2020考研数学(一)答案解析
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
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( x, y2
y))
|
0
3.答案：A 解析：
f (x, y)在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0
lim f (x, y) f (0, 0) f x(0, 0) x f y(0, 0) y 0
x0 y0
x2 y2
即 lim f (x, y) f x(0, 0) x f y(0, 0) y 0
4 12 6
P(BAC) P(B AUC) P(B) P[B(AUC)] P(B) P(BA) P(BC) P(ABC) 1 0 1 0 1
4 12 6
P(CBA) P(C BUA) P(C) P[CU (BUA)] P(C) P(CB) P(CA) P(ABC) 1 1 1 0 1
1
2 f y 2
48y
当 x 0, y 0时.A 0.B 1.C 0
AC B2 0 故不是极值.
当x1y 1 时 6 12
A 1.B 1.C 4.
AC
B2
0.A
1
0故
1, 6
1 12
是极小值点
极小值
f
1 6
,
1 12
1 3 6
8
1 12
3
6 1 12
1 216
16.（本题满分 10 分）
x0 y0
x2 y2
n x, y, f (x, y) f x(0, 0)x f y(0, 0) y f (x, y)
n x, y, f (x, y)
lim
0 存在
( x, y)(0,0)
x2 y2
选 A.
4.设 R 为幂级数 anr n 的收敛半径，r 是实数，则（ ） n1
明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分）
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（4）【答案】（A）.
【解析】若 anrn 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾. 故应选（A）.
（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则
（）
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B.
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A.
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点，法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
（）
（A） α1 可由 α2 , α3 线性表示.
（B） α2 可由 α1, α3 线性表示.
（C） α3 可由 α1, α2 线性表示. （6）【答案】（C）.
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ，故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ，
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选（A）.
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
（4） 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则 n 1
（）
（A） anrn 发散时， r R . n 1
（B） anrn 发散时， r R . n 1
（C） r R 时， anrn 发散. n 1
2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析
2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析1. 【单项选择题】当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：4. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：5. 【单项选择题】若矩阵A经初等列变换化成B，则( )．A. 存在矩阵P，使得PA=BB. 存在矩阵P，使得BP=AC. 存在矩阵P，使得PB=AD. 方程组Ax=0与Bx=0同解正确答案：B参考解析：6. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C 参考解析：7. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D 参考解析：8. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：9. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1【解析】10. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：n+am【解析】12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4e13. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：a4-4a2【解析】14. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：15. 【解答题】求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：16. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：17. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：18. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：19. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：20. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：23. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：。
2020年考研数学(一)真题及解析
