线性代数课件第五章§1向量的内积、长度及正交性
第一讲：向量的内积、长度和正交性
主讲人：同济大学殷俊锋向量的内积、长度和正交性是线性代数中基本的概念，不仅包含内积、范数等概念，还包括正交向量组、正交规范基、正交矩阵等基本概念，以及将一组线性无关向量组转化为正交规范基的施密特正交化过程。
这些概念对于今后学习矩阵的特征值，以及线性空间等具有非常重要的作用.一、知识要点1、内积、正交定义:给定n 维列向量，定义x 与y 的内积.•内积的性质有交换性、正定性、保持线性运算•施瓦茨不等式•当，则称向量x 与y 是正交的.2(,)(,)(,)≤x y x x y y (,)0=x y 1212(,,,),(,,,)==T T n n x x x x y y y y 1122(,)=+++n n x y x y x y x y2、向量的长度（或范数)定义令称为n 维向量x 的长度（或范数).22212(,),n x x x x x x ==+++x •向量长度的性质有非负性、齐次性和三角不等式•n 维非零向量x 与y 的夹角•当，则称向量x 为单位向量.1=x (),arccos θ=x y x y3、正交向量组、正交基定义正交向量组是一组两两正交的非零向量.定理设n 维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。
定义设n 维向量是向量空间V 的一个基，如果是两两正交，且都是单位向量，则称是V 的一个规范正交基.12,,,r a a a 12,,,r a a a 12,,,r e e e 12,,,r e e e 12,,,r e e e4、施密特正交化过程设n 维向量是向量空间V 的一个基，则可按照如下步骤将其化为V 的一个规范正交基.步骤：1，正交化令11βα=()()2122111,,αββαβββ=-12,,,r a a a()()()()313233121122,,,,αβαββαββββββ=--()()()()()()121121112211,,,,,,αβαβαββαβββββββββ----=----r r r r r r r r r 121212, , , ,r r r e e e ββββββ===则是V 的一个规范正交基.2：单位化，令12,,,r e e e5、正交矩阵定义设A是一个n阶方阵，如果A T A=E，则称A是正交矩阵，简称正交阵.n 阶方阵A 是正交矩阵A-1=A T;A 的列向量是两两正交的单位向量，即A 的列向量组是R n的标准正交基；A 的行向量是两两正交的单位向量.定义设P是一个正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换.6、正交矩阵的性质（1）若A为正交矩阵，则A-1=A T 也为正交阵，且|A|=1或-1；（2）若A和B是正交阵，则AB也是正交阵；（3）正交变换x=Py（P是正交矩阵）保持向量的长度不变.二、教学要求1、理解向量正交、正交基的概念，正交矩阵的概念和性质2、掌握施密特正交化过程的步骤三、例题精讲例1、设140,2,.23λλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭与正交，且，求和a b c a b a c c解：由正交性因此()()()()() ,,,,,λλλ=+=+=a b a a c a a a c a a所以()(),102,5λ-===-a ba a4122(2)02321λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭c b a例2、试用施密特正交化过程把向量组正交化.()123111,,124139⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a a a 解：先作正交化()()()()()()111222111132333121122,111,6210,,331113111,,1482410,,,32391113=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b再把它们单位化，111222333111,31110,21112.61⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭b e b b e b b e b例3、判断矩阵是否为正交阵，并说明理由111231112211132⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A 解：由于正交矩阵列向量为单位向量且相互正交，而111111,1124913⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭a a 因此，该矩阵不是正交矩阵.例4、设为维向量，，令，证明是对称的正交阵.x 证明：首先证明对称性，()()222,=-=-=-=T T T T T TH E xx E xx E xx H n 1=T x x 2=-T H E xx H ()()()()()2222444444.=--=--=-+=-+=-+=T T T T T T TT T T T TT T H H E xx E xx E xx E xx E xx xx xx E xx x x x x E xx xx E 再证明正交性例5、设都是正交阵，证明也是正交阵.,A B 证明：由题意()===T T T T AB AB B A AB B B E AB ,,==T TA A EB B E AB 所以因此，也是正交矩阵.谢谢！。
5-1 向量的内积、长度及正交性
向量的长度 令
2 2 2 || x || [ x, x] x1 x2 xn
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0 (2)齐次性 ||x||||x|| (3)三角不等式 ||xy||||x||||y|| >>>
容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基
e1 1 1 1 b1 e2 b2 er br || b1|| || b2 || || br ||
e1 1 1 2 2 1 1 e2 e3 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 e4 2 2 1 1 2 2
例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1a1
1 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化
1向量的内积长度及正交性
且当且仅当 ai 0(i 1,即2 , n)时， 0 成立,。 0
2. 向量的长度
a1
定义 2
设
n 维向量
a2 ,
an
规定 的长度(或范数)为
[ , ] a12 a22 an2
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1
2
例1
已知
21,
13,
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
三、正交矩阵、正交变换
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质： 设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则
① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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(2) 由于 Ax x 亦可写成齐次线性方程组 ( A E)x O
因此，使得 ( A E)x O 有非零解的 值都是矩
阵 A 的特征值.
