成才之路选修2-2之1-1-2 (7)
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
a＋b＋c＝1， 由4a＋b＝1， 4a＋2b＋c＝－1，
a＝3， 解得b＝－11， c＝9.
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9. a b c 3 11 9.
人 教 A 版 数 学
[点评] 本题主要考查了导数的几何意义，导数的运 算法则及运算能力．
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
[分析]
对于简单函数的求导， 关键是合理转化函数的
1 关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式， y＝ 4可 如 x 以写成 y＝x ，y＝ x ＝x5等，这样就可以直接使用幂函 数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
－4
5
3
3
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
求过曲线y＝x3＋x上的点P(1,2)的切线方程．
[解析] 设切点为(x0，y0)，由导数的几何意义得，
人 教 A 版 数 学
2 切线斜率 k＝y′|x＝x0＝3x0＋1，
切线方程为 y－y0＝(3x2＋1)(x－x0)， 0 又 y0＝x3＋x0，点 P(1,2)在切线上， 0
[分析] 这些函数是由基本初等函数经过四则运算得 到的简单函数，求导时，可直接利用函数加减的求导法则 进行求导．
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
[解析]
1 4 3 5 (1)y′＝5x －3x ＋3x＋
2 ′
1 4 5 ＝5x ′－3x3′＋(3x)′＋(
[解析]
sinx ∵y＝ 1＋cosx
人 教 A 版 数 学
cosx(1＋cosx)－sinx(－sinx) 1＋cosx ∴y′ ＝ ＝ 2 2 ＝ (1＋cosx) (1＋cosx) 1 1＋cosx 1 ∵y′＝2，∴ ＝2 1＋cosx 2 1 ∴cosx＝－ ，又－π<x<π，∴x＝± π.故应选 D. 2 3
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
4．注意f(x)在x＝a处有定义，则f′(a)与(f(a))′不同， (f(a))′＝0恒成立，因为f(a)是一个常数．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(1)求下列函数的导数． ①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1)
人 教 A 版 数 学
1 2 3 (2)求 y＝ ＋ 2＋ 3的导数． x x x
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
[解析]
(1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′
＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x.
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
[例 1]
求下列函数的导数：
12
人 教 A 版 数 学
1 x 5 3 x (1)y＝x ； (2)y＝ 4； (3)y＝ x ； (4)y＝2 ； (5)y＝2sin x 2 x cos . 2
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
4 3 (3)y′＝(3 x ＋4 x )′＝(3x )′＋(4x )′ 3 2 3
4 3
人 教 A 版 数 学
[点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简 便． 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求 导．
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
1．熟记基本初等函数的导数公式，理解导数的四则运 算法则． 2．能利用导数的四则运算法则和导数公式，求简单函 数的导数．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
本节重点：导数公式和导数的运算法则及其应用． 本节难点：导数公式和运算法则的应用．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
1．函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可 导函数的和(或差)．
即 ：
f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)
＝
人 教 A 版 数 学
2)′＝x4－4x2＋3.
人 教 A 版 数 学
(2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 － 4x3)(4x5 ＋3x3)′＝(15x4 －12x2)(4x5 ＋3x3)＋(3x5 －4x3)(20x4 ＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5 ＝120x9－56x7－72x5. 解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5.
)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
sinx 3．设 y＝ ，－π<x<π，当 y′＝2 时，x 等于 1＋cosx ( 1 A．± π 3 1 C．± π 4 1 B．± π 6 2 D．± π 3 )
人 教 A 版 数 学
[答案] D
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
1．2.2 基本初等函数的导数公式 ． 及导数的运算法则
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
2 (1)y′＝－2·x ＝－ 3. x
－3
人 教 A 版 数 学
(2)y′＝(cosx)′＝－sinx. 1 (3)y′＝(log3x)′＝ xlog3e. (4)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
[例 2]
求下列函数的导数：
人 教 A 版 数 学
1 5 4 3 (1)y＝ x － x ＋3x＋ 2； 5 3 (2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)； 3 (3)y＝3 x4＋4 x3.
