2013华约自主招生数学试题及答案
2013年“华约”自主招生数学全真模拟(附详案)

2011 am 2 ,则正整数 m 的最小值为( 2012
A 4025 B 4250 C 3650
8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 1,2,,9
的 9 个小正方形(如图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且 “3、5、7”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120 9.设
2
2
14.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,设 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c 向量 m ),若 | m n | 2, (1)求角 A 的大小; (2)若 b 4 2 , 且c
2a, 求ABC 的面积.
(I)求 F
1 2 2008 F ... F ; 2009 2009 2009
(II)已知数列 an 满足 a1 2 , an1 F an ,求数列 an 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an 2n 1 .
(1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是否存在定 点 M 使得 QFM 2QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
12.(本小题满分 14 分)已知函数 F x
3x 2 1 , x . 2x 1 2
并且 m+n=636,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为( (A)60 个 (B)70 个 (C)90 个
) . (D)120 个
7 . 数 列 an 定 义 如 下 : a1 1, a 2 2, an 2
---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题

取到三个,设其中三个分别为 3a r、3b r 、3c r , 则 (3a r ) (3b r ) (3c r ) 3(a b c r ) ,不可能为素数 .所以每类数最多只能取两
个.
结合上述两条,我们知道最多只能取 2 2 4个数,才有可能满足题设条件 .
另一方面,设所取的四个数为 1、 7、 5、 11,即满足题设条件 .
最上面一行的红色车位置选定后, 中间一行的红色车位置有 5 种选择; 上面两行的红色车位 置选定后, 最下面一行的红色车位置有 4 种选择。 三辆红色车的位置选定后, 黑色车的位置
3
有 3! =6 种选择。所以共有 C6 6 5 4 6 14400 种停放汽车的方法 .
3.已知 x2 2 y 5, y 2 2 x 5 ,求 x3 2x 2 y 2 y 3的值 .
.否则,若三类数都有取到,设所取
数为 3a , 3k 1 型数为 3b 1, 3k 2 型数为 3c 2 ,
3k 型
则 3a (3b 1) (3c 2) 3(a b c 1) ,不可能为素数 .所以三类数中, 最多能取到两类 .
其次, 我们容易知道, 每类数最多只能取两个 .否则, 若某一类 3k r (r 0、1、2) 型的数至少
综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数
.
8 . 已 知 a1、 a2、 a3、 、 a2013 R , 满 足 a1 a2 a3
a2013 0 , 且
a1 2 a2
a2 2 a3
a23
a4
a22 0 1 2 a
2 0 2a,1 3 求 a2证0 1 :3
1
a1 a2 a3
a2013 0 .
5.数列 an 满足 a1 1,前 n 项和为 Sn , Sn 1 4an 2 ,求 a2013 . 解析:根据条件知: 4an 1 2 Sn 2 an 2 Sn 1 an 2 4an 2 an 2 4 an 1 4an . 又根据条件知: a1 1,S2 a1 a2 4a1 2 a 2 5 .
一道2013年“华约”自主招生题的解法及推广

一
或
P
/
一 .
,
于是 切线 方 程 为
—P Y 一1 =0 或
得何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
据 :入 痂 , 得
i
P
+ PY + l= 0.
. _ 观 l = z 蒜
’ 根
在本题 中, 不仅 I OAi . I O BI 是一个与直线 Y= k x的斜 率 k有 关 的 量 , 而 且 点 M 是 AB 中 点. 点 和 点 B 分 别 所 在 的直 线 Y= k x与 Y= k x又关于 轴对称. 如果 1 OA I . 1 OBl 是一 ‘ 个 与k 无 关的常数, 且 点 M 是 线 段 AB 的任 一 分 点, 点 和 点 B分 别 所 在 的直 线 又 是 任 意 两 条 直 线 ,那 么 点 M 的 轨 迹 方 程 又 该 如 何 ?笔 者
解 法二: 把 :
代入 。 一 =1 中
得o A . = f 1 . f 『 . c o s 2 0 : ( k 2 + 1 ) .
