2011年自主招生华约数学试题解析
2011北约华约自主招生联考笔试试题
2011北约华约自主招生联考笔试试题2011北约华约自主招生联考笔试试题华约试题英语：考题回放：第一项，完型填空，20个空，每空1.5分，共30分；第二项，文章填空，从一篇文章中抽出五个短句，要求考生将抽出的短句填在合适的位置上，每空3分；第三项，将一篇英语短文翻译并概括为200字左右的中文，20分；第四项，翻译，将五个与教育相关的中文句子翻译为英文；第五项，作文，以第四项翻译的内容为背景，请考生谈谈自己的看法。
语文：-《阅读和写作》阅读部分(50分)一、现代文阅读：杨福家的《哥本哈根精神》二、现代文阅读：老舍的《五九》三、古代诗文阅读1.辛弃疾《清平乐校检山园，书所见》2.《南齐书良政》断句3.翻译《论语泰伯》《韩非子外储说右下》4.写作部分(50分)你对忧患意识是怎样认识的？请写一篇文章，谈谈你的思想和认识，角度自选，立意自定，标题自拟；不要编造虚假事实论据，不要套作，不得抄袭。
文科：考题回忆版：1、根据材料论述法国农民与法兰西第三共和国间的关系。
2、北极冰川融化对国际贸易的影响(11分)北极冰川融化对生态环境的影响(10分)。
3、论述题(10分)，给定三段材料，大致内容为：网络在线阅读的弊端在于内容冗杂，使阅读的有效性降低。
它的浏览方式使得读者无法进行更深层次的思考。
网络在线阅读方式的出现所引发的争议在打印机打印取代传统手写等过程中同样有过。
请结合材料分析，人们利用网络在线阅读得到的比失去的要多。
4.阅读材料，回答问题。
材料一“各级领导干部要自觉贯彻群众路线、切实转变作风，多做顺民意、解民忧、得民心的实事，坚决纠正损害群众利益的行为。
”——胡锦涛材料二某地政府官员以破坏了政府办公楼的“风水”为由要强行拆除一座楼房，遭到抵制后说出了“跟政府作对就是恶”的话，在网络上被称为“最雷人官话”之一。
在现实生活中，政府的具体行为并非总是与民众的意愿一致，有时甚至会产生矛盾冲突。
从人民与政府的关系来看，为什么不能说“跟政府作对就是恶”？理科：物理70分，化学30分。
华师一自主招生数学试卷及答案2011年
5 如果多项式 x2 + px +12 以 解成两个一 因式的 那么整数 p 的值是
6 如 图所示 P 是边长为 1 的 角形 ABC 的 BC 边 一点 从 P 向 AB 作垂线 PQ Q 为垂足 延长 QP AC 的延长线交于 R 设 BP= x
0 ≤ x ≤ 1 △BPQ △CPR 的面 之和为 y 把 y 表示为 x 的函数是
6 1 方程有两个实数根 则 m2 − 1 ≠ 0 解方程得
x1
=
6 m +1
x2
=
3 m −1
故m = 2
题意 得 m +1 = 1, 2, 3, 6, 即 m = 0,1,2,5,
m −1 = 1,3,
m = 2,4.
2 把 m = 2 代入两等式 化简得 a 2 − 4a + 2 = 0 b2 − 4b + 2 = 0
5
55
又 点 C3 点 C2 关于原点对
得 C3 − 2 5, − 4 5 55
Байду номын сангаас
N
C
若
等腰
角形以 OA 为
边
则 C4 的纵坐标为 1
1 从而其横坐标为
得 C4
1 ,1
.
