4因素二次回归正交旋转组合设计
元二次回归正交组合设计(上)
结合专业领域知识，将元二次回归正交 组合设计应用于实际问题中，不断积累 实践经验和提升解决问题的能力。
深入了解试验设计原理和方法，如析因 设计、裂区设计、重复测量设计等，以 提高试验设计的效率和准确性。
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试验方案设计与优化
设计试验方案
根据正交表和因子水平，设计试验方案，包括试验条件、试验步骤和试验数据处理方法等 。
优化试验方案
通过比较不同试验方案的优劣，选择最优方案进行实施。同时，可以根据实际情况对试验 方案进行调整和优化，以提高试验效率和准确性。
注意事项
在进行正交组合设计时，需要注意选择合适的正交表、确定因子水平和编码方式、设计合 理的试验方案，并进行充分的试验前准备和数据处理工作，以确保试验结果的准确性和可 靠性。
率。
预测性
能够建立数学模型，对未知区 域进行预测，为优化提供方向
。
灵活性
可以处理多个因素，每个因素 可以取多个水平，适用于复杂
系统。
直观性
通过图形展示，可以直观地看 出各因素对响应的影响趋势。
缺点分析
模型假设
处理非线性关系的能力有限
元二次回归模型假设响应与因素之间的关 系是二次的，如果实际关系偏离这一假设 ，模型预测可能不准确。
对于高度非线性的系统，元二次回归模型 可能无法提供准确的预测。
对异常值敏感
计算复杂性
如果数据中存在异常值，可能会对模型的 拟合和预测产生较大影响。
对于大量数据和复杂模型，计算可能会变 得复杂和耗时。
适用范围及注意事项
适用范围：适用于需要通过试验来优化响应，且因素水 平不太多、试验成本较高的场合。特别适用于那些对模 型精度要求不高，但需要快速得到优化方向的场合。 1. 在使用元二次回归正交组合设计时，应确保试验数据 满足模型的假设条件。
二次回归正交旋转组合设计优化大肥蘑菇液体培养基
二次回归正交旋转组合设计优化大肥蘑菇液体培养基杨琴;张桂香;杨建杰;王英利【摘要】为优化大肥蘑菇液体培养基,通过单因子试验确定大肥蘑菇最佳碳源(葡萄糖)、最佳氮源(蛋白胨)及矿物质的适宜浓度(用量)范围,采用二次回归旋转组合设计研究3个参数对大肥蘑菇菌丝生物量的影响,建立数学模型,以获得适宜的配方组合.结果表明,葡萄糖浓度、蛋白胨浓度对大肥蘑菇菌丝体生物量的影响达极显著水平,矿物质添加剂用量达显著水平.最优培养基参数为葡萄糖浓度33.26 g/L、蛋白胨浓度4.24 g/L、矿物质添加剂1.82 mL/L,在该参数组合下,28℃振荡培养8 d,菌丝干重可达16.44 g/L,且经反复试验验证可行.【期刊名称】《甘肃农业科技》【年(卷),期】2017(000)011【总页数】6页(P12-17)【关键词】大肥蘑菇;培养基;二次回归旋转组合;优化【作者】杨琴;张桂香;杨建杰;王英利【作者单位】甘肃省农业科学院蔬菜研究所, 甘肃兰州 730070;甘肃省农业科学院蔬菜研究所, 甘肃兰州 730070;甘肃省农业科学院蔬菜研究所, 甘肃兰州 730070;甘肃省农业科学院蔬菜研究所, 甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】S646.9博斯腾湖位于巴音郭楞蒙古自治州焉耆盆地的博湖县境内，总面积1 228 km2，蓄水量8.0×109m3，是开都河的归宿，孔雀河的源头，更是一座天然的大型调节水库，也是新疆最大的内陆淡水湖。
大肥蘑菇（经ITS序列分析确定［1］）是在新疆博斯腾湖特殊环境条件下形成的极为珍贵的野生食用菌，在分类上隶属于担子菌纲（Basidiomycetes）伞菌目（Agaricales）蘑菇科（Agaricaceae）蘑菇属（Agaricua），其子实体硕大、菌肉肥厚细嫩，通过营养成分、氨基酸组成、矿物质、脂肪酸营养成分的测定［2-3］，发现大肥蘑菇具有极高的风味物质、营养价值和保健作用。
二次回归正交旋转组合设计优化21～42日龄肉仔鸡胆碱和蛋氨酸需要量
