+ 当且仅当1921a b =-+以及26ab a b +-=，即8,53a b ==时取得等号. 所以1921a b +-+的最小值为3 故答案为：3 四、双空题16．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围是______；若不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】 10,8⎛⎫⎪⎝⎭()72ln 2-∞-+，【分析】由()0f x '=有两个不等正根可得a 的范围，同时由韦达定理把1212,x x x x +用a 表示，不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，即1212()()()f x f x x x t +-+>有解，计算1212()()()f x f x x x +-+表示为a 的函数，引入新函数()g x ，由导数求出其取值范围后可得t 的范围．【详解】2121()21ax x f x ax x x-+'=-+=，由题意2210ax x -+=有两个不等正根，所以1212Δ180102102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得108a <<． 不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，即1212()()()f x f x x x t +-+>有解，22121211122212()()()ln ln ()f x f x x x ax x x ax x x x x +-+=-++-+-+212121212()22()ln()a x x ax x x x x x =+--++1111311ln ln 1ln 2424a a a a a=--+=-⋅--， 令3()ln 1ln 24g x x x =---，8x >，1343()44x g x x x-'=-=，易知8x >时，()0g x '<，()g x 是减函数， (8)ln861ln 272ln 2g =---=-+，()72ln 2g x <-+，108a <<，即18a >，所以131ln 1ln 272ln 24a a-⋅--<-+，所以72ln 2t <-+时，不等式1212()()()f x f x x x t +-+>有解． 故答案为：1(0,)8，(,72ln 2)-∞-+．五、解答题17．已知命题()()2:10p x a x a a -++<∈R ，命题2:280q x x --<，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】{}24a a -≤≤【分析】解不等式2280x x --<，对实数a 的取值进行分类讨论，解不等式()210x a x a -++<，根据已知条件可得出集合的包含关系，综合可求得实数a 的取值范围.【详解】解：解不等式2280x x --<可得24x -<<.由()210x a x a -++<得()()10x a x --<，当1a >时，不等式()210x a x a -++<解集为{}1x x a <<，此时有{}1x x a << {}24x x -<<，可得14a <≤；当1a =时，不等式()210x a x a -++<的解集为∅，合乎题意； 当1a <时，不等式()210x a x a -++<的解集为{}1x a x <<，此时有{}1x a x << {}24x x -<<，可得21a -≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是{}24a a -≤≤. 18．已知函数()sin f x x x =．(1)判断函数()f x 在区间(0,)2π上的单调性，并说明理由；(2)求证：函数()f x 在(,)2ππ上有且只有一个极值点．【答案】(1)函数f （x ）在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递增，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数()'f x ，确定在(0,)2π上()'f x 的正负得单调性；（2）令()()h x f x '=，求出()h x '得()h x 的单调性，从而得()'f x 在(,)2ππ上的零点个数，即可得证()f x 的极值点个数．【详解】(1)函数f （x ）在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递增，()sin cos f x x x x '=+，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0x >，cos 0x >，所以()0f x '>，所以函数f （x ）在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递增．(2)证明：令()()h x f x '=，则()2cos sin h x x x x '=-， 当(,)2x ππ∈时，()0h x '<，h （x ）单调递减，又因为()102f π'=>，()0f ππ'=-<，所以存在唯一0(,)2x ππ∈，使得0()0f x '=，随着x 变化()'f x ，()f x 的变化情况如下；所以f （x ）在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有一个极值点．19．已知函数()()221R x f x b x b-+=∈+，且1325f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求1112(1)(0)(2)(2021)(2022)202220212f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(2)解不等式()3425x x f +<-．【答案】(1)1 (2)(0,)+∞【分析】（1）通过观察各个函数值之和的关系，需求()f x 与1()f x的关系，得出二者的关系是解决本问的关键；（2）由3(2)5f =-把()3425x xf +<-转化为()42(2)x x f f +<且[0,)x ∈+∞上()f x 单调递减，利用单调性可得422x x +>即可求解.【详解】(1)由111341254f b -+⎛⎫== ⎪⎝⎭+；所以1b =，故221()1x f x x -+=+，则可得：(0)1f =，(1)0f =当0x ≠时，22221111()111x x f f x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以0x ≠时1()()0f x f x += 故1112(1)(0)(2)(2021)(2022)202220212f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2(1)(0)=1f f =+(2)由函数221()1x f x x -+=+为偶函数，1325f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，3(2)(2)5f f =-=-．所以，()3425x xf +<-可转化为()42(2)x x f f +<，且420x x +>又22212()111x f x x x -+==-+++可得在[0,)x ∈+∞上()f x 单调递减， 利用单调性的性质可得：422x x +>，整理得：()()22210x x+->，即210x ->，解得x >0， 所以不等式的解集为(0,)+∞．20．已知函数31()312f x x ax a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭．(1)若函数f （x ）在x =－1处取得极值，求实数a 的值； (2)当[2,1]x ∈-时．求函数f （x ）的最大值． 【答案】(1)a =1 (2)答案见解析【分析】（1）求出导函数()'f x ，由(1)0f '-=得a 的值，并检验1-是极值点； （2）由()0f x '=的根分类讨论，然后列表表示()'f x 的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．【详解】(1)由题意可知2()33f x x a '=-， 所以(1)0f '-=，即3-3a =0解得a =1， 经检验a =1，符合题意． 所以a =1．(2)由（1）知2()33f x x a '=-，令()0f x '=，x =当01<<即0<a <1时，f （x ）和()'f x 随x 的变化情况如下表：(2123f a =>-，由上可知，所以()f x 的最大值为21．当12≤<即14a ≤<时，f （x ）和()'f x 随x 的变化情况如下表：(21f =，由上可知，所以f （x ）的最大值为21．2即4a ≥时，2()330f x x a '=-≤恒成立，即f （x ）在［－2，1]上单调递减，所以f （x ）的最大值为f （－2）=－7+6a ， 综上所述，当142a <<时，f （x）的最大值为21； 当4a ≥时，f （x ）的最大值为－7+6a ．21．高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t ∈N ．经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t 相关：当1020t ≤≤时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当210t ≤<时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与2(10)t -成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．论发车间隔为t 分钟时，高铁载客量为P （t ）． (1)求P （t ）的表达式；(2)若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益2()()4066020485tQ t P t t t =-+-元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的浄收益()Q t t最大？最大为多少？ 【答案】(1)()()212001010,2101200,1020t t P t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩(2)当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，最大为316元 【分析】（1）由题意先求出210t ≤<时()P t 的表达式，从而得出答案. （2）先由题意得出()Q t 的表达式，从而得出()Q t t的解析式，然后利用导数分段求出各段的最大值，即可得出答案.【详解】(1)设当210t ≤<时，减少的人数与2(10)t -成正比，比例系数为k ， 所以2()1200(10)210P t k t t =--≤<，当t =5时，P （5）=950，即21200(105)950k --=，解得k =10，所以()()212001010,2101200,1020t t P t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩(2)由题意可得：()3270020482,210900402048,1020t t t Q t t t t ⎧--≤<⎪=⎨⎪--≤≤⎩所以()220487002,210204890040,1020t t Q t tt t t t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪--≤≤⎪⎩令()()Q t H t t =，当210t ≤<时，322204820484()4t H t t t t -'=-+=；令()0H t '=得t =8；当28t ≤<时，()0H t '>，当8<t <10时，()0H t '< 所以H （t ）的最大值为H （8）=316； 当1020t ≤≤时，22048()400H t t '=-+<， 所以H （t ）最大值为H （10）=295.2；因为295.2<316，所以单位时间的净收益最大为316元；综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，且最大为316元． 22．已知函数()e ()x f x a a =∈R ，2()g x x =．(1)若()f x 的图像在点（1，f （1））处的切线过（3，3），求函数y =xf （x ）的单调区间； (2)当a >0时，曲线f （x ）与曲线g （x ）存在唯一的公切线，求实数a 的值． 【答案】(1)单调递增区间为(1,)-+∞，单调递减区间为(,1)-∞- (2)24e a =【分析】（1）先由切线方程求出1ea =，利用导数求出函数的单调区间；（2）设公切线与两曲线的切点为()11,e x x a ，()222,x x ，利用分离参数法求出()1112412e ex x x x a -==，()11x >， 构造函数4(1)()e xx F x -=，利用导数判断出F （x ）的单调性和最大值，即可求得. 【详解】(1)由()e x f x a =得()e x f x a '=，又1e f a =（）， 所以在x =1处切线方程为()e e 1y a a x -=-，代入（3，3）得1ea =所以1()e x y xf x x -==， 1(1)e x y x -'=+，由0y '>得1x >-，由0y '<得1x <-，所以单调递增区间为(1,)-+∞，单调递减区间为(,1)-∞-．(2)设公切线与两曲线的切点为()11,e x x a ，()222,x x ，易知12x x ≠，由1122212e ?e 2x x a x k a x x x -===-，122221222222e 2x x x a x x x x --=-=，所以2122222x x x x -=，由0a >，故20x >，所以212 20x x =->，故11x >， 所以()1112412e ex x x x a -==，()11x >，构造函数4(1)()e xx F x -=，()1x >问题等价于直线y =a 与曲线y =F （x ）在x >1时有且只有一个交点， 4(2)()e xx F x -'=，当(1,2)x ∈时，F （x ）单调递增；当(2,)x ∈+∞时，F （x ）单调递减； ()F x 的最大值为24(2)e F =，(1)0F =，当x →+∞时，F （x ）→0，24e a =．。
山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案