消去 X , 得Y 。 一2 p k Y +k =0 . 因为 曲线 C和
数 学教 学
抛物线相切. 所 以A =4 p 4 —4 k 2= 0 , 且 Y=
切, 求证 : 切 点分别在两条定直线上, 并求切线 方程 .
( 1 )分 析: 本 题 的关 键 是如 何 利用 I OA『 . 1 O BI :k 2 +1 , 由于 该条件 是关于线段 O A与 O B 的长 度 之 积 的一 个 等 式,所 以可 以分 别 从 两 点 间距 离 公 式 、 向量 ( 二 ) 与( = ) 百数 量 积
S =专 ( z 1 + x 2 ) ( v l — Y 2 ) 一 言 z 1 1 +  ̄ x 2 y 2
2013年“华约”自招第2题-一道奇妙有趣的三角函数题,做完后充分感到了数学的乐趣

【题目】
已知sinx+siny=1/3,cosx-cosy=1/5,求cos(x+y),sin(x-y),cos(x-y). 【温馨提醒:题目和解答过程都在第二页图中!可不看我的分析和感想】
【分析和感想】
1、用到了三角函数的很多结论,比如sin²t+cos²t=1,诱导公式,恒等变换,和差化积,tan(t/2)和sint,cost的转化公式。
2、看到这种形式的方程组,绝大多数同学心中的第一想法是两个方程的两边同时平方,求和,虽然不知道会算出什么,但肯定能求出
sin(x+y),cos(x+y),sin(x-y),cos(x-y)中的一个,试一试呗。
果不其然,算出了cos(x+y),具体过程见图中(1).
3、再接下来,碰到两个不同角度(此处是x,y)的三角函数的和(差),就会想到“和差化积”。
两个方程运用之后,最终得到tan[(x-y)/2]的值,但题目要求sin(x-y)和cos(x-y),有经验的人们立刻就会想到一个常用公式,即
tan(t/2)=sint/(1+cost)=(1-cost)/sint,进而得到关于sin(x-y)和cos(x-y)的方程组,具体见图中(2)方法二.
4、图中(2)方法一,绝对是我“歪打正着”得出来的。
结果将x换成x-y+y,将-y换成x-y-x,把x-y看做整体,展开①②后,正好就得到了方法二中的方程组。
当时我真的震惊了!我又一次感到了数学的乐趣!。
“北约”“华约”自主招生数学模拟试题

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题(满分150分)5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分:解答题(共5小题 每题20分)1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭,21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭.若A B ≠∅I ,求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作,全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议,且任何两个班级都至少有一条建议相同,但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ,b 均为正整数,且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证:对一切*N ∈n ,n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难,需将与x 相关数联系,转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+,由二项式定理知,对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数,且个位数字为零.因此,x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值, 因为2.0255220155220150=<+=-<, 且1988)22015()22015(-<-, 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题.4. 解:被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除,则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入,得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70.5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解:{}13A x x =-≤<,()(){}30B x x a x a =--<. 当0a >时,{}03B x a x a =<<<,由A B ≠∅I 得03a <<; 当0a <时,{}30B x a x a =<<<,由A B ≠∅I 得1a >-;当0a =时,{}20B x x =<=∅,与A B ≠∅I 不符.综上所述,()()1,00,3a ∈-U2. 证明:假设该校共有m 个班级,他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。
2011-2013华约数学