汤建平
( 中国农 业科学院饲 料研究所 ， 家禽 营养与饲料 研究室， 北京 10008 1)
要: 本试验以低胆碱 � 低蛋氨酸饲粮为基础饲粮， 通过两因子二次回归正交旋转组合设计， 对 21 42 日龄肉仔鸡胆碱和蛋氨酸需要量进行研究� 试验选用 21 日龄爱拔益加( A A ) 肉仔鸡 摘 48 0 只 ， 9 12 组为 中心组 ， 随机分为 12 个组 ， 其中 1 8 组为试验组 ， 每组 4 个重复 ， 每个重复 10 只鸡， 公母各占 1/ 2� 分别以胆碱和蛋 氨酸为自变量， 以反映 肉仔鸡生长性能 和屠宰性能的 各项指标为因变量 拟合回 归方 程， 估计 21 42 日 龄肉 仔鸡 胆碱和 蛋氨 酸的 需要 量� 试验期 21 d� 结果表明 : 胆碱和蛋氨酸水平对 21 42 日龄肉仔鸡的平均日采食量 � 料重比 � 腹脂率和肝 kg 时 ， 脂率有显著影响( P < 0.05) � 当胆碱水平在 8 60 1 120 m g / 肉仔鸡平均日采食量随着蛋 氨酸水平的增加而升高， 蛋氨酸水平增至 0.40% 后， 继续增 加对平均日采食量的改善作用不明 0.42% ， kg 时 ， 显 ; 蛋氨酸水平在 0.35% 胆碱水平在 8 6 0 1 120 m g / 肉仔鸡的料重比达到最 0.47 % 时 ， 低值 ; 蛋氨酸水平在 0.30% 随着胆碱水平的增加肉仔鸡腹脂率呈下降趋势 ; 当蛋氨 酸水平在0.30% 0.40% ， 胆碱水平在 1 000 1 400 m g / kg 时， 肉仔鸡肝脂率随着胆碱水平的 增加和蛋氨酸水平的降低呈下降趋势 � � 在本试验条件下， 当 胆碱水平为 99 0 1 030 m g / kg ， 蛋 0.40% � 0. 43% ， ; 1 7 8 0 氨酸 水 平 为 时 肉 仔 鸡 可 达到 最 佳 生 长性 能 当胆 碱 水 平 为 1 8 8 0 mg / kg ， 蛋氨酸水平为 0.37 % 中图分类号 : S8 31 0.38 % 时 ， 肉仔鸡可达到最佳屠宰性能 � 关键词: 胆碱 ; 蛋氨酸 ; 肉仔鸡; 二次回归正交旋转组合设计 ; 响应面 文献标识码 : A 文章编号 : 1006 267 X ( 2012) 06 1019 11 数都是围绕胆碱与其他营养物质的 相互关系进行 的
四种回归设计方法的比较
四种回归设计方法比较表试验设计方法一次回归正交二次回归正交二次回归正交旋转二次回归通用旋转特点正交性在p维因素空间内，如果试验方案使所有j个因素的不同水平x ij 满足:);,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1(11jtNtxxNjNixNiitijNiij≠=====∑∑==则该方案具有正交性。
则，一次回归正交、二次回归正交，及二次回归正交旋转试验均具有正交性，具有以下特点：1.利用正交试验设计安排试验，运用回归分析方法处理数据；2.减少试验次数，适用于因素水平不太多的多因素试验；3.“均匀分散，整齐可比”；4.由于试验设计的正交性，消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性。
注：二次回归正交旋转中，由公式pmmc2)1(42/1-+=计算出m0为整数时，则旋转组合设计是完全正交的；当m0不为整数时，则旋转组合设计是近似正交的。
一次项系数b j与交互项系数b ij具有正交性，但常数项b0与平方项回归系数b jj，以及各平方项回归系数b jj之间均存在相关，因此不具有正交性。
旋转性具有旋转性无具有旋转性（在p维因素空间中，若使用方案使得试验指标预测值ŷ的预测方差仅与试验点到试验中心的距离ρ有关，而与方向无关，因此具有旋转性。
）通用性无具有通用性（各试验点与中心的距离ρ在因子空间编码值区间0< ρ<1范围内，其预测值ŷ的方差基本相等，即具有通用性。