2020年考研数学（一）真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）A.()⎰-xt dt e 012B.0ln(1x dt +⎰C.⎰xdt t sin 02sin D.⎰-xdt t cos 103sin【答案】D【解析】()A 22++3200(1)(1)1lim lim33xxt t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰，可知0x +→，2301(1)~3x t e dt x -⎰， ()B ++500222limlim ln(155xx x xx dt→→==+⎰，可知5202ln(1~5x dt x +⎰，0x +→ ()C +++s 3in 2200020sin sin(sin )co cos 1limlim lim 333s x x x xx x t dt x x x →→→===⋅⎰，可知sin 2301sin ~3x t dt x ⎰，0x +→()D ++1co 50s 0limlim x x x →→-===⎰，可知1cos 50~x -⎰，0x +→ 通过对比，⎰-xdt t cos 103sin 的阶数最高，故选()D2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0=→x f x ，则（ ）A. 当()0lim=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.B. 当()0lim2=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.C. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim=→xx f x .D. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim2=→xx f x .【答案】C 【解析】当()f x 在0x =处可导时，由()0(0)lim 0x f f x →==，且0()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x →→-'==-，也即0()lim x f x x →存在，从而()0lim0=→xx f x ，故选C 3. 设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，()0,01,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂∂∂=y f x f n 非零向量d 与n 垂直，则（ ）A.()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在. B.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x n y x 存在.C. ()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x d y x 存在. D.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x d y x .【答案】A【解析】函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，(,)(0,0)(0,0)(0,0)0x y f x y f f x f y→→''---=，00(,)(0,0)(0,0)0x y f x y f x f y→→''--=由于()(),,,n x y f x y ⋅=(0,0)(0,0)(,)x y f x f y f x y ''+-，所以()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在4. 设R 为幂级数1nn n a r∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）A.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥. B.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≤.C.R r ≥时，1nn n a r∞=∑发散. D. R r ≤时，1nn n a r∞=∑发散.【答案】A【解析】R 为1nn n a r∞=∑的收敛半径，所以1nn n a r∞=∑在(,)R R -必收敛，所以1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥.故选A5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（ ）A. 存在矩阵P ，使得B PA =.B.存在矩阵P ，使得A BP =.C.存在矩阵P ，使得A PB =.D. 方程组0=Ax 与0=Bx 同解. 【答案】B【解析】A 经过初等列变换化成B ，存在可逆矩阵1P 使得1AP B =,令11PP -=，得出A BP =,故选B6. 已知直线12121212:c c b b y a a x L -=-=-与直线23232322:c c b b y a a x L -=-=-相交于 一点，法向量i i i i a b c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3,2,1=i . 则 A. 1a 可由32,a a 线性表示. B. 2a 可由31,a a 线性表示. C.3a 可由21,a a 线性表示. D. 321,,a a a 线性无关. 【答案】C【解析】令22211112:x a y b c L t a b c ---===，即有21212121=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由2L 方程得32323223=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两条线相交，得2132++t t αααα=即2123123+(1)t t t t ααααααα-=⇔+-=，故选C 7. 设A ，B ，C 为三个随机事件，且()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ， ()()121==BC P AC P ，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 A. 43. B. 32. C. 21. D. 125. 【答案】D【解析】()()()(())P ABC P ABUC P A P A BUC ==-111()()()()004126P A P AB P AC P ABC =--+=--+=()()()(())P BAC P B AUC P B P B AUC ==-111()()()()004126P B P AB P BC P ABC =--+=--+=()()()(())P CAB P C AUB P B P C AUB ==-1111()()()()04121212P C P CB P CA P ABC =--+=--+=所以1115()()()661212P ABC P ABC P ABC ++=++= 8. 设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，其中()()2110====X P X P ， ()x Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=100155i i X P 的近似值为A. ()11Φ-.B. ()1Φ.C.()2,01Φ-.D.()2,0Φ. 【答案】B【解析】由题意12EX =，14DX =,根据中心极限定理1001~(50,25)i i X N =∑,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=100155i i X P=10050(1)iX P ⎛⎫- ⎪≤=Φ⎝⎭∑二、填空题：9~14小题，每小题2分，共24分.请将解答写在答题纸指定位置上. 9. ()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→x e x x 1ln 111lim 0 . 【答案】-1【解析】()()()()2000ln 11ln 1111lim lim lim 1ln 1(1)ln 1x x x x x x x x e x e e x e x x →→→⎡⎤⎡⎤+-++-+-==⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦ =()2222001111ln 1122lim lim 1xx x x x x x x e x x→→----++-+==-10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122t dx y d .【答案】【解析】1dy dy dt dx dx dt t ===22231=dy dy d d d y dt dx dt dx dx dt dx t t t⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===--得212t d y dx==11. 若函数()x f 满足()()()()00>=+'+''a x f x f a x f ，且()m f =0，()n f ='0，则()f x dx +∞=⎰.【答案】n am +【解析】特征方程210a λλ++=，则1212,1a λλλλ+=-⋅=，所以两个特征根都是负的。
