机械优化设计中约束条件的选定
机械优化设计第五节约束优化方法1-2
初始复合形的顶点。 设有 l (l 1) 个顶点在可行域内。 1）求出己知可行域内L个点 的点集中心 x 1 l xc x j c l
j 1
2）将不可行性点 x q向中心点 x c移动即 x q x c 0.5( x q x c ) x q q l 1 l 2 k 1
1)在可行域内选定 x1
x2
x3
x4
4个点（这里K=2n=4）作为初始复合形的顶点。
2)计算这4个点的函数值，并作比较，确定函数 值最大的坏点 x1 x 。函数值最小的好点
xl x 3 x 3 x l
H
3)以 x 2 x3 x 4 3 点的形心 寻找坏点 x H 的映射点 x R 式中
求解这类问题的方法称为约束优化方法。
依据对约束条件处理方法的不同，可以将 它分为两类： 直接法解: 直接从可行域中寻找出它的约束最优解。 主要方法有约束坐标轮换法，随机方向搜索法， 复合形法及可行向法。
优点:方法简单,直观性强,对函数无特殊要求。 缺点:计算量大,收敛慢,因而效率低。
间接法解: 将约束优化问题进行特殊加权处理，转 化为无约束优化问题，然后，直接利用无约 束优化方法进行求解。主要方法有：消元法， 拉格朗日乘子法，惩罚函数法。
xL
x H : f ( x H ) max f ( x j )
j 1, j 1,
2 k 2 k
xL :
f ( x L ) min f ( x j )
④计算除坏点 x H 外其余各顶点的中心
xc
机械系统优化设计中的约束与优化问题
机械系统优化设计中的约束与优化问题在机械工程领域，优化设计是一项关键任务。
通过对机械系统进行优化，可以提高效率、减小能耗、延长使用寿命等。
然而，在进行机械系统的优化设计时，我们必须面对各种约束和优化问题。
首先，机械系统的约束可以分为两类：设计约束和工程约束。
设计约束包括机械系统的形状、尺寸、重量等方面的限制，以及与其他系统或部件的接口要求。
这些约束是设计者必须遵守的，因为它们直接关系到机械系统的可用性和实际应用。
另一方面，工程约束包括材料强度、制造成本、可维护性等因素。
这些约束是实际工程实施时需要考虑的，因为它们关系到机械系统的可靠性和经济效益。
在优化设计中，我们通常会面临多个冲突的目标。
例如，在减小机械系统的重量的同时，要确保其强度不下降；在提高机械系统的效率的同时，要保持其成本可控。
这就引入了多目标优化问题。
多目标优化问题需要寻找一个最佳的折中方案，将各个目标在不同约束条件下进行优化，以求达到最大化总体效益的目标。
为了解决这些优化问题，我们通常使用数学建模和优化方法。
对于约束问题，我们可以使用约束优化方法，如拉格朗日乘子法和KKT条件等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入优化问题中，从而将原问题转化为一个无约束问题。
然后，我们可以使用一般的优化算法，如梯度下降、遗传算法等，来解决这个无约束问题。
此外，在实际的机械系统优化设计中，我们还会面临一些实际的限制。
例如，制造设备和制造工艺的限制，材料的可获得性等。
这些实际限制需要考虑在内，以确保设计方案的可行性和可实施性。
另一个重要问题是机械系统的不确定性。
在机械系统的设计过程中，我们通常会面临各种形式的不确定性，如设计参数的不确定性、负载的不确定性等。
这些不确定性会对设计结果产生影响，因此需要在优化设计中进行考虑。
一种常见的方法是使用鲁棒优化方法，通过考虑不确定性的范围和分布，寻找一个鲁棒的设计方案，以确保在不同的不确定条件下系统仍然能够正常工作。
机械优化设计约束优化方法
（1）直接法
直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、 随机方向法、可变容差法和可行方向法。
（2）间接法
间接法包括：罚函数法（内点罚函数法、外点罚 函数法、混合罚函数法）、广义乘子法、广义简约梯 度法和约束变尺度法等。
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是
