平面角与立体角
立体角理解及应用
立体角在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。
立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。
通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。
对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。
您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。
平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。
1、立体角定义与量度1.1立体角的概念当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。
例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。
而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。
月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。
月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。
这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。
假设制作一个代表立体直角坐标系的三维“十字架”，使之穿过两个半径相差一倍的同心球面，球心在坐标系原点，自球心发出无数条射线，这些射线在球面上的投影点形成一条连续的闭合的曲线，那么这样的一条曲线在小球面上所限定的面积为在大球面上所限定面积的1/4。
立体角
立体角
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Steradian
立体角，Ω，是一个物体对特定点的三维空间的角度。
它是站在那一点的观察者测量物体大小的尺度。
例如，一个附近的小物体可以与一个远处的大物体对于一个点有相同的立体角。
立体角是物体在一个以观测点为圆心的球的投影面积与球半径的比。
（Ω =S/r）这正像平面角是圆的弧长与半径的比。
立体角的国际制单位是steradian(球面度)。
更严密的，立体角是面S对点P的面积分：
[编辑]圆锥，球冠
Section of cone (1) and spherical cap (2) inside a sphere. In this figure θ = a/2 and r = 1.
顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。
（上面结果由下式得到，参见surface element in spherical polars）
应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的面积相等。
球冠边沿到球冠最低点的距离为
显然，在单位圆中球冠立体角为
相关的维基共享资源：
立体角
当θ = π/2, 球冠变为有着立体角 2π的半球.
当θ = π, 立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。
光学单位sr-概述说明以及解释
光学单位sr-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行展开：光学单位sr（Steradian）是国际单位制中用于描述空间角的单位。
空间角是指立体角，用来衡量来自某个点源的辐射或光线在空间中的分布。
sr是国际单位制中的基本单位，它的定义基于二维球面部分。
当位于球心的点源发出的光线或辐射在距离球心1米处的球面上的投影面积为1平方米时，所对应的立体角为1sr。
换句话说，1sr的立体角涵盖了球面上的单位面积。
与平面角不同，立体角不仅考虑了光线或辐射的分布角度，还考虑了其在空间中的传播范围。
通过引入光学单位sr，我们可以更准确地描述和计算光线的辐射强度或光通量以及接收器的感知范围。
光学单位sr在许多领域中都有广泛的应用，特别是在光学、光电子学和辐射传输领域。
例如，在照明工程中，我们可以使用sr来描述灯具的光束角度，以确定其辐射范围和照明强度分布。
在摄影和摄像领域，sr可以被用来衡量镜头的视角和视野范围。
在激光工程中，sr可以用来描述激光束的扩散角度和光束发散性能。
总之，光学单位sr是国际单位制中用于描述空间角的重要单位。
通过使用sr，我们可以更准确地描述和计算光线的辐射强度和分布，从而在光学应用和相关领域中提供更精确和可靠的计量基础。
1.2 文章结构文章结构:本文旨在介绍光学单位sr的相关知识。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对本文的主题进行概述，说明本文介绍的是什么，以及为什么选择这个主题进行研究。
同时，我们还将介绍文章的结构和目的，以便读者能够更好地理解和阅读本文。
在正文部分，我们将展开论述，分为两个要点进行介绍。
第一个要点中，我们将详细介绍光学单位sr的定义、起源和应用领域。
我们将从历史角度出发，追溯光学单位sr的提出和发展过程，以及在光学研究中的重要意义。