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
[解析]
(1)y′＝(x12)′＝12x11.
1 4 －4 －5 (2)y′＝x4′＝(x )′＝－4x ＝－ 5. x
人 教 A 版 数 学
(4)y′＝(2x)′＝2xln2.
x x (5)y′＝2sin2cos2′＝(sinx)′＝cosx.
(选修 选修2-2) 选修
1．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝lnx f′(x)＝0
导函数
f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝ cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ axlna (a>0) f′(x)＝ ex f′(x)＝ f′(x)＝ (a>0且a≠1)
切点为(1,2)时切线斜率为 k1＝3＋1＝4， 切线方程为：y－2＝4(x－1)即 4x－y－2＝0， 1 5 7 切点为(－ ，－ )时切线斜率为 k2＝ ， 2 8 4 7 切线方程为：y－2＝ (x－1)即 7x－4y＋1＝0. 4
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
(选修 选修2-2) 选修
[例3]
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条
人 教 A 版 数 学
(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值． [分析] 件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值． [解析] 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)， 所以a＋b＋c＝1. y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为4a＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
1 1 2 3 －2 －3 (2)y′＝ x＋x2＋x3′＝ x＋2x ＋3x ′
人 教 A 版 数 学
1 1 4 9 －3 －4 ＝－ 2－4x －9x ＝－ 2－ 3－ 4. x x x x
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
(选修 选修2-2) 选修
二、填空题 1－sinx 4．若 f(x)＝ ，则 f′(π)＝________. x
π－1 [答案] π2
人 教 A 版 数 学
(1－sinx)′x－(x)′(1－sinx) [解析] f′(x)＝ x2 －xcosx－1＋sinx ＝ x2 －πcosπ－1＋sinπ π－1 ∴f′(π)＝ ＝ 2 . π2 π
f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x) 2．由[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．立即可得 [Cf(x)]′＝Cf′(x)．
f(x) 1 g(x)f′(x)－f(x)g′(x) 由 g(x) ′＝ ，可得 g(x) ′＝－ 2 g (x)
成才之路数学选修2-1之2-2-1
成才之路数学选修2-12.2.1一、选择题1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．轨迹不存在[答案] C[解析] 两定点距离等于定常数10，所以轨迹为线段． 2．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a ＝1∵a <b <0∴－a >－b >0，∴y 2－a ＋x 2－b ＝1，焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ∴焦点坐标为(0，±b －a )3．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.94 [答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(P 点不可能是直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.4．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点P 的纵坐标是( )A ．±34B ．±22C ．±32D ．±34[答案] C[解析] 设F 1(－3,0)∴P 点横坐标为3代入x 212＋y 23＝1得y 23＝1－34＝14，y 2＝34，∴y ＝±325．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32 B.3 C.72D ．4 [答案] C[解析] 如图所示，由x 24＋y 2＝1知，F 1、F 2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)，即P 点的横坐标为x p ＝－3，代入椭圆方程得y p ＝12，∴|PF 1|＝12，∵|PF 1|＋|PF 2|＝4.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.6．(09·陕西理)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆⇔1n>1m>0⇔m >n >0.故选C. 7．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20 [答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝12或4－m ＝12，∴m ＝5或m ＝3且同时都大于0，故答案为C.8．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是( )A ．2B ．4 C.2 D ．2 2 [答案] B[解析] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2， ∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4， 即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4.9．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <4[答案] B[解析] 因为焦点在x 轴上，故m 2<16且m 2≠0，解得－4<m <4且m ≠0.10．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) [答案] D[解析] 顶点C 满足|CA |＋|CB |＝10>|AB |，由椭圆定义知2a ＝10,2c ＝8 所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9， 故椭圆方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．二、填空题11．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.[答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，则c 2＝4⇒c ＝2∴P ＝(1，3)代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，求出b 2＝2 3. 12．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．[答案] x 2＋43y 2＝1[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.13．(08·浙江)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[答案] 8[解析] (|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，∴|AB |＝8.14．