如前所述，在求解无约束问题的单纯形法中，不 需计算目标函数的梯度，而是靠选取单纯形的顶点并 比较各顶点处目标函数值的大小，来寻找下一步的探 索方向的。在用于求解约束问题的复合形法中，复合 形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值的下 降，还应当满足所有的约束条件。
基本思想：在可行域中选取K个设计点 （ n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。比较各顶点目标 函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点) ，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的 映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
取次好点和好点连线的中点为X(0)。
令：X(4)= X(0)+α(X(0)-X(H))
称X(4)为映射点，记为X(R)，α为映射系数，通常取 α=1.3，可根据实际情况进行缩减。
一般情况下，映射点的函数值比坏点的函数值要 小，即F(X(R))< F(X(H))。若满足可行域，则用X(R)代替 X(H)构成新的复合形。如此反复迭代直到找到最优解。
（3）计算坏点外的其余各顶点的中心点X(0)。
X0
1 K K1j1
X(j),
j
H
（4）计算映射点X(R)
X (R )X (0 )(X (0 )X (H ))
检查X(R)是否在可行域内。若X(R)为非可行点，将映 射系数减半后再按上式改变映射点，直到X(R)进入可行 域内为止。
《机械优化设计》第6章约束优化方法
X(R)
● X(S)
X(H)
映射迭代公式： x(R)=x(S)+α(x(S)-x(H)) 搜 索 方 向：沿x(H)→x(S)的方向'。 步长因子（映射系数）α： α>1，建议先取1.3'。 若求得的x(R)在可行域内，且f(x(R))<f(x(H))，则以x(R)代替x(H)组 成新复合形，再进行下轮迭代'。
x j x0 a0e j
机械优化设计
§第二节 随机方向法
3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算 余下的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标 函数最小的点xL '。
4) 比较xL 和x0两点的目标函数值:
①若f(xL) <f(x0)，则 取xL 和x0连线方向为可行搜索方向；
②若f(xL) ≥f(x0)，则缩小步长α0 ，转步骤1）重新计算， 直至f(xL) <f(x0)为止'。
则可行搜索方向为： d x L x0
四、搜索步长的确定
步长由加速步长法确定：
τ为步长加速系数，一般取1.3
机械优化设计
五. 计算步骤 1) 选择一个可行的初始点x0; 2) 产生k个n维随机单位向量e j ( j = 1, 2, …, k);
3) 取试验步长0，计算出k个随机点x j ;
4) 在k个随机点中，找出可行的的随机点xL, 产生可行搜索 方向d= xLx0.
5) 从初始点x0出发，沿可行搜索方向d以步长进行迭代计
算，直到搜索到一个满足全部约束条件，且目标函数值
不再下降的新点x'。
6) 若收敛条件满足，停止迭代'。否则， 令x0 x转步骤2
机械优化设计
例6-1 求下列约束m优in化f问x题 的x2最优x 解
机械结构优化设计的多条件约束方法
机械结构优化设计的多条件约束方法在工程设计中，机械结构的优化设计是一个重要的环节。
优化设计的目标是在满足各种约束条件下，使得结构的性能达到最优。
然而，由于实际工程问题的复杂性，单一的优化目标往往无法满足所有的要求。
因此，需要采用多条件约束方法来进行设计。
多条件约束方法是指在优化设计过程中，同时考虑多个设计变量和多个性能指标，以及多个约束条件。
这些指标和约束条件往往是相互矛盾的，所以需要找到一种平衡的方法来满足各种要求。
下面将介绍一些常用的多条件约束方法。
首先，多目标优化是一种常用的多条件约束方法。
多目标优化的目标是寻找一组非劣解，即不存在其他解能在所有目标函数上同时取得更好的值。
