数字信号处理第六章介绍
数字信号处理 第六章
二、巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为： 1 2 Ha( j ) 1 ( )2 N c 2 将幅度平方函数 H a ( j ) 写成 s 的函数
1
H a ( j)
1 2
H a ( s) H a ( s)
1 s 2N 1 ( ) j c
1 2 k 1 jπ ( ) 2 2N
0
c
巴特沃斯幅度特性和N的关系
jΩ
幅度平方函数有2N个极点：
sk (1) ( jc ) c e
1 2N
s0
s1 s2
s5
s4
σ
k=0, 1, 2, … , (2N-1)
取s平面左半平面的N个极点构成 H a ( s )
H ( j ) Ha ( j ) 因此有： 一般滤波器的冲激响应为实数，
H a ( j ) H a ( s ) H a ( s ) | s j
如果能由 α p、 p、αs、s ，求出 H a ( j ) 就很容易得到所需要的 H a ( s)
2
2
注意：Ha(s)必须是稳定的，因此极点必须落在 s 平面的
s3 c
1 j π e 3 ,
s 4 c , s5 c
3 c 2 j π 3
1 j π e3。
取左半平面3个极点组成Ha(s) H ( s ) a 采用3dB截止频率 c对 H a ( s )
H a ( s) 1 N 1 sk s ( ) c k 0 c
功能
现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，按照随机 信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。
数字信号处理_第六章
j2
j2
s p 3 c e 3,s p 4 c ,s p 5 c e3,k 0 ,1 ,2
系统函数为： H a(s)(ssp3)(s sc 3p4)(ssp5)
或
1 H a (s) (s/ c)3 2 (s/ c)2 2 (s/ c) 1
令
p
s c
，则
pk sk /c
有，归一化的三阶滤波器的系统函数
22 0 lgH H ((e e j j0 st)) 2 0 lgH (ej st) 2 0 lg2
其中： H(ej0) 1
当 H (ej c)2/20 .7 0 7时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
3.滤波器的设计方法
直接设计法
在时域或频域直接设计数字滤波器
间接设计法
先根据指标要求设计对应的模拟滤波器 再将模拟滤波器转换为数字滤波器
通带： c
11H(ej)1
阻带： st H(ej) 2
过渡带： cst
c ：通带截止频率
s t ：阻带截止频率
：通带容限
1
2 ：阻带容限
通带最大衰减： 1
1 2 0 lgH H ( (e e jj 0 c ) ) 2 0 lgH (ej c) 2 0 lg (1 1 )
阻带最小衰减： 2
数字滤波器分为： 无限长单位脉冲响应滤波器（IIR DF） [递归系统] 有限长单位脉冲响应滤波器（FIR DF）[非递归系统]
M
bj z r
H (z) j0 N 1 ak z k k 1
N1
H(z) h(n)zn n0
(6.1.1) (6.1.2)
2． 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率响应函数H(ejω)用下式表示： H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
数字信号处理ppt第六章
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的 极点 归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点 位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)； （3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
精品课件-数字信号处理—理论与实践-第6章
第 6 章 数字滤波器的结构
因而在设计具体的实现算法时要分析和考虑选择什么样的网 络结构才合适。
一般来说， 设计好数字滤波器的结构后， 我们就可以通过 两种方法来具体实现数字滤波器：
（1） 将数字滤波器所要完成的运算编成程序， 利用计算 机进行软件实现；
（2） 设计专用的数字硬件、 专用的数字信号处理器或采 用通用数字信号处理器（DSP）进行硬件实现。
y(n)=a1y(n－1)+a2y(n－2)+b0x(n) 它对应的方框图结构如图6-3所示。
第 6 章 数字滤波器的结构
图6-2 基本运算的方框图表示法
第 6 章 数字滤波器的结构
图6-3 二阶数字滤波器的方框图结构
第 6 章 数字滤波器的结构
2. 信号流图法的特点是简单、 方便。 和方框图法相对应，
三种基本运算的信号流图表示如图 6-4 所示。
图6-4 基本运算的信号流图表示法
第 6 章 数字滤波器的结构
信号流图在本质上与方框图表示法等效， 只是符号上有差 异。 比如， 图6-3的二阶数字滤波器用信号流图表示的结 构如图6-5所示。 图中， 1， 2， 3， 4， 5称为网络节点， x(n)处为输入节点或称源节点， y(n)处为输出节点或称阱节点。 节点之间用有向支路相连接， 支路上的传输系数如果为常数， 则表示乘法运算； 如果没有标注传输系数， 则表示其传输系数 为1； 如果是延时算子z－1， 则表示单位延时。
第 6 章 数字滤波器的结构
图6-5 图6-3的二阶数字滤波器的信号流图结构
第 6 章 数字滤波器的结构
源节点没有输入支路， 阱节点没有输出支路， 其余网络节 点均可以有多条输入支路和多条输出支路。 每一个节点的节点 值都等于它的所有输入支路的信号之和。 这样， 通过分析各节 点的值， 就可以清楚地得到该网络的传输特性。 比如图6-5所 表示的二阶数字滤波器的各节点的值为
数字信号处理第六章
1）幅度函数特点：
H a ( j)
2
1 1 c
2
2N
0
c
H a ( j) 1 H a ( j) 1/ 2 1 3dB 3dB不变性
2
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小
3、逼近情况
1）
s平面虚轴
2）
z平面单位圆
s平面
左半平面
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
右半平面
虚轴
例7.4
已知模拟滤波器的传输函数为
1 H a ( s) 2 2s 3s 1
采用双线性变换法将其转换为数字滤波 器的系统函数，设T=2s 解 将s代入Ha(s)可得