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.三、解答题15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)[解析] (1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1故所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．∵椭圆过A (0,2)，B (12，3)，∴⎩⎨⎧0m ＋4n＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.16．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程． [解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，代入得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.17．已知m 为常数且m >0，求证：不论b 为怎样的正实数，椭圆x 2b 2＋m ＋y 2b 2＝1的焦点不变．[解析] ∵m >0，b 2＋m >b 2，∴焦点在x 轴上，由(b 2＋m )－b 2＝m ，得椭圆的焦点坐标为(±m ，0)，由m 为常数，得椭圆的焦点不变．18．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝12，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求以M 、N为焦点且过点P (x 0，y 0)(y 0>0)的椭圆方程．[解析] 以线段MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴，建立坐标系． 设M (－c,0)，N (c,0)，c >0， 又P (x 0，y 0)，y 0>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－c＝－2，y 0x 0＋c ＝12，cy 0＝1⇒⎩⎨⎧x 0＝53c ，y 0＝43c ，⇒P (523，23)．设椭圆方程为x 2b 2＋34＋y 2b 2＝1，又P 在椭圆上，故b 2(523)2＋(b 2＋34)(23)2＝b 2(b 2＋34)，整理得3b 4－8b 2－3＝0⇒b 2＝3. 所以所求椭圆方程为x 2154＋y 23＝1.。
成才之路·人教A版数学选修课件2-2 1.7
不分割型平面图形面积的求解
如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面 积S.
第一章
1.7
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
[分析]
从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为
一个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求 出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和抛 物线的交点的横坐标．
第一章
1.7
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
分割型平面图形面积的求解
1 求由曲线y＝ x 、y＝2－x、y＝－ 3 x所围成图形 的面积．
[ 分析 ]
画出三条曲 ( 直 ) 线，求出交点坐标，将平面图形
按交点分割成可求积分的几部分再求解．
第一章
1.7
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
[解析] 解法1：画出草图，如图所示．
y＝ x， 解方程组 x＋y＝2.
y＝ x ， x＋y＝2， 、 及 1 1 y＝－3x. y＝－3x.
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
第一章
1.7
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
第一章
1.7
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
求由曲线 xy ＝ 1 及直线 y ＝ x 、 y ＝ 2 所围成的平面图形的面 积．
[解析] 解法1：由 (舍)．
xy＝1， 由 y＝2.
xy＝1， y＝x，
得
成才之路选修2-2之1-1-2 (103)
第二章综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n＋(n －1)(n ∈N *) D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2) [答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n(n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( ) A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc ， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq ＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案]12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 [解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力． ①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ； ③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82 ＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得 a n ＝2－1a n －1， 代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0 则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .②∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0. 证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1 a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎪⎫a2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋a n＋1－a na n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a1－1a2＋⎝⎛⎭⎫1a2－1a3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a1－1a n＋1＝1da n＋1－a1a1a n＋1＝na1a n＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设a k＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1a k－1a k＝k－1a1a k，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a k－1a k＋1a k a k＋1＝ka1a k＋1②将①代入②，得k－1 a1a k＋1a k a k＋1＝ka1a k＋1，在该式两端同乘a1a k a k＋1，得(k－1)a k＋1＋a1＝ka k.将a k＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得a k＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有a n＝a1＋(n－1)d，所以{a n}是公差为d的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。