2
2
所以 满足题意的点 C 有 4 个 坐标 为
8 ,16 55
2 5, 4 5 55
− 2 5,− 4 5 55
C4 1 ,1 2
1
列图中阴影部 面
算式
−
3 4
+
1 2 2
+ 2−1 的结果相同的是………………
2 列命题中 确的个数有…………………………………………………………… 实数 是有理数就是无理数 a a a 121 的平方根是 ±11 在实数范围内
2011年清华自主招生数学试题和答案解析
2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试数学注意事项：1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足|z|<1且15|z+|2z=，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 12解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2z =整理得22221174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z |=12=（2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A13 B 16 C 18 D 112解析：设2AB =,容易算出2PB =,以底面中心为原点建立空间坐标系，1111(1,1,0),(1,1,0),(,,(,,222222D A M N ------，由1cos 6|DM AN ||DM ||AN |θ⋅==⋅uuu u r uuu ruuuu r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ）A 2B 1C 1-D 2-解析：32221(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ，()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =-（4）若23A B π+=,则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）A.312-， B.1322，C.11D.112， 解析：2222211cos cos cos cos ()1cos(2)323A B A A A ππ+=+-=++，选B （5）如图，1O e 和2O e 外切于点C ，1O e ，2O e 又都和O e 内切，切点分别为,A B . 设AOB ACB αβ∠=∠=，，则（ ） A cos sin02αβ+= B sin cos02αβ-=C sin 2sin 0βα+=D sin 2sin 0βα-= 解析：连接12O O 过点C ，设12CAO CBO ∠=∠∠=∠，，12O C O C 、，则+1+2=+21+22=βαπ∠∠∠∠,即2=βαπ-，只有D 是错的。
2011年华约自主招生样卷
2011年华约自主招生样卷2011年华约自主招生样卷理科考题一、现代文阅读十二点的列车［埃及］舒尔巴吉著郅溥浩译正午时分，时钟照例敲了十二下。
火车慢慢起动。
就在这当儿，麦斯欧德迅速跳上最后一节车厢。
车厢里挤满了乘客，一个空位子也没有，连过道上都站满了人。
他决心为自己找一个座位，不能这样站一路。
他看见有个座位上放着一只手提包，想先去抢座，免得给别人占去。
他从站在过道上的人中用肩头艰难地为自己开路，终于走到那座位前。
他伸手将包拎起，问也没问一声就将它塞到座位底下。
坐在对面的一位姑娘大声嚷起来，问他要干什么？他冷冷地反问道：这是你的提包吗？是我的！那好！位子是给人坐的，不是放提包的！说完他便仰靠在座位上，带点歉意地向那姑娘微笑。
姑娘把脸到一边，没理他。
一小时后，火车在下一站停车。
检票员走过来查票。
他在一位乘客面前停下来，要车。
那乘客回答说：我买的是到终点站的票！所有乘客的票都是到终点站的。
但每站都必须有一些乘客要下去，给新上来的乘出地方。
真是怪事，世界上没有一列火车会发生这种事。
我们这次列车有自己的规定。
你必须下去！先生，我求你……听着，如果你再不下去，我就命令乘警把你从窗口扔下去！等等，让我再买一张票。
没有新票卖给你。
可是……你是在有意浪费我的时间……检票员对身后的四名乘警示意，让他们把这乘客从车窗扔出去。
说时迟，那时快，像闪电般扑向那乘客，迅即抓住他把他从窗口扔了出去。
一会儿火车便开动了，那乘客的呼唤声渐渐消失。
检票员和乘警在乘客的惊惧中离开了车厢。
麦斯欧德看了看姑娘，禁不住和她攀谈起来。
姑娘由于刚才的惊恐，也希望有个人己说说话，减轻一下刚才目睹的事给她造成的心理影响。
麦斯欧德说道：刚才是怎么回事？不知道！不敢相信刚才看见的事实……那就让我们忘掉它。
你叫什么名字？可我不了解你……那好，让我先作自我介绍吧。
我叫麦斯欧德，是个农业工程师，教过书，后来辞干了。
现在我到终点站去领取分给我的土地，我要在那儿耕耘播种，成家立业。
2011年华约自主招生样题分析
2011年华约自主招生样题分析阅读写作语文教师刘学艳英语教师郭静中文部分分现代文阅读、文言文阅读、作文三大题。
现代文《十二点的列车》从文学鉴赏的角度考查学生对文本的个性化解读能力，与巴尔扎克、契诃夫等人的风格类似，让学生能够把课内所学的知识迁移到这篇文章中来，既考查了学生的阅读鉴赏能力，又体现了语文学习的开放性和经典性。
古文部分考查断句和翻译句子，均为课外内容，需要学生具有良好的古文理解力。
写作部分以传统方式考查了一段新型材料，文体是高中学生非常熟悉的给材料议论文，材料兼顾中英文理解。
本次试卷能够很好地考查学生的语文运用能力和语文素养，较好地体现了新课程对高中生语文能力的要求。
英文部分阅读部分的设计，属于根据文章内容选出恰当句子使文章内容完整的新题型。
此类题型考查的灵活度更高，更高层次地考查了考生英语的综合运用能力。
作文部分的设计，使中文和英文两种语言学科结合，既考查了学生对于语文作文的理解能力，又考查了学生的英文写作水平和用英文进行思维、表达交流的能力。
