线性代数第三章向量复习题答案

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线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

第三章 习题与答案 习题 A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)T T T=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.从以下方程中求向量α1233()2()5()-++=+αααααα,其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TT T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα,1232104651112632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα故1234⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,即(1,2,3,4)T =α.3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++则有方程组131223000k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,因为系数行列式10311030010D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12200k k =⎧⎨-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,则有方程组1234123412341234426405230235063960k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其系数行列式42645231021356396D ----==,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++则有方程组14243412341234203040234110547120k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,故13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,则得方程组1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011n n D +==+-可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.证 必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组()11121211212222112200*0n n n nn n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.证 设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有1122αe e e ,i i i in n a a a =+++可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.证 必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等价,从而12α,α,,αn 线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 192082001900320-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭192010000000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭102010000000-⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎝⎭, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.(2) 100A 120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100020003⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.(3) 14122131A 15413670⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭141209530953018106⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1412095300000000⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解 所求方阵可写成1030011000A 001000001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则1030001300A 00100000100000⎛⎫⎪- ⎪⎪→⎪⎪ ⎪⎝⎭显然(A)4R =.14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (2)1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭;(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.解 (1) 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131********r r ↔⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为3.(2) 1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2131123403360336r r r r+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭32123403360000r r -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为2.(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭12011203430471r r ---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭213134011200130039r r r r ++--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭323011*********r r ---⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213143317253143201330153015r r r r r r ---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭433217253143201310020000r r r r --⎛⎫⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭1310022013172531430000r r ↔⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭2131217100200110253190000r r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭23100202531900110000r r ↔⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.证 设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵 由AB 0=,有11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0000m l⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 比较等式两边对应元素,有111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ ,11111100l n nl m lmn nl a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).证法二 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,因为1(A)R r =,则A 的标准形可写成1E 000r ⎛⎫⎪⎝⎭,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1E 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭.又设()111B Q B B r m n r m ⨯--⨯⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 则10(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,但()111111B E 0B PAQQ B Q B B 000r m r r m n r m ⨯⨯---⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可见11(B )(PAQQ B)0r m R R -⨯==,又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()12(B )n r m R r -⨯=,而()1B n r m -⨯共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.习题 B1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被121α,α,,αi - 线性表出.证 必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是1111αααi i i i ik k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有()()1212β,β,,βα,α,,αTr r K = ,其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:{}12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .证 设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.5.设n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ⨯阶矩阵P 及秩为r 的r m ⨯阶矩阵Q ,使A PQ =.证 因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ⎛⎫=⎪⎝⎭,即11E 0A GF ,00r--⎛⎫= ⎪⎝⎭记111212122G G G ,G G -⎛⎫= ⎪⎝⎭111212122F F F F F -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则111211121121222122G G F F E0E 0A G F GG F F 0000rr--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212122G 0F F G 0F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1111111221212122G F G F G F G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11112121G F F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 记1121G P G ⎛⎫=⎪⎝⎭,则P 为n r ⨯矩阵且(P )R r =(因1G -可逆,故其前r 列线性无关), ()1121Q F F =,则Q 为r m ⨯矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.。

线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第三章、向量空间x习题答案

线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第三章、向量空间x习题答案

15.解: 解
(α1 , α 2 , α 3 )T = ( β1 , β 2 , β 3 )
AT = B
特别提示
−1 1 0 T = A−1 B = 2 − 1 2 0 1 − 1
A−1 ( AM E ) → ( E M A−1 ) (1) −1 A B (2)( AM E ) → ( E M A−1 B)
a 1 (已知 α 4 = aα1 + bα 2 ⇒ α 2 = − α1 + α 4 已知) 已知 b b ac c α 5 = − α1 + dα 3 + α 4 b b R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) < 4
再令 x1α1 + x2α 3 + x3α 4 = ϑ
x1α1 + x2α 3 + x3 (aα1 + bα 2 ) = ϑ ( x1 + ax3 )α1 + bx3α 2 + x2α 3 = ϑ
ε 1 , ε 2 Lε n 能由 α1 , α 2 Lα n 线性表出 定理) (定理) α1 , α 2 Lα n 能由 ε 1 , ε 2 Lε n 线性表出
α1 , α 2 Lα n 与 ε 1 , ε 2 Lε n 等价
R(α1 , α 2 Lα n ) = R(ε 1 , ε 2 Lε n ) = n
第三章
向量空间习题答案
1.设 v = (1,−1,1)T , v = (2,1,3)T , v = (2,1,3)T , 设 1 2 3 求 v1 − v2 , 及 3v1 − 2v2 + v3 . 解:
v1 − v2 = (1,−2,−1)T