2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题（答案在最后）2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.82.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32B.0.34C.0.66D.0.683.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于14.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.345.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.1807.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A .2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A .12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X += D.()218D X +=10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A .51521ˆiii ii x ybx===∑∑ B.51521ˆiii ii x yby===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.13.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.63516.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令9s =求出t ，再求出函数的导函数，代入计算可得.【详解】因为221s t =+，令2219s t +==，解得2t =（负值已舍去），又4s t '=，所以2|428t s ='=⨯=，所以当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为8m /s .故选：D2.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32 B.0.34C.0.66D.0.68【答案】B 【解析】【分析】利用两点分布的性质可得答案.【详解】依题意可得()()101P X P X =+==，()()100.32P X P X =-==，所以()10.3210.34.2P X -===故选：B.3.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1【答案】B 【解析】【分析】2R 值越大，模型的拟合效果越好可判断A ；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B ；正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小可判断C ；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，可判断D .【详解】对于A ：2R 值越大，模型的拟合效果越好，故A 错误；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B 正确．对于C ，正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小，故C 错误；对于D ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故D 错误.故选：B ．4.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可.【详解】函数()23f x ax x=+的定义域为{}|0x x ≠，又()3223232ax f x ax x x -'=-=，当0a ≤时()0f x '<恒成立，所以()f x 没有单调递增区间，不符合题意；当0a >时，323y ax =-单调递增，令()0f x ¢>，解得1332x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为133,2a ⎡⎫⎛⎫⎪⎢+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭（或133,2a ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），依题意可得13312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32a =.故选：C5.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理展开，并对n 讨论即可得到答案【详解】因为()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，所以当1n =时，46529a a ⨯+-=-，此时2925(Z)a k k =-∈，0a >，当1k =时，4a =；当2n ≥时，11224(51)54(5C 5C 5n n n n n n n a --⨯++-=⨯+⨯++⨯ 1C 51)5n n n a -+⨯++-112214(5C 5C 54()C 51)5n n n n n n n n a---=⨯+⨯++⨯+⨯⨯++- 2132425(5C 5C 25)4n n n n n n a ---=⨯+⨯++++- 213225(454C 54C )4n n n n na n ---=⨯+⨯++++- ，因此只需4a -能够被25整除即可，可知最小正整数a 的值为4，综上所述，正整数a 的最小值为4，故选：C6.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.180【答案】C 【解析】【分析】分两步完成，第一步从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b ，第二步从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d ，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b （较大的数放入a ）有26C 种方法；再从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d （较大的数放入c ）有24C 种方法；综上可得一共有2264C C 90=种不同的排法.故选：C7.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A.2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++【答案】D 【解析】【分析】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解.【详解】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，记作()f x ，非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消.故有())()2121222n n f x ++=++.令1x =，则所求的系数之和为()()2111312n f +=+.故选：D.8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】设()e x g x x =-，利用导数先研究函数()f x 和()g x 图象性质，并得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.【详解】由()3213f x x x =-，()2()22f x x x x x =-=-'，当0x <或2x >时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增，当02x <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，4()(0)0,()(2)3f x f f x f ====-极大值极小值，且(3)0f =，设()e x g x x =-，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，则函数()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，()(0)1g x g ==极小值，设()321()()()e 33xF x g x f x x x x x ⎛⎫=-=---> ⎪⎝⎭，则2()e 12x F x x x'=--+设()2()e 123xm x x x x =--+>，则()e 22x m x x '=-+，设()()e 223xv x x x =-+>，则()e 20x v x '=->恒成立，所以()v x 在()3,∞+单调递增，3()e 2320v x >-⨯+>，即()0m x '>恒成立，所以()m x 在()3,∞+单调递增，则33()(3)e 196e 40m x m >=--+=->，即()0F x '>恒成立，所以()F x 在()3,∞+单调递增，则3()(3)e 30F x F >=->，所以在()3,∞+上()()g x f x >恒成立，在(],3-∞显然也成立，如图，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >故选：A【点睛】关键点点睛：设()e x g x x =-，利用导数得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >；若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A.12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X +=D.()218D X +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据正态分布的对称性可判断A 、B ，根据正态分布定义及期望与方差的性质可判断C 、D.【详解】对于A ，因为4μ=，()()6,46>=<<=P X a P X b ，所以()()()44660.5>=<<+>=+=P X P X P X a b ，故A 正确；对于B ，因为4μ=，()()26P X P X a <=>=，故B 正确；对于C ，因为()4E X =，所以()()21219+=+=E X E X ，故C 错误；对于D ，因为()2D X =，所以()()2148D X D X +==，故D 正确.故选：ABD.10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=【答案】ACD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，求出()g x 的导函数，依题意()28=g ，即可判断A ，又曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，即可得到()0f '，即可判断C ，再由()()02g f '='求出()2f '，即可判断B 、D.【详解】令()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+，依题意()()2228g f ==，解得()24f =，故A 正确；依题意可得曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，所以()480200f '--==，故C 正确；又()()()()222204f fg f '='=+='，所以()20f '=，则曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a =，故B 错误，D 正确.故选：ACD11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A.51521ˆi ii i i x ybx ===∑∑ B.51521ˆi ii i i x yby ===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆【答案】AC 【解析】【分析】利用线性回归方程待定系数公式()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点(),x y ，就可得到线性回归方程.【详解】由i i x t t =-可得：()551111055i i i i x t t t t ===-=-=∑∑，同理由i i y ωω=-，可得()551111055i i i i y ωωωω===-=-=∑∑，根据公式()()()55511155522221115ˆ5iii ii ii i i iii i i i x x y y x y x y x ybx x xxx======---===--∑∑∑∑∑∑，故A 正确；B 错误；由表格中数据可得：3,14t ω==，()()5551115i iii i i i i i x y tt t t ωωωω====--=-⋅∑∑∑1429314418525531451=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=，()5552222111514916255910ii ii i i xt ttt ====-=-=++++-⨯=∑∑∑，所以5152151ˆ 5.110iii ii x ybx=====∑∑，由于0,0x y ==，所以y 与x 的回归方程必过原点，ˆ 5.1yx =，又由于3x t t t =-=-，14y ωωω=-=-代入得：()ˆ14 5.13t ω-=-，整理得：ˆ 5.1 1.3t ω=-，故C 正确；当6t =，即表示2025年，此时ˆ 5.16 1.329.3ω=⨯-=，所以2025年的年销售量约为29.3万辆，故D 错误；故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.【答案】8【解析】【分析】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，分A 在第四名与不在第四名两种情况讨论.【详解】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，若A 在第四名，先排B 到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列，所以有1222A A 4=种排列；若A 不在第四名，则先排A 、B 到第二、三名两个位置，另外两个人全排列，所以有2222A A 4=种排列；综上可得这4人的名次排列有448+=种.故答案为：813.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.【答案】324e【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值.【详解】函数()()e 211x x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，又()()()2e 231x x xf x x -'=-，所以当0x <或32x >时()0f x ¢>，当01x <<或312x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-，3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1，31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在32x =处取得极小值，即极小值为32323e 21324e 3212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭-.故答案为：324e14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.【答案】①.32(1)p p -②.2n ##12n 【解析】【分析】根据相互独立事件的乘法公式求()2,5P ξη==，求出()P n η=、(),P i n ξη==，即可求(|)E n ξη=.【详解】由题意，事件“2,5ξη==”表示该射击手进行5次射击且在第二次、第五次击中目标，所以()322,5(1)(1)(1)(1)P p p p p p p p ξη===-⋅⋅-⋅-⋅=-，又122221()C (1)(1)(1)n n n P n p p n p p η---==-=--，()()221n P i n p p ξη-===-，()1,2,,1i n =- ，所以()()()()()222211121(1)(11,)|n n i n n p p P i n E p n i P n p n ξηξηη-=--⎡⎤+++--⎡⎤==⎣⎦==⨯=⎢⎥=⎢⎥⎣--⎦∑ 122 (1111)n n n n -=++++---1(1)1122n n n ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭==.故答案为：32(1)p p -；2n【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给公式理解并准确的应用.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.635【答案】（1）答案见解析（2）15【解析】【分析】（1）求出2χ值，与2.706比较大小，得出结论即可；（2）运用古典概型和条件概率公式求解即可.