■数学王红革副校长数学教师王斌突出数学学科的基础知识、基本方法、基本能力和基本思想的考查，对中学数学教学有较好的导向作用。
如对复数、排列组合、集合等知识的考查要求学生基本概念清楚、基本公式熟练；试题不刻意追求知识点的覆盖面，如立体几何试卷样题中未反映，但突出高中数学中的主干内容；重点考查用数学知识解决问题的能力，有较大的灵活性，但并不偏、难、怪；突出对思维能力和解题技巧的考查。
圆锥曲线综合题的考查，除了对字母运算有较高的要求外，还突出对数学思想方法、算理和思维策略的考查，试题思维含量大，要有一定的解题技巧。
■自然科学物理教师张茂谊化学教师张天颐试卷学科之间综合程度不大，基本为各学科独立试题，其中物理学科题量占三分之二。
从题型、题量以及理解、运用主干知识和对学生几大能力的要求等方面来看，与高考要求基本相同。
对学生知识掌握程度方面的要求，与课程标准和考纲无异，但对于深层次理解知识，进而灵活运用知识分析和解决问题方面，体现出较高要求。
2011-2013华约数学
2013一、已知集合A ={}|10x Z x ∈≥,B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件：⑴数字两两不相等，⑵任意两数字之和不等于9. 试求：（Ⅰ）B 中有多少个两位数？有多少个三位数？（Ⅱ）B 中是否有五位数？是否有六位数？（Ⅲ）将B 中的元素从小到大排列，第1081个元素是多少？二、已知1sin sin3x y +=，1cos cos 5x y -=，求sin(x - y ) , cos(x + y )的值 三、设k > 0，从直线y = kx 和y = -kx 上分别选取点A (x A , y A ) , B (x B , y B ) ,使得x A ⋅x B > 0 , |OA |⋅|OB |=1+k 2 ,O 为坐标原点，AB 的中点M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求C 的轨迹方程；（Ⅱ）抛物线x 2=2px (p >0)与C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程四、7个红球和8个黑球，从中任取4个。
（Ⅰ）求恰好有一个红球的概率（Ⅱ）社四个求中黑球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX 。
（Ⅲ）求当四个求均为一种颜色时，这种颜色为黑球的概率。
五、已知a n +1 = a n + ca n 2，n = 1 , 2 , 3 , ……, a 1 > 0 ,c > 0，（Ⅰ）对任意的M > 0，存在正整数N ，使得对于n > N ，恒有a n > M ；（Ⅱ）设11+=n nca b ，S n 为{b n }的前n 项和。
证明：{S n }有界且对d >0，存在正整数k ，当n > k 时，恒有d ca S n <-<11。
六、已知x 、y 、z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(xy -1)(yz -1)(zx -1)，求x 、y 、z 的所有可能的值。
七、已知f (x )=(1-x )e x -1.（Ⅰ）证明：当x > 0时，f (x ) < 0；（Ⅱ）若11-=+n n x x n e e x ，x 1=1，证明数列{x n }递减，且nnx 21>.2012（1）在锐角ABC ∆中，已知A B C >>,则cos B 的取值范围为（ ）(A)2(0,)2 (B) 12[,)22 (C) (0,1) (D) 2(,1)2（2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 （3）正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（ ）(A)αβθγ<<< (B)αβγθ<<< (C) αγβθ<<< (D) βαγθ<<<（4）向量a e ≠，||1e =。
2011年华约自主招生联考数学试题解析
2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学试题答案解析注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足||1z <且15||2z z +=，则||z = （A ）45 （B ）34（C ）23（D ）12【答案】D 解：由15||2z z +=得25||1||2z z +=，已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2（舍去），12。
2．在正四棱锥P-ABCD 中，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为2。
则异面直线DM 与AN 所成交角的余弦值为（A ）13 （B ）16 （C ）18（D ）112【答案】B[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。
本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2。
如图建立坐标系，则A (1，-1，0)，B (1，1，0)，C (-1，1，0)，D (-1，-1，0)，P (0，0)，则1111(,,(,,)222222M N -，31213(,,),(,,222222DM AN =-=-。
设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==。
解法二：如图，设底面边长为2。
平移DM 与AN 在一起。
即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB= AB = 2，所以QN = AN =而AQ =容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。
2011年“华约”自主招生笔试试卷评析暨2012年备考建议
—
ｔｎＡ ａ
