大数定律和中心极限定理例题与解析
n 1875 /(1 0.9) 18750, 即 n 取 18750 时, 可以使得在 n次独立重复试验 中, 事件 A出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的概率 至少为 0.90.
P{0.74n X 0.76n} P{0.01n X 0.75n 0.01n}
P{| X EX | 0.01n}
P{0.74n X 0.76n} P{| X EX | 0.01n}
在切比雪夫不等式中取 0.01n, 则
P{0.74 X / n 0.76}
P{| X EX | 0.01n} 1 DX /(0.01n)2
所求概率为
P{5200 X 9400} P{5200 7300 X 7300 9400 7300}
P{2100 X 2100}
P{| X | 2100}.
由切比雪夫不等式
P{| X | 2100} 1 2 /(2100)2
1 (700 / 2100)2 1 1/ 9 8 / 9, 即每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率不 小于 8/9.
例2 在每次试验中, 事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求: 独立试验次数 n最小取 何值时,事件 A出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的 概率至少为 0.90? 解 设 X 为n次试验中, 事件A 出现的次数, 则
X ~ B(n, 0.75)
EX 0.75n, DX 0.75 0.25n 0.1875n,
F
(x)
则称{Fn (x)}弱收敛于F(x)，记为 Fn (x) W F (x)。
称{n}依分布收敛于，记为n L 。
定理5.2 (几种收敛之间的关系)
1. 2.
若 n P ，则 n L 。
设为常数，则 n P 当且仅当n
L
。
3. 若n a .s. ，则n P 。
定义5.4 (独立随机变量序列)
n
推论( 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)（教材p150 ）
设 n～B(n，p) (0<p<1)，则对任何x，有
lim P( n np
x
x)
1
t2
e 2 dt.
n np(1 p)
2
例2 (2002年数学四考研试题)
n
设随机变量 X1，X 2， ，X n 相互独立，Sn X i .
i 1
具有相同的数学期望和方差：
E(i
)
，D(i
)
ห้องสมุดไป่ตู้
n
2，i
1，2，
，n，
则随机变量
i n
n i1 n
L N (0，1)，
即 n 的分布函数 Fn (x) 对任何x满足
n
i n
x
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(
i 1
n
x)
1
t2
e 2 dt.
2
n
. 说明：当n很大时， i n
i 1
～N (0， 1).
设{ n }是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随 机变量 1，2， ，n 都相互独立，则称{ n} 为独立随机变 量序列(简称{n} 相互独立)。
定理5.3 (切比雪夫大数定律)（教材p144）
设{n} 相互独立，且 E(i ) ，D(i ) 2，i 1，2， ，
令
n
1 n
n
，则
( (2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数)
例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞
数平均是 7300, 均方差是 700. 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的
概率.
解 设每毫升白细胞数为 X , 依题意,
7300, 2 7002 ,
例1 设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为0.1 的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互独立, 求他们的寿命之和超过350小时的概率.
定理5.5 (贝努利大数定律)（教材p146）
设A在n重贝努利试验中发生 nA 次，p=P(A)，则对任何
>0，有 lim P( nA p ) 1.
n
n
说明：贝努利大数定律是说，当n很大时，P(
nA n
p) 1，
故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。
例1(2003年数学三考研试题填空题)
若P(
lim
n
n
)=1，则称{ n }以概率1收敛于，或称
几乎处处收敛于，记为 n a .s. 。
定理5.1 设n P a，n P b，g(x，y)在(a，b)处连续，则
g(n，n ) P g(a，b).
定义5.3(依分布收敛)
设{n}和的分布函数分别为{Fn (x)}和F(x)，若
lim
n
Fn
(x)
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
服从正态分布，只要 X1，X 2， ，X n ( ).
(A) 有相同的数学期望
(B) 有相同的方差
(C ) 服从同一指数分布
(D) 服从同一离散型分布
例3 (2001年数学四考研试题十一题)
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的， 假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量 为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.