【小问1详解】零假设为0H ：分类变量X 与Y 相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.222()100(25302025)1002.706()()()()4555505099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯．依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．【小问2详解】设事件A 为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”，事件B 为“这2名学生均在南餐厅就餐”，则()11252021110025201111505050502100C C C C C ()25201C C ()C C 50505C P AB P B A P A ⨯=====⨯．故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为15．16.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】（1）8（2）分布列见解析；7()9E X =【解析】【分析】（1）分0在个位、0在十位和0在百位三类求解；（2）由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，求出其分布列，并利用期望公式求解.【小问1详解】两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况：①0在个位上时有2222A A 4=个四位数，②0在十位上时有22A 2=个四位数，③0在百位上时有22A 2=个四位数，所以满足条件的四位数的个数共有4228++=个．【小问2详解】由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，则1333884(0)C A 189P X ====，133361(1)C A 3P X ===，333142(2)C A 9P X ===，X ∴的分布列为X 012P491329期望为4127()0129399E X =⨯+⨯+⨯=．17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.【答案】（1）20x y +=（2）a<0【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）将问题转化为()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，则(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，构造函数(1)ln ()x xF x x-=，利用导数求出其最小值即可.【小问1详解】由2a =，则()(1)ln 2f x x x x =--，,()0x ∈+∞，(1)2f =-，()1ln 1f x x x'=--，代入1x =得(1)2f '=-，所以()f x 在(1,1)处的切线方程为20x y +=．【小问2详解】由()f x 图象恒在x 轴上方，则()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，即(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，令(1)ln ()x xF x x-=，即min ()a F x <，21ln ()x xF x x -+'=，令()1ln g x x x =-+，则1()10(0)g x x x'=+>>，所以()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数且(1)0g =．所以当(0,1)x ∈时，()0F x '<，()F x 在(0,1)单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增；所以(1)0F =为函数()F x 的最小值，即()(1)F x F ≥．所以综上可知a<0．18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()P X k =最大时k 的值小于()E X 的大小【解析】【分析】（1）根据组合数公式分析证明；（2）根据二项分布结合二项式定理分析证明；（3）分析可知随机变量~(12,0.2)X B ，结合二项分布概率公式可得2k =概率最大，进而与期望对比分析.【小问1详解】左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---，右边11(1)!!C (1)!()!(1)!()!k n n n n n k n k k n k ---==⋅=----，所以左边=右边，即11C C k k n n k n --=；【小问2详解】由~(,)X B n p 知()C (1)k k n k n P X k p p -==-，令1q p =-由（1）知11C C k k n n k n --=可得，1111(1)11011()CC nnnk kn kk k n kk k n k nn n k k k E X kC p qn p qnp pq ----------======∑∑∑，令1k m -=，则1111()C()n mm n m n n m E X npp q np p q -----===+∑，()E X np ∴=；【小问3详解】由题意知~(12,0.2)X B ，所以()120.2 2.4E X =⨯=，要使()P X k =最大，则必有()(1)P X k P X k =≥=+，()(1)P X k P X k =≥=-，即12111312121211111212C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)k k k k k k kk k k k k -----++-⎧-≥-⎨-≥-⎩即141341121k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得81355k ≤≤，又因为*N k ∈，所以2 2.4()k E X =<=．()P X k ∴=最大时k 的值小于()E X ．19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.【答案】（1）单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞（2）(,)a +∞（3）存在，423a bx +=【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，即可判断()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <，再对1x 、2x 、a 的大小关系分类讨论，即可得到()0h a <，从而求出b 的范围；（3）求出函数的导函数，即可得到1x a =，223a b x +=，再确定3x b =，根据等差数列的定义求出4x 即可.【小问1详解】由2()()()e x f x x a x b =--得()()2(3)2e x f x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，当1a =，2b =时，()(1)(xx x f x x =--+'，令()0f x '=，解得1x =21x =，3x =所以当(,x ∈-∞或x ∈时()0f x '<，当(x ∈或)x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞.【小问2详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()2(3)2e xf x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，则22 (3)4(2)(1)80a b ab b a a b ∆=-----=-++>．所以()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <．①当1x a =或2x a =时，x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a >时，则x a <或12x x x <<时()0f x '<，当1a x x <<或2x x >时()0f x ¢>，所以()f x 在(),a -∞，()12,x x 上单调递减，在()1,a x ，()2,x +∞上单调递增，所以x a =不是()f x 的极大值点，③当2x a <时，则x a >或12x x x <<时()0f x ¢>，当2x x a <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在(),a +∞，()12,x x 上单调递增，在()2,x a ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =不是()f x 的极大值点，④当12x a x <<时，则2x x >或1x x a <<时()0f x ¢>，当2a x x <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在()2,x +∞，()1,x a 上单调递增，在()2,a x ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =是()f x 的极大值点．所以()0h a <，即2(3)20a a b a ab b a +--+--<，所以b a >，所以b 的取值范围(,)a +∞．【小问3详解】由2()e ()()()x g x f x x a x b -==--，知()23()3a b g x x a x +⎛⎫'=--⎪⎝⎭，由a b <，故23a b a +<，所以当x a <或23a b x +>时()0g x '>，当23a b a x +<<时()0g x '<，所以()g x 在(),a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不妨设()g x 的两个极值点分别为1x a =，223a b x +=．因为123,,x x x 互不相等，3x 是()g x 的一个零点，所以3x b =，所以2222223333a b b a b a a b a b +--+⎛⎫-==⨯=- ⎪⎝⎭，所以存在124242232263a b a x x a b a b x +++++====，使1423,,,x x x x 成等差数列，即存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，且423a b x +=．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
吉林长春东北师大附中2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年东北师大附中（高二）年级（数学）科试卷下学期期末考试第I 卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知某质点运动的位移y （单位；cm ）与时间t （单位；s ）之间的关系为()()ln 21y t t =+，则该质点在2s =t 时的瞬时速度为（ ） A.15B.25C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】对()()ln 21y t t =+求导得()221y t t ′=+，从而可求质点在2s =t 时的瞬时速度()2y ′. 【详解】因为()()ln 21y t t =+，所以()221y t t ′=+， 所以该质点在2s =t 时的瞬时速度为()2222125y ′==×+. 故选：B.2. 某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP （国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：该小组选择了如下2个模型来拟合GDP 值y 随年份x 的变化情况，模型一：(0,0)y kx b k x =+>>；模型二：e (0,0)x y k b k x =+>>，下列说法正确的是（ ） A. 变量y 与x 负相关B. 根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP 值随年份的变化情况C. 若选择模型二，e x y k b =+的图象一定经过点(),x yD. 当13x =时，通过模型计算得GDP 值为70，实际GDP 的值为71，则残差为1 【答案】D 【解析】【分析】对于AB ，由散点图的变化趋势分析判断，对于C ，由线性回归方程的性判断，对于D ，结合残差的定义判断.【详解】对于A ，由散点图可知y 随年份x 的增大而增大，所以变量y 与x 正相关，所以A 错误， 对于B ，由散点图可知变量y 与x 的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP 值随年份的变化情况，所以B 错误，对于C ，若选择模型二：e (0,0)x y k b k x =+>>，令e x t =，则ykt b =+的图象经过点(),t y ，所以C 错误，对于D ，当13x =时，通过模型计算得GDP 值为70，实际GDP 的值为71，则残差为71701−=，所以D 正确， 故选：D 3. 函数21()ln 2f x x x =−的减区间为（ ） A. (1,1)− B. (,1)−∞C. (0,1)D. (0,)+∞【答案】C 【解析】【分析】对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间. 【详解】函数()21ln 2f x x x =−的定义域为()0,∞+， 求导得()211x f x x x x =′−=−， 令()210x f x x−′=<，0x ，01x ∴<<，因此函数()21ln 2f x x x =−的减区间为()0,1. 故选：C.4. 已知随机变量X 的分布列为设23Y X =+，则()D Y 等于（ ）A.83B.53C.43D.173【答案】A 【解析】【分析】根据分布列求出()E X ，()D X ，再根据条件得()()4D Y D x =，计算答案即可. 【详解】由X 的分布列得()1110121333E X =×+×+×=， ()()()()22211120111213333D X =−×+−×+−×=，因为23Y X =+，则()()843D Y D X ==. 故选：A.5. 某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 180种 D. 150种【答案】D 【解析】【分析】根据部分均匀分组分配求解即可.【详解】由于每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有2233535322C C C A 150A +=种. 故选：D .6. 已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x −+=的实数根，则10b 等于（ ） A. 24 B. 32C. 48D. 64【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，求得22a =，推出112n n a a +−=，进而可求出10a ，11a ，从而可求出结果.【详解】因为n a ，1n a +是方程220nn x b x −+=的实数根， 所以1n n n a a b ++=，12n n n a a +=， 又11a =，所以22a =； 当2n ≥时，112n n n a a −−=，所以11112n n n n n na a a a a a ++−−==， 因此4102232a a =⋅=，5111232a a =⋅= 所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.7. 