数学建模案例分析3 随机性人口模型--概率统计方法建模

§3 随机性人口模型
如果研究对象是一个自然村落或一个家族人口，数量不大，需作为离散变量看待时，就利用随机性人口模型来描述其变化过程。

记 ()t Z —时刻t 的人口数（只取整数值）
()()()n t Z p t p n ==—人口为n 的概率
模型假设 1、在[]t t t ∆+, 出生一人的概率与t ∆ 成正比，记作t b n ∆，出生二人及二人以上的概
率为()t o ∆；
2、在[]t t t ∆+, 死亡一人的概率与t ∆ 成正比，记作t d n ∆，死亡二人及二人以上的概率为()t o ∆；
3、出生与死亡是相互独立的随机事件；
4、进一步设n b 和n d 均为与n 成正比，记,,n d n b n n μλ==λ和μ分别是单位时间内
1=n 时一个人出生和死亡的概率。

模型建立
由假设3~1，可知()n t t Z =∆+可分解为三个互不相容的事件之和：()1-=n t Z 且t ∆内出生一人；()1+=n t Z 且t ∆ 内死亡一人；()n t Z =且t ∆内无人出生或死亡。

按全概率公式 ()()()()t d t b t p t d t p t b t p t t p n n n n n n n n ∆-∆-+∆+∆=∆+++--1)(1111
即
()()
()()())(1111t p d b t p d t p b t
t p t t p n n n n n n n n n +-+=∆-∆+++--
令0→∆t ，得关于()t p n 的微分方程
()()()()t p d b t p d t p b dt
dp n n n n n n n n +-+=++--1111
又由假设4，方程为
()()()()()()t np t p n t p n dt
dp n n n n μλμλ+-++-=+-1111 （1）
若初始时刻)0(=t 人口为确定数量0n ，则()t p n 的初始条件为
()⎩
⎨
⎧≠==
00
,0,10n n n n p n （2）
（1）在（2） 条件下的求解非常复杂，且没有简单的结果，不过人们感兴趣的是()()t Z E 和()()t Z D （以下简记成)(t E 和)(t D ）。

按定义()()∑∞
==1n n
t np t E （3）
对（3）求导并将（1）代入得
()()()()()()∑∑∑∞
=∞
=+∞
=-+-++-=1
1
2
11
111n n n n n n t p n t p n n t p n n dt
dE μλμλ （4）
注意到()()()()()()()()∑∑∑∑∞
=∞=+∞
=∞=--=++=
-1
1
1
1
1
111,11k k
n n n k k
n t p k k t p n n t p k k t p n n 代入（4） 并
利用（3），则有
()()()t E t np dt
dE n n μλμλ-=-=∑∞
=1
)(
（5） 由（2）得()t E 的初始条件()00n E =，求解微分方程（5）在此初始条件下的解为
()μλ-==r e n t E rt
,0 （6）
可以看出这个结果与指数模型()rt
e x t x 0=形式上完全一致。

随机性模型（6）中出生率λ与死亡
率μ之差r 即净增长率，人口期望值呈指数增长，()t E 是在人口数量很多的情况下确定性模型的特例。

对于方差()t D ，按照定义()()()∑∞
=-=
1
2
2
n n t E
t p n
t D ，用类似求()t E 的方法可推出
()(
)[]
1)(0
--+=--t
t
e e
n t D μλμλμ
λμλ （7）
()t D 的大小表示人口()t Z 在平均值()t E 附近的波动范围。

（7）式说明这个范围不仅随着时间的
延续和净增长率μλ-=r 的增加而变大，而且即使当r 不变时，它也随着λ 和μ 的上升而增长，这就是说，当出生和死亡频繁出现时，人口的波动范围变大。