线性代数课本第三章习题详细答案

线性代数课本第三章习题详细答案
(2) 利用反证法可证得,即假设1,2 ,, s 线性无关,再由(1)得 1, 2 ,, s 线性无 关,与 1, 2 ,, s 线性相关矛盾.
9. 证明:1 2 ,2 3,3 1 线性无关的充分必要条件是1,2 ,3 线性无关.
1 0 1 证:方法 1,(1 2 ,2 3,3 1 )=(1,2 ,3 ) 1 1 0
(k1 k3 )1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 ) 3 0
因为1,2 ,3 线性无关,所以
kk11
k3 k2
0 0
,可解得 k1
k2
k3
0 ,所以1
2 , 2
3 ,3
1 线性无关.
k2 k3 0
必要性,(方法 1)设1 2 ,2 3,3 1 线性无关,证明1,2 ,3 线性无关,
所以
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 44Βιβλιοθήκη .设存在 k1, k2 , k3 , k4 使得 k11 k2 2 k3 3 k4 4 ,整理得
k1 2k2 k3 0 , k1 k2 k3 k4 0 ,
3k2 k4 0 , k1 k2 k4 1 .
解得 k1 1, k2 0, k3 1, k4 0. 所以 1 3 .
0 1 1 101 因为 1,2,3 线性无关,且 1 1 0 2 0 ,可得 1 2,2 3,3 1的秩为 3 011 所以1 2 ,2 3,3 1 线性无关.线性无关;反之也成立.
方法 2,充分性,设1,2 ,3 线性无关,证明1 2 ,2 3,3 1 线性无关.
设存在 k1, k2 , k3 使得 k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0 ,整理得,

线性代数第三章习题及答案

线性代数第三章习题及答案

习 题 3-11.设)1,0,2(-=α,)4,2,1(-=β,求32-αβ.解:)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2.设)4,3,2,1(=α,)3,4,1,2(=β,且324+=αγβ,求γ. 解:由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3.试问下列向量β能否由其余向量线性表示,若能,写出线性表示式:(1))1,2(-=β,)1,1(1=α,)4,2(2-=α;(2))1,1(-=β,)1,1(1=α,)1,0(2=α,)0,1(3=α; (3))1,1,1(=β,)1,1,0(1-=α,)2,0,1(2=α,)0,1,1(3=α;(4))1,2,1(-=β,)2,0,1(1=α,)0,8,2(2-=α,0α(5)),,,(4321k k k k =β,)0,0,0,1(1=e ,)0,0,1,0(2=e ,)0,1,0,0(3=e ,)1,0,0,0(4=e . 解:(1)设2211ααβx x +=,即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示,表示式为2121ααβ+=。

(2)设332211αααβx x x ++=,即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ,有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示,表示式不唯一,为321)1()1(αααβc c c -+--+= (c 为任意常数)(3)设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ,因为010********≠=-,所以有唯一解,解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示,且表示式为3210αααβ⋅++=(4)设2211ααβx x +=,即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ,由②,③式得211-=x ,412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解, 即β不能由21,αα线性表示。