2013一、已知集合A ={}|10x Z x ∈≥,B 是A 的子集,且B 中元素满足下列条件:⑴数字两两不相等,⑵任意两数字之和不等于9. 试求:(Ⅰ)B 中有多少个两位数?有多少个三位数?(Ⅱ)B 中是否有五位数?是否有六位数?(Ⅲ)将B 中的元素从小到大排列,第1081个元素是多少?二、已知1sin sin3x y +=,1cos cos 5x y -=,求sin(x - y ) , cos(x + y )的值 三、设k > 0,从直线y = kx 和y = -kx 上分别选取点A (x A , y A ) , B (x B , y B ) ,使得x A ⋅x B > 0 , |OA |⋅|OB |=1+k 2 ,O 为坐标原点,AB 的中点M 的轨迹为C 。
(Ⅰ)求C 的轨迹方程;(Ⅱ)抛物线x 2=2px (p >0)与C 相切于两点,求证:两点在两条定直线上,并求出两条切线方程四、7个红球和8个黑球,从中任取4个。
(Ⅰ)求恰好有一个红球的概率(Ⅱ)社四个求中黑球的个数为X ,求X 的分布列及数学期望EX 。
(Ⅲ)求当四个求均为一种颜色时,这种颜色为黑球的概率。
五、已知a n +1 = a n + ca n 2,n = 1 , 2 , 3 , ……, a 1 > 0 ,c > 0,(Ⅰ)对任意的M > 0,存在正整数N ,使得对于n > N ,恒有a n > M ;(Ⅱ)设11+=n nca b ,S n 为{b n }的前n 项和。
证明:{S n }有界且对d >0,存在正整数k ,当n > k 时,恒有d ca S n <-<11。
六、已知x 、y 、z 是三个大于1的正整数,且xyz 整除(xy -1)(yz -1)(zx -1),求x 、y 、z 的所有可能的值。
七、已知f (x )=(1-x )e x -1.(Ⅰ)证明:当x > 0时,f (x ) < 0;(Ⅱ)若11-=+n n x x n e e x ,x 1=1,证明数列{x n }递减,且nnx 21>.2012(1)在锐角ABC ∆中,已知A B C >>,则cos B 的取值范围为( )(A)2(0,)2 (B) 12[,)22 (C) (0,1) (D) 2(,1)2(2)红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这6枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后,满足这种条件的不同的排列方式共有( )(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 (3)正四棱锥S ABCD -中,侧棱与底面所成角为α,侧面与底面所成二面角为β,侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ,相邻两侧面所成二面角为θ, 则,,,αβγθ之间的大小关系是( )(A)αβθγ<<< (B)αβγθ<<< (C) αγβθ<<< (D) βαγθ<<<(4)向量a e ≠,||1e =。
2013年华约自主招生数学试题解析

21.设},10|{Z x x x A ∈≥=,A B ⊆,且B 中元素满足:任意一个元素各数位的数字互不相同;任意一个元素的任意两个数字之和不等于9. (1)求B 中的两位数和三位数的个数; (2)是否存在五位数,六位数?(3)将B 中的元素从小到大排列,求第1081个元素.解析(1)所有的两位数共90个,其中数字相同的有9个,两数字之和为9的有9个, 所以B 中的两位数有90―9―9=72个;所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8=648个,其中含有数字0和9的有4×8=32个,含有数字1和8,2和7,3和6,4和5的各有4×8+2×7=46个, 所以B 中的三位数有648―32―46×4=432个;另解(1)将10个数字分为5组:(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),每组中的两数不能同时出现在一个元素中.对于两位数,若最高位为9,则共有2×4=8个,若最高位不为9,则共有2×4×4×2=64个,所以B 中的两位数有72个; 对于三位数,若最高位为9,则共有24A ×2×2=48个, 若最高位不为9,则共有14A ×2×24A ×2×2=384个, 所以B 中的三位数有48+384=432个;(2)对于五位数,若最高位为9,则共有44A ×2×2×2×2=384个, 若最高位不为9,则共有14A ×2×44A ×2×2×2×2=3072个, 所以B 中的五位数有3072+384=3456个; 显然B 中不存在六位数.(3)B 中的两位数和三位数共有72+432=504个, 在B 中的四位数中,千位上为1,2,3的各有192个,而504+192×3=1080个,所以第1081个元素应为四位数中,千位上为4的最小数,即4012.2.已知31sin sin =+y x ,51cos cos =-y x ,求)cos(y x +,)sin(y x -. 解析 由31sin sin =+y x ,得91=sin sin 2+sin +sin 22y x y x ……①由51cos cos =-y x ,得251=2cosxcosy cos +cos 22-y x ……②两式相加,得22534=251+91=)+cos(22y x -, 所以 225208=225171=)+cos(-y x . 又由31sin sin =+y x ,得31=2cos 2+sin 2y x y x - ……③ 由51cos cos =-y x ,得51=2sin 2+sin 2y x y x --……④ 两式相除,得53=2tan --y x , 所以 1715=259+153×2=2tan +12tan2=)sin(2-----y x yx y x .3.