【人教版】数列的概念优秀课件
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数列数列的概念ppt课件
当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)． 令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1， 所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
4.1数列的概念(第二课时)课件(人教版)
初生兔子 成熟兔子 第1月 第2月 第3月
第4月 第5月
兔子总数（对）
1+0=1 0+1=1 1+1=2
1+2=3 2+3=5
斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
a3 a2 a1
a4 a3 a2 a5 a4 a3 ......
an an-1 an2
n N * 且n 3 此数列的递推公式
递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知， 并且数列{an}的第n项an与它的前一 项an－1(或前几项)的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子就叫
做这个数列的递推公式．
an
an1
1
nn 1
n
2，求an
an
2-
1 n
已知数列{an}满足 a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求 an.
an en1
a2 a1 ( 5 ) a3 a2 ( 5 ) a4 a3 ( 5 )
......
an an-1 ( 5 )
n N * 且n 2 此数列的递推公式
意大利数学家斐波那契，提出了一个关于兔子繁殖的问题：
假定在不死的情况下，一对兔子每月可以生下一对 兔子（一雌一雄），初生兔子在第三个月又能生一 对兔子。由一对初生兔子开始，50个月后会有多少 对兔子？
8
A 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
1＋1 n
，则
an＝(
)
A．2＋ln n
B.2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n
人教版高中数学选择性必修第二册4.1.1数列的概念与简单表示【课件】
（2） 之间的顺序能否交换？
答: (1) = ， = ，… ， =
（2） 中的 i 反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即 = 是
排在第1位的数， …… = 是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
所以，① 是具有确定顺序的一列数.
例如 ：数列-1，1，-1，1，-1，1，…
⑤递推公式法（下一节学习）
合作探究
数列的分类
分类
标准
按项
名称
含数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
集合中的元素可以是数字，也可以
是其他形式
数列中的数是有顺序的。如1，2，3
与2，3，1表示不同的数列
集合中的元素具有无序性，
如{1，2，3}={2，3，1}
同一个数在一个数列中可以重复出
集合中的元素具有互异性，
现，如1，1，1，…
如1，1，1，…组成的集合只能写为{1}
新知讲解
数列与函数
由于数列{ }中的每一项 和它的序号n有下面的对应关系：
数列{ }是从正整数集∗ （或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R的函数
其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第n项 ，记为 = ()
另一方面，对于函数 y=f(x) , 如果 f(n) ( ∈ ∗ ) 有意义，
那么
1 ， 2 ， … ， ， …
构成了一个数列 { f(n) }
（3）各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），常用符号 表示， 第2
答: (1) = ， = ，… ， =
（2） 中的 i 反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即 = 是
排在第1位的数， …… = 是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
所以，① 是具有确定顺序的一列数.
例如 ：数列-1，1，-1，1，-1，1，…
⑤递推公式法（下一节学习）
合作探究
数列的分类
分类
标准
按项
名称
含数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
集合中的元素可以是数字，也可以
是其他形式
数列中的数是有顺序的。如1，2，3
与2，3，1表示不同的数列
集合中的元素具有无序性，
如{1，2，3}={2，3，1}
同一个数在一个数列中可以重复出
集合中的元素具有互异性，
现，如1，1，1，…
如1，1，1，…组成的集合只能写为{1}
新知讲解
数列与函数
由于数列{ }中的每一项 和它的序号n有下面的对应关系：
数列{ }是从正整数集∗ （或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R的函数
其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第n项 ，记为 = ()
另一方面，对于函数 y=f(x) , 如果 f(n) ( ∈ ∗ ) 有意义，
那么
1 ， 2 ， … ， ， …
构成了一个数列 { f(n) }
（3）各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），常用符号 表示， 第2
人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列的概念(第1课时)【教学课件】
下列说法正确的是( ) A．1,2,3,4，…，n 是无穷数列 B．数列 3,5,7 与数列 7,5,3 是相同数列 C．同一个数在数列中不能重复出现 D．数列{2n＋1}的第 6 项是 13
D 解析：A 错误，数列 1,2，…，n，共 n 项，是有穷数列． B 错误，数列是有次序的． C 错误，数列中的数可以重复出现． D 正确，当 n＝6 时，2×6＋1＝13.