线性代数第3章习题答案2011

线性代数第3章习题答案2011

1
.
0 1 3 3
解: 因为向量个数大于向量维数,所以向量组线性 相关。
二. 填空题
(1) 已知向量组 1 1,2,1T , 2 1,0,2T ,
3 1,8,k T 线性相关, 则k = _2_.
解: 令 k11 k22 k33 , 则有:
k1(1,1, 2)T k2 (1, 0, 2)T k3(1, 8, k) (0, 0, 0, 0)
1 1 2 1 1 2
∴向量组线性无关.
2 1 3
(4)
=
4
,
4
,
0
.
3 1 2
解: 设k1 k2 k3
2 1 3 0
即有
k1
4
k2
4
k3
0
0
,
3 1 2 0
也即有
42kk11
k2 4k2
3k3
0 0
3k1 k2 2k3 0
是否线性无关?
解:
1 0 0L 1 1 0L
01
0 0 1 1 m1
D 0 1 1 L 0 0 0 m为偶数 L L L L L L 2 0 m为奇数 0 0 0L 1 1
当m为偶数时,方程组有非零解,则向量组线性相关
当m为奇数时,方程组有零解,则向量组线性无关。
五. 设有向量组 1 (1,2,3)T ,2 (1,1,4)T ,3 (3,3,2)T
a0c 解: 要使 1,2,3 线性无关, 则有 b c 0 2abc 0,
所以 a , b , c 需满足a·b·c≠0.
0ab
(3)n维单位向量组1,2,L ,n都可由向量组 1,2,L ,r 线性表示, 则r____ n . 解: 因为n维单位向量组 1,2,L ,n 线性无关, 且每个向量都能由向量组1,2,L ,r 线性表示,

线性代数复习题带参考答案(一)

线性代数复习题带参考答案(一)

线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα, 21,ββ都是四维列向量,且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵,且0=A ,则( )。

成比例中两行(列)对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵,n r A r <=)(,则在A 的n 个行向量中( )。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非)(A c 的伴随矩阵存在)(A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关,则向量组( )14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示,则( ))(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是( ))(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α,T )0,1,0(2=α的线性组合,则β=( )T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α,()T2,1,3,02=α,()T 14,7,0,33=α,()T0,2,2,14-=α,()T 10,5,1,25=α,则该向量组的极大线性无关组为( )321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α,T b b b ),,(321=β,T a a ),(211=α,T b b ),(211=β,下列正确的是( );,,)(11也线性相关线性相关,则若βαβαa 也线性无关;线性无关,则若11,,)(βαβαb 也线性相关;线性相关,则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α,T )3,2,1(2=α,T t ),3,1(3=α线性相关,则t=▁▁▁▁。