点A 在kx y =上,点B 在kx y -=上,其中0>k ,12+=k OB OA ,且A ,B 在y轴同侧.(1)求AB 中点M 的轨迹C 的方程;(2)曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切,求证:切点分别在两定直线上,并求切线方程.解析 (1)设),(11kx x A ,),(22kx x B -,021>x x , 由 12+=k OB OA ,得222222221221)1+(=)+)(+(k x k x x k x ,所以1=21x x .设点M 的坐标为),(y x M ,则2+=21x x x ,2=2=2121x x k kx kx y --所以 1==)y (2122x x k x -,即点M 的轨迹C 的方程为 1=222ky x -. (2)因为曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切,得 222=2k y y pk -, 由 0=4)2(=222k pk --∆,得pk 1=,此时p y 1=,两切点坐标为)1,2(p ,)1,2(p- ,即切点分别在两定直线2±=x 上.切线方程分别为0=12--py x 和0=1++2py x .4.7个红球,8个黑球,任取4个. (1)求恰有1个红球的概率;(2)记取黑球个数为x ,求其分布列和期望; (3)取出4球同色,求全为黑球的概率. 解析 (1)恰有1个红球的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=;(2)黑球个数为4,3,2,1,0=x ,黑球数为0的概率为4150847C C C 13×15×735=1955=;黑球数为1的概率为4151837C C C 13×15×78×35=19540=;黑球数为2的概率为4152827C C C 13×15×728×21=19584=;黑球数为3的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=;黑球数为4的概率为4154807C C C 13×15×710×7=19510=;其分布列为x 的数学期望为0×1955+1×19540+2×19584+3×19556+4×19510=1532.(3)由(2)知4球同色的概率为 195519510+19515=, 所以,取出4球同色,全为黑球的概率为 32=1951519510.5.已知21++=n n n ca a a , ,3,2,1=n ,0>1a ,0>c .(1)证明对任意的0>M ,存在正整数N ,使得对于N n >,M a n > (2)设1+1=n n ca b ,记n s 为n b 前项和,证明n s 有界,且0>d 时,存在正整数k ,kn >时d ca s n <1<01-. 解析 (1)由0>1a ,0>c ,知0=21+>-n n n ca a a ,于是11121121+++1=+=------))>()(-(---n n n n n n n n n n n n a a a a c a a ca a ca a a a122111+a a a a a a a a n n n n n n ->>->->----所以2112112211)1(n =))(1(n ++++=ca a a a a a a a a a a n n n n n --->------对任意的0>M ,要使M a n >,只需M ca n >)1(21-,1+>21ca Mn , 取]2+[=21ca MN ,于是N n >,M a n >.(2)1+1=n n ca b n n na ca a +=21+=n n a a 1+2=n n n a ca ca 1+1+=n n n n a ca a a -n ca 1=1+1n ca -, 所以 n s 11=ca 1+1n ca -,1+11=1n n ca ca s ->0, 由(1)知211+nca a n >,所以2121+1<1a nc ca n ,即1+11=1n n ca ca s -2121<a nc , 所以n s 有界; 令d 2121=a nc ,得 n 2121=a dc , 取k ]1+1[=212a dc ,则k n >时d ca s n<1<01-.6.设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数,求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(---zx y xy 的z y x ,,.解析 因为)1)(1z (1)(---zx y xy =z)+y +z(x z)(2xy xy -+zx y xy +z +-1, 而z)+y +z(x z)(2xy xy -能被xyz 整除, 于是只需zx y xy +z +-1能被xyz 整除即可.又z y x ,,是两两不等且大于1的正整数,不妨设z >>y x∴ ≤xyz zx y xy +z +-1xy 3<,即3<z ,∴2=z . 于是只需x y xy 2+2+-1能被xy 2整除,当然 12+2+≤2-x y xy xy ,即12+2-x y xy ≤,∴x x y xy 4<2+2<. 于是4<y ,∴ 3=y ,进而5≤x ,∴ 5=x ,4. 检验知2、3、5能使zx y xy +z +-1能被xyz 整除,∴ ),,(z y x )5,3,2(=)3,5,2(=)5,2,3(=)2,5,3(=)3,2,5(=)2,3,5(=.7.