河北省衡水中学2023届高三上学期四调数学试卷及答案

河北省衡水中学2023届高三上学期四调数学试题一、单选题 1．已知i(3i)2iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一、三象限的角平分线上D ．第二、四象限的角平分线上2．已知向量a ，b 满足2a =，(1,1)=b ，10a b +=，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为（ ）A ．⎝⎭B ．()11，C ．()1，1-- D ．⎛ ⎝⎭3．在直角三角形ABC 中，90,60,2A B AB ===，则AB BC ⋅=（ ） A ．4-B ．4C ．8-D ．84．设A ，B ，C 为平面内任意三点，则“AB 与AC 的夹角为钝角”是“AB AC BC +<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，0.618≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（ ）A 5510BG ++ B 5510BG -+C 5510BA BG -+ D 55BG + 6．已知复数z 满足4i 5i z z z a =++⋅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[4,4]-B ．[6,6]-C ．[8,8]-D ．[12,12]-7．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：0PA PB PC ++=； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．对于给定的正整数n ，设集合{}123n X n =，，，，，n A X ⊆，且A ≠∅．记()I A 为集合A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的所有()I A 的和记为()S n ，则()2023S =（ ） A ．2023202321⨯+ B ．2022202321⨯+ C ．2022202221⨯+ D ．2023202221⨯+二、多选题9．设非零向量,a b 的夹角为c θ， 为任意非零向量，定义运算sin a b a b θ*=，则下列结论正确的是（ ）A ．若0a b *=，则//a bB ．()a b c a b a c *+=*+*C ．()()222sin 2a b a b a b θ*=D ．若1a b ==，则a b *的最大值为1 10．已知复数12z z ，满足12||0z z ⋅≠，则下列结论正确的是（ ） A ．若12z z =，则12z z =±B ．1212z z z z +≤+C ．若12z z =，则2212z z =D ．1212z z z z =⋅11．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，则OB OC ⋅的值可能是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的x ，R y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，则下列说法正确的有（ ） A ．()01f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若()112f =，则()2023112n f n ==∑三、填空题 13．已知21i 1z z-=+，则z 的虚部是_______． 14．若函数()sin cos f x a x x =+的图像关于直线6x π=对称，则=a ___________.15．在ABC 中，AB AC AB AC ==-，P 是线段BC 上的动点，有下列三个结论： ①23AP AB ≥；②··AB AC AP AC ≥；③··AB AP AC AP ≥．则所有正确结论的序号是__________．16．已知向量,,a b c ，满足1a =，2b a =-，2c b c a -=-，则向量c b -与a 的夹角的最大值是_______． 四、解答题17．设复数11i z =-，2cos isin z θθ=+，其中[]0,θπ∈. (1)若复数12z z z =⋅为实数，求θ的值； (2)求12z z +的取值范围．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b，c ．已知ABC的外接圆半径R tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值； (2)求ABC 面积的最大值．19．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3AD =，3BAD π∠=，E 为CD 中点，AF AD λ=，()01λ≤≤．(1)若AE BF ⊥，求实数λ的值； (2)求BF FE ⋅的取值范围．20．若函数()323f x ax bx x c =+-+为奇函数，且在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21．治理垃圾是S 市改善环境的重要举措．去年S 市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数()*n n N ∈的表达式；(2)设n A 为从今年开始n 年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由． 22．已知函数()ln(1)1,f x x =+-(1)求证：(1)3f x -≤；(2)设函数21()(1)()12=+-+g x x f x ax ，若()g x 在(0,)+∞上存在最大值，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据复数的四则运算得出1i z =+，然后在利用复数的几何意义即可求解. 【详解】因为i(3i)(13i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z -+-+====+++-， 所以z 在复平面内对应的点的坐标为()11，，位于第一、三象限的角平分线上． 故选：C . 2．B【分析】根据10a b +=及相关公式求出2a b =，再根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】由(1,1)=b ，得11b =+=，则22210a b a a b b +=++=， 即42210a b ++=，则2a b =，所以向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为()(1,1)a b bb b b==. 故选：B . 3．A【分析】根据数量积的定义即可求得结果.【详解】因为ABC 为直角三角形，且60,2B AB ==，所以4BC =, 且,120AB BC =︒,所以1cos1202442AB BC AB BC ⎛⎫=⨯︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选:A. 4．