线代第3章习题答案

线代第3章习题答案

第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能,唯一一种表示:12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能,很多种表示:123(21)(35)c c c βααα=-+-++,c 为任意常数. 3. 证明略,唯一表达式为:12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关,因为4个向量,每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等,线性无关,否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解:设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=,整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=,因为已知1234,,,αααα是线性无关的,故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证:因为任意1n +个n 维向量必线性相关,故12,,,,n αααβ 线性相关,存在 不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ,使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=,12,,,n ααα 线性相关,矛盾.所以10n k +≠,β可由12,,,n ααα 线 性表出.下证表达式唯一,类似于定理3.5的证明.8. 证:(反证法即得).假设1234,,,k k k k 不全为零,其中某个为零,其他的不为零.不妨假设10k =,则2233440k k k ααα++=,其中234,,k k k 均不为零,则可推出 234,,ααα是线性相关的,这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=,其中1234,,,k k k k 全不为 零.9. 证:设前一向量组的秩为r ,则显然r s ≤,又后一组的秩也为r ,则有1r s s ≤<+,故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关 的,后一组是线性相关的,则由定理3.5知,β可由1α,2α, ,s α线性表出, 且表达式唯一.若r s <,则两组均是线性相关的,且两个向量组的秩是相等 的,也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证:因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ,而12(,,,)n r n εεε= ,12(,,,)n r a a a n ≤ ,所以12(,,,)n r a a a n = ,从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证:因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出,故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出,又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出,故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价,所以12,,,s ααα 的秩为s ,即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证:由于123,,ααα线性无关,而1234,,,αααα线性相关,故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零,假定10k ≠,则1422331()/k k k αααα=--,知423,,ααα也是极大线性无关组,唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===,即40α=.13. 证:必要性.若12,,,s βββ 线性无关,则12,(,,)s r s βββ= ,又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ,而12(,,,)s r s ααα= ,故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ,又因为()r A s ≤,则一定有()r A s =,即矩阵A 可 逆.充分性,若矩阵A 可逆,则在等式两边左乘1A -,然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ,显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ,可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ , 又12,(,,)s r s βββ≤ ,故只能12,(,,)s r s βββ= ,即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证:因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ,则其中有1r 个线性无关的向量,设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ,则其中有2r 个线性无关的向量,设 为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取,所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. (例题)12(,,,)s r r ααα= ,且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量,则12,,,,r i i i k αααα 线性相关,否则向量组的 秩会大于r .所以,由定理3.5,k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出,故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α,2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α,4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α,2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为:137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+,1k ,2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系:117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组,其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系:11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++,1k ,2k ,3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量,要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系,只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性 表出.事实上,12,,,,r ηηηβ 必线性相关(否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量,与已知矛盾),所以β都可由12,,,r ηηη 线性 表出,故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价,故也含 有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性,又因为每一个解向量 都可以由12,,s ηηη 线性表出,而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组, 根据线性表出的传递性,每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出,故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证:先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,又因为123,,ηηη线性无关,则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===,即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++,可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出, 即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:(1)反证法,若12,γγ线性相关,则12,γγ一定成倍数关系,不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解,并且 122(1)k γγγ-=-,所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=,而1k ≠,则有2A O γ=, 这与2A γβ=矛盾,所以假设不成立,即12,γγ线性无关.(2)若()1r A n =-,则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向 量,又12()A O γγββ-=-=,故112()k γγ-即为基础解系,其中1k 为某个非 零常数,又已知η是齐次线性方程组AX O =的解,则一定有2112()k k ηγγ=-, 即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组:123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ,4x 为自由变量,则方程组一般解为:()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦,可得一个特解为:0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,一个基础解系为:115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为:01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,其中1k ,2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组:12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量,可得方程组一般解为:()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦,可得一个特解为:01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,一个基础解系为:13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为:011X k ηη=+,其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组:12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量,可得方程组一般解为:333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦,可得一个特解为:01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,一个基础解系为:115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为:011X k ηη=+,其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组,其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为:[]04,0,0,0,0Tη=, 一个基础解系:[]14,1,0,0,0Tη=,[]22,0,1,0,0Tη=-,[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++,1k ,2k ,3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=,即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠,即0λ≠且1λ≠时无解.若有解,得阶梯形方程组:1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ,4x 为自由变量,则方程组一般解为: []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+, 可得一个特解为:[]0,,0,0Tηλλ=-,一个基础解系为:[]14,2,1,0Tη=-,[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为:01122X k k ηηη=++,其中1k ,2k 为常数,0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦,若220a -+=且260b --≠时,即1a =且3b ≠-时,无解. 若1a ≠时,有唯一解为:263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时,有无穷多解.此时阶梯形方程组为:12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量,可得方程组一般解为: []448,32,2,TX x x =--, 可得一个特解为:[]08,3,2,0Tη=-, 一个基础解系为:[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为:011X k ηη=+,其中1k 为常数 26. 证法1:单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解,故A AE O ==. 证法2:假设A O ≠,则()0r A r =≠,所以AX O =只有n r -个线性无关的解, 显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <,则AX O =的基 础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- , 则其中有大于n r -个线性无关的解向量,并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出,这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量,这与已知矛盾,故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量,BX O =的基 础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解,即有()()n r A n r B -≤-,故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解,通过(1)的结论,基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量,则()()n r A n r B -=-,故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量,但这些解向 量不一定相等.。

《线性代数》第3章习题解答(rr)

《线性代数》第3章习题解答(rr)

1.已知向量:112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确,为什么? (1)如果当 120m k k k ==== 时, 11220m m k k k ααα+++= 成立, 则向量组12,,m ααα 线性相关解:不正确.如:[][]121,2,3,4T Tαα==,虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。

解: 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解: 正确。

(反证)如果组中有一个向量可由其余向量线性表示,则向量组 12,,,m ααα 线性相关,与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关,则3α一定可由12,αα线性表示。