第五章 大数定律和中心极限定理(简介)
第一节 大数定律
定义5.1 (依概率收敛)（教材p145）
设1，2， ，n， (或记{n}) 是一个随机变量序列，是
随机变量或常数。若对任何 >0，都有
lim
n
P(
n
) 1，
就称{n} 依概率收敛于，记为 n P 。
定义5.2 (以概率1收敛、几乎处处收敛)
i
n
i 1
P
.
定理5.4 (辛钦大数定律)（教材p147）
设{n} 相互独立，且服从相同分布，E(i ) ，i 1，2，
令
n
1 n
n
i，则n
i 1
P
.
说明：1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相
2. 这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独 立随机变量的算术平均近似于一个常数。
设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X 2， ，X n 为来自
总 依体概率X的收简敛单于随机样本。，则当n时，Yn
1 n
n i 1
X
2 i
第二节 中心极限定理
定理5.6 (列维-林德贝格中心极限定理 Levy-Lindeberg)
( 独立同分布中心极限定理) （教材p147）
设随机变量 1，2， ，n 相互独立且服从同一分布，且
第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析
V 20 5 100 / 12 20
105 20 5 100 / 12 20
V 100 V 100 P 0 . 39 1 P 0 . 39 12 ) 20 12 ) 20 ( 10 ( 10
1 ( 0 . 39 ) 1 0 . 6517 0 . 3483
lim F n ( x ) F ( x )
W 则称{ F n ( x )} 弱收敛于F(x)，记为 Fn ( x) F ( x)。 L { 称 }依分布收敛于，记为 。
n
n
n
定理5.2 (几种收敛之间的关系) P ，则 L 。 1. 若
n
L P 2. 设为常数，则 n 当且仅当 n 。 a.s. P n ，则 n 。 3. 若
设随机变量 1， 2， ， n 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：
E ( i ) ，D ( i ) ， i 1，， ， n ， 2
2
则随机变量
n
i 1
n
i
n
n
n
L N ( 0， ， 1)
即 n 的分布函数 F n ( x ) 对任何x满足
lim P (
n
n np
np (1 p )
x
x)
1 2
t
2
e
2
dt .
例2 (2002年数学四考研试题)
设随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，S n
n
X i.
i 1
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
大数定律和中心极限定理习题和例题教案
i
上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当n 时，n次服务时
间的算术平均值
1 n
n i 1
X i以概率1收敛于何值？
解：依题意，显然有，{X n}是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在
有限的公共数学期望，则{X n}的算术平均值依概率收敛于其公共数学期
望，由于Xi服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ Xi ] (53 5) / 2 29,i 1, 2, , n
由此得：
P{Y
85}
85 0.5 90
1
9
0.966.
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。根据题意
P Xn / n p 0.05 2 0.05 n / p(1 p) 1 0.90
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645
又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6 n = 271
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42.
设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
P{15Y x}
中解得 x 2252.