这样的解集称为帕累托前沿。
通过选择不同的非劣解，设计者可以根据优先级制定合适的设计方案。
其次，约束方法是一种常见的多条件约束方法。
约束方法的思想是将多个约束条件转化为一个综合的约束函数，并将其作为一个目标函数进行优化。
通过调整综合约束函数的权重，可以实现不同约束条件之间的平衡。
然而，这种方法存在一个问题，即如何确定综合约束函数的权重。
一种常用的方法是使用加权系数法，根据不同约束条件的重要性分配不同的权重。
另外，最优化方法也是一种常见的多条件约束方法。
最优化方法的思想是将多个目标函数和约束条件转化为一个综合的优化问题，在满足约束条件的前提下，寻找使得综合目标函数取得最优值的设计变量。
最优化方法可以采用数学规划方法进行求解，如线性规划、非线性规划等。
除了上述方法，还有一些其他的多条件约束方法。
例如，灰色关联分析方法可以通过对设计变量和性能指标之间的关联度进行评价，从而确定最优设计方案。
遗传算法是一种模拟自然界遗传过程的优化方法，通过进化的过程搜索全局最优解。
模糊综合评价方法可以将模糊数学理论引入到多条件约束问题中，通过对设计变量和性能指标进行模糊综合评价，得到最优解。
综上所述，机械结构优化设计的多条件约束方法有多种选择。
根据具体的设计需求和问题特点，可以选择适合的方法进行设计。
机械结构优化设计的方法与技巧
机械结构优化设计的方法与技巧随着科技的进步和工程领域的发展，机械结构优化设计在产品开发过程中扮演着重要的角色。
通过优化设计，可以提高产品的性能、降低成本，并且使产品更加可靠和耐久。
本文将介绍一些机械结构优化设计的方法与技巧。
一、目标函数的设定在进行机械结构优化设计时，首先需要明确设计的目标。
目标函数是评价设计质量的重要指标，通常包括结构的重量、尺寸、强度、刚度等。
根据具体的设计需求，可以选择不同的目标函数。
二、约束条件的定义除了目标函数外，还需要定义一些约束条件来限制设计的自由度。
约束条件一般包括材料的强度、公差要求、装配性等。
合理设置约束条件可以确保设计方案符合实际应用需求。
三、参数化建模在进行结构优化设计时，通常需要对设计参数进行合理的选择和设置。
参数化建模可以有效地优化设计过程，并且方便后续的仿真和分析。
通过建立参数化模型，可以灵活地调整设计参数，进而获得最佳的设计方案。
四、多目标优化方法在实际的工程设计中，往往存在多个相互矛盾的目标。
传统的单目标优化方法无法满足多目标的需求，因此需要采用多目标优化方法来求解最优解。
多目标优化方法包括遗传算法、粒子群优化算法等，能够在设计空间中搜索最佳的解集，为设计提供多个最优解。
五、参数优化方法除了优化设计变量外，还需要考虑一些参数的优化。
参数优化方法可以通过对一些特定参数进行调整，以进一步优化设计效果。
参数优化方法可以是构造合理的试验计划，也可以是建立响应面模型进行拟合和优化。
六、设计灵敏度分析设计灵敏度分析是指通过对设计参数的微小变化，分析目标函数的响应情况，以评估设计方案的稳定性和鲁棒性。
通过设计灵敏度分析，可以确定影响目标函数的主要参数，为进一步的优化提供指导。
七、结构优化软件的应用随着计算机技术的发展，结构优化软件在机械结构设计中得到了广泛的应用。
结构优化软件能够通过数值方法对设计进行优化，并且能够自动生成最佳设计方案。
常用的结构优化软件包括ANSYS、ADAMS、ABAQUS等，它们提供了丰富的优化算法和分析工具，能够有效地辅助设计师进行结构优化设计。
机械装配过程中的约束条件优化研究
机械装配过程中的约束条件优化研究机械装配是将各个零部件以特定的顺序组装在一起，形成一个完整的机械产品的过程。
而在机械装配的过程中，会有各种各样的约束条件存在，如装配顺序、装配位置、配合尺寸等。
这些约束条件直接影响着装配的效率和质量。
因此，优化机械装配过程中的约束条件是十分重要的。
首先，我们需要明确约束条件的作用和意义。
约束条件是指在机械装配过程中对零部件之间关系的一种限制条件。
它可以保证零部件在正确的位置上装配，确保装配过程中的逻辑关系正确。
例如，对于一个有多个零部件组成的机械装置，必须先安装底座，然后再安装上部结构，否则无法保证机械装置的稳定性和安全性。
在机械装配过程中，约束条件的优化是为了提高装配效率和质量。