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纨指定位置上.1- cos Jx _______ _ r > 0(1)若函数/(# = { ax在x连续，则b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = —^.(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【详解】由lim --=，_ = b,得出? = L.ax 2a 2(2)设函数可导，且—。
)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增，尸⑴>(3)函数/。
,乂2)=犬〉+ ^在点(1,2,0)处沿着向量〃 =(1,2,2)的方向导数为(A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 .【答案】D19【详解】方向余弦cosa = -,cos^ = cosy = §，偏导数f； = 2xy,f； = x\f! = 2z，代入 cos af； + cos /f： + cos yf；即可.(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线y =H«)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线〃=匕(。
(单位：in/s),三块阴影部分面积的数值一次为10, 20, 3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s),则(A) r 0 =10. (B) 15<t 0 <20 . (C) 0 = 25. (D) t 0>25.【答案】C【详解】在。
=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设a 为〃维单位列向量，七为〃阶单位矩阵，则(A)七一勿肝不可逆. (B) E+aaT 不可逆. (C) E+2a«i 不可逆. (D)不可逆.【答案】A【详解】可设Q = (l,o,…,0)、则或/的特征值为L0,…,0,从而E —皿丁的特征值为 0』,…因此E —不可逆.101 fl 、2 0 , C= 2 0 J 1 2)(A)A 与C 相似，8与。
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2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
XXX 时，下列无穷小量中最高阶是（）A。
$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。
$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。
$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。
$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，则（）A。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
B。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
C。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。
D。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。
3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）A。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。
B。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。
2020考研数学一真题及答案
0 0⎰⎰x →0→ →2020考研数学一真题及答案一、选择题：1~8 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. x → 0+ 时，下列无穷小阶数最高的是 A. ⎰ x (e t 2-1)d tB.⎰ x ln (1+ t 3)d tC.sin x sin t 2d t1-cos xD.1. 答案：Dsin 3 t d t2. 设函数 f (x ) 在区间（-1，1）内有定义，且lim f ( x ) = 0, 则（ ）A. 当limxB. 当limx →0f (x )= 0, f ( x )在x = 0 处可导. | x |f (x )= 0, f ( x )在x = 0 处可导.C. 当 f (x )在x = 0处可导时,limx 0D. 当 f (x )在x = 0处可导时,limx →0f (x ) = 0.| x |f (x )= 0.x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 22. 答案：B解析: limf (x )= 0 ∴limf (x )= 0 ∴ limf (x )= 0, lim f (x ) = 0x →0x →0| x |x →0+x x →0-x∴limf (x )= 0, lim f ( x ) = 0x →0xx →0∴lim f (x ) - f (0) = lim f (x ) = 0 = f '(0) x →0 x - 0 x →0 x∴ f (x ) 在 x = 0 处可导∴选 Blim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0) | n ⋅ ( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| n ⨯( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| d ⋅ ( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| d ⨯( x , y , f ( x , y )) |= 03. 