线性代数第五章课件,数学

解 已知A有3个互异特征值，由定理 5.2.3的推论可知，A可对角化, 即有可逆阵 P使
1 1 P AP 1 2
由于
1 1 1 3 1 1 1 P A P P AP P AP P AP 1 1 2 8
证 必要性上面已经证明.下面证充分 性.设A有n个线性无关的特征向量α1α2，…， αn，分别属于特征值λ1，λ2，…，λn，则有
A i i i
i 1,2, , n
以α1，α2，…，αn为列向量作矩阵P ， 则P可逆，且
AP ( A1 , A 2 , , A n )
(11 , 2 2 , , n n )
1 1 a b a b 1 0 0 1 c d c d 0 2
比较两边元素有
a c a1 a d b 2 c c1 d d2
由于P可逆，c，d不能同时为0，不妨 设c≠0，则有λ1=1，再由第一式有c=0，这 导致矛盾.此矛盾说明不可能存在可逆阵P 使P-1AP成对角形.即A在复数域C上不能对 角化 。
1 1 A 0 1
则A在复数域上不能对角化. 证 设若不然,则存在可逆矩阵
a b P c d
使 即
1 0 P AP 0 2
1
，λ1 ， λ2∈P. 于是
1 0 AP P 0 2
1 ( 1 , 2 ,, n )
2
, n
即
1 P 1 AP
2

. n
从而A可相似对角化. 证毕. 推论 若n阶矩阵A在数域P中有n个不同 的特征值，则A可对角化. 证 设 λ1，λ2，…，λn∈P是A的n个不 同的特征值.α1，α2，…，αn是分别属于它 们的特征向量，由定理5.1.4可知
α1，α2，…，αn线性无关，从而由定 理5.2.3，A可相似对角化.
由例5.2.1可以看到，并非任何矩阵都 可相似对角化，这个推论给出的只是方阵 相似于对角形矩阵的一个充分条件，但不 是必要条件.
定理5.23说明，一个n阶方阵是否可以 相似对角化，在于它是否有n个线性无 关的特征向量。如果A的特征值都是单 根，因为属于不同特征值的特征向量 是彼此线性无关的，这时A有n个线性 无关的特征向量，从而A可以对角化。 如果A有重根，注意到属于A的不同特 征值的线性无关的特征向量组成的向
= P-1A-1P，即A-1∽B-1. 证毕。 定理5.2.2 相似的矩阵有相同的特 征多项式，从而有相同的特征值. 证 设A∽B，则有可逆阵P使P-1AP=B， 从而
E B E P AP P (E A) P
1 1
P
1
E A P P P E A E A
相似矩阵的下述性质，称为相似不变性。
定理5.2.1 设A∽B，则有 (1) R(A)= R(B)，此处R(A)，R(B)分 别是A、B的秩; (2) A B ; (3) A可逆时B也可逆，反之亦然.当A 可逆时还有A-1∽B-1. 证 (1)和(2)是显然的，只证(3).
由于|A|=|B|,故|A|≠0时|B|≠0，即A可 逆时B也可逆,反之亦然. 且B-1 = (P-1AP)-1