同时，我们也将介绍在不同领域中如何使用光学单位sr进行测量和计算，以及其在实际应用中的优势和局限性。
光强中什么是立体角及它的计算公式
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0 引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”， 一般以 I 表示。若在某微小立体角 dΩ内的光通量为 dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。 式中，dΩ的单位为 sr（球面度），光强的单位为 cd（坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员 带来很大的困惑。
1
∂x ∂y
1− x2 − y2
（3） （4） （5）
代入（1）式得：
∫∫ A=
dxdy
D 1− x2 − y2
(6)
利用极坐标，得：
rdrdθ
∫∫ A=
D 1− r2
(7)
易知，积分区域在 xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
x 2 +y2=1
(8)
sin 2 α
x2 + y2 =1
参考文献 ⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11 ⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12 ⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1
注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海
150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811
165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544
空间几何中的平面角与立体角
空间几何中的平面角与立体角在空间几何中，平面角与立体角是两个重要的概念。
平面角是指由两条交叉的直线所形成的角度，而立体角则是由多个平面角所围成的角度。
理解和运用这些概念对于解决空间几何问题至关重要。
一、平面角平面角是平面几何中常见的概念，它是由两条直线在同一平面上的交叉所形成的角度。
对于给定的两条直线，在它们的交点处，可以测量出一个角度，即平面角。
平面角通常用弧度或度来表示。
在平面角中，有一些特殊的角度需要特别注意。
例如，当两条直线互相垂直时，它们所形成的平面角称为直角。
直角是平面几何中的基本角度单位，它的度数为90°，弧度表示为π/2。
直角的特殊性使得它在很多几何问题中具有重要的作用。
此外，在平面角中还有钝角和锐角。
当两条直线之间的夹角大于90°时，我们称它为钝角；当夹角小于90°时，我们称之为锐角。
钝角和锐角常常出现在各种几何问题中，它们的大小和位置对于问题的解决至关重要。
二、立体角立体角是空间几何中的一个重要概念，它是由多个平面角所围成的角度。
在空间中，我们可以将一个角度所围的范围看作是一个三维的空间区域，这个区域就是立体角。
在计算立体角时，我们通常采用球面角的概念来表示。
球面角是一种特殊的立体角，它是由一个球的表面上的两个交叉弧所形成的角度。
对于一个给定的球面角，我们可以根据弧长和球半径来计算它的值。
立体角在空间几何中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，立体角可以用来描述辐射场的分布情况；在计算机图形学中，立体角可以用来计算光线追踪和阴影效果等。
了解立体角的概念和计算方法对于解决这些问题非常重要。
总结：空间几何中的平面角与立体角是两个重要的概念。
平面角是由两条直线在同一平面上的交叉所形成的角度，而立体角则是由多个平面角所围成的角度。
了解和运用这些概念对于解决空间几何问题至关重要。
在计算平面角和立体角时，我们可以使用度数或弧度来表示，并且可以根据具体的问题和要求选择适当的计算方法。
如何求解立体几何形的平面角和空间角
如何求解立体几何形的平面角和空间角在立体几何的学习中，求解平面角和空间角是十分重要的一部分。
平面角是指在平面上的角，而空间角则是在三维空间中的角。
它们的求解方法有一些区别，下面将详细介绍如何求解这两种角。
一、求解平面角平面角是指在平面上的两条射线之间的夹角。
常见的平面角有直角、锐角和钝角。
1. 直角的求解直角是指夹角为90°的角。
求解直角的方法很简单，只需使用直角尺或直角工具即可。
2. 锐角和钝角的求解锐角是夹角小于90°的角，而钝角则是夹角大于90°的角。
求解锐角和钝角的方法一般有以下几种：（1）使用量角器量角器是一种测量角度的工具，通过将量角器的一边对齐于一条射线上，然后读取量角器上的刻度，即可知道夹角的大小。
（2）使用三角函数三角函数是角的函数，其中最常用的是正弦函数、余弦函数和正切函数。
通过查表或使用计算器，可根据已知角度的三角函数值来求解夹角的大小。
二、求解空间角空间角是指在三维空间中的两条直线或两条直线与平面之间的夹角。
常见的空间角有直线角和向量角。
1. 直线角的求解直线角是指两条直线之间的夹角。
求解直线角的方法一般有以下几种：（1）使用三角函数与求解平面角类似，可以使用三角函数来求解直线角。
通过已知直线的方向向量，可以计算出它们之间的夹角。
（2）使用向量运算向量运算是求解直线角的常用方法之一。