答案：A解析：f (x , y )在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0∴limx →0 y →0f (x , y ) - f (0, 0) - f x '(0, 0) ⋅ x - f y '(0, 0) ⋅ y= 0即lim x →0y →0f (x , y ) - f x '(0, 0) ⋅ x - f y '(0, 0) ⋅ y= 0n ⋅ ( x , y , f (x , y ) ) = f x '(0, 0)x + f y '(0, 0) y - f (x , y )n ⋅ ( x , y , f (x , y ) )A. B. C. D.4.设 R 为幂级数∑ a r 的收敛半径，r 是实数，则（）A.∑ a r 发散时，| r |≥ RB.∑ a r 发散时，| r |≤ RC.| r |≥ R 时，∑ a r 发散D.| r |≤ R 时，∑ a r 发散∵R 为幂级数∑ a x 的收敛半径.∴∑ a x 在(-R , R ) 内必收敛.∴∑ a r 发散时，| r |≥ R .1 1 ∴ lim( x , y )→(0,0)= 0 存在∴选 A.∞n n n =1∞n n n =1∞n nn =1∞n nn =1∞n nn =14. 答案：A解析：∞n n n =1∞n n n =1∞n n n =1∴选 A. 5. 若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则（ ）A. 存在矩阵 P ，使得 PA =BB. 存在矩阵 P ，使得 BP =AC. 存在矩阵 P ，使得 PB =AD. 方程组 Ax =0 与 Bx =0 同解 5. 答案：B 解析：A 经初等列变换化成 B. ∴存在可逆矩阵 P 1 使得 AP 1 = B∴ A = BP -1令P = P -1∴ A = BP .∴选B .6.已知直线 L : x - a 2 = y - b 2 = 2 - c 2 与直线 L : x - a 3 = y - b 3 = 2 - c 3 相交于一点，法1⎡a i ⎤ a 1 b 1 c 1a 2b 2c 2 向量 a = ⎢b ⎥,i = 1, 2, 3. 则i ⎢ i ⎥ ⎢⎣c i ⎥⎦A. a 1 可由 a 2 , a 3 线性表示B. a 2 可由 a 1, a 3 线性表示C. a 3 可由 a 1, a 2 线性表示D. a 1, a 2 , a 3 线性无关6.答案：C 解析：令 L 的方程x - a 2 = y - b 2= z - c 2 = t1⎛ x ⎫ a 1 b 1 c 1⎛ a 2 ⎫ ⎛ a 1 ⎫ 即有y ⎪ = b ⎪ + tb ⎪ =α + t α ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪ 2 1 z ⎪c ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎛ x ⎫ ⎛ a 3 ⎫ ⎛ a 2 ⎫ 由 L 的方程得 y ⎪= b ⎪ + t b ⎪ =α + t α 2 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 32 z ⎪ c ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝3 ⎭ ⎝ 2 ⎭由直线 L 1 与 L 2 相交得存在 t 使α2 + t α1 =α3 + t α2即α3 = t α1 + (1- t )α2 ，α3 可由α1 ,α2 线性表示，故应选C. 7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P ( A ) = P (B ) = P (C ) =1, P ( AB ) = 0 4P ( AC ) = P (BC ) = 1123A. 4 2B. 3 1C.2，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为25D.127.答案：D解析： P( ABC ) =P( ABUC) =P( A) -P[ A(BUC)]=P( A) -P( AB +AC)=P( A) +P( AB) -P( AC) +P( ABC)=1- 0 -1+ 0 =1 4 12 6P(BAC ) =P(BAUC) =P(B) -P[B( AUC)] =P(B) -P(BA) -P(BC) +P( ABC)=1- 0 -1+ 0 =1 4 12 6P(CBA) =P(CBUA) =P(C) -P[CU (BUA)] =P(C) -P(CB) -P(CA) +P( ABC)=1-1-1+ 0 =14 12 12 12P( ABC +ABC +ABC) =P( ABC ) +P( ABC ) +P( ABC)=1+1+1=5 6 6 12 12选择D8.设X1 , X 2,…, X n为来自总体X 的简单随机样本，其中P( X = 0) =P( X = 1) =1, Φ(x) 表2⎛100 ⎫示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P ∑X i ≤ 55⎪的近似值为⎝i=1 ⎭A.1-Φ(1)B. Φ(1)C.1-Φ(2)D. Φ(2)8.答案：B解析：由题意EX =1, DX =1 2 4∑ ⎣ ⎦⎝ ⎭⎛ 100 ⎫ ⎛ 100 ⎫ E ∑ X i ⎪ X = 100EX = 50. D ∑ X i ⎪ = 100DX = 25 ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭100由中心极限定理X i~ N (50, 25)i =1⎧ 100⎫ ⎧ 100⎫ ⎪∑ X i - 55 55 - 50⎪ ∴ P ⎨∑ X i ≤ 55⎬ = P ⎨ i =1 ≤ 55 ⎬ = Φ(1) ⎩ i =1 ⎭ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎭故选择 B二、填空题：9—14 小题，每小题 2 分，共 24 分。
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π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
（15）（本题满分10分）
f ( x) 0.
x
x
综上，
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt，则
．
x y
(1,1)
（12）【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
，又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
（4） 设R为幂级数anxn的收敛半径，r是实数，则
（
）
n1
（A）anrn发散时，
r
R.
n 1
（B）anrn发散时，
r
R.
n 1
（C）
r
R时，anrn发散.
n 1
（D）
r
R时，anrn发散.
n 1
（4）【答案】（A）.
【解析】若anrn发散，则
r
R，否则，若
P ( ABACBC )P ( AB )P ( AC )P ( BC )P ( ABC )P ( ABC )P ( ABC )P ( ABC)
0121121016,
故P ( ABC ABC ABC)127 16 125.故应选（D）.
（8）设X1,X2, ,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P X0P X1
r
R，由阿贝尔定理知，anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾.故应选（A）.
（5）若矩阵A经过初等列变换化成B，则
（
）
（A）存在矩阵P，使得PA B.
（B）存在矩阵P，使得BPA.
（C）存在矩阵P，使得PBA.
（D）方程组Ax0与Bx0同解.
（5）【答案】（B）.