）优点科学地安排实验，用最少的试验次数，获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析，从而得到最佳实验条件，迅速建立经验公式，简化计算。
1.中心点试验次数m0有所减少。
2.试验方案具有通用性与旋转性。
消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性，剔除回归方程某一变量时，其余变量的回归系数不变。
1.可直接比较各点预测值的好坏，找出预测值相对较优的区域；2.有助于寻找最优生产的过程中排除误差的干扰。
缺点1.只适用于因素水平不太多的多因素试验，且水平数一般不大于3；2.适用性具有局限，一次回归方程经检验可能在区域内部拟合不好。
第六章 §6 二次回归的旋转设计
五,k>2 实现旋转设计借助于组合设计思想
1.中心组合思想
(1)m c 个点布置在半径 R c = k的球面上 (2 )2k个点布置在半径 R = r的球面上,通常位于 (3)m 0 个点布置在因子区域的 中心
n = m c + 2k + m 0 坐标轴上,称 r为星号臂
2. k = 2 D = 1 1 1 1 r r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 r r 0 0
§6 二次回归的旋转设计
一,问题
y = β 0 + ∑ βi x i + ∑ βij x i x j + ∑ β ii x i2 + ε
i i< j i
要寻找旋转设计 D, X′X满足旋转性条件 0 第 (0,)元素为 n x 2 = λ 2 n i = 1, , k ∑ ji j ∑ x 4 = 3∑ x 2 1 x 2 2 = 3λ 4 n i1 ≠ i 2 ji ji ji j j k λ4 ≠ 2 λ2 k + 2
∑x
j j
ji
= ∑ x ji1 x ji 2 = ∑ x x ji 2 = 0
2 ji1 j j
x 2 = 4 + 2r 2 ∑ ji x21x2 2 = 4 ∑ ji ji
j
x 4 = 4 + 2r 4 ∑ ji
j
为满足旋转性条件
∑x
j
4 ji
= 3∑ x x
2 ji1 j
2 ji 2
∴ 4 + 2 r 4 = 12 r =
2
3.k ≥ 3
∑x
j j
ji
= ∑ x ji1 x ji 2 = ∑ x 2 1 x ji 2 = 0 ji
二次回归正交旋转组合设计在紫芝液体发酵培养条件优化中的应用
成分 ， 势必成 本过 高 ， 得对 紫芝深 层次 开发 受到 限 使 制 。利 用液 体深层发 酵技 术可 以在 较短 时 间内获 得
大量菌 丝体及 其发 酵 产 物 ， 以为 大 通 量 开 发 紫芝 可 相 关产 品提供 可 能 。 目前 ， 于 紫 芝 栽 培 和液 体 关 发 酵条件 的研 究 报 道 较 少 ， 无 利 用 五 因素 “ 次 更 二
得其 子实体 ， 但人 工栽 培紫芝 具有 周期 长 ， 成本高 的
缺点 。如果 从子 实体 中提取具 有疗 效 和保健 功能 的
芝科 （ ａ ｏｅｍａ ｃａ ） 灵 芝属 （ ａ ｏ ｅｎ ） 的 Ｇ ｎ ｄ ｒ ｔ ｅｅ ， ａ Ｏ ｎ ｄｒ ａ 中 ｌ 真菌 … 。 自古 以来 被视 为 滋 补 强壮 、 固本 扶正 的珍
西
南
农
业
学
报
２ ３卷
回归 系数之 间相关 性等特 点 ； 二 ， 第 有助 于克服 回归 正 交 设 计 中二 次 回归 预 测 值 ｌ的方 差依 赖 于试 验 ， 点 在 因子空 间 中的位 置 缺点 ， 能有效 地 克Ｊ － 次 即 Ｊ ￣
后 分别在 ２ 、５ ２ 、９ ３ ３ ２ 、７ ２ 、 ｌ℃ 下 ， 每组 ３个 重 复 ， 摇 床培养 。 １３ ５ 依据 单 因素试 验 的结果 确 定 因素 水 平 范 围 ．． 选 取 装 液 量 （ ５ Ｌ 三 角 瓶 ）（ 、 始 ｐ ２０ ｍ Ｘ ）初 Ｈ
１ ３ ６ 不 同接 种 菌龄 对发 酵 的 影 响 分别 向培 养 ．． 液 中接 人菌龄 为 ４ ５ ６ ７ ８ ９ ｄ的种 子 ， 组 ３个 、 、 、 、 、 每