已知函数e ()xf x ax x=−，,()0x ∈+∞，当210x x >>时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,e]−∞ B. (,e)−∞C. e ,2−∞D. e ,2−∞【答案】D 【解析】【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案. 【详解】 当210x x >>时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则()()1122f x x f x x <， 即函数()()2e xg x xf x ax ==−在()0,∞+上单调递增，则()e 20xg x ax ′=−≥， 整理可得2x e a x ≤，令()e x m x x =，则()()21e x x m x x−′=. 当()0,1x ∈时，()0m x ′<，()m x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0m x ′>，()m x 单调递增，()()min 21e a m x m ∴≤==，e2a ∴≤. 故选：D.8. 设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A =“从甲袋中任取1球是红球”，事件B =“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（ ）A. 9()14=P BB. 6()7P AB =C. ()15P A B =D. 事件A 与事件B 相互独立【答案】C 【解析】分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知，从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A 与事件B 不是相互独立关系， 故D 错误； 从甲袋中任取1球是红球的概率为：()37P A =， 从甲袋中任取1球是白球的概率为：47， 所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：()1212324312127474C C C C 125+C C C C 14714==+=P B ，故A 错误；()12321274C C 1C C 14==P AB ，故B 错误； ()()()11411455P AB P A B P B ==×=，故C 正确； 故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
2021-2022学年福建省福州第二中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省福州第二中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知集合{}|22U x x =-≤≤，集合{}220A x x x =--<，则UA （ ）A ．{}21x x -≤<-B ．{}21x x -≤≤-C ．{}{}212x x -≤<-⋃D ．{}{}212x x -≤≤-⋃【答案】D【分析】解出A 集合，通过补集运算算出UA 即可【详解】解：{}{}22012A x x x x x =--<=-<<所以UA{}{}212x x -≤≤-⋃故选：D3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．4．已知直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=，则aba b+的最大值为（ ） A．3+B．3-CD ．16【答案】B【分析】由题意知直线过圆C 的圆心得到21a b +=，求aba b+的最大值可转化为11a b ab a b +=+的最小值的倒数，利用基本不等式1“”的妙用求最值即可. 【详解】圆C ：222420170x y x y +---=，∴圆心(1,2)C ，直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=， ∴直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)C ，即()210,0a b a b +=>>，11112()(2)33a b b aa b ab a b a b a b+∴=+=++=++≥，3ab a b ∴≤=-+当且仅当2b a a b =，即212b a ==，ab a b +的最大值为3-故选：B5．已知圆锥SO 的底面半径为2，若其底面上存在两点A ，B ，使得90ASB ∠=︒，则该圆锥侧面积的最大值为（ ） A． B ．2πC．D ．4π【答案】C【分析】根据OA OB AB +≥可确定l ≤. 【详解】设圆锥的母线长为l ，90ASB ∠=，AB ∴=，又OA OB AB +≥（当且仅当AB 为底面圆直径时取等号），4AB ∴≤，即l ≤，∴圆锥侧面积22S l l ππ=⨯⨯=≤，即所求最大值为.故选：C6．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞上单调递减，则（ ）A ．()()()0.250.5log 0.5log 0.20.5f f f >> B ．()()()0.250.5log 0.50.5log 0.2f f f >> C ．()()()0.20.55log 0.20.5log 0.5f f f >> D ．()()()0.20.550.5log 0.2log 0.5f f f >>【答案】B【分析】由于()f x 是()0,+∞上递减的偶函数，故只需要比较选项中自变量的绝对值的大小，结合指数函数，对数函数的单调性即可比较.【详解】由110.5222log 0.2log 5log 5log 42--==>=，即0.5log 0.22>，注意到()()52ln 2ln 5log 2log 51ln 5ln 2⨯=⨯=，由155550log 1log 0.5log 2log 2-=<==，故50log 20.5<<，即50log 0.50.5<<，又根据指数函数性质，0.5x y =是R 上的减函数，故10.200.50.50.5<<，即0.20.50.51<<，于是0.250.5log 0.50.5log 0.2<<，又()f x 是()0,+∞上递减的偶函数，则()()()0.250.5log 0.50.5log 0.2f f f >>.故选：B7．若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2 BC D 【答案】A【详解】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 8．函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为（ ） A ．9 B ．6 C ．4.5 D ．3【答案】A【分析】根据给定条件，构造函数sin y x =π，ln 23y x =-，作出这两个函数的部分图像，确定两个图像的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令 sin y x =π ， ln 23y x =- ， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图像都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图像，如图，观察图像知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图像有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=， 所以，1234569x x x x x x +++++=，所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9.故选：A二、多选题9．某人有6把钥匙，其中n 把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1n =时，16p = B ．当2n =时，13p = C ．当3n =时，310p = D ．当4n =时，45p =【答案】AC【分析】根据n 不同的取值，分别计算对应概率求解. 【详解】当1n =时，511656p ⨯==⨯，选项A 正确； 当2n =时，4246515p ⨯==⨯，选项B 错误； 当3n =时，3336510p ⨯==⨯，选项C 正确； 当4n =时，2446515p ⨯==⨯，选项D 错误. 故选：AC10．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心C ．()f x 在区间11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．把()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到函数()2cos2g x x =-的图象 【答案】BCD【分析】根据正弦型函数的性质、图象的变换性质，结合已知图象逐一判断即可.【详解】由题意知，2A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以周期T π=，22πωπ==， 又552sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,,2,623k k Z k k Z πππϕπϕπ+=+∈⇒=-∈， 因为2πϕ<，所以令0k =，即3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以A 错误；又2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为11,212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以232,332x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由于正弦函数在其上单调递减，所以函数()f x 在11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；将()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到2sin 22cos2122y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 正确．故选：BCD ．11．已知函数()()R f x x ∈满足()()()492f x f x f =-+，又()9f x +的图象关于点()9,0-对称，且()12022f =，则（ ） A ．()20f =B ．()()()4445462022f f f ++=-C ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称D ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()1,3对称【答案】ABC【分析】将2代入()()()492f x f x f =-+可算出()20f =，故A 正确；将()20f =代入可得()f x 关于2x =对称，又因为()9f x +的图象关于点()9,0-对称，可得()f x 关于点()0,0对称，利用()f x 的双对称可以得到()f x 的周期，然后通过()f x 的周期和对称算出()()()44,45,46f f f ，故B 正确；先研究1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是由()f x 经过各种图像变换，就可求出1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的对称中心，故C 正确，D 错误【详解】解：将2x =代入()()()492f x f x f =-+得()()()2292f f f =+， 所以()20f =，故A 正确；将()20f =代入()()()492f x f x f =-+得()()4f x f x =-， 所以()f x 关于2x =对称，()9f x +是()f x 向左平移9个单位长度得到，因为()9f x +的图象关于点()9,0-对称，所以()f x 关于点()0,0对称 所以()()()()4,f x f x f x f x =-=--所以()()()44,f x f x f x =-=--()()()4448f x f x f x -=---=-- 所以()()8f x f x =-，所以()f x 的周期为8， 所以()()()()44485400f f f f =+⨯===，()()()()()453863312022f f f f f =-+⨯=-=-=-=- ()()()()46286220f f f f =-+⨯=-=-=所以()()()4445462022f f f ++=-，故B 正确；1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是由()f x 先向右平移一个单位得到()1f x -，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的三倍得到113f x ⎛-⎫⎪⎝⎭，最后向上平移3个单位长度得到1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称，故C 正确，D 错误；故选：ABC12．已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，11AA =，M 为AB 的中点，点P 在线段1BC 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线1//BC 平面1A MC B ．A 和P 到平面1A MC 的距离相等C ．三棱锥1P A MC -D ．不存在点P ，使得1AP A C ⊥【答案】ABD【分析】连接11,A C AC 交于点O ，连接OM ，证得1//OM BC ，进而得到1//BC 平面1A MC ，可判定A 正确；证得AN NP =，结合斜线与平面所成的角相等，可判断B 正确；先证明CM AB ⊥，并求出CM 的长度，1//BC 平面1A MC ，所以,B P 到平面1A MC 的距离是一样的，所以11P A MC B A MC V V --=，继而算出答案，可得C 是错误的；假设存在点P ，使得1AP A C ⊥，令[]1(1),0,1AP AB AC λλλ=+-∈，结合10AC AP ⋅>，可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，连接11,A C AC 交于点O ，连接OM ， 因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以O 为1AC 的中点，又因为M 是AB 的中点，所以1//OM BC ，由OM ⊂平面1A MC ，且1BC ⊄平面1A MC ，所以1//BC 平面1A MC ，所以A 正确；对于B 中，在1ABC ，因为AP 交OM 于点N ，1//OM BC ，AM MB =，所以AN NP =， 因为AN 与PN 与平面1A MC 成角相等，所以A 和P 到平面1A MC 的距离相等， 所以B 正确；对于C 中，因为底面是正三角形，且M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥， 所以22213CM -因为1//BC 平面1A MC ，且P 在1BC 上， 所以11111113131332P A MC B A MC A BMC BMC V V V SAA ---===⋅=⨯⨯=C 错误 对于D 中，假设存在点P ，使得1AP A C ⊥，令[]1(1),0,1AP AB AC λλλ=+-∈，可得1111(1)AC AP AC AB AC AC λλ⋅=⋅+-⋅， 易得1AC 和AB 所成角为锐角，1AC 和1AC 所成角为锐角，所以1110,0AC AB AC AC ⋅>⋅>，所以1111(1)0AC AP AC AB AC AC λλ⋅=⋅+-⋅>， ，所以不存在点P ，使得1AP A C ⊥，所以D 正确. 故选：ABD三、填空题13．若平面向量()()1,1,2,a b m ==满足()a ab ⊥-，则m =___________. 