运筹学-7计算公式
运筹学
1（单纯形法）例：Min Z=-2x1-x2+x3 , s.t. 3x1+x2+x360≤x1-x2+2x310≤,x1+x2-x320≤,xj 0≥,解析：对第一、二、三个不等式添加松弛变量x4 x5 x6,则原线性问题化成标准形形式为：（略）因为B=（A4 A5 A6）是一单位矩阵，且b=(60 10 20)T>0 所以基B 是可行基，x4 x5 x6为基变量，x1 x2 x3为非基变量，基B 对应的基本可行解为检验数02>=ξ，故当前解不是最优解，A1列中有三个元素a11 a21 a31 均为正数，取min ()313212111,,a b a b a b =min ()120110360,,=10故转轴元为a21,x1为进基变量，x5为出基变量，进行旋转后得下表（略）它对应的基本可行解为x=(10 0 0 30 0 10)T,其目标函数值为Z0=-20，但,032>=ξ仍不是最优解，（以下的过程跟前面一样）最后得Z0=-35，检验向量0<ξ故为最优解。
故基本可行解x*=(15 ,5 ,0 )Tm 目标函数值为Z0=-35。
2（两阶段法）例 max z=3x1+4x2+2x3 s.t. x1+x2+x3+x430≤, 3x1+6x2+x3-2x40≤, x24≥解：化为标准形形式为min z=-3x1-4x2-2x3 s .t.分别加x5 x6 x7松弛变量，因为该线性规划的系数矩阵的系数矩阵已包含两个单位向量，就是A5=（100）T ，A6=（010）T ，第一阶段只要增加一个人工变量x8得到辅助LP 问题为min g=x8 s.t .以下略，作如下表（略），将表中第三行加到关于g 的第0行中，得到第一张单纯形表（略）按单纯形迭代，表略，第一阶段结束，得到辅助问题的一个最优解，3（对偶单纯形法）例 min 2x1+3x2+4x3, s.t. x1+2x2+x33≥ 2x1-x2+3x34≥ x1 x2 x3 0≥,解：引进非负的剩余变量x40≥,x50≥,将不等式约束化为等式约束直接利用对偶单纯形法求解，b2=- 4<b1=-3,所以x5为出基变量，由以下比值决定进基变量min(3422,----)=21a ξ=1,所以x1为进基变量，以a21为转轴元进行旋转变换得下表（略）因为b1=-1<0,所以x4为出基变量，因为min( )所以x2为进基变量，以a12为转轴得表（略）此时b>0,故原问题最优解为x*=( )T,其最优值Z0=（） 4写出下面线性规划的对偶规划。
运筹学chap7 网络计划1
3 5 1 10 2 10 4
LS5-6=LF5-6-D5-6=40-10=30 LS3-5=LF3-5-D3-5=30-4=26 LS2-5=LF2-5-D2-5=30-5=25 LS4-5=LF4-5-D4-5=30-10=20 LF5-6= 40 LF3-5=min[LS5-6]=30 LF2-5=min[LS5-6]=30 LF4-5=min[LS5-6]=30
最早时间参数ES i-j 和EF i-j 最早开始时间等于其所有的紧前工作最早结 束时间中的最大值： ES i-j =max [EF h-i]=max [ES h-i +D h-i ]
最早结束时间是它的最早开始时间加上该工
作的持续时间之和：EF i-j= ES i-j +D i-j
3 5 1 10 2 10 4
B(3)
3
D(8)
7
G(4)
1
A(3)
2
5
E(5)
6
9
I(2)
10
C(3)
4
F(4)
8
H(2)
6 6
14 14
B(3)
0 0
3
D(8)
6 9
7
G(4)
20 20 18 18
1
A(3)
2
3 3
5
E(5)
6
11 14
9
I(2)
10
C(3)
4
6 9
F(4)
8
11 16
H(2)
2.3
工作时间参数计算关系式
ES1-2=0 ES1-3=0 ES3-5=max[EF1-3]=5 ES2-5=max[EF1-2]=10 ES2-4=max[EF1-2]=10 ES4-5=max[EF2-4]=20 ES5-6=max[EF3-5,EF2-5,EF4-5] =max[9,15,30]=30 EF1-2=ES1-2+D1-2=0+10=10 EF1-3=ES1-3+D1-3=0+5=5 EF3-5=ES3-5+D3-5=5+4=9 EF2-5=ES2-5+D2-5=10+5=15 EF2-4=ES2-4+D2-4=10+10=20 EF4-5=ES4-5+D4-5=20+10=30 EF5-6=ES5-6+D5-6=30+10=40
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
运筹学概念
运筹学基本概念➢线性规划问题的基与解LP： max(min)z=CX （1-1）s.t AX=b （1-2）X>=0 （1-3）设A施m*n矩阵，且A的秩为m，则有●可行解：满足上述约束条件（1-2）、（1-3）的向量X称为可行解。
●最优解：满足式（1-1）的可行解称为最优解●基：A中任何一组m个线性无关的列向量构成的子矩阵B，称为该问题的一个基，即B为A的m*m非奇异子矩阵。
●基向量：基B中的一列即为B的一个基向量。
基B中公寓m个基向量●非基向量：矩阵A中基B之外的一列即为B的一个非基向量。
A中共有n-m个非基向量。
●基变量：与基B的基向量相应的变量恒伟B的基变量，基变量共有m个。
●非基变量：与基B非基向量相应的变量称为B的非基变量，非基变量共有n-m个。
●基本解：对于基B，令所有非基变量为零，求得满足式（1-2）的解，称为B对应的基本解。
●基本可行解：满足式（1-3）的基本解称为基本可行解，其对应的基称为可行基。
●基本最优解：满足式（1-1）的基本可行解称为基本最优解，其对应的基称为最优基。
●退化的基本解：若基本解中有基变量为零这，则称之为退化的基本解。