x
/
15
0.5 42
140
0.95
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
大数定律和中心极限定理例题与解析
在大量随机选取的人群中测量身高, 这些身高的平均值将接近正 态分布, 这也是中心极限定理的一个应用实例。
中心极限定理的应用
概率论与统计学
中心极限定理是概率论和统计学中的基本原理 之一, 用于研究随机变量的分布和统计推断。
金融领域
中心极限定理在金融领域中也有广泛应用, 例如在资 产定价、风险管理和投资组合优化等方面。
例题一解析
要点一
题目
一个班级有30名学生, 每个学生随机选择一个1-100之间的整 数。求这30个随机数的平均数大于50的概率。
要点二
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的算术平 均值趋近于期望值。在本题中, 每个随机数的期望值是50, 因 此30个随机数的平均数期望值是50。其次, 根据中心极限定 理, 当试验次数足够多时, 随机变量的算术平均值的分布趋近 于正态分布。因此, 这30个随机数的平均数大于50的概率可 以通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律的实例
抛硬币实验
如果我们抛硬币1000次，虽然单次抛 硬币的结果是随机的，但当我们计算 正面朝上的频率时，会发现这个频Βιβλιοθήκη 会逐渐趋近于50%。生日悖论
在一个有30人的房间里，存在一定概 率两个人生日相同，这个概率随着人 数的增加而趋近于100%。
大数定律的应用
概率论与统计学
大数定律是概率论和统计学中的 基本原理, 用于估计概率和预测未 来的随机事件。
例题三解析
题目
一个彩票公司发行了100万张彩票, 每张彩票都有一个独立 的随机数生成器生成的一个随机数。求至少有1张彩票的随 机数小于1的概率。
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的频率趋 近于概率。在本题中, 每张彩票的随机数小于1的概率是 1/100（即每张彩票生成的随机数小于1的概率是固定的）。 其次, 根据中心极限定理, 当试验次数足够多时, 随机变量的 独立同分布的随机变量和的分布趋近于正态分布。因此, 这 100万张彩票中至少有1张彩票的随机数小于1的概率可以 通过正态分布的概率密度函数计算得出。
第四章 大数定律和中心极限定理
设需N台车床工作， 现在的问题是：
求满足
P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台 工作所需电力即N千瓦.）
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似N(0,1), np(1 p)
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120, np(1-p)=48
第四章
大数定律和中心极限定理
§1 大数定率
一. 切比雪夫不等式 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，
有
D( X ) P{| X E( X ) | } ; 2
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
P{Y 60000 0.9 }
P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000}
=P{X60000/a}0.9; 由中心极限定理,上式等价于
60000 10000 0.006 ( a ) 0.9 10000 0.006 0.994
a 3017
例3 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿 命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率. 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
7 500 100 100 2 P{ X i 500} 1 35 1 (8.78) 0 i 1 10 12
2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De MoivreLaplace)
设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则
4大数定理及中心极限定理典型题解
第四章 大数定理与中心极限定理典型题解1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在)5.0,5.0(-上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？解 设第k 个加数的舍入误差为),1500,,2,1( =k X k 已k X 在)5.0,5.0(-上服从均匀分布，故知121)(,0)(==k k X D X E ．记∑==15001k k X X ，由中心极限定理，当n 充分 时有近似公式)(}121150001500{x x X P Φ≈≤⨯-，于是{15}1{15}1{1515}11[1[21]2(1.342)2[10.9099]0.1802.P x P x P X P >=-≤=--≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ=-Φ=Φ=-= 即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为1802.0．2．有一批建筑房屋用的木柱，其中%80的长度不小于m 3，现在从这批木柱中地取100根，求其中至少有30根短于m 3的概率． 解 以X 记被抽取的100根木柱长度短于m 3的根数，则)2.0,100(~b X ．于是由中心极限定理得{30}{30}()1(2.5)10.99380.0062.P X P X P ≥=≤<∞=≤<=Φ∞-Φ=-Φ=-= 3．将一枚硬币投掷49次，（I ）求至多出现28次正面的概率；（II ）求出现20-25次正面的概率．解 以X 表示49次投掷中出现正面的次数，则有)21,49(~b X ． （I ）由中心极限定理得8413.0)1()212149214928(}28{=Φ=⨯⨯⨯-Φ≈≤X P ； （II ）由中心极限定理得112549204919{2025}()()770.55570.09850.4572.P X -⨯-⨯≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=-= 4．某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概率为8.0．求正常工作的机器超过85台的概率．