表示 a1，a2，a3，…，an，…，简记为 {an}
(2)分类 ①项数 有限 的数列叫做有穷数列，项数 无限 的数列叫做无穷 数列． ②从第 2 项起，每一项都 大于 它的前一项的数列叫做递增数列； 从第 2 项起，每一项都 小于 它的前一项的数列叫做递减数列．特 别地，各项 都相等 的数列叫做常数列．
________.
3－4n
1 5
解析：∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，aa23＝33－ －2223
＝15.
数列的概念
【例 1】下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪 些是无穷数列？ (1){1,3,5,7,9} ； (2)4,3,2,1,0 ； (3) 所 有 无 理 数 ； (4)1,2,3,4 ， … ； (5)2,2,2,2,2.
(3)各项加 1 后，分别变为 10,100,1 000，10 000，…，此数列的通 项公式为 An＝10n，可得原数列的通项公式为 an＝10n－1. (4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，其 通项公式为 An＝2n－1；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的 平方，其通项公式为 Bn＝(n＋1)2，分子的后一部分是减去一个自 然数，其通项公式为 Cn＝n，综合得原数列的一个通项公式为 an ＝n＋2n1－2－1 n.
数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.1.1数列的概念(共18张ppt)
4.1.1数列的概念
环节一：概念形成
1.王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数: 75，87，96， 103，110，116，120，128，138,145，153，158，160， 162，163，165，168. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
不能交换位置 具有确定的顺序
2.在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示15天中从第一 天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，80，96，112， 128，144，160，176，192，208，224，240.
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
不能交换位置 具有确定的顺序
3.
-1 的
2
n 次幂按
1
次幂、2
次幂、3
次幂、4 次幂……
依次排成一列数： 1 ，1 ， 1，1 ， . 2 4 8 16
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
不能交换位置 具有确定的顺序
①75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145
序号
项
追问1：数列是函数吗？
数列是一个特殊的函数 an f (n)
序号 项
数列 an 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数。 追问2：数列an 的自变量是？对应的函数值是？
自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项 an
问题4：自变量n如何取值，对应的函数值可以组成一个数列？
序号n
1 2 3 4…n…
②39.5, 41.2, 36, 37, 36, 38, 40, 39, 42, 37
③ 1 ，1 ， 1，1 ， . 2 4 8 16
问题1：上述三个例子的共同特征是什么？
环节一：概念形成
1.王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数: 75，87，96， 103，110，116，120，128，138,145，153，158，160， 162，163，165，168. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
不能交换位置 具有确定的顺序
2.在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示15天中从第一 天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，80，96，112， 128，144，160，176，192，208，224，240.
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
不能交换位置 具有确定的顺序
3.
-1 的
2
n 次幂按
1
次幂、2
次幂、3
次幂、4 次幂……
依次排成一列数： 1 ，1 ， 1，1 ， . 2 4 8 16
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
不能交换位置 具有确定的顺序
①75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145
序号
项
追问1：数列是函数吗？
数列是一个特殊的函数 an f (n)
序号 项
数列 an 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数。 追问2：数列an 的自变量是？对应的函数值是？
自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项 an
问题4：自变量n如何取值，对应的函数值可以组成一个数列？
序号n
1 2 3 4…n…
②39.5, 41.2, 36, 37, 36, 38, 40, 39, 42, 37
③ 1 ，1 ， 1，1 ， . 2 4 8 16
问题1：上述三个例子的共同特征是什么？
人教版数学第二章《数列的概念与简单表示法》教学(共21张PPT)教育课件
（ 5 ） 1 , 1 , 5 , 13 , 29 ; 2 4 8 16 32
（ 6 ） 1 ,0 , 1 ,0 ,1 ;
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式
③ {an}表示以 an为通项的数列{， an}即 表示 数列a1，a2，a3， ，an；而an表示这个 数列{an}中的第 n项，其n中表示项的位置 序号。
❖-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1
❖无穷多个1排列成的一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 ，
1，3，6，10，···
1，4，9，16，···
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63 1
1， 12，31，14，
2
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 35
那么
a22a11，
a32a21，
象 这 样 给 出 数 列 叫的 做方 递法 推 法 ， 其 中
an 2an1 （ 1 n1） 称为递推公式。
如果已知 {an}的 数1第 列 项（或 n项前 ），且an任 与一 它 的前一 an （ 1 项或n项 前）间的关系 个可 公以 式用 来一 表 那么这个公式 个就 数叫 列做 的这 递推公式。
