连续时间傅里叶变换的性质
傅里叶变换及反变换
1 2{F [j(0) ]F [j(0) ] }
F ( j )
1
m 0 m
P( j)
( )
( )
0
0
0
R( j)
1 2
0
0
0
F ( j )
1
m 0 m
f (t)
r(t)
y1(t)
低通
滤波
y(t)
cos(0t) cos(0t)
R( j)
1 2
0 ( )
0
P( j)
0 ( )
§4.5 连续时间傅里叶变换的性质
复习
F(j)＝ f(t)ejtdt
f(t)21 F(j)ejtd
1 唯一性： 2 线性特性： 3 奇偶特性： 4 共轭特性： 5 对称特性： 6 时域展缩特性： 7 时移特性：
9 时域微分特性： 10 频域微分特性： 11 时域卷积定理： 12 频域卷积定理：
偶信号的频谱是偶函数，奇信 号的频谱是奇函数。
F(j) f(t)ejtdt令t
f()ejd f()关e于jtd F(j)
f(t) F (j) ， 则 f* (t) F * ( j)
证F (： j)＝ f (t)ejtd可 t F 得 *(j)＝ f*(t)ejtdt
F *(j)＝ f *(t)ejtdt
0
1 4
20
0
0
Y1( j)
1
1
2
4
0
20
Y ( j) 1
2
0
4.7 傅里叶反 变换
要解决的问题：由F( jw)求 f(t)
f(t)21 F (j)ejtd
利用傅里叶变换的互易对称性 部分分式展开
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维 留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )ห้องสมุดไป่ตู้x
a x ≤ 2 其它
rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a
第二章 连续时间傅里叶变换(1)
jn0t
A T
n 0 jn0t Sa( 2 )e n =-
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
周期信号的对称性与傅立叶系数
当周期信号具有某种对称性时，在傅立叶级数展开过程中， 傅立叶系数的计算大为简化。 （1）偶对称
f (t ) f (t )
f t
n 1
同频率合并
a0 c0 d0
f (t ) d0
dn sin(n1t n )
n 1
初相位
an cn cos n dn sin n
bn cn sin n dn cos nn
c，d
2 2 2 2 cn dn an bn a bn n arctg n n arctg bn an
A
bn 0 T 22 a0 f (t )dt T 0 T T 42 an f (t ) cos(tn0 )dt , n 1, 2, 3, T 0
0
T 2
T
t
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
（2）奇对称
f ( t ) f ( t )
t2 * j
则称该函数集为归一化正交函数集。
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
三角函数集
{1, cos 0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, } 2 在区间 (t 0 , t 0 T ) 内是一完备正交函数集。 T 0 正交性:（m 和 n 都是整数）
数字信号处理
变换域分析
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
连续时间傅里叶变换
第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。
(v) 合并同频率的正余弦项得：n ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系： (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。
(6) 奇偶信号的FS ：(i) 偶信号的FS ： ⎰ω=111cos )(2Tn tdt n t f T a ；0sin )(2111=ω=⎰Tn tdt n t f T b ； n n n a d c ==n n n n n F a jb a F -==-=22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2π=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。
常用的连续傅里叶变换对及连续傅里叶变换性质
ωτ
2
)
ωc
π
Sa(ωc t )
⎧ 1, ω < ωc ⎪ ⎪0, ω ≥ ωc ⎩
√
√
三角 f (t ) = ⎨
⎧1 − t τ , t < τ ⎪ t ≥τ ⎪0, ⎩
τ Sa 2 (
ωτ
2
)
ωc
2π
Sa 2 ( 1
ωc t
2
)
⎧1 − ω ωc , ω < ωc ⎪ F (ω ) = ⎨ ω ≥ ωc ⎪0, ⎩
√ √ √ √
F (t ) ↔ 2πf (−ω )
f (t )e jω0 t (− jt ) f (t ) πf (0)δ (t ) + f (t ) p(t ) f (t ) − jt F (ω − ω 0 ) F '(ω )
f (t − t 0 )
f '(t )
F (ω )e − jωt0 jω F (ω ) πF (0)δ (ω ) + F (ω ) jω
T1
T T ⎤ ⎡ f 0 (t ) = f ( t ) ⎢ u (t + 1 ) − u ( t − 1 ) ⎥ ↔ F0 (ω ) 2 2 ⎦ ⎣
连续傅里叶变换性质及其对偶关系
f (t ) = 1 +∞ F (ω )e jωt dω 2π ∫3;∞
−∞
f (t )e − jωt dt
⎣ 2 2 ⎦
(ω + ω0 )τ (ω − ω0 )τ ⎤ + Sa ⎥ 2 2 ⎦
+∞
f (t ) =
n =−∞
∑ F (nω )e
1
+∞
jnω1t
连续时间系统傅里叶变换的性质
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