设1e )1(=)(--xx x f . (1)证明当0>x 时,0<)(x f ;(2)令1e =1+-n n x x n ex ,1=1x ,证明n x 递减且nn x 21>. 解析 (1)因为0=1e )01(=)0(0--f ,又当0>x 时,x x e x e x f )1(+=)('--x xe -=0<, 所以当0>x 时,0<)(x f ;(2)由1e =1+-n n x x n ex ,得nx x x e n n 1e =1+-,又x e x+1>,可得0>n x . 由(1)知0>x 时,0<)(x f ,0<1e )1(=)(--n xn n x x f ,1+e =1>e n n n x n x x n x e x -,∴1+e >e n n x x ,即n n x x <1+,n x 递减.下面用数学归纳法证明 n n x 21>.1=n 时显然成立,假设k n =(*∈N k )时,k k x 21>, 构造函数x1=)(-x e x g ,当0>x 时,)(x g 为增函数,∴)21(>)(k k g x g .又当0>x 时,2+1>2xe x,再设函数))((=)(2xe x g x x h -,则0))2+1(=2+1=)(222'>-()-(x e e e x e x h xx x x ,)(x h 在)÷∞,0(上是增函数, 0>)21(k h ,∴1+21>)21(k e g k , ∴121+>k e e x, 1121++>k k x , 由数学归纳法知,对于正整数n ,有n n x 21>.唤醒了夕阳 惆怅又向东流 月下琴音畅饮醉英雄 看战火重现 结义乱世流年 望落叶飘零 荒凉染遍诸侯裂B :W.K. 英雄 叹千古恨 巨澜 触动天河泪 看不凡少年 天涯结豪杰 铮铮铁骨 气宇千年传C :W.K. 痴狂一生一世任逍遥 智取江东少年出英豪 若饮醇醪忠诚万人仰 群英会唱剑舞荡气浩D :W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场 羽扇纶巾笑谈赤壁烧 三足鼎立一战千古扬 伊人相望把琴吟沧桑 间奏诗(Rap):苍狼 群雄逐鹿天下争江山 战场狼烟四起春秋乱 三国饥荒饮遍冷月光 红颜秋风断箫愁断肠英雄久经沙场定江山天下谁怜伊人多情泪美人挥泪提笔千古伤岁月只剩传奇来绝唱A1:W.K.吹断了秋风思念憔悴红颜月下风霜画满诗两行燃烽火岁月相约乱世流年叹饥饿兵荒血染君王风云变B1:W.K.对酒当歌论英雄沙场兵如千机变看不凡少年战场称豪杰铮铮铁骨气宇千年传C:W.K.痴狂一生一世任逍遥智取江东少年出英豪若饮醇醪忠诚万人仰群英会唱剑舞荡气浩D:W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场羽扇纶巾笑谈赤壁烧三足鼎立一战千古扬伊人相望把琴吟沧桑C:W.K.痴狂一生一世任逍遥智取江东少年出英豪若饮醇醪忠诚万人仰群英会唱剑舞荡气浩D:W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场羽扇纶巾笑谈赤壁烧三足鼎立一战千古扬伊人相望把琴吟沧桑。
2010-2013华约试题及答案(精校版+完整版)

2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1.设复数2()1a i w i +=+,其中a 为实数,若w 的实部为2,则w 的虚部为( ) (A )32- (B )12- (C )12 (D )322.设向量,a b ,满足||||1,==⋅=a b a b m ,则||+a tb ()t R ∈的最小值为( ) (A )2 (B(C )1 (D3.已知平面α//平面β,直线,m n αβ⊂⊂,点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π,AB n ⊥,AB 与m 的夹角为3π,则m 与n 的夹角为 度 (A )60 (B )45 (C )30 (D )22.54.正四棱锥P-ABCD 中,B 1为PB 的中点,D 1为PD 的中点, 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --(A )1:6 (B )1:5 (C )1:4 (D )1:35.在ABC ∆中,三边长,,a b c ,满足3a c b +=,则tan tan 22A C的值为( ) (A )15 (B )14 (C )12 (D )236.如图,ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ,其外接圆圆心为O ,过O 作OF 垂直BC 于F ,OH 与AF 相交于G ,则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )(A )1:4 (B )1:3 (C )2:5 (D )1:27.设()e (0)axf x a =>.过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ,曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ,则PQR ∆的面积的最小值是( )(A )1 (B (C )e2(D )2e 48.设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>,椭圆2222:14x y C a +=.若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率,则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A ) (B )2 (C ) (D )49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3色组合,则n 的最小值为( )(A )6 (B )7 (C )8 (D )910.设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点,用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转,用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射,设l 为过AB 中点与CD 中点的直线,用ω表示空间以l 为轴的180°旋转.设στ表示变换的复合,先作τ,再作σ。