【答案】0【分析】由题意得()0-⋅=a b a ，代入坐标进行计算即可． 【详解】∵()a a b ⊥-，∴()0-⋅=a b a ， 又()()1,1,2,a b m ==，()1,1-=--a b m ， ∴110m -+-=，即0m =， 故答案为：0．14．8(1)()yx y x-+的展开式中35x y 的系数为___________.【答案】14-【分析】把8(1)()y x y x -+化为88()()y x y x y x -++，根据8()x y +展开式的通项，讨论求出k 的值，进行运算即可得到答案.【详解】8()x y +展开式的通项为：()818C 0,1,2,8k kk k T xy k -+==由于888(1)()()()y y x y x y x y x x=-+-++，所以当5k =当时，53568C T x y =，当4k =当时，44458C T x y =，所以8(1)()y x y x-+的展开式中35x y 的项为，()()535444543535358888C C =C C 567014y x y x y x y x y x y x--=-=-， 所以8(1)()y x y x-+的展开式中35x y 的系数为14-.故答案为：14-.15．写出一个使等式sin cos 2sin cos 66ααππαα+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的α的值为_____________． 【答案】8π（答案不唯一，只要满足()2148k k Z παπ+=-∈即可）. 【分析】利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到sin 2sin 263ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦函数性质可确定()()222136k k Z ππααπ+++=+∈，由此可解得结果. 【详解】sin cos cos sin sin cos 66sin cos sin cos 6666ππααααααππππαααα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2621sin 223παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，sin 2sin 263ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()222136k k Z ππααπ∴+++=+∈，解得：()2148k k Z παπ+=-∈， 当0k =时，8πα=，∴使得等式成立的一个α的值为8π（答案不唯一）. 故答案为：8π（答案不唯一，只要满足()2148k k Z παπ+=-∈即可）. 16．有一凸透镜其剂面图（如图所示）是由椭圆221259x y +=和双曲线22188x y -=的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M ，N ，动点A ，B 分别在左右两部分实线上运动，则△ANB 周长的最小值为______________【答案】1042-【分析】根据已知条件，结合双曲线和椭圆的定义，将原问题转化为,,A B M 三点共线时，ANB 周长取得最小值，即可求解.【详解】由题意，双曲线22188x y -=，可得22a =， 根据双曲线的定义可得42AM AN -=，即42AN AM =-， 又由椭圆221259x y +=，可得5a =， 根据椭圆的定义可得10BM BN +=，所以10BN BM =-，所以ANB 周长为1042()10421042BM AM AB AB AB ---+≥--+=-, 故ANB 周长的最小值为1042-，其中,,A B M 三点共线时，等号成立. 故答案为：1042-.四、解答题17．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1-分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.【答案】(1)分布列见解析E Y=(2)分布列见解析，()0.2【分析】（1）依题意可得X的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得Y的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；【详解】(1)解：依题意可得X的可能取值为1-，0，1，P X=-=-⨯=，所以(1)(10.6)0.50.2(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X==⨯+-⨯-=，P X==⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3所以X的分布列为(2)解：依题意可得Y的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2P Y P X P X=-==-⨯=-==，(2)(1)(1)0.20.04=-==-⨯=⨯=⨯⨯=，P Y P X P X(1)(1)(0)220.20.50.22===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X===⨯=⨯=⨯⨯=，(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X2(2)(1)(1)0.30.09===⨯===，P Y P X P X所以Y的分布列为所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值． 【答案】（12；（270【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2BC a =，由已知条件得出0PB AM ⋅=，求出a 的值，即可得出BC 的长；（2）求出平面PAM 、PBM 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得22a =，故22BC a ==； [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结BD ．因为PD ⊥底面ABCD ，且AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥． 又因为PB AM ⊥，PBPD P =，所以AM ⊥平面PBD ．又BD ⊂平面PBD ，所以AM BD ⊥．从而90ADB DAM ∠+∠=︒．因为90∠+∠=︒MAB DAM ，所以∠=∠MAB ADB ． 所以∽ADB BAM ，于是=AD BAAB BM．所以2112BC =．所以2BC =． [方法三]：几何法+三角形面积法 如图，联结BD 交AM 于点N ．由[方法二]知⊥AM DB ．在矩形ABCD 中，有∽DAN BMN ，所以2==AN DA MN BM，即23AN AM =．令2(0)=>BC t t ，因为M 为BC 的中点，则BM t =，241=+DB t 21+AM t 由1122=⋅=⋅DABSDA AB DB AN ，得221241123=++t t t 212t =，所以22==BC t（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x ()2,1,2m =，设平面PBM 的法向量为()222,,n x y z =，2BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,1BP =--， 由222220220n BM x n BP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，3314cos ,72m n m n m n ⋅===⋅⨯所以，270sin ,1cos ,14m n m n =-=， 因此，二面角A PM B --的正弦值为7014. [方法二]：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体1111ABCD A B C D -，联结11,AB A B ，交点记为H ，由于11AB A B ⊥，1AB BC ⊥，所以AH ⊥平面11A BCD ．过H 作1D M 的垂线，垂足记为G ．联结AG ，由三垂线定理可知1⊥AG D M ， 故AGH ∠为二面角A PM B --的平面角．易证四边形11A BCD 2的正方形，联结1D H ，HM ． 111111111,2D HMD HMD A HHBMMCD A BCD SD M HG S S SSS=⋅=---正方形，由等积法解得310=HG 在Rt AHG 中，2310==AH HG ，由勾股定理求得35=AG ． 所以，70sin AH AGH AG ∠==A PMB --70【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.19．已知数列{}n a 的各项均不为零，n S 为其前n 项和，且121n n n a a S +=-.(1)证明：22n n a a +-=；(2)若11a =-，数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =.求数列{}n n a b 的前2022项和2022T . 【答案】(1)证明见解析； (2)4044.【分析】（1）由题设递推式可得()1212n n n n a a a a +++-=，结合已知条件即可证结论.（2）由（1）及等比数列定义写出{}n b 通项公式，进而有(1)nn n n a b a =-，根据奇偶项的正负性，应用分组求和法及（1）的结论求2022T 即可. 【详解】(1)因为121n n n a a S +=-①，则12121n n n a a S +++=-②， ②-①得：()1212n n n n a a a a +++-=，又10n a +≠， 所以22n n a a +-=.(2)由11a =-得：31a =，于是231b a ==， 由11b =-得：{}n b 的公比1q =-.所以(1)n n b =-，(1)nn n n a b a =-.由12121a a a =-得：23a =由22n n a a +-=得：2022202120202019214a a a a a a -=-=⋅⋅⋅=-=， 因此2022123420212022T a a a a a a =-+-+-+⋅⋅⋅()()()214320222021a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-()211011a a =⨯-10114=⨯4044=.20．在ABC 中，cos2cos2cos22sin sin 1A C B A C +-=-+. (1)求角B ；(2)设锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，求ABC 面积的取值范围. 【答案】(1)π3.(2).【分析】(1)将已知条件按二倍角展开化简得222a c ac b+-=，再结合余弦定理即可求得角B；(2)结合题意可得有ππ62A<<，由正弦定理可得sin2πsin()3AaA=-，再由面积公式可得S，代入a并化简可得1311tan2SA=+，根据A的范围即可求出S的范围. 【详解】(1)解：因为cos2cos2cos22sin sin1A CB A C+-=-+.所以cos2cos22sin sin1cos2A C A C B++=+，即有22212sin12sin2sin sin112sinA C A C B-+-+=+-，即222sin sin sin sin sinA C A C B+-=，即222a c ac b+-=，由余弦定理可得：2222cosb ac ac B=+-，所以2cos1B=，即1cos2B=，又因为(0,π)B∈，所以π3B=.(2)解：由(1)可得：π3B=，所以2π3A C+=，所以2π3C A=-，又因为ABC为锐角三角形，所以π22ππ32AA⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即有ππ62A<<；又因为1c=，12πsin sin sin()3a cA C A==-，所以sin2πsin()3AaA=-，又因为1sin2Sac B==sin2πsin()3AA-sin3cosA+1311tan2A+. 因为有ππ62A<<，所以有tan A1tan A<<所以13tan2A<<，所以以11122tan2A<+<，所以122311tan 2A <+，1311tan 2A <+即S ∈. 21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，焦距为2，点⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点()()000,0P x y y >是椭圆C 上一点，Q 为y 轴上一点，22PF PQ =，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线PM ，PN 关于直线0x x =对称，求直线l 的斜率. 【答案】(1)22143x y += (2)12-【分析】（1）依题意列出几何量方程组，直接求解可得；（2）先求点P 坐标，然后可得直线PM 、PN 的斜率关系，设直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理代入斜率关系，化简可得直线的斜率k .【详解】(1)解：依题意可得22223314c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，又222b a c =-， 所以24a =，23b =，1c =. 所以22143x y +=； (2)解：因为22PF PQ =，所以Q 是2PF 的中点. 结合QO x ⊥轴，所以1PF x ⊥轴，所以01x =-，则2201314y +=，解得032y =±，因为00y >，所以032=y ，所以31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为直线PM 、PN 关于直线01x x ==-对称. 所以PM 、PN 的倾斜角互补，所以0PM PN k k +=，显然直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由0∆>得2243m k <+.设()11,M x y ， ()22,N x y ，则1228+43km x x k -=+，212241243m x x k -=+，由12123322011PMPNy y kk x x --+=+=++， 整理得()1212322302kx x k m x x m ⎛⎫++-++-= ⎪⎝⎭，所以2483420k k km m ++--=，即()()212320k k m ++-= 若232k m +-0=，则32m k =+， 所以直线MN 的方程为()312y k x -=+，此时，直线MN 过P 点，舍去. 所以21k +0=，即12k =-，所以直线l 的斜率为12-.22．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导数．证明： （1）()'f x 在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，首先可判断出在()00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论. 【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点第 21 页 共 21 页 ③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点 ④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.。
潍坊市高二数学下学期期末考试试题含解析
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均
标准差
数学
88
62
物理
75