即，使得 A E 0的 值都是矩阵 A 的特征值.
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定义 2 设 n 阶矩阵 A (aij ) ，记
f () A E
a11 a12
相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
上堂课主要内容：
1、内积：对向量
a1
aan2 ,
b1
b2
bn
, a1b1 a2b2 anbn
2、向量的长度：设
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
解 12 22 (1)2 02 6 14
,
,
1 2 2 (3) (1)1 0 0 6 14
线性代数第五章第一节29页PPT
3. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] , 由此可得
[ x,y ] 1 (当 || x || || y || 0 时), xy
于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
arccos[x,y]
xy 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z]; （4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有 ( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .
间V( V Rn ) 的一个基, 如果 e1 , ···, er 两两正交,
且都是单位向量, 则称 e1, ···, er 是 V 的一个规范 正交基.
例例 22 设设
11
11
55
11
aa11 323211,,aa22 110011,,aa33 101044,,aa44 1132324 4
11442 2 101044 ,, ee44
11 22 22101110334 4
是是 RR 4 的的 一一 个个 规规 范范 正正 交交基基 , 试试 用用 e11, e22 , e33 , e4 表表 示示
aa((11,,11,,11,,11))TT.. 解 由 公 式 ki = eiT a = [a, ei] , 得
是是 例例 11 中中 所所 求求 正正交交向向量量组组, 试试求求 RR 44 的的 一一个个规规范范正正
线性代数5.1向量内积
下面讨论正交向量组的性质. 所谓正交向量组， 是指一组两两正交的非零向量.
定理 5.1 正交向量组是线性无关的. 证明
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例 5.1 试求一个非零向量a3 ，使它与向量
1 1
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1 1 4
例 5.2
设
a1
21
，a2
3 1
，a3
1 0
，
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1=a1，
1 1 1
b2
a2
[ a2 [ b1
证明 A = ( a1 , a2 ,…, an ) 为正交矩阵等价于
A A E, 即
AT
A
a1T a2T
M
a1 ,a2 ,L
,an
a1Ta1 a2Ta1
M
a1Ta2 a2Ta2
M
L L
anT
anTa1
anTa2
L
a1Tan a2Tan
M
xn
yn
令
x, y x1y1 x2 y2 L xn yn,
[ x , y ] 称为向量 x 与 y 的内积.
内积是两个向量的一种运算，用矩阵记号表示
[ x , y ] = xT y.
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1向量的内积长度及正交性
定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
证 a11 a12 a1n
设
A
a22
a22
a2n
，按列分块为
(1
,
2
,
,
n
),
an1 an2 ann
1T
1T1 1T2
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
将非零向量单位化：取向量
*
1
，
4、正交：如果向量 与 满足 , 0 ，则称
向量 与 正交。
一、向量的内积
1. 向量的内积
n 维向量的内积是 几何向量内积的推广.
a1
b1
定义 1
设有 n 维向量
a2
,
b2
，
规定 和 的内积为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ an
bn
, a1b1 a2b2 anbn
定理 3 非零正交向量组是线性无关的 .
证 设 1，2，， s 是非零正交向量组，
即
(非零)
i，i iTi
0
(i, j 1,2,, s)
(正交) i， j iT j 0 (i j)
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设 k11 k22 ks s O (1) 证明 1，2，， s 线性无关，就是要证明上式中的组
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
§1 向量的长度、内积及其正交性
© §1 2009, Henan Polytechnic University 向量的长度、内积及正交性
第五章 相似矩阵及二次型
T 1 T 2 , , , E n 1 2 T n
T1 T 2 T n 1 1 1 T T T 21 2 2 2 n E T T T n 1 n 2 n n
2
有 (4) [ x, x] 0, 且当 x 0 时， [ x, x] 0.
(5) [ x, y] [ x, x][ y, y].
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4 4
第五章 相似矩阵及二次型
二、向量的长度及性质 定义2 令
令 x , y x1 y1 x2 y2 xn yn 称[x，y]为向量x与y的内积.
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2 2
第五章 相似矩阵及二次型
说明
1. nn 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广.
A A E
T
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
an1 a11 a12 an 2 a21 a22 ann an1 an 2
a1n a2 n E ann
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1 a1 ;
1 1 [b1,a ] 4 2 b 2 a 2 [b , ] b1 3 2 1 b1 1 6 1