H ( z ) H a ( s ) s 2 1 z 1 ,T 2
i 1,2,..., m
例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双 线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器 转换成数字滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传 输函数Ha(s)为 1
H a ( s)
s
,
RC
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函 数H1(z)为
低通
0 高通
0 带通 0
带阻
0
全通 0
通带
阻带 过渡带 平滑过渡
三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常 数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。 四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用因果稳定LSI的系统函数去逼近这一性 能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
数字信号处理 第六章
第六章数字滤波器结构6、1:级联得实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');[z,p,k] = tf2zp(num,den);sos = zp2sos(z,p,k)Q6、1使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)画出级联实现得框图。
H1(z)就是一个线性相位传输函数吗?答:运行结果:sos = zp2sos(z,p,k)Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]Denominator coefficient vector = [1]sos =2、0000 6、0000 4、0000 1、0000 0 01、0000 1、00002、0000 1、0000 0 01、0000 1、0000 0、5000 1、0000 0 0级联框图:H1(z)不就是一个线性相位传输函数,因为系数不对称。
Q6、2使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)画出级联实现得框图。
H2(z)就是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)得一级联实现。
显示新得级联结构得框图。
Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]Denominator coefficient vector = [1]sos =6、0000 15、0000 6、0000 1、0000 0 01、00002、00003、0000 1、0000 0 01、0000 0、6667 0、3333 1、0000 0 0级联框图:H2(z)就是一个线性相位传输函数。
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。
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第六章数字滤波器结构6.1：级联的实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');[z,p,k] = tf2zp(num,den);sos = zp2sos(z,p,k)Q6.1使用程序P6.1，生成如下有限冲激响应传输函数的一个级联实现:H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)画出级联实现的框图。
H1(z)是一个线性相位传输函数吗?答：运行结果：sos = zp2sos(z,p,k)Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]Denominator coefficient vector = [1]sos =2.0000 6.0000 4.0000 1.0000 0 01.0000 1.00002.0000 1.0000 0 01.0000 1.0000 0.5000 1.0000 0 0级联框图：H1（z）不是一个线性相位传输函数，因为系数不对称。
Q6.2使用程序P6.1，生成如下有限冲激响应传输函数的一个级联实现:H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)画出级联实现的框图。
H2(z)是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)的一级联实现。
显示新的级联结构的框图。
Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]Denominator coefficient vector = [1]sos =6.0000 15.0000 6.0000 1.0000 0 01.00002.00003.0000 1.0000 0 01.0000 0.6667 0.3333 1.0000 0 0级联框图：H2（z）是一个线性相位传输函数。
只用四个乘法器生成级联框图：6.2：级联和并联实现Q6.3使用程序P6.1生成如下因果无限冲激响应传输函数的级联实现：画出级联实现的框图。
答：Numerator coefficient vector = [3,8,12,7,2,-2]Denominator coefficient vector = [16,24,24,14,5,1]sos =0.1875 -0.0625 0 1.0000 0.5000 01.00002.0000 2.0000 1.0000 0.5000 0.2500 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.5000级联实现框图：Q6.4使用程序P6.1生成如下因果无限冲激响应传输函数的级联实现：画出级联实现的框图。
答：级联实现框图：程序P6.2生成两种类型的并联实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数分量 = ');[r1,p1,k1] = residuez(num,den);[r2,p2,k2] = residue(num,den);disp('并联I型')disp('留数是');disp(r1);disp('极点在');disp(p1);disp('常数');disp(k1);disp('并联II型')disp('留数是');disp(r2);disp('极点在');disp(p2);disp('常数');disp(k2);Q6.5使用程序P6.2生成式(6.27)所示因果无限冲激响应传输函数的两种不同并联形式实现。