１ 材 料 与 方 法
１ １ 材料 ．
4、高级实验设计—回归的旋转设计(Regressional Rotary Design)
x
i，j =1，2„P；
待定参数
以上为 P 元二次回归旋转设计的旋转性条件。
此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信
息矩阵 A 不退化，为此，必须有不等式：
4 p 2 2 P 2
上式为 P 元二次回归的非退化条件。 已证明，只要使 N 个试验点不在同一个球面上， 就能满足非退化条件。或者说只要使 N 个试验点至少 分布于两个半径不等的球面上，就有可能获得旋转设
P 2 2 ˆ D y P 2 4 PN
4 1 2 P 1 4 P 1 4 1 2 2 4 P 2 4 4
（4.11） 由式（4.11）经研究表明，只有采用恰当的方法 确定 4 ，才能满足通用性的要求。如何确定 4 ？对 4 有什么要求呢？总的来说，它必须使上式中 i处的
ˆ 的 二次旋转组合设计具有同一球面预测值 y
方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐，
若使它获得正交性就能简化计算手续。
在二次旋转组合计划中，一次项和交互项的 回归系数 bj ，bij 仍保持正交，但 b0 与 bjj 之间，
以及 bii 与 bjj 之间都存在相关，即不具正交性，
它们之间的相关矩分别为：
计方案。
为了获得 P 元二次旋转设计方案，就要求既要
满足非退化条件式，又要满足旋转性条件式。
如何才能满足这两方面的条件呢？这主要借助
于组合设计来实现，因为组合设计中 N 个试验点：
N mc m m0
分布在三个半径不相等的球面上：
mc 个点分布在半径为 P 的球面上； c m 个点分布在半径为 的球面上； m0 个点分布在半径为 0 0 的球面上；
第四节 二次回归正交设计
第四节二次回归正交设计在应用一次回归正交设计时，如果经过假设检验，发现一次回归方程不合适，就需要用二次或更高次回归方程描述。
通常情况下，使用二次回归一般即可满足要求。
一、二次回归正交试验的组合设计方法二次回归设计就是采用二次多项式作为回归方程。
当变量数为P 时，二次回归模型的一般形式为(3-3-18) 在二次回归模型中，共有q个待估计参数因此，要建立有p个变量的二次回归方程，试验次数应大于q。
而且为了估计未知参数,每个变量所取得的水平不应小于3。
在三水平上做p个变量的全因素试验，试验次数为3p。
当p=4时，三水平的全因素试验次数数量是81次，比p=4时的二次回归系数要多4倍以上，以致剩余度过大。
为了有效地减少不必要的试验次数，提出一种组合设计法。
这种方法是在因素空间中选择几类具有不同特点的点，把它们适当组合成为一个试验计划，此计划应尽量减少试验次数，并且有正交性。
以p=2为例，在有两个变量x1,x2场合下，组合设计由以下9个试验点组成（见表3-3-13）：表3-3-13这9个试验点在平面图上的位置如图3-3-2所示。
图3-3-2当p=3，即有三个变量时，组合设计由15个试验点组成，见表2-14。
这15个试验点在空间的位置，如图3-3-3所示。
表3-3-14一般地，p个变量的组合设计由下列三类试验点组成：第一类点为二水平（-1和1）全因素试验的试验点，这类试验点共有2p个，如果采用1/2或1/4 实施法，则为2p-1或2p-2个试验点。
第二类点为分布在p个坐标轴上的星号点，这类试验点共有2p个，它们与中心点的距离为，称为星号臂。
是待定系数，可根据不同的要求确定值。
第三类试验点为中心点，即各变量都取零水平的试验点。
在中心点上的试验可以只做一次，也可以重复做若干次。
若以N0表示第一类试验点个数，以m0表示第三类试验点个数，则p个变量的组合设计试验点数N为：N=N0+2p+m0用组合设计安排的试验计划有一系列优点：首先，它的试验点比三水平的全因素试验少得多，但仍保持足够的剩余度。