成才之路选修2-2之1-1-2 (26)
选修2-2 第1章章末归纳总结一、选择题1．已知f (x )＝x 3的切线的斜率等于1，则其切线方程有( )A ．1个B ．2个C ．多于两个D ．不能确定[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3，∴f ′(x )＝3x 2，令3x 2＝1，得x ＝±33， 即切点坐标为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39. 由点斜式可得切线方程为y －39＝x －33或y ＋39＝x ＋33，即y ＝x －239或y ＝x ＋239.故应选B.2．y ＝sin2x ＋cos2x 的导数是( )A ．2cos2x ＋2sin2xB ．2cos2x －2sin2xC ．2cos2x ＋sin2xD ．2sin2x －2cos2x[答案] B[解析] y ′＝(sin2x ＋cos2x )′＝(sin2x )′＋(cos2x )′＝cos2x ·(2x )′－sin2x ·(2x )′＝2cos2x －2sin2x ，故应选B.3．y ＝x ＋sin x 在(0，π)上是( )A ．单调递减函数B ．单调递增函数C.⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数 D.⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，⎝⎛⎭⎫π2，π上是增函数 [答案] B[解析] ∵y ′＝1＋cos x ，又x ∈(0，π)∴y ′>0，∴函数为增函数，故应选B.4．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－19[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1或x 2＝1，f (－3)＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，∴f (x )在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.5．电灯A 可在点A 与桌面的垂直线上移动(如图)，在桌面上另一点B 离垂足O 的距离为a ，为使点B 处有最大的照度(照度I与sin ∠OBA 成正比，与r 2成反比，且比例系数均为正的常数)，则电灯A 与点O 的距离为( ) A.322a B.22a C.2aD.23a [答案] B[解析] 根据题意得I ＝k sin ∠ABO r 2， 而sin ∠OBA ＝x r，r ＝a 2＋x 2(OA ＝x )令I ′＝0得a 2－2x 2＝0，∴x 2＝a 22.∴x ＝22a .当0<x <22a 时，I ′>0；x >22a 时，I ′<0. 因此当电灯A 与点O 的距离为22a ，点B 处有最大的照度．故应选B. 二、填空题6．如果10N 的力能使弹簧压缩1cm ，那么把弹簧压缩10cm 要做的功为________．[答案] 5J[解析] F ＝k ·Δx ，∴10＝k ×0.01，∴k ＝1000N/m ，∴W ＝∫0.10kx d x ＝12kx 2| 0.10＝12×1000×0.12＝5(J)． 7．当函数y ＝x ·2x 取得最小值时，x ＝________.[答案] log 21e[解析] y ′＝2x ＋x ·2x ln2.令y ′＝0得1＋x ln2＝0，∴x ＝log 21e. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，log 21e 时y ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎫log 21e ，＋∞时y ′>0. ∴当x ＝log 21e 时，函数取最小值，此时x ＝log 21e. 8．定积分⎠⎛ab c d x (c 为常数)的几何意义是________． [答案] 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝c ，y ＝0(a <b )所围成的矩形的面积．[解析] 由定积分的定义可得．三、解答题9．设抛物线C 1：y ＝x 2－2x ＋2与抛物线C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直．(1)求a 、b 的关系；(2)若a >0，b >0，求ab 的最大值．[解析] (1)设两条抛物线的交点为A (x 0，y 0)．由题意得x 20－2x 0＋2＝－x 20＋ax 0＋b整理得2x 20－(2＋a )x 0－b ＋2＝0①由导数可得抛物线C 1、C 2在点A 处的切线的斜率为k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ，且k 1·k 2＝－1.即(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1②由①②消去x 0得a ＋b ＝52. (2)由a ＝52－b >0知0<b <52. 令y ＝ab ，则y ＝ab ＝⎝⎛⎭⎫52－b b ＝－b 2＋52b ， y ′＝－2b ＋52＝0. ∴b ＝54. 当b ∈⎝⎛⎭⎫0，54时，y ′>0.b ∈⎝⎛⎭⎫54，52时，y ′<0. ∴当b ＝54时，(ab )max ＝－⎝⎛⎭⎫542＋52×54＝2516. 即当a ＝b ＝54时，ab 取得最大值2516. 10．(2010·全国Ⅱ文，21)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3[(x －2＋3)(x －2－3)]当x ∈(－∞，2－3)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－3)单调递增； 当x ∈(2－3，2＋3)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－3，2＋3)单调递减； 当x ∈(2＋3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋3，＋∞)单调递增． 综上，f (x )的单调递增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)， f (x )的单调递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点． 当1－a 2<0时，f ′(x )＝0有两个根．x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1由题意知，2<a －a 2－1<3①或2<a ＋a 2－1<3②由①②解之得a ∈⎝⎛⎭⎫54，53，综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.。
成才之路·人教A版数学选修课件2-2 2.1.1 第1课时
难点：运用归纳推理进行一些简单的推理．
第二章
2.1
2.1.1
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
归纳推理 思维导航 在 以 前 的数 学 学 习中 ， 我 们曾 经 由 三角 形 的 内角 和 是
180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内
[解析]
本小题主要考查抽象概括能力和推理能力．由前
三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从 1开始的 连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始 的连续正整数和的完全平方，个数也依次加 1 ，因此，第四个 等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.
