第八章 分式 第4课时 分式的基本性质(3)
分式和分式的基本性质
分式和分式的基本性质（一）一、知识要点1．分式的意义一般地，如果A﹑B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式AB叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。
说明：（1）分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起着除号和括号的作用。
（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母中一定要含有字母。
（3）分式的分母不能为0是分式概念的重要组成部分。
2．有理式的概念及分类有理式是整式和分式的统称。
3．分式有意义、无意义、值为零的条件（1）分式AB有意义的条件是：_________________________；（2）分式AB无意义的条件是：_________________________；（3）分式AB值为零的条件是：_________________________。
4．分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示就是______________________________________________________________________。
5．分式的变号法则分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即A A A AB B B B--==-=---。
6．将分数系数化成整数系数分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于0的数，使分子、分母中的数全都化为整数。
7．分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。
8．分式的通分根据分式的基本性质，把几个不同分母的分式化成同分母的分式叫做分式的通分。
说明：（1）最简公分母的概念：异分母通分时，我们常取各分母的系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（2）求最简公分母的步骤与方法①取各分母系数的最小公倍数；②凡在各分母中出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
8.2分式的基本性质(3)
练习:通分
1 1 (1) , 2 mn(m n)(m n) 2 m n m n mn 2 3 (2) , 2 2 4 9m 9m 12m 4
(2 3m) (2 3m)
2
拓展延伸:通分
x2 2 x （1） ( x 4)( x 3) ， (4 x)(3 x)
例1:通分:
b ab (1) , 3a 2c
(2)
5 2 7c , 2 3 , 4 2 2a 9a b 12a b
练一练：
a b （1）分式 2b 、 2 的最简公分母是 ____. 3a
5 1 1 , 2 2, （2）分式 2 3 的最简公分母是 6 a x 2 b x 3 ab x ________.
初中数学八年级下册 （苏科版）
8.2 分式的基本性质(3)
灌南光明实验学校
5 1 1 复习：思考如何计算： + + 3 6 2
b d a c
1 4 2 2a a 4
提前自学反馈
1、什么是分式的通分，通分的依据是什么？ 2、什么是最简公分母？
3、如何确定各分式的最简公分母？
4、自学学案交流。
1 4 5 , （3）分式 3 , 的最简公分母是 2 2 x y 3xz 4 xz _________.
思考: (1)分式
2 3 , a b 2a 2b
的最简公分母是_________.
2(a b)
(2)分式
5 2 2 , 6( x 1) 2 的最简公分母是_________. 2( x 1) 3(1 x)
分式与分数类似，也可以通分.
把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的 同分母的分式，叫做分式的通分. 分式的基本性质 通分的根据：
分式的基本性质PPT课件(沪科版)
(3)
a＋b ab
(a2＋ab) = a2b
；
(4)
2a－b a2
(2ab－b2) = a2b
.
5.不改变分式的值，使下列分子与分母
都不含“－”号
(1)
－2x 5y
；
(2)
－2x －5y
；
(3)
2x －5y
.
解：(1)
－2x 5y
=－
2x 5y
(2)
－2x －5y
= 2x 5y
(3)
2x －5y
=－
4.要使分式
x2－16 x＋9
的值为0，则x可取的数是(
B
).
A．9
B．±4 C．－4
D．4
5.分式
x2－4 x＋2
的值为0，则x的值为(
D ).
A．－2 B．0
C．±2
D．2
类比分数，学习新知 下列分数的值是否相等？
1 , 2 , 4 , 8 , 16 . 3 6 12 24 48
这些分数相等的根据是什么？ 分数的基本性质.
0)， 其中a，b，c
是数．
类比分数的基本性质，猜想分式有什么性质？ 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等
于0的 整式，分式的值不变．
如何用式子表示分式的基本性质？
A B
=
A B
• •
C C
A B
=
A÷ B÷
C C
(C
≠
0).
其中A，B，C是整式.