一方面，通过对装配顺序的优化，可以减少零部件之间的重复安装和拆卸，提高装配效率。
另一方面，通过对配合尺寸的约束条件的优化，可以减少装配过程中的配合间隙，提高装配质量。
因此，优化机械装配中的约束条件可以提高整个装配过程的效率和质量。
如何进行机械装配过程中约束条件的优化呢？一种方法是利用计算机模拟技术对约束条件进行分析和优化。
通过建立机械装配的数学模型，可以模拟零部件之间的装配关系，并通过模拟实验来验证约束条件的有效性。
在模拟实验中，可以通过调整装配顺序、配合尺寸等参数来优化约束条件，找到最佳的装配方案。
另外一种方法是通过实验研究来优化约束条件。
通过设计合理的实验方案，可以在不同的装配条件下对装配效率和质量进行测试。
在实验过程中，可以逐步优化约束条件，比较不同装配方案的优缺点，从而找到最优的装配方案。
除了计算机模拟和实验研究，还可以通过调研和借鉴其他行业的经验来进行约束条件的优化。
不同行业之间可能存在着一些共通的装配问题，通过学习借鉴其他行业的经验，可以更好地解决机械装配中的问题。
最后，机械装配过程中的约束条件优化研究是一个复杂而重要的课题。
通过优化约束条件，可以提高机械装配过程的效率和质量，降低装配成本。
机械优化设计 第5章 约束优化方法
2. 将(0,1)中的随机数 i 变换到(-1,1)中去;
yi 2i 1
3. 构成随机方向
y1
e
1
y2
n
i 1
yi2
...
yn
i 1,2,...,n
例: 对于三维问题: 1 0.2,2 0.6,3 0.8 变换得: y1 0.6, y2 0.2, y3 0.6
一. 基本思路
搜索方向----采用随机产生的方向 ① 若该方向不适用、可行，则 产生另一方向；
②若该方向适用、可行，则以加 速步长前进；
③若在某处产生的方向足够多， 仍无一适用、可行，则采用收缩 步长；
④若步长小于预先给定的误差限 则终止迭代。
2019/12/12
5
二.随机方向的构成
1.用RND(X)产生n个随机数 i , i 1,2,..., n(0 i 1)
j =1
给定内点 X 0 ,0 , m,
α =α 0, F0=F(X0)
K=0, j=0
0 初始步长； m 在一迭代点处允许产生的方向数； 终止误差限(步长)
产生随机方向
X X 0 S
否
X∈D
是
F=F（X）
否 F<F0 是
X0=X, F0=F
否 j =0
是
K=K+1
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2
二.迭代步骤
X (0) X (3) X (4)
X (1) X (2)
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3
三.存在问题
有时会出现死点, 导致输出“伪最优 点”.
* 为辨别真伪, 要用K-T条件进行检查.
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䅵
大Z学n 出版社，1997.
将 Δ 的表达 式及~ n =
g 代 入上式 ，经整理后 得动力 稳定性
D
所要求的 约束条 件为 h1 ]d1 , d2 g=
1
0
.
6
r 7
Eg Ql 3
~
2
K
2
b
1 d4
1
+
2
.3 d4
2
8
l
=0，根据结 构尺寸
㞾
要求的约束 条䯂件乬为 ；䕈 式 中 、 、 乥 、 d # d # d d d# d ## dd # d 1min
计变量、目标 函数和约 束条件。其中 设计变量 是在优化设 计过程
生在 3 周的课程设计 中初步掌握传统机械设计 的基本方法和技能。
中进行选择 并最终必 须确定的相 互独立的设 计参数 ；目 标函数是
但同 一原始数 据下学 生设计 出的减 速器各 零件的 尺寸千 差万别 ，
以设计变量 为自变量 ，以所要求的 某种目标 为因变量 ，按 一定关
W 总小于转 而简化 为单
得。
Zn
自由度的 振动问题。因 此
䕈式中 g 为重力加速度 ，Δ
，为轴轴的的横中㠀向间振截动面的处固的有静频挠率度䳔为。㽕~按n =图䖯1Dg㸠给，䖭辵
参考文献
[ 1] 〇 高健. 机械优化设计基础[ M] . 科学出版社，2000.