ｓ２ ｉ ｃ的倒数成等差数列 ，求 ｃ Ｃ的值 ｎ 。 Ａ－
．
ＡＥ ，— Ｃ Ａ—
ＤＦ －Ｄ— ’— Ｅ ，
Ｂ
ｃ
解 （ ） ｔ Ｃ： ｔ （ ＋ ） Ｉ ａ ｎ 一ａ Ａ Ｂ ： ｎ
ｔｎＡ ＋ｔｎＢ ａ ａ
’
整
Ａ— Ｂ
且Ｙ — ＋Ｚ Ｘ：１ ，则 Ａ ＤＦ面 积 的最 大值 为 Ｂ
６
Ｃ
．
Ｄ． ８ １ ２
３ 个省市的 ３ 个城市的考点进行 ， ０ ３ 考生可就近 自由
选择 ． 报考“ 华约” 的考 生要注意 ，７ 所高校虽然统一 招考 ，但各校招 生范围各有不同．
评析 选 Ｂ．本题通过对异面直线的夹角的求法 的考查 ，检测学生数形结合思想及空 间想象能力、 运算求解能力 ．建立空间直角坐标系，借助向量法， 问题便可迎刃而解 ． 此外 ， 本题也可将线段 ３ ） １ ｆ ， 平移 到Ⅳ （ Ｑ Ｑ是 Ｄ Ｃ中点 ） ，作出夹角所在的三角形后 通过解三角形求值 ．
Ｄ ． ｓｎ２ 一ｓｎ口 ＝０ ｉ ｉ
在解决解析几何 问题中的主导地位 ．考 生可直接利 用直 线与抛物 线相交 的条件 ，通 过联立 方程组及 ＺＦ Ｏ Ａ可得交点分别为 （ ２２２ ２２ ， ３ ２ ２ ３ ４ ，＋－） Ｂ（— ４ ， ＋ ］
评析 选 Ｄ． 本题以平面几何 中圆的相切为背景 ， 考查学生数形结合 、转化与化归的数学思想 ．连接
完 善认 知结 构 ， 到举一 反 三、融会 贯通 的效 果 ． 达 另
一
用相关的知识、规律、信息建构“ 桥梁” ，找到突破 点 ．必要时 ，学会取舍 ，合理安排时间，完成 自己
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2011年华约试题解析一、选择题(1) 设复数z满足|z|<1且15||2zz+=则|z| = ( )4321 A B C D5432解：由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2（舍去），12 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面DM与AN所成角的余弦为( )1111A B C D36812[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。
本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，，则1111(,,),(,,)222222M N-，3113(,,(,,222222D M AN=-=-。
设所成的角为θ，则1cos 6D M A N D M A Nθ== 。
解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为DM 与AN 在一起。
即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN =AQ = ΔAQN 的顶角1cos 6A N Q ∠=。
解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。
即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。
以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )A 2B 1C 1D 2 - -此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 () 3131A 1B ,C 1D ,122222222--+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222ABA B A B +++=+=++11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。
我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。
解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221O O O O O O πα∠+∠=-，111212O A C O C A O O O ∠=∠=∠，222112O BC O C B O O O ∠=∠=∠，故1212211()22O C A O C B O O O O O O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O C A O C B παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=。
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212O O O O O O πα-∠=∠=，1212124O C A O C B O O O πα-∠=∠=∠=，12()2O C A O C B παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=。
(6) 已知异面直线a ，b 成60°角。
A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( ) A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个 [分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。
因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。
于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。
答案是4个。
