图像处理实验报告

2016 年春季学期研究生课程考核

（读书报告、研究报告）

考核科目:图像处理与分析

学生所在院（系）:理学院数学系

学生所在学科:计算数学

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考核结果阅卷人

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1 实验目的

过MATLAB 软件编程熟悉MATLAB 图像处理的一般过程，例如图像的导入，对源图像进行手动加各种噪声（高斯噪声、瑞丽噪声、伽马噪声、指数噪声、椒盐噪声），通过热传导方程，热传导逆方程，PM 模型，TV 模型，LAPLACE 模型，P_LAPLACE 模型，P(x)_LAPLACE 模型，在对图像进行处理的过程中引入Signal_Noise_Ratio （信噪比SNR ）、Peak_Signal_Noise_Ratio （峰值信噪比PSNR ）、Mean_Absolute_Error （绝对均差MAE ）对处理后的图像质量进行评判。

2 实验原理

2.1热传导方程模型

Tikhonov 和Arsenin 提出如下模型：能量泛函

22min ()||||2u

E u u dx u f dx λ

Ω

Ω

=∇+

-⎰⎰

其对应的Euler_Lagrange 方程

0()

|0dE u v d εεε

=+= 由最速下降法求解可转化为如下的线性方程：

(),(,)(0,)(,0),0,(,)(0,)du

u u f x t T dt u x f x du x t T dn

λ⎧=∆--∈Ω⨯⎪⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎩ 注意：在用最速下降法推导方程的过程中左端项应该为：

0(),(,)(0,)(,0),0,(,)(0,)u u f x t T u x f x du x t T dn

λ⎧

⎪=∆--∈Ω⨯⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎩ 其中n 为外法向向量。然而，当时间t 足够长时，上述两种形式方程等价，

即后者是前者的稳定状态时的方程。

2.2热传导逆方程模型

(),(,)(0,)(,0),0,(,)(0,)du

u u f x t T dt u x f x du x t T dn

λ⎧=-∆--∈Ω⨯⎪⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎩ 在时间足够长时，上述方程等价于：

0(),(,)(0,)(,0),0,(,)(0,)u u f x t T u x f x du x t T dn

λ⎧

⎪=-∆--∈Ω⨯⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎩ 2.3 PM 模型

((||))u

div C u u t

∂=∇∇∂ 其中

2

1

C(s)1(/)s K =

+

该方程的局部坐标表达式为：

2222||1()1||||(1())1()

NN TT u u K U U u u t K K

∇-∂=+∇∇∂++

其中，U NN 为沿着等灰度水平线的法向N 的方向导数，U TT 为沿着等灰度水平线的切向T 的方向导数。

2.4 TV 模型

Ridin ，Osher 和Fatemi 首次提出全变差（TV ）模型

2min ()||||2u

E u u dx u f dx λ

Ω

Ω

=∇+

-⎰⎰

其对应的Euler_Lagrange 方程:

0()

|0dE u v d εεε

=+=

有最速下降法求解可转化为如下的线性方程：

2()(),(,)(0,)||(,0),0,(,)(0,)p

u

u div u f x t T t u u x f x du x t T d n

λ-∂∇⎧=--∈Ω⨯⎪∂∇⎪⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ 注意：在用最速下降法推到方程的过程中左端项应该为:

20()(),(,)(0,)||(,0),0,(,)(0,)p u div u f x t T u u x f x du x t T d n λ-∇⎧=--∈Ω⨯⎪∇⎪⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩

其中n 为外法向向量。

2.5 P_Laplace 模型

2min ()||||2p u

E u u dx u f dx λ

Ω

Ω

=∇+

-⎰⎰

其对应的Euler_Lagrange 方程:

0()

|0dE u v d εεε

=+=

有最速下降法求解可转化为如下的线性方程：

2()(),(,)(0,)||(,0),0,(,)(0,)p

u

u div u f x t T t u u x f x du x t T d n

λ-∂∇⎧=--∈Ω⨯⎪∂∇⎪⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ 注意：在用最速下降法推到方程的过程中左端项应该为:

20()(),(,)(0,)||(,0),0,(,)(0,)p u div u f x t T u u x f x du x t T d n

λ-∇⎧=--∈Ω⨯⎪∇⎪⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ 其中n 为外法向向量。然而，当时t 足够长时，上述两种形式方程等价，即后者是前者的稳定状态时的方程。

2.6 P(x)_Laplace 模型

已知P_Laplace 模型

2()(),(,)(0,)||(,0),0,(,)(0,)p u

u div u f x t T t u u x f x du x t T d n λ-∂∇⎧=--∈Ω⨯⎪∂∇⎪⎪

=∈Ω

⎨⎪⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩

观察在P_Laplace 模型中的缺陷是：在计算过程中，参数P 的值是人们事先取定的，没有根据图像的实际特定进行更新，自然就联想到当P 的值随着处理图像位置的不同而进行更新，根据PM 模型和TV 模型的处理图像的特点，对于P_Laplace 模型知道如下事实：

① 当p 趋近于1时，该模型的效果近似于TV 模型的结果； ② 当p 趋近于2时，该模型的效果近似于PM 模型的结果。 所以修改P_Laplace 模型如下：