B【分析】设AB 与AC 的夹角为θ，,,AB c AC b BC a ===，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设AB 与AC 的夹角为θ（[]0,θπ∈），,,AB c AC b BC a ===， 当AB 与AC 的夹角为钝角时，cos 0θ<因为222()2AB AC AB AC AB AC AB AC +=+=++⋅ 222cos AB AC AB AC θ=++BC a ==所以AB AC BC +<，当AB AC BC +<时，22AB AC BC +< 所以2222AB AC AB AC BC ++⋅<， 所以22222cos 2cos c b bc b c bc θθ++<+-， 所以cos 0θ<，所以θ为钝角或θπ=，所以“AB 与AC 的夹角为钝角”是“AB AC BC +<”的充分不必要条件， 故选：B 5．D【分析】由黄金分割比可得512EO BE -=，结合矩形的特征可用BG 表示出BO ，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE ==， 因512BE BO -=，由黄金分割比可得2515135()222EO BE BO BO ---===， 于是得552BG BO OG BO EO BO -=+=+=，即有5510BO BG +=，同理有512AF AO -=，而AO BO BA =-，即5155210()AF BG BA -+=-512BG BA --， 从而有5135255255BA BA BF BA AF BA BG BG +---=+==+， 所以35525BF BA BG -=+. 故选：D 6．D【分析】设i,,R z x y x y =+∈，由复数相等，得出,,x y a 的关系式，消去x 得到关于y 的一元二次方程有实数解，利用0∆≥，求解即可得出答案.【详解】设i,,R z x y x y =+∈，则()22+4i i 5+i x y x y a +-=，整理得：2244i 5i xy y x a +++=+,所以22454x y y x a ⎧++=⎨=⎩，消去x 得22+45016a y y -+=,因为方程有解，所以21645016a ⎛⎫∆=--≥ ⎪⎝⎭，解得：1212a -≤≤.故选：D. 7．B【分析】先根据向量等式推导出甲中P 为△ABC 的重心，乙中△ABC 为直角三角形，丙中P 为△ABC 的外心，丁中P 为△ABC 的垂心，故得到当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：0PA PB PC ++=，则PA PB PC +=-，故P 为△ABC 的重心；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-，则()0PA PB CA BA CA -⋅=⋅=，故AB AC ⊥，即△ABC 为直角三角形；丙：点P 到三角形三个顶点距离相等，故P 为△ABC 的外心；丁：PA PB PB PC ⋅=⋅，则()0PA PC PB CA PB -⋅=⋅=，同理可得：0BA PC CB PA ⋅=⋅=，即P 为△ABC 的垂心，当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立. 故选：B ． 8．D【分析】根据()I A 的定义，推出()S n 的表达式，再计算即可.【详解】根据题意知A 为集合n X 的非空子集，满足()1I A =的集合只有1个，即{}1； 满足()2I A =的集合有2个，即{2}，{1，2}；满足()3I A =的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足()I A n =的集合有12n -个，所以()21122322n S n n -=+⨯+⨯++⋅，则()()2312122232122n n S n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减得()21122...22212n n n n S n n n --=++++-⋅=--⋅，所以()()121nS n n =-+ ，所以()20232023202221S =⨯+；故选：D. 9．ACD【分析】根据a b * 的定义，以及向量运算规则逐项分析.【详解】对于A ，因为sin a b a b θ*=，并且0,0a b ≠≠ ，所以sin 0θ=，解得0θ=或θπ=，所以//a b ，故选项A 正确；对于B ，不妨取()()()1,0,0,1,0,1a b c ===-，设a 与b 的夹角2πθ= ，a 与b c +的夹角为α，a与c 的夹角为β2π=，则()sin 10sin 0a b c a b c αα*+=+=⨯⨯= ，sin sin 2a b a c a b a c θβ*+*=+= ，此时()a b c a b a c *+≠*+*，故选项B 错误；对于C ，()()()()222222sin cos 2sin cos sin 2a b a b a b a b a b a b θθθθθ*===，故选项C 正确；对于D ，当1a b ==时，sin sin 1a b a b θθ*==≤，当且仅当2πθ=时取等号，所以()max1a b*=，故选项D 正确； 故选：ACD. 10．BD【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设121z i z =+，则())22221212122z z z i i z ===+===-，，不满足12=±z z ，也不满足2212z z =，故选项AC 错误；对于B ，设12z z ，在复平面内对应的向量分别为12OZ OZ ，，且120OZ OZ ≠，，由向量加法的几何意义知1212OZ OZ OZ OZ +≤+，故1212z z z z +≤+，故选项B 正确； 对于D ，设12z a bi z c di a b c d R =+=+∈，，，，，，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，所以12z z ==221212z z c d z z ⋅=+= ，故选项D 正确；故选：BD. 11．AC【分析】设OAD θ∠=，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，可得出,B C 的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可. 【详解】设π(0)2OAD θθ∠=≤<，因为1AD =，所以cos OA θ=，sin OD θ=，π2BAx θ∠=-， 故πcos cos()cos sin 2B x θθθθ=+-=+，πsin()cos 2B y θθ=-=，所以(cos sin ,cos )OB θθθ=+．同理可得(sin ,cos sin )C θθθ+，所以(sin ,cos sin )OC θθθ=+，所以()()·cos sin ,cos ?sin ,cos sin 1sin 2OB OC θθθθθθθ=++=+． 因为02πθ≤<，所以0sin21θ≤≤，则12OB OC ≤≤，故OB OC ⋅的值可能是1，2．故选：AC 12．BCD【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得(),N f n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B,当(0)0f =时，令0y =，则()()()()200f x f x f x f +=⋅=，则()0f x = ， 故()0f x '=，函数fx 既是奇函数又是偶函数；当()01f =时，令0x =，则()()()2f y f y f y +-=，所以()()-=f y f y ，()f x 为偶函数，则f x 为奇函数；综合以上可知fx 必为奇函数，B 正确；对于C ，令x y = ，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥。