数学建模——交通管理问题

190

实验十 交通管理问题

【实验目的】

1．了解微分方程的一些基本概念。

2．初步掌握微分方程模型建立、求解的基本方法和步骤。

3．学习掌握用MA TLAB 软件中相关命令求解常微分方程的解析解。

【实验内容】

在城市道路的十字路口，都会设置红绿交通灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而又无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一名驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样进退两难的境地：要安全停车但又离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得距离太远。那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？ 已知城市道路法定速度为0v ，交叉路口的宽度为I ，典型的车身长度统一定为L ，一般情况下驾驶员的反应时间为T ，地面的磨擦系数为μ。（假设I ＝9m ，L ＝4.5m ，μ＝0.2，T ＝1s ）

【实验准备】

微分方程是研究函数变化过程中规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、人口、交通、生态、环境等各个领域有着广泛的应用。如在研究牛顿力学、热量在介质中的传播、抛体运动、化学中液体浓度变化、人口增长预测、种群变化、交通流量控制等等过程中，作为研究对象的函数，常常要和函数自身的导数一起，用一个符合其内在规律的方程，即微分方程来加以描述。

1．微分方程的基本概念

未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。如果未知函数是多个变量的函数，称为偏微分方程。联系一些未知函数的多个微分方程称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为

)(n y ＋)1(1)(-n y t a ＋…＋'1)(y t a n -＋y t a n )(＝)(t b （1）

若（1）式中系数)(t a i （i ＝1，2，…，n ）均与t 无关，称之为常系数（或定常、自治、时不变）的。

建立微分方程模型要根据研究的问题作具体的分析。一般有以下三种方法：

根据规律建模：在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如牛顿运动定律、基尔霍夫电流及电压定律、物质的放射性规律、曲线的切线的性质等，这些都涉及某些函数的变化率。我们可以根据相应的规律，列出常微分方程。

微元法建模：利用微积分的分析法建立常微分方程模型，实际上是寻求一些微元之间的关系式，在建立这些关系式时也要用到已知的规律或定理。与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。 模拟近似法建模：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型。这是因为，上述学科中的一些现象的规律性我们还不是很清楚，

191

即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象。如此模拟近似所建立的微分方程从数学上求解或分析解的性质，再去同实际情况作对比，观察这个模型能否模拟、近似某些实际的现象。

建立微分方程模型只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。

2．微分方程通解的求解方法

（1）初等积分法

有些微分方程可直接通过积分来进行求解。例如，一阶常系数线性常微分方程

y '＝ax ＋b （a ≠0）

可化为

b

ay dy +＝dt 两边通过积分可得到通解)(t y 为 )(t y ＝)exp(at C －b a 1

-

其中C 为任意的常数。有些常微分方程可用一些技巧（如分离变量法、积分因子法、常数变易法、降阶法等）化为可积分的方程而求得解析解。

（2）常系数线性微分方程求解

线性常微分方程的解满足叠加性原理，从而它的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的解。一阶变系数线性常微分方程总可用这一思路来求得通解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变易法求特解。

例如，求x ''＋x '2.0＋x 92.3＝0的通解。

解：特征方程为

2λ＋0.2λ＋3.92＝0

在MA TLAB 命令框中输入命令

>> x=roots([1 0.2 3.92])% roots 命令用来求多项式的根

求解得到一对共轭复根

x =

-0.1000 + 1.9774i

-0.1000 - 1.9774i

从而该微分方程的通解)(t x 为

)(t x ＝)9774.1cos(1.0t Ae t -＋)9774.1sin(1.0t Be t - 其中A 、B 为任意的常数。

一阶常微分方程组与高阶常微分方程可以互化，已给一个n 阶方程

)(n y ＝t f （，y ，y '，…，）

)1(-n y （2） 设1y ＝y ，2y ＝y '，…，n y ＝)1(-n y ，（2）可化为一阶方程组

1

y '＝2y 2

y '＝3y (3)

1-'n

y ＝n y n

y '＝t f （，1y ，2y ，…，n y ) 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可以化为高阶方程。所以一阶常微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在很多方面是相通的。一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法进行求解。

3．求微分方程（组）通解的MATLAB 命令

192

【实验方法与步骤】

1．dsolve 命令的基本用法

下面以例题来予以说明：

例1 求高阶方程y ''＝)2cos(x －y ，)0(y ＝1，)0(y '＝0的通解

输入命令：

>> r=dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x')

r =

(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*cos(x)+4/3*cos(x)