例2 ：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基 （Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中， 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项， 请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐 标系中画出它的图象。
如果一{个 an}的 数首 列 a1 项 1，从 2项 第起每一项
的前一 2倍 项再 的1加 ，上 即 an2an1（ 1n1）
an 通项 n
公式
序号（正整数 或它的有限 子集）
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第一课时 数列的概念与简单表示法》课件
()
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．
()
(3)数列的项可以相等．
()
(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．所有正奇数的立方按从小到大的顺序组成数列，其前3项为______．
答案：1,27,125
知识点二 数列的分类与通项公式
[对点练清]
[多选]下面四个结论中正确的是
()
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集
{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的 解析：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C错；数列的通
项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公
(1)从图(2)开始观察每个图案从上往下的小正方形个数有什么规律？ 提示：按照1,3,5,7，…，1的顺序分布． (2)按照此图规律，f(6)为多少？ 提示：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
题型一 数列的概念及分类 [学透用活]
(1) 数 列 的定 义 中 要 把 握 两 个 关 键 词 ： “ 一 定 顺 序 ” 与 “ 一 列 数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“一定顺序” 排列着的，即确定的数在确定的位置上．
(2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列 中的某一个确定的数，它是一个函数值，即 an＝f(n)；而项数是指这个 数列共有多少项．
4.2.1等差数列的概念(第一课时)课件(人教版)
∴该数列不是等差数列． (2)∵7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0， ∴该数列是等差数列．
新知探究
(3)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d， ∴该数列是等差数列． (4)∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， 2m＋n－(m＋2n)＝m－n， ∴当 m＝2n 时，是等差数列； 当 m≠2n 时，不是等差数列．
2．已知等差数列{an}的首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝( C ) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
新知探究
新知探究
例 3. 在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c，使这五个数成等差数列，求此 数列． 解：∵－1，a，b，c，7 成等差数列，
如果用{an}表示数列① ，那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 数列②—④ 也有这样的取值规律。
新知探究
练一练：判断下列各数列是否为等差数列． (1)1，2，4，6，8； (2)7，7，7，7，7； (3)a－d，a，a＋d(其中，a，d 均代表数字)； (4)m，m＋n，m＋2n，2m＋n.(其中，m，n 均代表数字) 解：(1)∵2－1＝1，4－2＝6－4＝8－6＝2，1≠2，
人教A版 选择性必修第二册
第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念
教学目标
1.能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问 题的能力. 2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算. 3.掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列.
01
复习导入
02
新知探究
新知探究
(3)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d， ∴该数列是等差数列． (4)∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， 2m＋n－(m＋2n)＝m－n， ∴当 m＝2n 时，是等差数列； 当 m≠2n 时，不是等差数列．
2．已知等差数列{an}的首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝( C ) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
新知探究
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例 3. 在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c，使这五个数成等差数列，求此 数列． 解：∵－1，a，b，c，7 成等差数列，
如果用{an}表示数列① ，那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 数列②—④ 也有这样的取值规律。
新知探究
练一练：判断下列各数列是否为等差数列． (1)1，2，4，6，8； (2)7，7，7，7，7； (3)a－d，a，a＋d(其中，a，d 均代表数字)； (4)m，m＋n，m＋2n，2m＋n.(其中，m，n 均代表数字) 解：(1)∵2－1＝1，4－2＝6－4＝8－6＝2，1≠2，
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第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念
教学目标
1.能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问 题的能力. 2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算. 3.掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列.
01
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02
新知探究
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2
当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.
当q≠1时, 所以q=- 1
a
1
(1 1
q q
3
)=3a1q2,解得q=-
或1.
1 或1(舍去).