【解析】A经过初等列变换化成B，相当于A右乘可逆矩阵P变成B，即存在
4x y
, Q
x y
，因为
4 x2y2
4x2y2
P
4 x28 xy y
2
Q
4 x28xy y2
,
,
y
4 x2y22
x
4x2y22
由格林公式知，L L1
4x y
x y
d x
d y 0.
4 x2y2
4x2y2
又
4 x y x yL14x2y2dx4x2y2
从而I0ππ.
d y12L14x ydx x ydy
lim
f x
A,
x 0
x 0
x
x 0x
则lim
f x
lim
f x
x
0.同理可排除（D）.
x 0
x
x 0
x
x
故应选（C）.
（3）设函数f x在点0, 0
处可微，f 0, 0 0, n
f
f
,
, 1
，非零向量d与
x
y
0,0
n垂直，则
（
）
（A）
lim
n
x , y , f
x , y
0存在.
x , y0,0
x2y2
7
当 0a2时，1,2a 4 a2i，故
2
f x e
a
x
4
a
2
x C2sin
4
a
2
2
C1cos
x ,
2
2
x
x
a
a
4 a2
x C2sin
4 a2
f
e
2
C1cos
x
2
2
2
a
x
4 a
2
4 a
2
4 a
2
4 a
2
e
2
C sin
x
C cos
x ,
2
2
2
2
1
2
从而lim
f ( x ) lim
f ( x) 0.
x
x
1
1
1 dxdy
2
D
1
2
π
π.
2
2
（17）（本题满分10分）
设数列an满足a11, ( n1) an1( n12)an.
证明：当x1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数.
n1
n
1
1
an 1
（17）【证明】由
( n 1) a
n1
( n
)a，有
2
，从而
2
n
an
n 1
n
1
lim
an 1
lim
2
1
a
n 1
n
当a2时，1,21，故
fx C1C2x ex,
fxC1C2xexC2ex,
从而
limx
f ( x )
limx
f ( x)
0.
当a2时，
a
a24
，故
1,2
2
a a24
x
a a24
x
f x C1e
2
C2e
2
,
a a24
x
a a24
x
f x
a a24
a a2
4
C2e
,
C1e
2
2
2
2
从而lim
f ( x ) lim
100
100
Xi50
55 50
i 1
PXi
55
P
(1).
5
5
i 1
故应选（B）.
二、填空题
1
1
9.lim
．
x
x 0
e
1
ln(1 x)
（9）【答案】1.
【解析】
6
lim
x0
1 ex1
1
lim
ln(1 x) ex
1
ln(1
e
x
1 ln(1 x)
x)
x 0
1
2
x2
1x
2
x
x
1 x
2
2
lim
x2
x 0
x2
lim
2
S x
1
S x
1
，
2 1 x
1 x
解之得S x C
1
2.
1
x
由题意知，S 0 0，故C2，从而有S x
生两个的概率表示，即P ( ABCABCABC )P ( ABC )P ( ABACBC),
5
而P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC)，因P ( AB) 0，故P ( ABC) 0，从而
P ( ABC)3401211210127,
AC B2
1 0，故0, 0不是极值点.
1
,
1
在点
处：
6
12
A f
1
,
1
1 0, B f
1
,
1
1, C f
1
,
1
4,
xx
xy
yy
6 12
6 12
6 12
2
1
1
AC B
4 1 0，故
,
是极小值点，极小值为
6
12
1
1
1
3
1
3
1
1
1
f
,
.
6
12
216
6
12
6
12
（16）（本题满分10分）
计算IL
4x y
x y
lim
sin sin x2cos x
lim
sin2x
lim
x3
3 x2
x 0+
x 0+
x 0+3x2
x 0+
故x0时，0sinxsin t2dt是x的3阶无穷小；
1
（）
x21
3x23,
01 cos x
因为lim
sin t2
dt
lim
sin 1 cos x2sin x
lim
sin 1 cos x2
1,
（C）α3可由α1,α2线性表示.
（D）α1,α2,α3
线性无关.
（6）【答案】（C）.
a1
a2
【解析】已知L , L相交于一点，故向量
b
与
b
，即α , α
线性无关.
12
1
2
12
c
c
1
2
a1
a2
a3a2
且有
b
, b
, b
b
，即α , α
, α
α线性相关.
1
2
3