“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题
（满分150分）
5. 设P 是抛物线2
440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,
且分PA
所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .
第二部分：解答题（共5小题 每题20分）
1设集合()1
2log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围
2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于1
2-P 个
3. 设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22
ππ
θθ∈-,
使向量2
(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .
(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.
4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线2
4y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.
(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.
5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,222
2θπ
θθn b a A b
a a
b b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数
参考答案
一、选择题
1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有2
2
sin 4cos αα=,即2
2
1cos 4cos αα-=.
则2
1cos 5
α=,原式=2222
16cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2.
设
x a bi
=+,
,a b R
∈,代入原方程整理得
22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=
有2
2
22560450
a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232
a b ⎧=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.
3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则
])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.
)2201515(2)22015()22015(22
+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个
位数字为零.
因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.025
5220
155220150=<
+=
-<， 且19
88)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.
又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722
877
n n k n --==+
. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．
5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)
3
y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+
而2
000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是2
91240y x --=. 二、解答题
1. 解：{}
13A x x =-≤<，()(){}
30B x x a x a =--<．
当0a >时，{}
03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<；
当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；
当0a =时，{}
2
0B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符．
综上所述，()()1,00,3a ∈-
2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。

这些集合中没
有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。

这样在m A A A ,,,21 中至多有A （所有P 条建议所组成的集合）的
1222
1-=⨯P P
个子集，所以.21-≤P m
3. 解:(I)
由
c d
⊥ ,
110
22
a b ⋅=⋅= ,得
2
[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+
=223(tan 3tan )0ma b θθ-+-= ,即22
3
(tan 3tan )m a b θθ=- ,得
31(tan 3tan )()422
m ππθθθ=--<<.
(II)由tan t θ=,得3
1()(3),4
m g t t t t R ==-∈
求导得''
23()(1)4
m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t =
当(,1)t ∈-∞-,'
()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'
()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数. 所以当1t =-,即4
π
θ=-时,()m g t =有极大值
12;当1t =,即4
π
θ=时,()m g t =有极小 值1
2
-
.
4．解:(I)1(1,0)F ,12AF BF ==设2(,)F x y 则
121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹
方程为1x =和
22
(1)(2)184
x y --+=(0,4y y ≠≠) (II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:
22
(1)(2)184
x y --+= ①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上, 知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点,
把y x m =+代入椭圆的方程并整理得22
3(104)2810x m x m m --+-+=
由0∆=,得1m =±
【评述】把n A 为与复数n
i )sin (cos θθ+联系在一起是本题的关键。