2
2
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
5.200源的过度使用，
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
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等比数列 (1) 等 比 数 列 定 义 ① a n 1 =q(非零常数) .(n∈N*),这是证明一 个 数 a列n 是 等 比 数 列 的 依 据 ， 也 可 由 an·an+2=an+12来判断. (2)等比数列的通项公式为② an=a1·qn-1 . (3) 对 于 G 是 a 、 b 的 等 比 中 项 , 则 G2 ＝ ab,G=③ ± a b .
A.是等比数列 B.当a≠1时是等比数列 C.从第2项起是等比数列 D.从第2项起是等比数列或等差数列
由Sn=an-3,可得 an=a-3 (n=1) (a-1)an-1 (n≥2).
当a=1时，数列-3,0,0,…0，为从2项起的 等差数列；
当a≠1时，为从第2项起的等比数列.
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6, 则a2011=（ A）
a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差 数列、等比数列的常用方法，其优点是思
路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
题型二 等比数列的判定及证明
例2 （2010·都昌模拟）已知数列{an}满
足:a1=1， an+1 =
1 2
an+n
q
q
,得q=2,
由an=a1·qn-1，得n=6.
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
点评 (1)对于“知三求二”问题，通常是
利用通项公式与前n项公式列方程组求解， 但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数 列的性质解题，就可化繁为简.
(2)当已知a1、q(q≠１)、n时，用公式
A.22010
B.22011
C.32010
D.32011
令{an}的公比为q， 则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6， 则a1=1，q=2，所以a2011=a1·q2010=22010.
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
3.若数列{an}成等比数列,则“a2010·a2012=16” 是“a2011=4”的（B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
典例精讲
题型一 等比数列的基本运算
例1 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.
分析 利用等比数列的性质，将a2an-1
转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等 比数列的通项公式与前n项和公式列方 程组求解.
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设所求的等比数列为a,aq,aq2,
则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32),
解得a=2,q=3或a=
2 9
,q=-5.
故所求的等比数列为2,6,18或
2
,- 1 0
,50
.
9 99
点评这 种 解 法 利 用 等 比 数 列 的 基 本 量
新课标高中一轮总复习
理数
等比数列的概念及基本运算
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等 于零的实数),那么数列{an}（ D）
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(4)特别要注意等比数列前n项和公式应
分为q=1与q≠１两类.当q=1时,Sn=④ na1;
当q≠１时,Sn=⑤
a1 (1 q n ) 或
1 q
Sn
a1 an q 1 q
.
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Sn=
a1 (1 q n ) 1 q
求和较为方便；当已知a1、q
（q≠１）、an时，则用公式Sn=
a1 an q 1 q
求
和较为方便.
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变式 一个等比数列有三项，如果把
第二项加上4，那么所得的三项就成等 差数列，如果再把这个等差数列的第 三项加上32，那么所得的三项又成等 比数列，求原来的等比数列.
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因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.
解方程组 a1an=128 a1+an=66,
解得 a1=64 ①或 a1=2 ②,
an=2
an=64
将①代入Sn=
a
1
1
a
n
q
q
,得q=
1 2
,
由an=a1·qn-1,得n=6.
将②代入Sn=
a
1
1
a
n
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
由a2010·a2012=16,则a2011=±4，充分性 不满足;
由a2011=4，则a2010·a2012=a20112=16.
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4.（2010·江苏溧水模拟）等比数列{an}中， S式n是q=数列{a-n1 }.的或前1 n项和，S3=3a3，则公
促使河水断流，从2010年起，该内河每
年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 ，
则到22 018年，该内河可行驶的河段长度
3
为
10k0m0×. ( 2 ) 9
3
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设an表示第n年船只可行驶 河段长度(2009为第一年）， 则 所aa以1n0=a=n1=23 010a00n0×-01(，×(23 a)1923=.)1n-010，0，
an-2n
(n为奇数） (n为偶数).
(1)求a2,a3,a4,a5；
(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列；
(3)在(2)的条件下，求数列{an}的前100项中 所有偶数项的和.
当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.
当q≠1时, 所以q=- 1
a
1
(1 1
q q
3
)=3a1q2,解得q=-
或1.