通过计算两条直线的方向向量的点积或叉积，可以求得它们之间的夹角。
2. 向量角的求解向量角是指两个非零向量之间的夹角。
求解向量角的方法一般有以下几种：（1）使用向量的点积和模长通过求解两个向量的点积和它们的模长，可以利用三角函数来求解向量角的大小。
（2）使用向量的夹角公式向量的夹角公式是求解向量角的一种常用方法。
根据向量的定义和性质，可以得到夹角的公式，并通过计算得出夹角的大小。
总结起来，求解立体几何形的平面角和空间角需要运用几何知识、三角函数以及向量运算等方法。
通过合理选用这些方法，我们可以准确计算出所需的角度值，从而更好地理解和解决立体几何问题。
国际基本单位制有哪几种？
国际基本单位制有哪几种？悬赏分：0 |解决时间：2008-6-3 23:35 |提问者：shg19最佳答案背景1948年召开的第九届国际计量大会作出了决定，要求国际计量委员会创立一种简单而科学的、供所有米制公约组织成员国均能使用的实用单位制。
1954年第十届国际计量大会决定采用米(m)、千克(kg)、秒(s)、安培(A)、开尔文(K)和坎德拉(cd)作为基本单位。
1960年第十一届国际计量大会决定将以这六个单位为基本单位的实用计量单位制命名为“国际单位制”，并规定其符号为“SI”。
以后1974年的第十四届国际计量大会又决定增加将物质的量的单位摩尔(mol)作为基本单位。
因此，目前国际单位制共有七个基本单位。
国际单位制有两个辅助单位，即弧度和球面度。
SI导出单位是由SI基本单位按定义式导出的，其数量很多，在这里列出其中三类：用SI基本单位表示的一部分SI导出单位；具有专门名称的SI导出单位；用SI辅助单位表示的一部分SI导出单位。
其中，具有专门名称的SI导出单位总共有19个。
有17个是以杰出科学家的名字命名的，如牛顿、帕斯卡、焦耳等，以纪念他们在本学科领域里作出的贡献。
同时，为了表示方便，这些导出单位还可以与其他单位组合表示另一些更为复杂的导出单位。
国际单位制是计量学研究的基础和核心。
特别是七个基本单位的复现、保存和量值传递是计量学最根本的研究课题。
SI基本单位单位的名称单位名称单位符号长度米m质量千克kg时间秒s电流安[培] A热力学温度开[尔文] K发光强度坎[德拉] cd物质的量摩[尔] molSI辅助单位单位的名称单位名称单位符号平面角弧度rad立体角球面度srSI导出单位量的名称单位名称单位符号频率赫[兹] Hz 力；重力牛[顿] N压力，压强帕[斯卡] Pa能量；功；热焦[耳] J功率；辐射通量瓦[特] W电荷量库[仑] C 电位；电压；电动势伏[特] V电容法[拉] F 电阻欧[姆] Ω 电导西[门子] S磁通量韦[伯] Wb 磁通量密度、磁感应强度特[斯拉] T电感亨[利] H 摄氏温度摄氏度℃光通量流[明] lm 光照度勒[克斯] lx放射性活度贝可[勒尔] Bq吸收剂量戈[瑞] Gy剂量当量希[沃特] SvSI基本单位的定义长度:米(m)1. 1790年5月由法国科学家组成的特别委员会，建议以通过巴黎的地球子午线全长的四千万分之一作为长度单位——米2. 1960年第十一届国际计量大会：“米的长度等于氪－86原子的2P10和5d1能级之间跃迁的辐射在真空中波长的1650763．73倍”。
平面对一点立体角的计算方式
平面对一点立体角的计算方式
平面对一点立体角的计算方式是通过求解平面内一条线段与该点所张成的角来得到。
假设该线段端点为A，点为O，且点O不在线段AB 所在直线上。
首先，通过计算线段OA和线段OB的长度，得到两个向量OA和OB。
然后，计算向量OA和向量OB的内积，再除以向量OA和向量OB的模的乘积，即可得到平面对点O立体角的计算结果。
也可以使用坐标表示的方法，给线段AB确定一个坐标系，然后通过计算点O 与坐标原点和线段的两个端点所形成的三个向量之间的积来求解立体角。
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d 2 sin d
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闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
dl dl0 2π d cos r r l l l
Байду номын сангаас
弧度
0
闭合曲面对面内一点所张的立体角
dS0 d 2 4π r S S
球面度
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r
dS
dS 0
dl 0 d l d cos r r
有定义式:
单位：球面度
d S 0 dS d 2 2 cos r r
是面元dS与球面元dS0间的夹角。
dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元； 球冠的表面积公式：S=2πrh，其中r为球半径，h为球冠高。 可得平面角与立体角的关系：
附1.立体角的概念
1)平面角 由一点发出的两条射线之间的夹角记做 d 设射线长为r ， 线段元dl对某点所张的平面角：
d
单位：弧度
r
dl0 dl
dl 0 d l d cos r r
dl0是以r为半径的圆弧
是线段元dl与dl0之间的夹角
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2)立体角 面元dS 对某点所张的角叫做立体角， 即锥体的“顶角” d 对比平面角定义式