63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是( ）
∴ 面 ,又 面 ，即有 ，故B正确
选项C中，点 运动到 中点时，即在△ 中 、 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有： ，故C错误
选项D中,由于 ，直线 与 所成角即为 与 所成角：
结合下图分析知：点 在 上运动时
当 在 或 上时， 最大为45°
当 在 中点上时， 最小为
∴ 不可能是30°，故D正确
故选:B
【点睛】本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8. 在桌面上有一个正四面体 .任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面,称为一次操作.如图，现底面为 ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面 再度与桌面接触的概率为（ ）
二、多项选择题：
9。 已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A。 B。 虚部为 C。 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先利用题目条件可求得 ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．
【详解】由 可得, ,所以 ， 虚部为 ；
2021-2022学年天津市部分区高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市部分区高二下学期期末数学试题一、单选题1．如图所示，散点图中需要去掉一组数据，使得剩下的四组数据的相关系数最大，则应去掉的数据所对应的点为（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】D【分析】由相关系数的强弱关系求解即可【详解】由散点图可知，D 点偏离最远，所以去掉D 点后，剩下四组数据的相关系数最大． 故选：D2．已知2C 6n =，则n 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】根据组合数的计算公式即可求解. 【详解】()21C 6621n n n -=⇒=⨯，化简得：2120n n --=，解得：4n =或3n =-（舍去）.故选：B3．下列说法中错误的是（ ）A ．设()20,N ξσ~，且1(2)4P ξ<-=，则1(02)2P ξ<<= B ．经验回归方程过成对样本数据的中心点(),x yC ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1D ．若变量x 和y 满足关系10.3y x =-，且变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关 【答案】A【分析】选项A 根据正态曲线的对称性求解；选项B 由经验回归方程可以判断；选项C 根据线性相关系数的定义判断；选项D 根据两个变量的相关关系进行判断. 【详解】对于A ，正态曲线关于0x =对称，则(2)(2)P P ξξ<-=>，则1(22)12(2)2P P ξξ-<<=-<-=，则1(02)4P ξ<<=，所以A 错误； 对于B ，经验回归方程过成对样本数据的中心点(),x y ，B 正确； 对于C ，||r 越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，C 正确； 对于D ，10.3y x =-，则x 与y 负相关，所以x 与z 负相关，D 正确. 故选：A.4．下列运算正确的个数是（ ） ①ππsin cos 77'⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()155x x x -'=⋅；③()31log ln3x x '=；④()545x x '=. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解.【详解】①πsin 07'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以该运算错误；②()55ln 5x x '=，所以该运算错误；③()31log ln3x x '=，所以该运算正确；④()545x x '=，所以该运算正确. 所以正确的个数为2. 故选：B.5．在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是（ ）A ．15B ．6C ．6-D ．15-【答案】C【分析】写出通项公式，令x 的指数为4，求出参数值，代入通项即可得解.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()6621661C C 1--+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭kk k k kk k T x x x ，令624k -=，解得1k =，因此，展开式中4x 的系数是()116C 16⋅-=-. 故选：C.6．某校从高一、高二、高三三个年级中各选派10名同学集中观看“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，其中三个年级选派同学中女生人数分别为5、6、7，观看后学校在选派的30名同学中随机选取一名同学汇报心得体会，则在选取一名女同学的条件下该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．730B ．13C ．1130D ．718【答案】D【分析】记事件:A 选取一名同学为女同学，记事件:B 选取的同学来自高三，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 选取一名同学为女同学，记事件:B 选取的同学来自高三， 则()5673305P A ++==，()730P AB =，因此，()()()75730318P AB P B A P A ==⨯=. 故选：D.7．随机变量X 的分布列为若() 1.1E X =，则()D X =（ ）A ．0.49 B ．0.69 C ．1 D ．2【答案】A【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得,n m 的值，由方差的公式可计算得到结果. 【详解】由分布列性质知：131510n ++=，解得：12n =；()11301 1.15210E X m ∴=⨯+⨯+⨯=，2m ∴=；()()()()2221130 1.11 1.12 1.10.495210D X ∴=-⨯+-⨯+-⨯=.故选：A.8．在6件产品中，有4件合格品，2件次品，每次从中任取一件检测，取后不放回，直到2件次品全被测出为止，则第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数有（ ） A ．48B ．24C ．16D ．8【答案】C【分析】根据排列组合的特点依照题意列式即可求解【详解】有题意可知：前面两次检测取到的是一件合格品一件次品，第三次又是次品，所以第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数为：111242C C C 16=种，故选：C9．已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】画出()()、-f x f x 的图象， 因为y ax =与y ax =-，ln y x =与()ln y x =-的图象关于y 轴对称， 且y ax =与y ax =-交于原点，要使()()f x f x =-恰有5个零点， ln y x =与y ax =-的图象必需有两个交点，求出ln y x =与y ax =-相切时a 的值可得答案.【详解】因为()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以(),0ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，()(),0ln ,0ax x f x x x -≥⎧-=⎨-<⎩，因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，所以()()、-f x f x 的图象恰有5个交点，画出()()、-f x f x 的图象，由图象可得， 因为y ax =与y ax =-，ln y x =与()ln y x =-的图象关于y 轴对称， 且y ax =与y ax =-交于原点，要恰有5个零点，则y ax =与()ln y x =-，ln y x =与y ax =-的图象必有两个交点， 当ln y x =与y ax =-的图象相切时，设切点(),m n ， 此时切线的斜率为11'===ny x m m，可得1n =，1ln =m 得e m =，所以切点()e,1， 即1ea -=，交点1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题10．曲线e 1x y =+在点()0,2处的切线方程为___________. 【答案】2y x =+【分析】求导得e x y '=，进而得切线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】求导得e x y '=，故切线的斜率为0e 1=， 故切线方程为21(0)y x -=-， 即2y x =+． 故答案为：2y x =+ 11．设随机变量16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭ξ，则()2P ξ=等于___________. 【答案】1564【分析】根据二项分布的概率公式计算即可得解. 【详解】解：因为随机变量16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ， 所以()242611152C 12264P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1564. 12．已知10名同学中有2名女生，若从中选取2名同学作为学生代表，则恰好选取1名女生的概率为___________. 【答案】1645【分析】根据古典概型，结合组合数公式求解即可.【详解】从10名同学中任选2人，共有210C 45=种取法，其中恰好选取1名女生的取法有1182C C 16=种，故恰好选取1名女生的概率为1645P =. 故答案为：164513．根据历年气象统计资料显示，某地四月份吹东风的概率为9,30下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为___________. 【答案】89【分析】设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，得到()P A ，()P AB ，结合()(|)()P AB P B A P A =，即可求解. 【详解】由题意，设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，则34(),()1015P A P AB ==， 所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815(|)3()910P AB P B A P A ===. 故答案为：8914．若5个人排成一排照相，要求甲､乙两人必须相邻，则有___________种不同的排法（用数字作答）. 【答案】48【分析】用捆绑法求解即可【详解】因为把甲、乙两人必须相邻，所以把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，和其他3人进行全排列，再考虑甲乙之间的顺序，所以共有4242A A 48=种，故答案为：48 三、双空题15．已知函数()()e 1xf x x =-，则()f x 的极小值为___________；若函数()12g x mx =-，对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是___________.【答案】 1- 11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用导数可求得函数()y f x =的极小值；（2）由题意可得出()()min min f x g x >，分0m >、0m <、0m =三种情况讨论，根据题意可得出关于m 的不等式，进而可求得m 的取值范围.【详解】由()()e 1xf x x =-，得()()e 1e e x x x f x x x '=-+=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：所以，函数()y f x =的极小值为()()00e 011f =-=-；（2）[]12,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x >，即()()min min f x g x >，()()min min 1g x f x ∴<=-.①当0m >时，函数()y g x =单调递增，()()min 112g x g m =-=--，112m ∴--<-，即12m >； ②当0m <时，函数()y g x =单调递减，()()min 1222g x g m ==-，1212m -∴<-，即14m <-；③当0m =时，()12g x =-，不符合题意.综上：11,,42m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-；11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、解答题16．为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表：通过分析，发现商品的销售量y 与价格x 具有线性相关关系.(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程；（ˆb保留两位小数）(2)根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数）附：在经验回归方程ˆˆˆybt a =+中，552122111ˆˆˆ,,386,508.5ni ii i i ini i ii x y nxyb a y bx x y x xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 【答案】(1) 1.6524.5y x =-+；(2)预测销售量为12件时的售价是7.58元.【分析】（1）根据所给数据求出ˆb，ˆa ，即可得出回归直线方程； （2）根据回归方程，求出预测值即可. 【详解】(1)由题意知10x =，8y =，∴3865810= 1.65508.55100ˆb-⨯⨯≈--⨯，()8 1.651024ˆ.5a=--⨯=， ∴线性回归方程是 1.6524.5y x =-+；(2)令 1.6524.512y x =-+=， 可得7.58x ≈，∴预测销售量为12件时的售价是7.58元.17．已知函数()()22f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间为(),0∞-、4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为40,3⎛⎫⎪⎝⎭(2)()max 9f x =，()min 3f x =-【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间； （2）分析函数()f x 在区间[]1,3-上的单调性，进而可求得函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值. 【详解】(1)解：()()23222f x x x x x =-=-，所以，()234f x x x '=-.