类似地，有退化的基本可行解和退化的基本最优解。
➢几何意义上的几个基本概念●凸集：设S是n维空间的一个点集，若任意两点X（1）、X(2) ∈S的所连线段上的一切点αX（1）+（1-α）X(2)，（0<=α<=1），则称S为凸集。
●凸组合：设X（1）、X(2)……X（K）,为n维空间中的k个点。
则X=μ1X（1）+μ2X(2)+ μkX（K）（0<=μi<=1，i=1,2……k,且μ1+……μk=1）称为X（1）、X(2)……X（K）的凸组合。
●极点：S是凸集，X∈S，若X不能用S中相异的两点X（1）、X(2)线性表示为：X=αX（1）+（1-α）X(2)，α∈（0,1），则称X为S的极点或定点。
即极点不能成为任何线段的内点。
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案[2002年版新教材]第一章导论 P51.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。
定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。
举例：免了吧。
2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？.观察待决策问题所处的环境；.分析和定义待决策的问题；.拟定模型；.选择输入资料；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）；.实施最优解；3、．运筹学定义：利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P251、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。
但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。
调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。
（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。
2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α= 0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤）年度 1 2 3 4 5大米销售量实际值（千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。
答：F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9F6=3581.1+400.77+35.433+4.5711+0.3764F6=4022.33 、某地区积累了11个年度纺织品销售额与职工工资总额的数据，列入下列表中（表略），计算：（1）回归参数a,b（2）写出一元线性回归方程。
运筹学第7讲
约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
5
（二） 配料问题
设备 A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件） Ⅰ 5 7 6 4 7 0.25 1.25 产品单件工时 Ⅱ Ⅲ 10 9 12 8 11 0.35 2.00 0.50 2.80 设备的 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000 满负荷时的 设备费用 300 321 250 783 200
由管理运筹学软件求解得：
11
（三）
生产计划的问题
例4．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公 司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装 配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以 自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表 。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产 多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包 协作各应多少件？
4x122
7x123
+ 11x322 ≤ 7000
≤ 4000
（ 设备 B2 ）
（ 设备 B3 ）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 x312
- x322 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）
清华大学出版《运筹学》第三版完整版
OR3
整理ppt
20
（3）工作时差
时差又叫机动时间或富余时间。常用的时 差有两种：
a工)工作作所总具时有差的T机Fi动-j。时指间在。不影响工期的前提下，
计算公式：TFi-j=LFi-j-ESi-j-Di-j=LSi-j-ESi-j
或者为： TFi-j=LFi-j-EFi-j
b)工作自由时差FF。在不影响其紧后工作最早 开始的前提下，工作所具有的机动时间。
网络图中最后一项工序的最迟完成时间应为工 程的计划工期。若未给定计划工期，则取其为 最早完成时间。即LFi-n=EFi-n.，LSi-n= LFi-n- Di-n
其它工序： LSi-j= LFi-j- Di-j
L Fm inL FD ( )
i j
k
j k j k
即LF=min(紧后工作的LS).
3计算相应的增加的总费用然后考虑由于工计算相应的增加的总费用然后考虑由于工期的缩短间接费用的变化在这个基础上计算期的缩短间接费用的变化在这个基础上计算项目的总费用
第五节 网络计划
引言：
国外实践证明：应用网络计划技 术组织与管理生产和项目，一般能缩 短工期20％左右，降低成本10％左右。
上海宝钢炼铁厂1号高炉土建工 程施工中，应用网络法，缩短工期21 ％，降低成本9.8％。
工序时间 60
45 10 20 40 18 30 15 25 35
OR3
整理ppt
14
A4 6
B
C 6
D7 E 5
G 7
F9
I
H 4
8
线路：网络图中，从起点节点沿箭线方 向顺序通过一系列箭线与节点，最后到 达终点节点的通路。
关键路线：即持续时间最长的路线。关 键路线上的各工作叫做关键工作。
《管理运筹学》02-7运输问题
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
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故单纯形乘子
1
B11
3
1
1
2
9 3
1
CB B 1
(1,2)
3
1
9
1 2
(1 9
，7 ) 3
3
§1.7 计算公式 Calculate Formula
(2)基变量的解为
XB
x1
x2
B 1b
Ch1 Linear Programming
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
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Z CB B1b (CN CB B1N )) X N
得到下列五个计算公式：
1.
Z0 CB B1b
(令XN=0)
2. N CN CB B1N
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(4) 要判断B1是不是最优基,亦是要求出所有检验数
则否满足λj≤0,j=1…,5.x1,x2是基变量,
故λ1=0,λ2=0,而 得
3 998剩 0下, 来求λ4,λ5，由λN计算公式
(4 , 5 ) (c4 , c5 ) CB B1(P4P5 )
C CBB1A
j c j ciaij
i
其中 aij (B1N) j
3.
X B B1b
4. N B1N
5. CBB1 称为单纯形算子
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
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－m列构成的矩阵记为N＝（Pm+1,…Pn）,则A可以写成
分 块 矩 阵 A= （ B ， N ） 。 对 于 基 B ， 基 变 量 为 xB= （x1,x2，…，xm ）T, 非基变量为xN=(xm+1,xm+2,…xn)T.
则X可表示成
X
X B
X
N
同理将C写成分块矩阵C=（CB，
CN），CB=(c1,c2,…,cn),
(0,0)
(1 9
,
73 ) 10
0 1
( 1 , 7) 93
因λj≤0,j=1,…,5,故B1是最优基.
§1.7 计算公式 Calculate Formula
b (b1,b2 , ,bm )T
X≥0应理解为X大于等于零向量，即xj≥0,j=1,2…,n。
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
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不妨假设A＝（P1，P2，…，Pn）中前m个列向量构成 一个可行基，记为B=(P1，P2，…，Pm)。矩阵A中后n
五个公式的应用
【例1.17】线性规划
max Z x1 2x2 x3
2x1 3x2 2x3 x4 15
1 x3
x1 x2 j 0, j
5x3 1,
x5 ,5
20
已知可行基
2 3
B1
1 3
1
求(1)单纯形乘子π; (2)基可行解及目标值; (3)求λ3; (4)B1是否是最优基,为什么;
(5)当可行基为 B2＝10
3
1
时求λ1及λ3.
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
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【解】(1)因为B1由A中第一列、第二列组成,故x1、x2 为基变量，x3、x4、x5为非基变量,有关矩阵为
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再将第二行左乘－CB后加到第三行,得到
XB
XN
b
XB
I
B－1N
B－1b
λ
0
CN－CBB－1N －CBB－1b
N
λΝ
XB
－Z0
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
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Ch1 Linear Programming
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(3) 求λ3
P3
2 5,
CB
B
1P3
P3
(1 9
，73 )52
107 9
3 c3 CB B 1P3
＝பைடு நூலகம்－107 9
＝－ 98 9
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
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1 31
9
1
15
2
20
3
25
35
3
故基本可行解为 X (25, 35 0,0,0, )T ,
3,
目标函数值为
Z0
CB B1b
CB X B
25 (1，2) 35
3
145 3
§1.7 计算公式 Calculate Formula
上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，
设初始矩阵单纯形表为
XB
XN
b
XB
B
N
b
CB
CN
0
将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,即求基本可 行解和检验数.用B－1左乘表中第二行,得到下表
XB
XN
b
XB
I
B-1N
B-1b
CB
CN
0
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
BX B b NX N
X B B 1 (b NX n )
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，
则得到基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB
X
B
CN X N
CB
(B
1b
B
1 N
X
N
)
CN
X
N
CB B1b (CN CB B1N )) X N
CN=(Cm+1Cm+2，…，cn) 则AX=b可写成
(
B，N
)
X X
B N
BX B
NX N
b
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
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因为r（B）=m（或|B|≠0）所以B —1存在，因此可有
设有线性规划
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
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max Z CX
AX b X 0
其中Am×n且r(A)=m,
X (x1, x2 , , xn )T
C＝（c1, c2 , cn )