故B可对角化, 且B的特征值为-2, 4, 13.由定 理5.2.1可知，
2 B 4 13 104
例5.2.4 设三阶方阵A，4E-A，A+5E 都不可逆，问A是否可对角化，写成其对角 阵。 解 因为A，4E-A，A+5E都不可逆， 所以|A|=|4E-A|=|A+5E|=0，从而A有三个 不同特征值0，4，-5，由定理5.2.3的推论 可知，A可相似对角化。
1
这样，A与B有相同特征多项式.从而 有相同的特征值. 证毕. 应该指出，定理5.2.2的逆是不成立 的.特征多项式相同的矩阵未必是相似的. 如
1 0 A 0 1 , 1 1 B 0 1
E A E B 1
，但A与B不是相似 的，因为A是单位阵，而与单位阵相似 的矩阵只能是其本身.
§5.2 矩阵的相似对角化
• 5.2.1 • 5.2.2 相似矩阵 矩阵的相似对角化
5.2.1 相似矩阵
定义5.2.1 设A、B为两个n阶矩阵， 若存在n阶可逆阵P使
P AP B
称矩阵A与B相似，记为A∽B。 用可逆矩阵P对A作运算P-1AP，称为 对矩阵A进行一次相似变换. 相似是矩阵之间的一种关系.这种关 系满足下面三个性质:
第二步: 若 次因式之积
f ( ) 在数域P上可分解为一
t
f ( ) ( 1 ) r1 ( 2 ) r2 … ( t ) r ，
1 , 2 ,, t P，则 1 , , t 就是A的全部特
征值; 第三步: 对每个特征值λi，求方程组 (λiE-A)X =0的基础解系，得到属于λi的所有 线性无关特征向量. 如果这些特征向量的总 个数等于n，则A可对角化，否则不能对角 化; 第四步: 若方阵A的线性无关特征向量
1
(1) 反身性: 对任意n阶方阵A，有A∽A;
(2) 对称性: 若A∽B，则B∽A; (3) 传递性: 若A∽B，且B∽C，则A∽C. 矩阵的相似还具有以下运算性质: (1) 若P-1A1P = B1，P-1A2P = B2，
则 P-1 (A1+ A2)P = B1+ B2; (2) 若A∽B，则kA∽kB， k为常数， k∈P成立;
全体有n个，设为α1,α2, …,αn,令P=(α1， α2，…，αn),则P-1AP为对角阵，且主对角 线上元素等于αi (i=1, 2,…, n)对应的特征值. 注意，前面所说的对角化总是对数域 P上而言的，矩阵是否可对角化是与所在 数域有关的. 对于没有明确指出所在数域 的矩阵A，一般认为是在复数域上讨论的.
向量组是线性无关的，那么只有属于 它的每个重根的线性无关的特征向量个数 和该特征值的重数相等时，它才有n个线 性无关的特征向量，这时A才可对角化。 将数域P上n阶矩阵A相似对角化的步骤归 纳如下。 第一步: 求特征多项式 f ( ) E A ，若 f ( )在数域P上不能分解为一次因式 之积，则A不能对角化;
(5.2.1)
由于P可逆，则α1，…，αn线性无关.
因此，要使A可对角化，A必须有n个线性
无关的特征向量，而与A相似的对角形矩
阵中的λi(i=1, …,n)则是A的特征值.
以上分析说明，矩阵A是否可对角化，
与A的特征值、特征向量的状况有密切关系. 定理5.2.3 n阶矩阵A可相似对角化 的充分必要条件是A有n个线性无 5
令
则
2 1 0 P (1 , 2 , 3 ) 1 0 1 0 1 1
1 1 1 P AP 1 1 2 3
例5.2.3 已知三阶矩阵A在实数域R上有 3个不同特征值-1, 1, 2，矩阵B=A3+2A+E， 问B在实数域上是否可对角化? 并求｜B｜.
如何寻找可逆方程阵P使P-1AP= B成为对
角阵呢? 这就是下面要讨论的问题.
定义5.2.2 设A是数域P上的n阶方阵.
如果存在P上可逆阵P，使得
1 2 1 P AP , i P, i 1,2,, n n 则称A是可相似对角化的方阵，简称 为A为可对角化. 下面的例子说明，并非所有方阵都能对角化. 例5.2.1 取复数域C上的二阶矩阵:
3




2 1 1 P 2 AP 2 P AP 2 4


则
P 1 BP P 1 A3 2 A E P P 1 A3 P 2P 1 AP E
1 2 1 2 1 2 1 4 8 4 1 13
(3) 若P-1A1P = B1 ， P-1A2P = B2，则P1A A P = P-1A PP-1A P = B B .特别，若 1 2 1 2 1 2 A∽B，则Ak∽Bk，k为正整数; (4) 若A∽B，f (x)是一个多项式，则f (A)∽f (B). 以上运算性质可以用来简化矩阵的计
算.
2
由定理5.2.2可知，相似的矩阵有相同
特征值.如果能找到与A相似的较简单的矩 阵，则可简化许多问题的处理.在n阶矩阵 中，对角矩阵是比较简单的矩阵.那么一个 矩阵什么情况下能相似于对角矩阵呢? 下 面讨论这一问题.
5.2.2 矩阵的相似对角化 给定n阶方阵A，怎样在A相似的所有
方阵中找出一个最简单的方阵? 换言之，
1 2 A( 1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) , n
即
A1 , A 2 ,, A n 11 , 2 2 ,, n n
从而
A i i i i 1,2, , n
无关特征向量为
2 1 1 , 0 1 2 0 1
属于特征值3的特征向量为 0 3 1 1 由定理5.1.6可知，α1,α2,α3线性无关。 A为三阶矩阵，它有三个线性无关的特征
向量，故A可对角化。
那么，什么样的矩阵是可以对角化 的呢? 如果A可相似对角化，则存在可逆阵 P使
1 1 P AP
2
, n
从而有
1 AP P
2
. n
记α1,α2，…，αn为P的列向量，则有
例5.2.2 设
1 0 0 A 2 5 2 2 4 1