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2013“华约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分100分)1.(10分)集合,为的子集,若集合中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9 (1)中两位数有多少?三位数有多少? (2)中是否有五位数?六位数?(3)若将集合的元素按从小到大的顺序排列,第个数为多少?【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.(1)两位数有个; 三位数有个;(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;(3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有个,因此第1081个元素是4012.2.(15分),,求与的值 【解】由……①,……②,平方相加得;另一方面由①可得……③ 由②式可得……④,由③/④式得,也所以即求.3.点在上,点在上,其中,,且在轴同侧. (1)求中点的轨迹;(2)曲线与相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程.{|10,}A x x x N *=≥∈B A B B B B 1081B 22215242272C A C ⨯⨯-⨯=333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=B 4443335443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=3334332576C A ⨯⨯⨯=1sin sin 3x y +=1cos cos 5x y -=sin()x y -cos()x y +1sin sin 3x y +=1cos cos 5x y -=208cos()225x y +=12sin cos 223x y x y +-=12sin sin 225x y x y +--=3tan 25x y -=-22tan152sin()171tan 2x y x y x y --==--+A y kx =B y kx =-0k >2||||1OA OB k ⋅=+A B 、y AB M C C 22(0)x py p =>【解】(1)设,,则, 由得,,显然,于是得,于是中点的轨迹是焦点为,实轴长为2的双曲线.(2)将与联立得,由曲线与抛物线相切,故,即,所以方程可化为,即切点的纵从标均为,代入曲线得 横坐标为即求.因此切点分别在定直线,两切点为,又因为,于是 在处的切线方程为,即; 同理在处的切线方程为.4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球. (1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数的分布列及期望; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为;(2)易知的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,,,,, 1122(,),(,)A x yB x y (,)M xy 1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===2||||1OA OB k ⋅=+121x x =22121212()()44x x x x x x +--==2221(0)y x k k-=>AB M C (22(0)x py p =>2221(0)y x k k-=>22220y pk y k -+=C 242440p k k ∆=-=1pk =2220y ky k -+=y k =C x x ==),()D k E k xy p'=)D k (y k x p -=1y x p p =-()E k 1y x p p=--X ()E X 137841556195C C C =X 474155(0)195C P X C ===137841540(1)195C C P X C ===227841584(2)195C C P X C ===137841556(3)195C C P X C ===,即的分布列为:所以其数学期望为 (事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为即求. 5. (15分)数列均为正数,且对任意满足为常数).(1) 求证:对任意正数,存在,当时有; (2)设,是数列的前项和,求证:对任意,存在,当时,. 