第二章 2.1 2.1.1 第1课时
的．通过观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规
律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一．
第二章
2.1
2.1.1
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
牛刀小试 1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( A．3 C．6 B．－3 D．－6 )
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
[解析] 第一堆有 1 个；第二堆有 1＋(1＋2)＝4 个；第三 堆有 1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10 个；……；第 n 堆有 1＋(1＋2) 1 ＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋…＋n)＝6n(n＋1)(n＋2)个．
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
2．归纳推理的一般步骤： (1)观察分析，发现规律：通过观察个别情况发现某些相同 性质． (2)猜想结论并检验：从已知的相同性质中推出一个明确的
【成才之路】高中数学 2、1-7定积分的简单应用同步检测 新人教版选修2-2
选修2-2 1.7 定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛a b f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D [解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2xy ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________．[答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt， ∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122td t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S ＝S曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。
成才之路·人教A版数学选修课件2-2 1.1.2
－Δx ＝4Δx＋(Δx) ＋ ， 22＋Δx
2
第一章
1.1
1.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
Δy 1 所以Δx＝4＋Δx－ ， 4＋2Δx
1 Δy 4 ＋ Δ x － 所以y′|x＝2＝ lim ＝ lim 4＋2Δx Δx→0 Δx Δx→0
第一章
1.1
1.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
[方法规律总结] 1.应注意区分平均速度与瞬时速度的概 念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段时间内的平均速 度当Δt→0时的极限，即运动方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导 数． 2．求瞬时速度的步骤： 第一步，求平均速度． 第二步，求极限．
数f ′(1)＝________. [答案] 0
f1＋Δx－f1 [解析] f ′(1)＝ lim Δx Δx→0 1＋Δx2－21＋Δx＋1 ＝ lim Δx Δx→0 ＝ lim Δx＝0. →
Δx 0
第一章
1.1
1.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
第一章
1.1
1.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
[分析] 平均速度 v 即平均变化率，而瞬时速度即是平均 速度 v 在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出 平均速度，再求 v 当Δt→0时的极限值．
[解析] (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内路程的增量为Δs＝ 1 1 2 2 2g(t0＋Δt) －2gt0 因此，落体在这段时间内的平均速度为： 1 1 2 2 gt ＋Δt －2gt0 Δs 2 0 1 Δt2t0＋Δt v ＝ Δt ＝ ＝2g· Δt Δt 1 ＝2g(2t0＋Δt)．
成才之路数学选修2-1之1-1-1 (8)
1.3.11．下列语句：①3是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．其中不是命题的是()A．①②③ B．①②④C．①③④D．②③④[答案] D[解析]对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故选D.①是命题，②、③、④均不是命题．2．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C[解析]①中有“且”；②中没有；③中的“或”是逻辑联结词．3．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)[答案] C[解析]命题“p且q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题，即点P既在直线y ＝2x－3上，又在直线y＝－3x＋2上，即点P是这两条直线的交点．4．“x不大于y”是指()A．x≠y B．x<y或x＝yC．x<y D．x<y且x＝y[答案] B[解析]“不大于”是指“小于或等于”．5．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0 D．不都是0[答案] A[解析]xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.6．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.7．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．8．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题[答案] C[解析]“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q中只有一个为真命题，故选C.9．命题“x＝±1是方程|x|＝1的解”中，使用逻辑联结词的情况是()A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“或”与“且”[答案] B10．下列命题：①2>1或1<3；②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是()A．1 B．2C ．3D ．4[答案] C [解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．二、填空题11．