2013华约自主招生数学试题及答案

2013“华约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分100分)1.(10分)集合,为的子集,若集合中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9 (1)中两位数有多少？三位数有多少？ (2)中是否有五位数？六位数？(3)若将集合的元素按从小到大的顺序排列,第个数为多少？【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.(1)两位数有个; 三位数有个;(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;(3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有个,因此第1081个元素是4012.2.(15分),,求与的值 【解】由……①,……②,平方相加得;另一方面由①可得……③ 由②式可得……④,由③/④式得,也所以即求.3.点在上,点在上,其中,,且在轴同侧. (1)求中点的轨迹;(2)曲线与相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程.{|10,}A x x x N *=≥∈B A B B B B 1081B 22215242272C A C ⨯⨯-⨯=333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=B 4443335443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=3334332576C A ⨯⨯⨯=1sin sin 3x y +=1cos cos 5x y -=sin()x y -cos()x y +1sin sin 3x y +=1cos cos 5x y -=208cos()225x y +=12sin cos 223x y x y +-=12sin sin 225x y x y +--=3tan 25x y -=-22tan152sin()171tan 2x y x y x y --==--+A y kx =B y kx =-0k >2||||1OA OB k ⋅=+A B 、y AB M C C 22(0)x py p =>【解】(1)设,,则, 由得,,显然,于是得,于是中点的轨迹是焦点为,实轴长为2的双曲线.(2)将与联立得,由曲线与抛物线相切,故,即,所以方程可化为,即切点的纵从标均为,代入曲线得 横坐标为即求.因此切点分别在定直线,两切点为,又因为,于是 在处的切线方程为,即; 同理在处的切线方程为.4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球. (1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数的分布列及期望; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为;(2)易知的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,,,,, 1122(,),(,)A x yB x y (,)M xy 1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===2||||1OA OB k ⋅=+121x x =22121212()()44x x x x x x +--==2221(0)y x k k-=>AB M C (22(0)x py p =>2221(0)y x k k-=>22220y pk y k -+=C 242440p k k ∆=-=1pk =2220y ky k -+=y k =C x x ==),()D k E k xy p'=)D k (y k x p -=1y x p p =-()E k 1y x p p=--X ()E X 137841556195C C C =X 474155(0)195C P X C ===137841540(1)195C C P X C ===227841584(2)195C C P X C ===137841556(3)195C C P X C ===,即的分布列为:所以其数学期望为 (事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为即求. 5. (15分)数列均为正数,且对任意满足为常数).(1) 求证:对任意正数,存在,当时有; (2)设,是数列的前项和,求证:对任意,存在,当时,. 【证明】:(1)因为对任意的满足,所以,又因为, 所以,所以 故对任意的正整数,存在,当时有; (注:表示不超过的最大正整数.) (2)由可得,,所以; 也所以,即 且由(1)知,所以, 4841510(4)195C P X C ===X 540845610320123419519519519519515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=83241515EX =⨯=48447823C C C =+{}n a *n N ∈21(0n n n a ca a c +=+>M N *N ∈n N >n a M >11n n b ca =+n S {}n b n 0d >*N N ∈n N >110||n S d ca <-<*n N ∈0n a >21n n n n a ca a a +=+>0c >22111121()n n n n n n n n a a c a a a a a a a a +----=-+->->>-2112211211()(1)()(1)n n n n n a a a a a a a a n a a n a ---=-+-++-+>--=-M *21{1,[]2}MN N a =+∈n N >n a M >21M a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21Ma 21(1)n n n n n a ca a a ca +=+=+111n n n a ca a +=+211111111n n n n n n n n n n ca a a ca ca a ca a ca ca ++++-===-+11111nn ii n S bca ca =+==-∑11110n n S ca ca +-=>211n a na +>21111n ca nca +<即对任意,存在,当时,有. 6. (15分)已知是互不相等的正整数,,求. 【解】本题等价于求使为整数的正整数,由于是互不相等的正整数,因此,不失一般性不妨设,则,于是,结合为正整数,故, 当时,,即,于是,所以, 但另一方面,且为正整数,所以矛盾,不合题意.所以,此时,于是,即, 也所以,所以,又因为,所以; 于是,所以,即,又因为,所以, 经检验符合题意,于是符合题意的正整数有=(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同.7. (15分)已知求证:(1)当,;(2)数列满足,求证:数列单调递减且. 【解】(1)当时,,所以在上递减,所以. (2)由得,结合,及对任意,利用数学归纳法易得对任意正整数成立,由(1)知,即, 即,因为,所以,即,所以数列递减,下面证明,用数学归纳法证,设,则,0d >211max 1,N dca ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭n N >110||n S d ca <-<,,x y z |(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,,x y z (1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++,,x y z ,,x y z |1xyz xy yz zx ++-x y z >>13xyz xy yz zx yx ≤++-<3z <z 1,2z =1z =|1xy xy y x ++-|1xy y x +-12xy xy y x x ≤++-<2y <y z >2y ≥2z =2|221xy xy y x ++-2221xy xy y x ≤++-221xy y x ≤+-224xy y x x <+<4y <2y z >=3y =6|55x x +655x x ≤+5x ≤3x y >=4,5x =5x =,,x y z (,,)x y z ()(1)1xf x x e =--0x >()0f x <{}n x 111,1n n x xn x e e x +=-={}n x 12n n x >0x >()0xf x xe '=-<()f x (0,)+∞()(0)0f x f <=11n nx x n x ee +=-11n n x x ne ex +-=11x =0,1xx e x >>+0n x >n ()0n f x <1n n xxn e x e -<1n n x x n n x ex e +<0n x >1n n x x e e +<1n n x x +>{}n x 12n n x >1()x e g x x -=221()()x x xe e f x g x x x -+'==-由(1)知当时,,即,故在递增,由归纳假设 得,要证明只需证明,即,故只需证明,考虑函数,因为当时,所以,故在上递增,又,所以,即,由归纳法知,对任意正整数成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.0x >()0f x <()0g x '>()g x (0,)+∞12n nx >1()()2n n g x g >1112n n x ++>1112n n xe e ++>112()n n g x e +>1121()2n n g e +>2()()xh x xg x xe =-0x >212xx e >+222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>()h x (0,)+∞102n >1()02n h >1121()2n n g e +>12n n x >n。