理解性质，生成新知
A B
=
A B
(1)
1 2
a＋b
a－43 b
(2)
0.3a－0.03b 0.02a＋0.2b
分式的基本性质(3)
10.2 分式的基本性质(3)预学目标1．类比分数通分的方法和依据，尝试根据分式的基本性质对分式进行相同的变形．2．阅读课本中分式通分和最简公分母的概念，了解分式通分的方法和意义．3．复习以往所学的因式分解，感受其在分式的通分计算中的重要性．情境引入1．分式的基本性质内容是什么？A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷M B÷M(其中M≠0)。
2．什么是分式的约分？分式的约分有什么要求？3．在分数运算中，什么叫分数的通分？例题精讲例1 通分：(1)32145,,234x y xz xz例2 通分：(1) 621,912+-m m概念巩固：1．分式通分的依据和概念把几个异分母的分式化为_____________的分式的过程，叫做分式的________．2．最简公分母的概念对异分母的分式进行通分时，关键是确定几个分式的____________．一般情况下，我们取各分母系数的最小公倍数，分母所有因式的________作为公分母，这样的公分母叫做________．说明：只有当所有分母都是积的形式时才能确定公分母，所以当分母是多项式时，我们首先应对分母进行________________．随堂演练：1．分式25y x 和52y x 的最简公分母是 ( ) A. 10x 7 B. 7x 10 C. 10x 5 D. 7x 7 2．分式()()2155x x +-和()()2155x x +-的最简公分母是________．3指出下列各组分式的最简公分母：（1）222,5x y x y ； （2）c ab ，a bc ，b ac ； （3）a x -1,2)1(-a y ,3)1(a z-；4．通分（1） 2254,,263y cx xy z xy（2）xy x y x +-2221,1,（3）2142,,242x x x x +--5．通分：(1) y x x y --1,1(2) 3223)()(1,)()(1y x b a y x b a ++++(3)2211,,442x xy y y y y +-+-7.【迁移创新】1，已知，311=-b a ，求分式 b ab a b ab a ---+232 的值。
分式的基本性质(浙教版新教材课件)
在电路分析中，电压、电流和电阻之间的关系可以用分式表示。通过分 式，我们可以更好地理解电路的工作原理，从而进行有效的分析和设计。
03
力学中的分式
在力学中，分式经常被用来描述力和质量、加速度之间的关系。通过分
式，我们可以更准确地分析物体的运动状态和受力情况。
化学中的分式
化学反应中的分式
02
这一性质在解决数学问题时非常 有用，因为它允许我们改变分子 的符号而不影响分式的值。
分式的值域
分式的值域取决于分 子和分母的取值范围。
例如，对于分式 $frac{x}{x+1}$，当 $x$取任意实数值时， 分式的值也是实数。
如果分子和分母都是 实数，那么分式的值 域也是实数。
03
分式的运算性质
分式的基本性质(浙教版新教材 课件)
目
CONTENCT
录
• 分式的定义与表示 • 分式的基本性质 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用 • 分式的注意事项
01
分式的定义与表示
分式的定义
分式是两个整式相除的商，通常表示为分数形式， 分子是除式，分母是被除式。
分式有意义的条件是被除式不为零，分母不能为零 。
运算顺序
分式的计算应遵循先乘除 后加减的原则，同时需要 注意括号内的运算优先级。
约分与通分
在计算过程中，如果需要 将分子或分母进行变形， 可以考虑进行约分或通分， 以简化计算过程。
分式应用的注意事项
实际问题背景
近似计算
在解决涉及分式的实际问题时，应注 意问题的实际背景和意义，避免误解 题意或错误应用分式。
分式。
分子分母同除
当分子和分母都含有同一个因子时， 应将其同时除以这个因子，以简化 分式。
课件：8.2分式的基本性质(3)
a b 3a 3ab 2 4ab 12a b
2
2a b 4ab 2b 2 2 6a 12a b
2
这样的分式变形叫什么呢？
归纳
通分的定义：
利用分式的基本性质，把几个 异分母的分式化为同分母的分式， 这样的分式变形叫分式的通分。
探究
2 最终都化成 3.分式的分母 4ab 、 6a 什么？ 2
初中数学八年级下册 （苏科版）
8.2分式的基本性质（3）
知识回顾：
1、分式的基本性质内容是什么？
2、什么是分式的约分？分式的约分 有什么要求？
3、在分数运算中，什么叫分数的通分？