>> r=simple(r)% 对r 进行合并、分解化简

r =

-1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x)

例2 求天微分方程组的通解

dt dx

＝x 2－y 3＋z 3 dt dy ＝x 4－y 5＋z 3

dt dz

＝x 4－y 4＋z 2 >> [x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z');

>> x=simple(x)

x =

-(-C1-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t)

>> y=simple(y)

y =

-(C1*exp(-4*t)-C1-C2*exp(-4*t)-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t) >> z=simple(z)

z =

(-C1+exp(4*t)*C1-C2*exp(4*t)+C2+exp(4*t)*C3)*exp(-2*t)

2．引例问题的分析与求解

首先，我们用模拟近似法对引例问题进行分析建模。

对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定：是停车还是通过路口。如果他以法定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离。当驾驶员决定通过路口时，必须有足够的时间让他能完全通过路口。这包括做出停车决定的反应时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间，能够很快看到黄灯的驾驶员可以利用刹车距离将车停下来。

于是，黄灯状态所应持续的时间包括驾驶员的反应时间，他通过交叉路口的时间以及通过刹车距离所需要的时间。

193

由题设可知城市道路法定速度为0v ，交叉路口的宽度为I ，典型的车身长度统一定为L 。考虑到车通过路口实际上指的是车的尾部必须通过路口，因此，通过路口的时间为0

v L I + 现在我们来计算刹车距离：设w 为汽车的重量，μ为磨擦系数，由牛顿力学知，地面对汽车的磨擦力为μw ，其方向与汽车运动的方向相反。汽车在停车过程中，由牛顿第一动力定理有

f ＝ma

其中m 为汽车质量（即g

w ，g 为重力加速度），a 为汽车的加速度，f 是汽车所受的摩擦力。这里加速度a 是停车距离x 关于时间的二阶导数，所以行驶距离x 与时间t 的关系可由下面的微分方程确定：

－μw ＝g w 2

2dt x d （4） 约去w ，化简（4）式得

22dt

x d ＋μg ＝0 （5） 同时，我们知道，当t ＝0时，距离x ＝0，初速度是距离x 在0时刻的一阶导数，于是可以给出方程（5）的初始条件

00==t x ，00

v dt dx t == （6） 在MALAB 命令框中输入命令

>> x=dsolve('D2x=-ug','x(0)=0,Dx(0)=v0','t')

x =

-1/2*ug*t^2+v0*t

即得到停车距离x 关于时间t 的解析式。停车时速度为0，即dt

dx ＝0，可得到汽车刹车所用的时间1t ＝g v μ0，从而得到刹车距离)(1t x ＝g

v μ220。 设黄灯闪烁的时间为A ，则A 的表达式为

A ＝01)(v L I t x +++T ＝g

v μ20＋0v L I ++T 【结果分析】

由假设知，I ＝9m ，L ＝4.5m ，T ＝1s ，磨擦系数选取有代表性的μ＝0.2，我们考虑当法定速度0v ＝40、60、80km/h 时，黄灯时间如表1所示，表1也给出了与经验法黄灯时间的对比。

我们注意到，经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态时间要短些，这使得我们联想起，许多城市交叉路口红、黄、绿灯的设计可能使得司机驾驶着的汽车在绿灯转变为红灯的时刻正处于交叉路口的位置。

194 【练习与思考】

1．设一容积为V （单位：3

m ）的大湖受到某种化学废料的污染，污染物均匀地分布在湖中。若某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （单位是：3m ／天）。试建立求污染物的浓度下降至原来的5%所需时间的数学模型。美国密西根湖的容积为4871×910（3m ），湖水的流量为3.663959132×1010（3m ），求污染中止后，污染物浓度下降到原来湖水污染浓度的3%所需要的时间。

2．某公司生产一种耐用消费品，产品一上市，该公司即开始做广告，一段时期的市场跟踪调查后，该公司即发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有购买的百分比成正比，且通过估算得此比例系数为0.5。

（1）试建立模型求解该问题，即购买人口的百分比与（做广告）时间的关系；

（2）厂家想预知大概要做多少次广告（设上述单位时间指的是广告次数），可使市场的购买率达到80%？