解 设ξ为100台中正常工作的机器数，则)8.0,100(~B ξ，且16 ,80====ξξD npq E np ．由中心极限定理可得所求概率为080808580{85}1{085}1{}4441[(1.25)(20)]0.1056.P P P ξξξ--->=-≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ-= 5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50kg ，标准差5kg ．若用最大载重量5t 的汽车承运最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．解 设n 为每辆车所装的箱数，),,2,1(n i i =ε是装运的第i 箱的重量，且25,50==i i D E εε．n 箱的总重量 n εεεε+++= 21有n D n E 25,50==εε，由中心极限定理ε近似服从正态分布)25,50(n n N ．现求使下面不等式成立的:n977.0)101000(}5505000550{}5000{>-Φ≈-≤-=≤nn n nn nP P εε 查正态分布表得 2101000>-n n，从而0199.98<n ，即最大可以装98箱．6．设一大批产品中一级品率为%10，现从中任取500件，这500件中一件级品的比例与%10之差的绝对值小于%2的概率．解 设ξ为所取500件中的一级品数，则)1.0,500(~B ξ且45 ,50==ξξD E由中心极限定理得{0.10.02}{5010}5002(1.49)10.8638.P P P ξξ-<=-<=<≈Φ-=7．设一袋味精的重量是随机变量，平均值100g,标准差2g ．求100袋味精的重量超过10.05kg 的概率．解 设i i i 第)100,2,1( =ξ袋味精的重量，100袋的总重量10021ξξξξ+++= ，而4,100==i i D E ξξ，所以所求概率为{10050}1{010050}11[(2.5)(500)]10.993790.00621.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ-=-= 8．一本200页的书，每页上的错误数服从参数为0.1的泊松分布，求该书的错误数大于15个的概率．解 设ξ为该书的总错误数，则20=ξE ，20=ξD ,于是所求概率为{15}1{015}11[( 1.12)( 4.47)]0.8686.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤=-Φ--Φ-=9．某射手打靶，得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05．现射击100次，求总分多于880分的概率．解 设ξ为100次射击的总分数，依题意，915,122.75E D ξξ==．根据中心极限定理得{880}1{0915}11( 3.16)0.9992.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤≈-Φ-=10．一生产过程的次品率为12%，随机地自这一生产过程生产的产品中取出120只，求次品不多余15只的概率．解 以120~(120,0.12)X X B 记只产品中的次品数，则．所需求的概率为{15}(0.17)0.5675.P X P ≤=≤≈Φ=11．某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术，以X 记手术成功的人数．求{8495}P X ≤≤．解 依题意有{8495}(1.67)(2)0.95250.977210.9297.P X ≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=+-=12．在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间（以分计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余2小时的概率．解 以(1,2,,100)i X i = 记对第i 位顾客的服务时间．按题设需求概率为1001001100 1.5{120}120150()(3)0.0013.10ii X P X P =-⨯≤=≤-≈Φ=Φ-=∑13．某种电子元件的寿命服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率．解 设X 为100只元件的寿命之和，则()200,()400E X D X ==，则所求概率为{180)1{0180}11[(1)(10)]0.8413.P X P X >=-≤≤=-≤≤≈-Φ--Φ-=14．某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率．解 设随机变量Y 表示任一时刻正在工作的机器的台数，则Y 服从二项分布(200,0.75)B ．所以所求概率为{144160}(1.63)(0.98)0.7849.P Y ≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=15．在次品率为16的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品书在40~60之间的概率．解 设X 为300件产品中次品的件数，依题意知1250~(300,),()50,()66X B E X D X ==， 利用中心极限定理得(4060)(1.55)( 1.55)2(1.55)10.8788.P X P <<=<<≈Φ-Φ-=Φ-=。
大数定律及中心极限定理习题及答案
第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,, 21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==ni in1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==, 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指{}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。
第四章大数定律与中心极限定理典型题
设一个学生无家长、有1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为
0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，各学生参加会议的家长人数
相互独立，且服从同一分布.求
（1）参加会议的家长人数超过450人的概率；
（2）有1名家长来参加会议的学生人数不多于340人的概率.