1 3 5 2、把下面的分数通分： , , 2 4 6
3、什么叫分数的通分？ 答：把几个异分母的分数化成同分母的分数， 而不改变分数的值，叫做分数的通分。
4ab
6a
12a b
（1）如何得到分母 12a b ？
2
2
（2） 分母 12a 2b又叫什么？
归纳
最简公分母的定义：
取各分母的所有因式的最高次幂的积作 为公分母，它叫做最简公分母。
例1.通分：
3 a b 与 2 2 2a b ab c
1.通分的关键是什么？
2.怎样找最简公分母？
归纳： 找最简公分母的方法：
多项式形式的分母可以看作什么？ 整体思想
巩固
2.通分：
1 2 与 x 1 x 1 1 2 想一想： 与 如何通分？ x 1 1 x
例3.通分：
1 2 2 与 2 ( x 1) 1 x
多项式形式的分母怎样处理？
巩固 3.通分：
2 xy x 2 与 2 2 ( x y) x y
4、和分数通分类似，把几个异分母的分 式化成与原来的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分。
分式的基本性质3
辨别
5xy
在化简分式 小明的做法出现了分歧：
20x 2 y
时，小颖和
小颖：
5xy 20x2y
5x 20x2
对于分数而言， 彻底约分后的
小明： 5xy 20x2y5xy 4x 5xy源自1 4x分数叫什么？
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
例3：通分: (2) 1 , 1
x y x y
解： 1 与 1 的最简公分母为 (x y)(x y), xy xy
即x 2 y 2 , 所以 1 1 •（x y) x y ,
x y (x y)(x y) x 2 y 2 1 1• (x y) x y .
x y (x y)(x y) x 2 y 2
议一议：
1
11
(1)求分式
,
,
2x3 y 2 z 4x 2 y 3 6xy 4
的最简公分母。
分析：
1、对于三个分式的分母中的系数2,4,6,取其最小公倍数12;
2、对于三个分式的分母的字母,字母x为底的幂的因式,取其最 高次幂x³,字母y为底的幂的因式,取其最高次幂y4，再取字母z. 所以三个分式的公分母为12x³y4z.
其中
x
2,y
3
原式=
x 2y 4x
=
26 8
=
1 2
这节课你有何收获：
1.分式的基本性质. 2.分式的约分. 3.分式的通分.
（a ab +b1）
课堂练习
1.三个分式
y 2x
,
x 3y2
,
1 4xy
的最简公分母是（
C
）
A. 4xy B. 3 y 2 C. 12 xy 2 D. 12 x2 y2
初中数学《分式的基本性质》精品教案
初中数学《分式的基本性质》精品教案一、教学内容本节课选自人教版初中数学教材八年级上册第十四章《分式》，详细内容包括：分式的定义、分式的基本性质、分式的约分与通分、分式的乘除法及分式的乘方。
二、教学目标1. 理解并掌握分式的基本性质，能够运用基本性质对分式进行简化。
2. 能够运用约分与通分的方法对分式进行运算。
3. 学会分式的乘除法及乘方运算，并能够灵活运用解决实际问题。
三、教学难点与重点重点：分式的基本性质、约分与通分、分式的乘除法及乘方运算。
难点：分式的简化，尤其是含有绝对值的分式简化；分式的乘除法及乘方运算在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个关于速度、时间和路程的实际问题，让学生列出分式表达式，引导学生思考如何简化分式。
2. 知识讲解：（1）回顾分式的定义，引导学生掌握分式的结构。
（2）讲解分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零常数，分式的值不变。
（3）通过例题讲解，演示如何运用基本性质简化分式。
3. 随堂练习：设计一些关于分式简化、约分与通分的练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
4. 例题讲解：（1）分式的乘除法运算。
（2）分式的乘方运算。
（3）含有绝对值的分式简化。
5. 课堂小结：六、板书设计1. 分式的定义与结构。
2. 分式的基本性质。
3. 分式的约分与通分。
4. 分式的乘除法及乘方运算。
5. 例题及解题步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）简化分式：2/(4x8)。
（2）计算分式的乘除：3x/(x+2) ÷ 2x/(x2)。
（3）计算分式的乘方：(x^24)/(x+2)^2。
2. 答案：（1）1/(2x4)。
（2）3x(x2)/(2(x+2)(x2))。