出的条件
，根据材料力学可求得 D
=
1 0 . 67
Ql 3 SE
¨ ¨ © §d114
2.38 ·
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4 2
ЁE
9月下. i ndd 74
1㒭 䞣
2010- 9- 21 14: 02: 08
1
1m a x
d2 m in # d1 # d 2m ax
1 min 1 m in1
d # d # d 11ma x 1m ax2 min
1
2 max
d2min # d1 # d2max为结构尺寸的容许值。
Zn
g '
Ёg
䞡 䗳 ' 䕈 Ё䯈 䴶 䴭
《科技传播》 201 0·9（下） 74
'
10.67
33 n2 3 2 a
8 (9 2 5) 2 K2 T2
-
cos 3b $ 0
H
T 、T 分 别为高速轴和中 间轴的转矩 ，K 、K 分 别为高速级和 低
1
2
1
2
㑺
1
冫 㺙 䋼䞣 Q 䕀䕂 䴶催䕀䗳䕈 㢹 䭓 l 由于实际要求不同 ，设定的模型及其约束 条件也会有所区别。
本例主 要研究 在保证 足够的 强度、刚 度和振 动稳定 性的条件 下 ，
与低 速级传 动比 ；z 、z 为高 速极与 低速级 小齿轮 齿数 ；β 为齿
1
2
轮的螺旋角。
涉及到强 度、刚度、稳 定性、结构、 尺寸等诸 多方面 ，相 应建立
1） 由 传 递 功 率和 转 速 可 分 析 确 定 设 计 变 量 的 约 束 条件 ：
的约束条 件也非常之 多。如何寻 找、建立并 考察、比较、 运用这 些约束条件 是相关设 计人员应该 具备的专业 素质。笔者 在此结合
速级的载荷系数。
3）由 轮 齿弯 曲疲 劳强 度 确定 的约 束 条件 为 vF1 =
1 . 5K1 T1 bd1 mn 1 y1
# 5v F1 ?
䎇
使阶梯轴的质量 W 为最小的约束条 件。图 1 所示为一装 有质量 Q
〇 的转轮的变 截面高转䕈速轴 䋼，若䞣各段 长度已知 ，求满足动d力1 稳d定2条
-i1)
cmosn31
zb2 2 1
-$
c0
4
4）按 高速级 大齿轮 与低速 轴不 发生干 涉而确 定的约 束条 件
a2 - E - de2 / 2 $ 0 得 mn z2 3( 1 + i2 ) - 2c os b(W+ mn1 ) - mn z1 1i1 $ 0。式 中 E 为
低速轴轴线 与高速级大齿轮 齿顶圆之间的距离 ；d 为高速级大 齿 a2
当轴的旋转角速度1ω䕈达 到其㒧临界转冫速时的 角速度 ω 或横向 c
以确定 为约束条件。 当然不必 要的限制不 仅是多余 的 ，而且还 会
振动（弯 曲振动 ）的固 有频率 ωn 时 ，轴将 处于共 振状态。 一般
使设计可行 域缩小（即限制了 设计空间），进而影 响最优结果的获
䕀㾦䗳情况下Z
轮的质
量，䖒需Q要，为进了行简这化种动计算䕀 力稳，䗳在定性确计定算ω的㾦n 时轴䗳常，忽其略质Z量Wc
关 键 词 约束条件 ；优化设计 ；减速器
中图分类号 TH122
文献标识码 A
文章编号 1674- 6708（2010）27- 0074- 01
1 概述
2. 2 二级斜齿轮减速器优化设计的约束条件确定
对于任何一 个优化设计 模型必定具 备以下 3 个基 本要素 ：设
二级斜齿 轮减速器是 本科机械专 业课程设计 的内容 ，要求 学
-
c os2 b $ 0
件下并使轴的质量为最小的直径 d 、d 。
1
2
、 y5v3FK3分?52{vT3a2Fy别K33?(2{、1T为2a+y35i齿2v()31FmK4轮+?n322{分zT32i2a-2y1)别4、cm(o1s为n3222+bz、32齿$i-203)轮cm、；on3s2142z5bv32、3的F-K4$?2{2Tc齿a02、yo4s(形213b+、系$i24)0数m的n3 2。z32许- c用os2 b弯$ 曲0 。应式力中；y5v13、FK1?1{、 yT2a1、y15v(y31F3K2、+?1{Tia11y)2m(1n31+z12
； 。 高 速 级 和 低 速 级 大 小 齿 轮 的 弯 曲 强 度 条 件 v F2 =
vF 1
y1 y2
#
5v F2 ?