1 或1(舍去).
2
2
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5.200源的过度使用，
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等比数列 (1) 等 比 数 列 定 义 ① a n 1 =q(非零常数) .(n∈N*),这是证明一 个 数 a列n 是 等 比 数 列 的 依 据 ， 也 可 由 an·an+2=an+12来判断. (2)等比数列的通项公式为② an=a1·qn-1 . (3) 对 于 G 是 a 、 b 的 等 比 中 项 , 则 G2 ＝ ab,G=③ ± a b .
A.是等比数列 B.当a≠1时是等比数列 C.从第2项起是等比数列 D.从第2项起是等比数列或等差数列
由Sn=an-3,可得 an=a-3 (n=1) (a-1)an-1 (n≥2).
当a=1时，数列-3,0,0,…0，为从2项起的 等差数列；
当a≠1时，为从第2项起的等比数列.
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6, 则a2011=（ A）
a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差 数列、等比数列的常用方法，其优点是思
路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.
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题型二 等比数列的判定及证明
例2 （2010·都昌模拟）已知数列{an}满
足:a1=1， an+1 =
1 2
an+n
q
q
,得q=2,
由an=a1·qn-1，得n=6.
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点评 (1)对于“知三求二”问题，通常是
利用通项公式与前n项公式列方程组求解， 但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数 列的性质解题，就可化繁为简.
(2)当已知a1、q(q≠１)、n时，用公式
A.22010
B.22011
C.32010
D.32011
令{an}的公比为q， 则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6， 则a1=1，q=2，所以a2011=a1·q2010=22010.
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3.若数列{an}成等比数列,则“a2010·a2012=16” 是“a2011=4”的（B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
典例精讲
题型一 等比数列的基本运算
例1 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.
分析 利用等比数列的性质，将a2an-1
转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等 比数列的通项公式与前n项和公式列方 程组求解.
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设所求的等比数列为a,aq,aq2,
则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32),
解得a=2,q=3或a=
2 9
,q=-5.
故所求的等比数列为2,6,18或
2
,- 1 0
,50
.
9 99
点评这 种 解 法 利 用 等 比 数 列 的 基 本 量
新课标高中一轮总复习
理数
等比数列的概念及基本运算
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等 于零的实数),那么数列{an}（ D）
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(4)特别要注意等比数列前n项和公式应
分为q=1与q≠１两类.当q=1时,Sn=④ na1;
当q≠１时,Sn=⑤
a1 (1 q n ) 或
1 q
Sn
a1 an q 1 q
.
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Sn=
a1 (1 q n ) 1 q
求和较为方便；当已知a1、q
（q≠１）、an时，则用公式Sn=
a1 an q 1 q
求
和较为方便.
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变式 一个等比数列有三项，如果把
第二项加上4，那么所得的三项就成等 差数列，如果再把这个等差数列的第 三项加上32，那么所得的三项又成等 比数列，求原来的等比数列.
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因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.
解方程组 a1an=128 a1+an=66,
解得 a1=64 ①或 a1=2 ②,
an=2
an=64
将①代入Sn=
a
1
1
a
n
q
q
,得q=
1 2
,
由an=a1·qn-1,得n=6.
将②代入Sn=
a
1
1
a
n
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
由a2010·a2012=16,则a2011=±4，充分性 不满足;
由a2011=4，则a2010·a2012=a20112=16.
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4.（2010·江苏溧水模拟）等比数列{an}中， S式n是q=数列{a-n1 }.的或前1 n项和，S3=3a3，则公
促使河水断流，从2010年起，该内河每
年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 ，
则到22 018年，该内河可行驶的河段长度
3
为
10k0m0×. ( 2 ) 9
3
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
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设an表示第n年船只可行驶 河段长度(2009为第一年）， 则 所aa以1n0=a=n1=23 010a00n0×-01(，×(23 a)1923=.)1n-010，0，
an-2n
(n为奇数） (n为偶数).
(1)求a2,a3,a4,a5；
(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列；
(3)在(2)的条件下，求数列{an}的前100项中 所有偶数项的和.