解:不正确。

例如:[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关,但3α不能由12,αα线性表示。

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(C) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(D) 中不含零向量
7、向量组线性无关得充要条件就是(D )
A、任意不为零向量
B、中任两个向量得对应分量不成比例
C、中有部分向量线性无关
D、中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示
8、设为阶方阵,,则得行向量中(A)
A、必有个行向量线性无关
B、任意个行向量构成极大线性无关组
C、任意个行向量线性相关
D、任一行都可由其余个行向量线性表示
9、设为阶方阵,且秩就是非齐次方程组得两个不同得解向量,则得通解为( C )
A、B、C、D、
10、已知向量组得秩为2,则( A)、
A、3
B、-3
C、2
D、-2
11、设为阶方阵,,则得行向量中( A )
A、必有个行向量线性无关
B、任意个行向量构成极大线性无关组
C、任意个行向量线性相关
D、任一行都可由其余个行向量线性表示
12、设向量组A: 线性无关,则下列向量组线性无关得就是(C)
A、,,
B、,,
C、,,
D、,,
14、已知向量组A线性相关,则在这个向量组中( C )
(A)必有一个零向量、
(B)必有两个向量成比例、
(C)必有一个向量就是其余向量得线性组合、
(D)任一个向量就是其余向量得线性组合、
15、设为阶方阵,且秩,就是非齐次方程组得两个不同得解向量, 则得通解为( )
(A) (B) (C) (D)
16、已知向量组线性相关, 则(C )
(A)该向量组得任何部分组必线性相关、
(B) 该向量组得任何部分组必线性无关、
(C) 该向量组得秩小于、
(D) 该向量组得最大线性无关组就是唯一得、 17.已知则 ( C )
(A) 线性无关 (B) 线性相关
(C) 能由 线性表示 (D) 能由 线性表示 18、 若有 则k 等于
(A) 1 (B) 2 (C) (D) 4
第三题 计算题:
1、 已知向量组
(1)求向量组得秩以及它得一个极大线性无关组; (2)将其余得向量用所求得极大线性无关组线性表示。

解: : ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎝⎛-→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---00
00
10000
02110
012
01
442
20
02110
16330
112
01
086
2424312
25531
11201
其极大线性无关组可以取为
且:,
2、 求向量组:
,,
,,得一个极大无关组,并将其余向量由它线性表示、
解:由题意,
故向量组A 得一个极大无关组为,其中
3、 设
1) a 为何值时, 线性无关、 2) a 为何值时, 线性相关、
4、 求向量组()()()123:1,2,1,12,3,1,24,1,1,0T
T
T
A ααα=-=--=-、、得极大无关组,并把其余向量用极大无关组线性表示、
解 第一步先用初等行变换把矩阵化成行 (最简形) 阶梯形矩阵.
22112313241421227341241241
241
022*********
111110330000001200440
000
00r r r r r r r r r r r r r A F ---+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=−−−→−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即,或均为得极大无关组,记,由矩阵F 可见,则有、
5、 已知,问为何值时,可由唯一线性表示?并写出表示式
班级(学生填写): 姓名: 学号:
----------------------------------- 密 ---------------------------- 封
--------------------------- 线 ------------------------------------------------ (答题不能超出密封线)
解 ()()23
1102
12
443337331
3301
c c A a a a a +---=+=+=+-223=11 (1) 当时,线性相关、 当时,线性无关、
7、 求向量组: ,,,,得一个极大无关组,并将其余向量由它线性表示、
解:由题意,
故向量组A 得一个极大无关组为,其中,
8、 试求向量组=(1,1,2,2)T ,=(0,2,1,5)T ,=(2,0,3,-1)T ,=(1,1,0,4)T 得秩与该向量组得一个最大无关组,并将其她向量用此最大无关组表示。

解:
以,,,作为列构造矩阵A ,即A=(,,,)
用初等行变换化A 为行阶梯形矩阵T,则T 得非零行得行数r 即为R(A),再化T 为行最简形T 0,
则T 0中任意r 个线性无关得向量所对应得向量组即为该向量组得最大无关组、 A=(,,,)==T, 所以R(A)=3、 故R(,,,)=3、
四、证明题:(10分)
1、 设向量组:线性无关,求证:,,线性无关、
证明:设存在数,使成立。

由得, 。

2分
线性无关
4分 ,,线性无关、
2、已知向量组线性无关,线性无关、
、证:因为
因而向量组线性无关、
3、 若向量组 线性无关, 而,,,试 证: 线性无关。

证明:
设存在常数,使得

由线性无关得 ,
由于它得系数行列式
由克莱姆法则,此方程只有零解 , 因此线性无关。

方法2
由已知,=
由于,故矩阵可逆,
由矩阵得秩得性质可知:=
又因为向量组线性无关,所以=3、
则=3、
故线性无关、。

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