p ：ax ＋b >0的解集为x >－b aq ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b则p ∧q 是________命题(填“真”或“假”)[答案] 假[解析] 命题p 与q 都是假命题．12．设命题p ：3≥2，q ：32∈[23，＋∞)则复合命题“p ∨q ”“p ∧q ”中真命题的是________．[答案] p ∨q13．已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的命题中真命题有________个．[答案] 1[解析] 命题p 正确，命题q 错误，故“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．14．分别用“p ∧q ”“p ∨q ”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式．(2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．[答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∨q三、解答题15．已知命题p ：0不是自然数，q ：π是无理数，写出命题“p ∨q ”，“p ∧q ”，并判断其真假．[解析] p ∧q ：0不是自然数且π是无理数．假命题；p ∨q ：0不是自然数或π是无理数．真命题．16．指出下列命题的构成形式(“p ∧q ”或“p ∨q ”)及构成它的命题p ，q ，并判断它们的真假．(1)5≥3；(2)(n －1)·n ·(n ＋1)(n ∈N *)既能被2整除，也能被3整除；(3)∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集．[分析] 本题考查命题的构成形式及其真假的判断，解决此类问题的关键在于理解逻辑联结词“或”“且”的含义，掌握判断p ∧q 和p ∨q 真假的真值表．[解析](1)此命题为“p或q”的形式，其中，p：5>3；q：5＝3.此命题为真命题，因为p为真，q为假，所以“p或q”为真命题．(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除．此命题为真命题，因为p为真命题，q也是真命题．所以“p且q”为真命题．(3)此命题为“p且q”的形式，其中，p：∅是{∅}的元素；q：∅是{∅}的真子集．此命题为真命题，因为p为真，q也为真，故“p且q”为真命题．17．已知命题p：x2－5x＋6≥0；命题q：0<x<4.若p是真命题，q是假命题，求实数x 的取值范围．[解析]由x2－5x＋6≥0得x≥3或x≤2.∵命题q为假，∴x≤0或x≥4.则{x|x≥3或x≤2}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤0或x≥4}．∴满足条件的实数x的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．18．命题p：二次函数y＝(5－3)x2＋(3－2)x＋(2－5)的图象与x轴相交，命题q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，判断由p、q组成的新命题p∧q的真假．[解析]p：二次函数y＝(5－3)x2＋(3－2)x＋(2－5)与x轴相交，易知图象过(1,0)，故p为真．q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，而Δ＝－3<0，故q为假，所以p∧q为假命题．。
成才之路选修2-2之1-1-2 (4)
选修2-2 1.2 第1课时一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝5x ，则y ′＝5C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2[答案] D2．若函数f (x )＝x ，则f ′(1)等于( )A ．0B ．－12C ．2D.12[答案] D[解析] f ′(x )＝(x )′＝12x ， 所以f ′(1)＝12×1＝12，故应选D. 3．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( ) A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0 [答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2， ∴f ′(2)＝li m Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝li m Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1＋14Δx ＝1. ∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0.4．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( )A ．0B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D [解析] f ′(2)＝lim Δx →0(2＋Δx )3－23Δx ＝lim Δx →0 6Δx 2＋12Δx Δx ＝lim Δx →0(6Δx ＋12)＝12，故选D. 5．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.6．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2－(1＋Δx )－1Δx ＝4＋4Δx ＋(Δx )2，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[4＋4·Δx ＋(Δx )2]＝4. 故应选D.7．曲线y ＝x 2在点P 处切线斜率为k ，当k ＝2时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(1,1)D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 [答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴k ＝＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，∴y 0＝x 20＝1，即P (1,1)，故应选C.8．已知f (x )＝f ′(1)x 2，则f ′(0)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ∵f (x )＝f ′(1)x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)x ，∴f ′(0)＝2f ′(1)×0＝0.故应选A.9．曲线y ＝3x 上的点P (0,0)的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在[答案] B[解析] ∵y ＝3x∴Δy ＝3x ＋Δx －3x＝x ＋Δx －x (3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2＝Δx (3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2∴Δy Δx ＝1(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2∴曲线在P (0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x ＝0.10．