5vF 1 ?{ a y1
分 别 为 ： ； ； 3K1 T1
(1+
i1 )
m z 3 2 n1 1
-
c os2 b $
0
5vF 2 ?{a y2 3K1 T1
(1
+
i1
)m z 3 2 n1 1
Ql 3 rE
b
1 d4
1
+
2
. 38 d4
2
l
，式中
，E
为材
[ 2] 孙靖民. 机械优化设计[ M] . 机械工业出版社，2001.
料的弹性模量。为保证轴在工作时的动力稳定性 ，应使 ~ 1 ~ c = ~ n
[ 3] 郑大素，汪允正. 最优化方法及实用程序[ M] . 哈尔滨工业
䋼䞣 W或 ~n = ~K ，䕀式中䕂K 为大䋼于䞣1 的Q安全系数。
轮的齿顶圆直径。
由以上两 个实例可以 看出 ，在确 定约束条件 时 ，一般要比 常
规设计 考虑更多方 面的要求 ，如前所述的 各种失效 形式、性能 要
求等甚 至要涉及 到工艺、装配、 费用等等。 只要某种 限制能够用
䕈 乥 䅵䕈
W㗠
图 1 轴的结构示意图
设计变量表 示为约束函数（包 括经验公式、近似 表达式等），都 可
设高速轴输入
功率
R，转速
n 1
，总传动比
i ，齿宽系数
Σ
{
a
。
该
减 速器 的总 中 心距 计 算式 为 。 aR = a1 + a2 =
2
1 cos
b
5m
n1
z1
(1
+
i1 ) + m n2 z3 (1 +
i2 )?
式中 m 、m 为高速级与低速级 齿轮的法面模数 ；i 、i 为高速 级
n1
n2
1
2
其中哪个设计更加合理则需要进一步对其进行优化设计。
系建立的用 以评价设 计方案优劣 的数学关系 式 ；约束条 件是考虑 边界和性能 对设计变 量取值的限 制条件。众 所周知 ，相对 设计变 量和目标函 数 ，约束条 件是最复杂 也是最重 要的 ，它的选 择准确 与否更加关 系着所得 结论是否真 实可靠。因 此 ，能够全面 准确地 设定各 种约束 条件是 优化设 计的关 键 ，尤其 对于机械 优化问 题 ，
理论研究 The oretica l Res ea rch
机械优化设计中约束条件的选定
高琳 内蒙古科技大学机械工程学首先从重要性方面阐述了机械优化设计中约束条件的选取 ，然后结合两个具体实例分别介绍了如何根据实
际情况分析设置相应的约束条件 ，最后总结了选择约束条件应该注意的问题。
2 实例
2）确定高速级和低速级的齿面接触疲劳强度约束条件分别为
䆕䎇
2.1 阶梯轴优化〇设计的约束条件确定
䰊
䕈
䋼䞣 W ； 。式中 ，5v ?为许用接触应力 ， 5v ? m z i { 2 H
33 n1 1 1 a
8 (9 25 )2 K1 T1
-
c os3 b $ 0
5v ? m z i { 2 H
2 ≤mn1 ≤5 ；2 ≤mn 2 ≤6。 综合 考 虑传 动平 稳、轴 向力 不可 太大 ， 能满 足短期 过载 ，高 速级与 低速级 的大齿 轮浸油 深度大致 相近 ，
两个典型实 例介绍一 下如何选取 约束条件 ，希 望能够提 供一些借 鉴。
齿轮 1 的分度圆尺寸 不能太小等因素 ，取 14 ≤z1 ≤22 ；16 ≤z3 ≤22 ； 5.8 ≤i ≤7 ；8%# b # 15%