由()2340f x x x '=->，解得0x <或43x >； 由()2320f x x x '=-<，解得403x <<， 所以()f x 的递增区间为(),0∞-、4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为40,3⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解：由（1）可知，函数()f x 在[)1,0-上单调递增，在40,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以，()()00f x f ==极大值，()432327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值，又因为()13f -=-，()39f =，所以， 由（1）知0x =是()f x 的极大值点，43x =是()f x 的极小值点， 所以()f x 极大值()00f ==，()f x 极小值432327f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()13f -=-，()39f =，()max 9f x =，()min 3f x =-.(1)以年龄50岁为分界点，由以上统计数据完成下面22⨯列联表.(2)根据（1）中列联表判断是否有99%的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关. 下面的临界值表供参考：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++【答案】(1)答案见解析(2)有99%的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关 【分析】（1）由已知计算填表即可；（2）计算2χ，再由独立性检验的基本思想求解即可 【详解】(1)由以上统计数据填写下面22⨯列联表，如下(2)根据公式计算()225010271039.98 6.63537133020χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关19．已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.【答案】分布列答案见解析，数学期望：97【分析】若选①，分别求出随机变量X 的取值为0，1，2，3的概率，即可得到分布列，计算期望；若选②，则随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的概率公式列出分布列，计算期望. 【详解】若选①，由题意，随机变量X 的可能值为0，1，2，3()3437C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===；所以X 的分布列为期望()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 若选②，由题意，随机变量X 的可能值为0，1，2，3，且3~3,7X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()333640C 17343P X ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭， ()213331441C 177343P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()223331082C 177343X P ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3333273C 7343P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X ∴的分布列为：期望()37793E X =⨯=. 20．设函数()3x f x e ax =-+（a R ∈）.（1）讨论函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2上的最小值是4，求a 的值.【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）1e -【分析】（1）求得函数的导数()x f x e a '=-，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，此时最小值不满足题意；当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点，分类讨论，即可求解.【详解】解：（1）()x f x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增；无极值当0a >时，()0f x '>，解得ln x a >，由()0f x '<，解得ln x a <.函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 的极小值为()ln ln 3f a a a a =-+，无极大值综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，∴函数()f x 在[]1,2上的最小值为()134f e a =-+=，即10a e =->，矛盾.当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点.①当ln 1a ≤即0a e <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，则函数()f x 的最小值为()134f e a =-+=，即1a e =-，符合条件.②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[]1,2上单调递减，则函数()f x 的最小值为()22234f e a =-+=即2212e a e -=<，矛盾. ③当1ln 2a <<即2e a e <<时，函数()f x 在[]1,ln a 上单调递减，函数()f x 在[]ln ,2a 上单调递增，则函数()f x 的最小值为()ln ln ln 34a f a e a a =-+=，即ln 10a a a --=.令()ln 1h a a a a =--（2e a e <<），则()ln 0h a a '=-<，∴()h a 在()2,e e 上单调递减， 而()1h e =-，∴()h a 在()2,e e 上没有零点， 即当2e a e <<时，方程ln 10a a a --=无解.综上，实数a 的值为1e -.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用；本题属于难题.。
2021-2022学年天津市南开区高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市南开区高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B= A ．{1，2} B ．{5} C ．{1，2，3} D ．{3，4，6}【答案】A【详解】试题分析：由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，可以求出集合B ，然后根据交集的定义和运算法则进行计算． 解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}， 又∵∁U B={4，5，6}， ∴B={1，2，3}， ∵A={1，2，5}， ∴A∩B={1，2}， 故选A ．【解析】交集及其运算．2．已知命题p ：0x ∀>，总有(1)e 1x x +>，则命题p 的否定为（ ）A ．00x ∃≤，使得00(1)e 1xx +≤B ．00x ∃>，使得00(1)e 1xx +≤C ．0x ∀>，总有(1)e 1x x +≤D ．0x ∃≤，总有(1)e 1x x +≤【答案】B【分析】根据全称命题的否定性质进行判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为00x ∃>，使得00(1)e 1xx +≤，故选：B3．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题； 若“b ＜1a当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D4．已知函数()y f x =的大致图像如图所示，则函数()y f x =的解析式应为( )A ．()e ln x f x x =B ．()e ln ||x f x x -=C ．()e ln ||x f x x =D ．||()e ln ||x f x x =【答案】D【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的不关于y 轴对称可排除选项D ，再根据函数定义域是{|0}x x ≠，排除选项A ，利用极限思想可排除B ，即可得到所求． 【详解】解：如图，因为函数定义域是{|0}x x ≠，排除A 选项， 当x →-∞，()0f x →，排除B ，因为()||()e ln ||x f x x f x -==，所以函数||()e ln ||x f x x =为偶函数，根据函数图象不关于y 轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项D. 故选：C ．5．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【详解】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 【解析】比较大小6．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74 B ．121C ．74-D ．121-【答案】D【分析】根据5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，进而得到其系数，【详解】因为在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-， 所以含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++， ()10203556121=-+++=-，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，7．某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（ ）. A ．10种 B ．12种 C ．15种 D ．16种【答案】C【分析】根据选甲或乙或都不选分类讨论即可. 【详解】分为以下三类分别计算：选甲，则有13C 3= 种；选乙，则有132C 6⨯= 种；甲乙都不选，则有23A 6= 种；共有3+6+6=15种方案； 故选：C.8．已知变量x 和y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为ˆˆ0.25ybx =-，据此可以预测当8x =时，y 的估计值为A ．6.4 B ．6.25 C ．6.55 D ．6.45【答案】C【详解】 由题意知34567 2.534 4.565,555x y ++++++++====，得将点(5,4)代入ˆˆ0.25ybx =-，解得ˆ0.85b =， 所以当8x =时，0.8580.2.ˆ5655y=⨯-=，故选C ． 9．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验，经计算2 6.705K =，则所得到的统计学结论是：认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有（ ） 附：A ．99.9%B ．99%C ．1%D ．0.1%【答案】C【分析】根据题意可得2 6.705 6.635K =>，则可认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有1%．【详解】∵2 6.705 6.635K =>，∴认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有1% 故选：C ．10．已知函数()(22f x x b x a b =++-是偶函数，则f （x ）的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）. A ．6 B ．4 C ．2 D ．0【答案】B【分析】因为()f x 为二次函数，故()f x 为偶函数时，对称轴为0x =，可求出a 和b 的关系，而()f x 图象与y 轴交点的纵坐标是(0)2f a b =-，数形结合求最值即可.【详解】解：因为()(22f x x b x a b =++-是偶函数，所以()()f x f x -=，所以0b =，即b 224a b +=， 所以(,)a b 是圆224x y +=位于x 轴上和上方的半圆上的点. 又因为(0)2f a b =-， 即求2a b -的最大值，令2t a b =-，则2b a t =-，它表示斜率为2的直线， 如图：当直线2b a t =-过点(2,0)A 时，在直线在y 轴上的截距t -最小，从而t 最大，即max 2204t =⨯-= 故选：B ． 二、填空题11．12x x ⎫⎝的展开式的中间一项为______. 【答案】924【分析】根据二项式的展开式通项公式，以及展开式的项数，即可求出展开式的中间一项． 【详解】解：12(x x的展开式通项公式为： 121123()()3rr rr x T C x-+=-， 令6r =，得6666712123()4()239x T C C x=-==， 即展开式的中间一项为924． 故答案为：92412．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽到A 牌，则第二次抽到A 牌的概率为___________. 【答案】117【分析】在52张牌中，每种牌都有4张，在第一次是A 的情况下，还剩下3张A ，据此即可求出第二次是A 的概率.【详解】第一次是A 时，还剩下3张A ，所以第二次也是A 的概率为315117= ； 故答案为：117.13．计算：()()48392log 3log 3log 2log 2++=_____ 【答案】522.5【分析】运用换底公式，根据对数运算的规则运算即可.【详解】()()348393333log 2112log 3log 3log 2log 22log 2log 4log 8log 9⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 33333311151352log 2log 22log 22log 23log 226log 222⎛⎫⎛⎫=++=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：52.14．已知随机变量X 服从正态分布()31N ,，且()()213P X c P X c >-=<+，则c =_____．【答案】43【详解】试题分析：由题设和正态分布的性质可得，即，所以．故应填43．【解析】正态分布的性质及运用．15．已知0039x y x y xy ++=＞，＞，，，则3x y +的最小值为__________． 【答案】6【详解】试题分析：由已知0039x y x y xy ++=＞，＞，，则19333x y xy x y -+==⨯⨯≤（）13×2()43x y +，当且仅当3x y =时，取“=”则此时39{3x y xy x y ++==，由于00x y ＞，＞，解得31x y =⎧⎨=⎩，36x y +=,故答案为6．【解析】1.基本不等式；2.方程组的解法. 三、解答题16．一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ζ，求随机变量ζ的数学期望E ζ 【答案】(1)5个 (2)32【分析】（1）利用对立事件列方程()210210C 71C 9x P A -=-=，解方程即可；（2）由题意得到随机变量ζ的取值为0，1，2，3，分别求出概率，写出分布列，求出ζ的数学期望. 【详解】(1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则()210210C 71C 9x P A -=-=，得到5x =故白球有5个.