【证明】:(1)因为对任意的满足,所以,又因为, 所以,所以 故对任意的正整数,存在,当时有; (注:表示不超过的最大正整数.) (2)由可得,,所以; 也所以,即 且由(1)知,所以, 4841510(4)195C P X C ===X 540845610320123419519519519519515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=83241515EX =⨯=48447823C C C =+{}n a *n N ∈21(0n n n a ca a c +=+>M N *N ∈n N >n a M >11n n b ca =+n S {}n b n 0d >*N N ∈n N >110||n S d ca <-<*n N ∈0n a >21n n n n a ca a a +=+>0c >22111121()n n n n n n n n a a c a a a a a a a a +----=-+->->>-2112211211()(1)()(1)n n n n n a a a a a a a a n a a n a ---=-+-++-+>--=-M *21{1,[]2}MN N a =+∈n N >n a M >21M a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21Ma 21(1)n n n n n a ca a a ca +=+=+111n n n a ca a +=+211111111n n n n n n n n n n ca a a ca ca a ca a ca ca ++++-===-+11111nn ii n S bca ca =+==-∑11110n n S ca ca +-=>211n a na +>21111n ca nca +<即对任意,存在,当时,有. 6. (15分)已知是互不相等的正整数,,求. 【解】本题等价于求使为整数的正整数,由于是互不相等的正整数,因此,不失一般性不妨设,则,于是,结合为正整数,故, 当时,,即,于是,所以, 但另一方面,且为正整数,所以矛盾,不合题意.所以,此时,于是,即, 也所以,所以,又因为,所以; 于是,所以,即,又因为,所以, 经检验符合题意,于是符合题意的正整数有=(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同.7. (15分)已知求证:(1)当,;(2)数列满足,求证:数列单调递减且. 【解】(1)当时,,所以在上递减,所以. (2)由得,结合,及对任意,利用数学归纳法易得对任意正整数成立,由(1)知,即, 即,因为,所以,即,所以数列递减,下面证明,用数学归纳法证,设,则,0d >211max 1,N dca ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭n N >110||n S d ca <-<,,x y z |(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,,x y z (1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++,,x y z ,,x y z |1xyz xy yz zx ++-x y z >>13xyz xy yz zx yx ≤++-<3z <z 1,2z =1z =|1xy xy y x ++-|1xy y x +-12xy xy y x x ≤++-<2y <y z >2y ≥2z =2|221xy xy y x ++-2221xy xy y x ≤++-221xy y x ≤+-224xy y x x <+<4y <2y z >=3y =6|55x x +655x x ≤+5x ≤3x y >=4,5x =5x =,,x y z (,,)x y z ()(1)1xf x x e =--0x >()0f x <{}n x 111,1n n x xn x e e x +=-={}n x 12n n x >0x >()0xf x xe '=-<()f x (0,)+∞()(0)0f x f <=11n nx x n x ee +=-11n n x x ne ex +-=11x =0,1xx e x >>+0n x >n ()0n f x <1n n xxn e x e -<1n n x x n n x ex e +<0n x >1n n x x e e +<1n n x x +>{}n x 12n n x >1()x e g x x -=221()()x x xe e f x g x x x -+'==-由(1)知当时,,即,故在递增,由归纳假设 得,要证明只需证明,即,故只需证明,考虑函数,因为当时,所以,故在上递增,又,所以,即,由归纳法知,对任意正整数成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.0x >()0f x <()0g x '>()g x (0,)+∞12n nx >1()()2n n g x g >1112n n x ++>1112n n xe e ++>112()n n g x e +>1121()2n n g e +>2()()xh x xg x xe =-0x >212xx e >+222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>()h x (0,)+∞102n >1()02n h >1121()2n n g e +>12n n x >n。