解：1用Sn表示参加会议的家长人数，X k (k 1, 2,
第四章 大数定律与中心极限定理典型例题
一、本章基本要求
1. 了解切比雪夫大数定律的条件与结论，了解依概率收敛 的概念；
2. 掌握伯努利大数定律、辛钦大数定律成立的条件和结论； 3. 掌握独立同分布的中心极限定理、棣莫弗-拉普拉斯中
心极限定理成立的条件和结论，并会用于近似计算有关 事件的概率。
二. 典型例题
解 设n表示所求的箱数并设X i (i 1, 2, , n)表示第i箱的重量，
则 X1, X 2,
,
X n
n
独立同分布，且
E(
X
i
)
50, D( X i
)
25,
由题意
所求概率为 P{ Xi 5000} 0.997, 由中心极限定理，有
n P{
i 1
i 1
Xi
5000}
的过路人数,i 1，2， 100,则 P X i k p 1 p k 1 , p1/3 k 1, 2,
E(Xi )
1 p
3,
D(
X
i
)
1
p p2
6.
p 1/ 3
p 1/ 3
100
因为X1, X 2 , , X100相互独立, X X k , E(X ) 300, D(X ) 600
第6章大数定律及中心极限定理习题解答
P{ X − µ < 4σ } ≥ ( B
A．
)．
8 ． 9
B．
15 ． 16
C．
9 ． 10
D．
1 ． 10
)．
3．设随机变量 X 满足等式 P{| X − E ( X ) |≥ 2} = 1 16 ，则必有( D A． D ( X ) =
1 ． 4 1 C． D ( X ) < ． 4
B． D ( X ) >
⎧ ⎪10 − 6 X − E ( X ) 20 − 6 ⎫ ⎪ P {10 ≤ X ≤ 20} = P ⎨ ≤ ≤ ⎬ D( X ) 5.7 ⎭ ⎪ 5.7 ⎪ ⎩
≈ Φ (5.86) − Φ (1.67) ≈ 1 − 0.9525 = 0.0475
18．某批产品的次品率是 0.005，试用中心极限定理求任意抽取 10000 件产品中次品数 不多于 70 件的概率． 解：设 X i 表示抽出的第 i 件产品的次品数， X 表示抽出的 10000 件产品的次品数，则
P{5100 < X < 10000} =___0.0228________．
14．设每次射击击中目标的概率为0.001，如果射击5000次，试根据中心极限定理击中次 数不大于2的概率等于___0.0898 ______． 15．设 X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅, X n 是独立同分布的随机变量序列，且 E ( X i ) = µ ， D ( X i ) = σ 2 均存 在，令 X =
∑X
k =1
n
k
，
n 1 ，从而 E (Y ) = 0 ， D (Y ) = ． 12 12
由题意及由中心极限定理知
⎧ ⎛ 10 ⎞ 10 ⎫ ⎪ Y ⎪ < − 1 = 0.9 P{| Y |< 10} = P ⎨ ⎬ ≈ 2Φ ⎜ ⎜ n 12 ⎟ ⎟ n 12 ⎭ ⎪ n 12 ⎪ ⎝ ⎠ ⎩
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
解：设 µA 为在 1000 次试验中 A 发生的次数，同时其频率与概率的绝对偏差 为 ε ，则
P
⎧ ⎨ ⎩
µA 1000
−
1 4
<
ε
⎫ ⎬
=
0.9997
。
⎭
由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得
⎛
P
⎧ ⎨ ⎩
µA 1000
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
第四章 大数定律与中心极限定理
例 1．设随机变量 X 和Y 的数学期望分别为－2 和 2，方差分别为 1 和 4，而
相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有 P{ X + Y ≥ 6} ≤
。
分析：切比雪夫不等式： P{ X − EX
≥ ε}≤
DX ε2
或 P{ X − EX
<
ε}
≥
1−
DX ε2
，
注：这是切比雪夫不等式的推广。 当 g(x) = x2 时，即为切比雪夫不等式。
例 3．设随机变量序列 X 1, X 2 , ", X n 相互独立，且都服从参数为 2 的指数分
∑ 布，则当 n
→
∞ 时，Yn
=