(2)随机变量ζ的取值为0，1，2，3， 则()353102C 0C 11P ζ===;()1255310C C 51C 12P ζ⋅===;()2155310C C 52C 12P ζ⋅===;()35310C 13C 12P ζ===;所以分布列是ζ的数学期望155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 17．已知函数()316f x x x =+-(1)求曲线()y f x =在点（2，—6）处的切线的方程；(2)已知函数()()()232116g x f x ax b x =-+-+在点1x =处有极小值—1，试确定a ，b 的值，并求出g （x ）的单调区间. 【答案】(1)13320x y --=(2)1132a b ==-，，在区间1(,3-∞-）和（1，+∞）上，函数g （x ）为增函数；在区间1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内，函数g （x ）为减函数【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可求出切线的方程；（2）由已知列方程求出函数的解析式，利用导数判断函数的单调性. 【详解】(1)因为()()321631f x x x x ''=+-=+， 所以曲线在点（2，—6）处的切线的斜率为()213f '=. 所以切线的方程为()()6132y x --=- 即13320x y --=.(2)由已知，可得()11321g a b =-+=-①又()2362g x x ax b '=-+所以()13620g a b '=-+=② 由①、②，可解得1132a b ==-，故函数的解析式为()32g x x x x =--.由此得()2321g x x x '=--根据二次函数的性质，当13x <-或1x >时，()0g x '>当113-<<x 时，()0g x '<因此，在区间1(,3-∞-）和（1，+∞）上，函数g （x ）为增函数；在区间1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内，函数g （x ）为减函数.18．已知函数()1ln1x f x x +=- (1)求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； (2)对于[]2,6x ∈，()()()ln17mf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)()(),11,-∞-⋃+∞，奇函数 (2)07m <<【分析】（1）利用真数大于0建立不等式，即可求得函数的定义域，再利用奇偶函数的定义，即可判断函数()f x 的奇偶性；（2）将问题转化为0(1)(7)m x x <<+-在[]2,6x ∈恒成立，利用二次函数的性质，求出()(1)(7)g x x x =+-的最小值即可求解．【详解】(1)由101x x +>-，即()()110+->x x ，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞； 函数()f x 的定义域关于原点中心对称，又因为()()11111ln ln ln ln 1111x x x x f x f x x x x x --+-++⎛⎫-====-=- ⎪--+--⎝⎭， 所以1()ln1x f x x +=-是奇函数； (2)因为[]2,6x ∈时，1()ln ln 1(1)(7)x mf x x x x +=>---恒成立，所以101(1)(7)x mx x x +>>---恒成立，因为[]2,6x ∈，所以0(1)(7)m x x <<+-在[]2,6x ∈恒成立， 令2()(1)(7)(3)16g x x x x =+-=--+，[]2,6x ∈，由二次函数的性质可知，[]2,3x ∈时函数()g x 单调递增，[]3,6x ∈时函数()g x 单调递减， 而(2)15,(6)7g g ==，所以min ()(6)7g x g ==， 所以07m <<，即实数m 的取值范围为()0,7．19．如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： 时间（分钟）102020303040 405050601L 的频率0.10.20.30.20.22L 的频率0.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）甲应选择1L 乙应选择2L （Ⅱ）见解析【详解】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X 的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．（1）i A 表示事件“甲选择路径i L 时，40分钟内赶到火车站”，i B 表示事件“甲选择路径i L 时，50分钟内赶到火车站”，1i =，2． 用频率估计相应的概率，则有：1()0.10.20.30.6P A =++=，2()0.10.40.5P A =+=；∵12()()P A P A >，∴甲应选择路径1L ；1()0.10.20.30.20.8P B =+++=，2()0.10.40.40.9P B =++=；∵21()()P B P B >，∴乙应选择路径2L ．（2）用A ，B 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知()0.6P A =，()0.9P B =，又事件A ，B 相互独立，X 的取值是0，1，2， ∴(0)()()()0.40.10.04P X P AB P A P B ===⋅=⨯=，(1)()()()()()0.40.90.60.10.42P X P AB AB P A P B P A P B ==+=+=⨯+⨯=(2)()()()0.60.90.54P X P AB P A P B ===⋅=⨯=，∴X 的分布列为∴00.0410.4220.54 1.5EX =⨯+⨯+⨯=．20．已知函数()2()33xf x x x e =-+⋅定义域为[2,](2)t t ->-，设(2),()f m f t n -==.（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[2,]t -上为单调函数； （2）求证：n m >；（3）求证：对于任意的2t >-，总存在0(2,)x t ∈-，满足()0022(1)3x f x t e'=-，并确定这样的0x 的个数.【答案】（1）20t -<≤；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据函数()2()33x f x x x e =-+⋅求导，然后求得函数的单调区间，再根据()f x 在[2,]t -上为单调函数求解.（2）由（1）得到()f x 在1x =处取得极小值(1)f e =，而213(2)f e e -=<，再结合函数的单调性求解.（3）根据()00200x f x x x e '=-，将问题转化为证明方程222()(1)03g x x x t =---=在(2,)t -上有解，并讨论解的个数即可.【详解】（1）∵()2()33(23)(1)x x x f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅，由()01f x x '>⇒>或0x <，由()001f x x '<⇒<<，∴()f x 在(,0)-∞，(1,)+∞上递增，在(0,1)上递减，又∵()f x 在[2,]t -上为单调函数，所以20t -<≤；（2）∵()f x 在(,0)-∞，(1,)+∞上递增，在(0,1)上递减，∴()f x 在1x =处取得极小值(1)f e =，又∵213(2)f e e-=<，而()f x 在[2,]-+∞上的最小值为(2)f -， 从而当2t >-时，(2)()f f t -<，即m n <；（3）∵()00200x f x x x e '=-， ∴()0022(1)3x f x t e '=-，即为22002(1)3x x t -=-， 令222()(1)3g x x x t =---，从而问题转化为证明方程222()(1)03g x x x t =---=在(2,)t -上有解，并讨论解的个数， ∵222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-，221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-， ∴①当4t >或21t -<<时(2)()0g g t -⋅<，∴()0g x =在(2,)t -上有解，且只有一解， ②当14t <<时，(2)0g ->且()0g t >，又∵22(0)(1)03g t =--<， ∴()0g x =在(2,)t -上有解，且有两解，③当1t =时，2()00g x x x x =-=⇒=或1x =，∴()0g x =在(2,)t -上有且只有一解，当4t =时，2()602g x x x x =--=⇒=-或3x =，∴()0g x =在(2,4)-上也只有一解，综上所述，对任意的2t >-，总存在0(2,)x t ∈-，满足()0022(1)3x f x t e '=-，且当4t ≥或21t -<≤时，有唯一的0x 符合题意.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及应用，方程根的存在性与根的个数判断，还考查了分类讨论思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.。
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密 封 线 内 不 要 答 题
XXX 学年下学期期末考试
高二数学试卷
一、选择题（每题2分，共30分）
1、sin450cos150-cos450sin150的值是 （ ） A.-23 B.21 C.-21 D.2
3 2、若cos α=-21,sin β=2
3,且α和β在第二象限，则
sin(α+β)的值（ ）
A.213-
B.23
C.-23
D.2
1
3、x y 2
12-=的准线方程
( )
A. 21=y
B. 8
1=x
C. 41=x
D. 161
=x 4、由1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数 （ ）
A. 6个 B . 3个 C. 2个 D. 1个
5、(n
x )6-的展开式中第三项的系数等于6,那么n 的值
（ ）
A ． 2
B ．3
C ． 4
D ．5
6、从放有7个黑球,5个白球的袋中,同时取出3个,那么3个球是同色的概率( ) A. 221 B. 447 C. 44
9 D. 221或44
7 7、x y 2=与抛物线2x y =的交点有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++的结果是（ ）
A ．
)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 9、已知△ABC 的三边分别为a=7, b=10, c=6,则△ABC 为( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 10、函数y x y 的图象可由函数)6sin(2π+==的图象x sin 2 而得到( ) A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移3π个单位
11、椭圆155322=+y x 的焦点坐标为 （ ） A.)0,8(),0,8(- B.)8,0(),8,0(- C.)0,2(),0,2(- D.)2,0(),2,0(- 12、 6
1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 的展开式中常数项是 （ ） A.C 36 B.C 4
6 C.C 06 D.C 56
专业 班级 考场 座号
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13、100件产品中,有10件一等品,20件二等品,任取一件是二等品的概率（ ） A. 51 B. 101 C. 301 D. 50
1
14、下列点在1
23
4+-=x x y 的曲线上的是（ ）
A ．（1，0）
B ．（—1，—6）
C ．（—5，1）
D ．（2，1）
15、从8名男生和1名女生中选4人组成一个小组,必须要有女
生参加的选法种数为（ ） A. 70 B. 56 C. 336 D. 126 二、填空题（每题2分，共30分） 1、长轴和短轴之和为18,焦距为6,且焦点在x 轴上的椭圆标准
方程 2、双曲线
136162
2=-y x 的渐近线方程 3、过点M(-1,-2)的抛物线标准方程
4、用1克,2克,4克的砝码在天平上能称出 种不同的物体的质量.
5、长轴在y 轴，离心率为36，且过点(3,0)的椭圆的标准方程是 。
6、双曲线191622=-x y 的离心率＝
7、n x )2(+的展开式中第二项与第三项系数之和为98，则n ＝
8、经过点)72,3(-P ，)7,26(--Q 的双曲线的标准方程为
9、双曲线15
92
2=-x y 的焦距为 10、长半轴长为6，半焦距为3，焦点在x 轴上的椭圆标准方程
为 11、4名职校生选报三个单位实习，每人选报一个单位，则不同
的选报种类有 12、50件产品中有4件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有3件次品的抽法有 种 13、函数=-=++=)5(,7)5(,1sin )(f f x b ax x f 则若 14、若α是三角形的内角，且2
1
sin =α，则α等于 15、8
31()2x x
-的展开式中的常数项是 三、解答题（共8小题，40分）
1、证明：ααα2sin 2cos 112sin +++=2
1tan α+21（6分）
2、已知,αβ是锐角，cos α=45，cos(α+β)=-13
12,求cos β的值．（6分）
3、求8
)22(x
x -的展开式中的第六项。
（6分） 4、有1,2,3,4组成无重复数字的四位数中,问(1)奇数有几个?(2)偶数有几个？ (3)四位数有几个？（6分）
5、双曲线虚轴长6，实轴与焦距之和为18，求双曲线的标准方
程。
（8分） 6、求与椭圆
14
162
2=+y x 有相同的焦点，且过圆02625222=++-+y x y x 的圆心的椭圆方程。
（8分）
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密 封 线 内 不 要 答
题
XXXX 学年下学期高二期末考试
《数学》试卷（答题卡）
题号 一
二
三
四
五
总分 座号 得分
分数 100分 时间100分钟 一、选择题（每题2分，共30分）。
1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、 8、
9、 10、 11、 12、
13、 14、 15、 二、填空题（每题2分，共30分）
1、 2、 3、 4、 5、 6、
7、 8、
9、 10、 11、 12、
13、 14、 15、 三、解答题（共6小题，40分） 1、（6分）
2、（6分）
3、（6分）
4、（6分）
5、（8分）
6、（8分）
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XXX 学年下学期期末考试 高二数学答案 题号 一 二 三 四 五 总分 得分
一、选择题（每题2分，共30分）。
1、 B
2、 C
3、 B
4、 A
5、 A
6、 C
7、 B
8、 B
9、 C 10、 B 11、 C 12、 A 13、 A 14、 D 15、 B 二、填空题（每题2分，共30分） 1、
116252
2
=+y x 2、y=2
3±x 3、y 2=-4x 或x 2=-21
y 4、 7 5、
12792
2=+y x 6、 4
5 7、 7 8、
175252
2
=-x y 9、 214 10、127
362
2
=+y
x 11、 81 12、4186 13、 -5 14、6π
或
6
5π
15、 7 三、解答题 1、略 2、-65
33 3、-
2
224
x 4、（1）12（2）12（3）24
5、191622=-y x 或19162
2=-x y
6、18
202
2=+y x
班级 姓名 学籍号 考场 座号。