画出两种实现的框图。
答：并联I型框图：Q6.6使用程序P6.2生成式(6.28)所示因果无限冲激响应传输函数的两种不同并联形式实现。
画出两种实现的框图。
答：并联I型框图：6.3：全通传输函数的实现Q6.7使用程序P4.4生成如下全通传输函数的级联格型实现:As(z)是一个稳定的传输函数吗?答：运行结果：k(5) = 0.0625 k(4) = 0.2196 k(3) = 0.4811k(2) = 0.6837 k(1) = 0.6246从{ki}的值我们可以得到传输函数A5(z)是稳定的，因为对所有的1<i<5有k i2<1。
Q6.8使用程序P4.4生成如下全通传输函数的级联格型实现:A6(z)足一个稳定的传输函数吗?答：得到A6(z)的{ki}值如下：k(6) = 0.0278 k(5) = 0.1344 k(4) = 0.3717k(3) = 0.5922 k(2) = 0.7711 k(1) = 0.8109从{ki}的值可以得到传输函数A6(z)是稳定的，因为反馈系数的平均幅值小于整体。
Q6.9 使用l型和2型全通项生成式(6.29)所示全通传输函数的典范级联实现。
显示实现的框图。
在最终的结构中，乘法器的总数是多少?答：全通因子如下所示：使用1型和2型全通项生成所示全通函数的典范级联实现，实现的结构框图如下：整体结构中乘法器的总数是5.Q6.10 用zp2sos 我们可以得到 A6(z)的因子如下：sos = 0.0278 0.0556 0.1111 1.0000 0.5000 0.25001.00002.00003.0000 1.0000 0.6667 0.33331.0000 3.0000 3.0000 1.0000 1.0000 0.3333从上面因子可以分解 A6(z)为低阶的全通因子:使用2型的全通项生成A6(z)的典范级联实现框图如下：整体结构中乘法器的总数是6。
6.4：无限冲激响应传输函数的Gary-Markel实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');N = length(den)-1; % 分母多项式的阶数k = ones(1,N);a1 = den/den(1);alpha = num(N+1:-1:1)/den(1);for ii = N:-1:1,alpha(N+2-ii:N+1) = alpha(N+2-ii:N+1)-alpha(N-ii+1)*a1(2:ii+1);k(ii) = a1(ii+1);a1(1:ii+1) = (a1(1:ii+1)-k(ii)*a1(ii+1:-1:1))/(1-k(ii)*k(ii));enddisp('格型参数是');disp(k)disp('前馈乘法器是');disp(alpha)Q6.11 使用程序 P6_3我们通过IIR将Q6.3给的正向传输函数H1(z) 的Gray-Markel级联格型实现参数如下：晶格参数和前馈乘数分别如下：对应Gray-Markel的结构框图如下：使用程序P6_3，从这些格型参数可以得到传输函数H1(z)是稳定的，因为所有格型参数的平方值比整体的小。
Q6.12 使用程序 P6_3我们通过IIR将Q6.4给的正向传输函数H2(z) 的Gray-Markel级联格型实现参数如下：对应Gray-Markel的结构框图如下：使用程序P6_3，从这些格型参数可以得到传输函数H2(z)是稳定的，因为所有格型参数的平方值比整体的小。
Q6.13使用函数tf2latc编写出一个MATLAB程序，以生成一个因果无限冲激响应传输函数的GrayMarkel实现。
用该程序实现式(6.27)所示的传输函数。
你的结果与习题6.11中得到的结果相符吗？使用函数1atc2tf由向量k和alpha确定传输函数。
所得到的传输函数和式(6.27)给出的传输函数相同吗？答：程序如下：format longnum = input('Numerator coefficient vector = ' );den = input('Denominator coefficient vector = ' );num = num/den(1); % normalize upstairs and down by d0.den = den/den(1);% here is the lattice/ladder realization from the transfer fcn:[k,alpha] = tf2latc(num,den)% now check inversiondisp('Check of Lattice/Ladder Inversion:' );[num2,den2] = latc2tf(k,alpha)运行结果如下：k = 0.624596860890130.683737827429190.481119423483980.219607843137250.06250000000000alpha = -0.01982100623522-0.090851695086770.184300471408490.160539215686270.31250000000000-0.12500000000000结果与习题6.11中得到的结果相符。
Q6.14使用在习题6.13中生成的程序，实现式(6.28)给出的传输函数。
你的结果与习题6.12中得到的结果相符吗？使用函数latc2tf由向量k和alpha确定传输函数。
所得到的传输函数和式(6.28)给出的传输函数相同吗?答：运行结果：k = 0.810935846413520.771127725064020.592151877699840.371690524785500.134362934362930.02777777777778alpha = -0.011120370334860.02345313662512-0.01456452038379-0.047392657732540.151994851994850.203703703703700.11111111111111与题6.12中得到的结果相符。
6.5：无限冲激响应传输函数的并联全通实现Q6.15生成下式给出的只阶因果有界实低通1型切比雪夫传输函数G(z)的全通和的分解。
使用zplane获得G(z)的零极点分布图：G(z)全通和的分解：G(z)的功率补充传输函数H(z)的表达式如下：两个全通传输函数的阶数是1和2.Q6.15 生成一个五阶因果有界实低通椭圆传输函数G(z)的全通和的分解。