（3）(x2)^2/(x+2)^2。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对分式的基本性质、约分与通分掌握较好，但在解决实际问题中运用分式的乘除法及乘方运算时，部分学生还存在困难，需要在今后的教学中加强练习。
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八年级数学(下)第八章 分 式
第4课时 分式的基本性质(3)
班级：__________ 姓名：__________
一、选择题
1．分式25y x 和52y x
的最简公分母是 ( ) A ．10x 7 B ．7x 10 C ．105 D ．7x 7
2．求最简公分母时，如果各分母的系数都是整数，那么最简公分母的系数通常取 ( )
A ．各分母系数的最小者
B ．各分母系数的最小公倍数
C ．各分母系数的公倍数
D ．各分母系数的最大公约数
3．分式()()21
55x x +-和()()21
55x x +-的最简公分母是 ( )
A ．(x+5)3(5－x)3
B ．(x+5)2(x －5) 2
C ．(x+5)3(x －5) 2
D ．(x+5) 2 (x －5)3
4．分式2223c a b -、424a b c 、2
52b ac 的最简公分母是 ( ) A ．12abc B ．－12abc C ．24a 2b 4c 2 D ．－12a 2b 4c 2 5．分式22a a b -、222b a ab b ++、222c a ab b
-+的最简公分母是 ( ) A ．()()a b a b -+ B ．2()()a b a b -+
C ．22()()
a b a b -+ D ．2()()a b a b -+ 二、填空题
6．分式52a -、2329a b 、42
712c a b -的最简公分母是_________． 7．将分式
1xyz 、221x y 通分时需要将分式1xyz 的分子与分母同时乘________，将分式221x y 的分子与分母同时乘__________．
8．将分式213x 、512xy
通分得_________、_________． 9．将分式52a -、2329a b 、42
712c a b -通分得_________、________、________． 三、解答题
10．写出下列各组分式的最简公分母．
(1)
1x ，12x ，13x ； (2)c ab ，a bc ，b ac ； (3)312x y ，243xz ，54xz ； (4)1x a -，()21y a -，()
31z a -．
11．通分：
(1)
21a b ，21ab ； (2)1x y -，1x y +；
(3)221x y -，21x xy +； (4)21x x +，21x x
-．
12．通分：
(1)()()243x x x +--，()()243x x x ---； (2)()()3x x y x y +-，()()2y y x y x +-．
13．某村种植了m 公顷玉米，总产量为n 千克．水稻的种植面积比玉米的种植面积多p
公顷，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多q 千克．请你写出表示玉米和水稻的单位面积产量(千克／公顷)的式子，并将所得的分式通分．
14．设abc=1，求分式
111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值．
15．已知
113x y -=，求2322x xy y x xy y
----的值．
参考答案
1．C 2．B 3．B 4．D 5．C
6．36a 4b 3 7．xy z 8．2412y x y 2512x x y
9．33439036a b a b - 243836a a b 432136bc a b
- 10．(1)6x (2)abc (3)12x 3yz 2 (4)(1－a)3
11．(1)22b a b ，22a a b (2)22x y x y +-，22x y x y -- (3)32x x xy -，32x y x xy -- (4)31x x x --，31x x x
+- 12．(1)
()()243x x x +--，()()243x x x ---； (2)()()3x x y x y +-，()()3()y x y x y x y -+-． 13．玉米的单位面积产量是n m ，水稻的单位面积产量是2n q m p ++， 通分得()
()n m p m m p ++，()
()
2m n q m m p ++ 14．原式=
1111111b bc bc b bc b bc b bc b bc b ++++==++++++++ 15．95。