(7) 已知向量131(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c x a y b z c ==--=-++=则222x y z ++ 的最小值为( )43A 1BCD 232解：由(1,1)xa yb zc ++=得1()122211222y z y z y z y z x x ⎧⎧-+=--=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y+ z ，y - z三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=-⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B(8)AB 为过抛物线y 2 = 4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠= ，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则A C B ∠的正切值为 ()A B C D 533解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 = 4x 联立，解得A B (3+2+ (3-2- ，，于是22C A C B k k ==，tan 1C A C B C A C Bk k AC B k k -∠==+，答案A解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠B AD = 45°，EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD ，BF = BC ，求∠AEB 。
tan tan 2D E G F AEF EAD ADAF∠=∠===。
类似的，有tan tan 2BEF EBC ∠=∠=，2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A解：B D F B D E B D E D F S S zS D E∆∆∆==，(1)B D E A B E A B E B D S S x S A B∆∆∆==-，A B E A B C A B C AE S S yS AC∆∆∆==，于是(1)2(1B DF AB CS x y z S x y z∆∆=-=-。
将11y z x y z x +-=+=+，变形为，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须12x y z +==，于是21(1)(1)2B D F S x x ∆=-+，解这个一元函数的极值问题，13x =时取极大值1627。
(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。
如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角。
事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B ，所以∠D 为钝角。
这样就排除了B ，C 。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D = 180°-∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。
所以答案是D 。
二、解答题解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 3B B π==。
又11222sin 2sin 2sin 2sin3ACBπ+===，sin 2sin 2sin 2sin 2A C A C+=，sin()cos()cos 2()cos 2()A C A C A C A C +-=--+sin()sin 2A CB +==，1cos 2()cos 22A CB +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，cos124A C -=，（12）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。
质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。
（I ）若b = 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？解：不妨设水杯高为1。
（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。
水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+ (II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。
设装x 克水。
这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x 。
水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x b，水面位置为x b ，于是122x a x x b a x b+=+，解得x a =（13）已知函数21()(1)1()2xf x f f ax b ===+2，，3。
令111()2n n x x f x +==，。
(I)求数列{}n x 的通项公式； (II)证明12112n x x x e +>。
解：由12(1)1()1()21xf f a b f x x =====+2，得，3(I)先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+。
用数学归纳法证明。
当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即11221k k k x --=+，则122()121kk k k k k x x f x x +===++，得证。
(II) 我们证明12112n e x x x +> 。
事实上，12111112(1)(1)(1)242nn x x x +=+++。