信号处理中傅里叶变换简介
傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开.泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式,本质上自变量未改变,仍为x,而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式,同时将自变量由x变成ω,且由于三角函数处理比较简单,具有良好的性质,故被广泛地应用在信号分析与处理中,可将时域分析变换到频域进行分析。
信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数)、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换)、DFS(离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换)。
通过对连续非周期信号x c（t)在时域和频域进行各种处理变换,可推导出以上几种变换,同时可得出这些变换之间的关系。
以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。
1、CFS(连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x）可展开为由此类比，已知连续周期信号x（t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理.故CFS图示如下：Figure 错误!未定义书签。
理论上，CFS对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。
在实践中，只要n取值范围足够大,就可以保证在某一点附近对x(t）展开都有很高的精度。
2、CFT（连续时间傅里叶变换)连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。
当然，从时域上也可以反过来看成x（t)的周期延拓。
将x（t)进行CFS展开,有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此,定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT:CFT-1：x（t)是信号的时域表现形式,X（jΩ）是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。
CFT即将x（t）分解,并按频率顺序展开,使其成为频率的函数。
上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）.CFS中的D n与CFT中的X（jΩ）之间有如下关系即从频域上分析,D n是对X（jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）.CFT图示如下：Figure 错误!未定义书签。
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连续时间傅里叶变换的性质
1 2 . 能量守恒定理 （帕什瓦尔能量守恒定理）
x(t) 2 dt 1 | X ( j) |2 d
2π
非周期能量信号在时域中的归一化能量等于 其在频域中的归一化能量，能量保持守恒。
连续时间傅里叶变换的性质
[例] 计算 (sint)2 dt t
解：
F
{sin t
主讲人：陈后金 电子信息工程学院
连续非周期信号的频域分析
连续非周期信号的频域表示 典型连续非周期信号的频谱 连续时间傅里叶变换的性质
连续时间傅里叶变换的性质
※ 线性特性 ※ 共轭对称特性 ※ 互易对称特性 ※ 展缩特性 ※ 时移特性 ※ 频移特性
※ 时域积分特性 ※ 时域微分特性 ※ 频域微分特性 ※ 时域卷积特性 ※ 频域卷积特性 ※ 能量守恒定理
t}
πp2()
根据Parseval能量守恒定理，可得
P2()
1
O
1
1
(sint)2 dt
t
1 2π
|
πp2 () |2
d
1
2π
1 π 2d π
1
(sin2t )2dt ?
2t
(sin4t )2dt ?
4t
连续时间傅里叶变换的性质
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来 源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
p2(t) F 2Sa()
根据时域卷积特性 X ( j) 4Sa 2 ()
x(t) 2
2
0
t 2
P2(t)
1
t
O
1
1
连续时间傅里叶变换的性质
11. 频域卷积特
性
若 x (t) FX ( j)
1
1
x (t) FX (j)
2
2
则
x1
(t)
x2
(t)
F 1 2π
[
X1
(
j)
X
2
(
j)]
连续时间傅里叶变换的性质
故利用频域微分特性可得:
F [tu(t)] j d [π () 1 ] jπ() 1
d
j
2
连续时间傅里叶变换的性质
10. 时域卷积特
性
若
x (t) FX ( j)
1
1
x (t) FX ( j)
2
2
则 x (t) x (t) FX (j) X (j)
1
2
1
2
连续时间傅里叶变换的性质
[例] 求如图所示信号的频谱。 解： x(t) p2 (t)* p2 (t)
连续时间傅里叶变换的性质
9 . 频域微分特性 若 x(t) FX ( j)
则 t x(t) Fj dX ( j) d
t n x(t) F jn dX n (j) dn
连续时间傅里叶变换的性质
[例] 试求单位斜坡信号 tu(t) 的频谱。
解： 已知单位阶跃信号傅里叶变换为
F [u(t)] π () 1 j
非周期信号x(t) 的能量谱
W | x(t) |2 dt
| X( j) |2---- 能量谱
1
x(t)[
X *( j)e jtd]dt
2π
1
X *( j)[ x(t)e jt dt] d
2π
1X *(ຫໍສະໝຸດ j) X ( j)d 1| X ( j) |2 d
2π
2π