质点作直线运动的方程是s ＝4t ，则质点在t ＝3时的速度是() A.14433 B.14334C.12334D.13443[答案] A[解析] Δs ＝4t ＋Δt －4t ＝t ＋Δt －t 4t ＋Δt ＋4t＝t ＋Δt －t (4t ＋Δt ＋4t )(t ＋Δt ＋t )＝Δt (4t ＋Δt ＋4t )(t ＋Δt ＋t )∴li m Δt →0 Δs Δt ＝124t ·2t ＝144t 3，∴s ′(3)＝14433 .故应选A.二、填空题11．若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为________．[答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析] 由导数的物理意义可知：y ′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．12．若曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，则切点坐标是________．[答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以切线的斜率k ＝2x 0，又切线与y ＝4x ＋6平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y ＝15x 2上点A ⎝⎛⎭⎫2，45的切线的斜率为______________． [答案] 45[解析] ∵y ＝15x 2，∴y ′＝25x ∴k ＝25×2＝45. 14．(2010·江苏，8)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题15．过点P (－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程．[解析] 因为点P 不在曲线y ＝x 上，故设切点为Q (x 0，x 0)，∵y ′＝12x， ∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2，∴x 0＝2， ∴切线方程为：y －2＝122(x －2)， 即：x －22y ＋2＝0.16．质点的运动方程为s ＝1t 2，求质点在第几秒的速度为－264. [解析] ∵s ＝1t 2， ∴Δs ＝1(t ＋Δt )2－1t 2 ＝t 2－(t ＋Δt )2t 2(t ＋Δt )2＝－2t Δt －(Δt )2t 2(t ＋Δt )2∴li m Δt →0 Δs Δt ＝－2t t 2·t 2＝－2t 3.∴－2t 3＝－264，∴t ＝4. 即质点在第4秒的速度为－264. 17．已知曲线y ＝1x. (1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程；(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程． [解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x 2. (1)显然P (1,1)是曲线上的点．所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数． 即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上． 则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎫a ，1a ， 那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a 2. 则切线方程为y －1a ＝－1a 2(x －a )．① 将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a 2(1－a )． 解得a ＝12，代回方程①整理可得： 切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为A ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则切线斜率为k ＝－1a 2＝－13，解得a ＝±3，那么A ⎝⎛⎭⎫3，33，A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，3－3.代入点斜式方程得y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)．整理得切线方程为y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233. 18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积． [解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴y ′＝－1x2，∴k 1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2， ∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示．∴S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
成才之路·人教A版数学选修课件2-2 1.1.1
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB
＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( A．4 C．4.2 [答案] C B．4x D．4.02 )
[解析]
f1.1－f1 2×1.12－4－2×12－4 ＝ 0.1 1.1－1
0.42 ＝ 0.1 ＝4.2， 故应选C.
第一章
1.1
1.1.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
新知导学 2．高台跳水运动员当高度从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均
ht2－ht1 t2－t1 速度为____________.
第一章
1.1
1.1.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
第一章
1.1
1.1.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
已知函数y＝f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)从－1到 1
的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小
关系为( )
A．v1>v2 C．v1<v2
B．v1＝v2 D．不能确定
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
第一章
导数及其应用
第一章
导数及其应用
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2
第一章 1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
第一章