二项式定理问题的五大方法
高中数学之二项式定理应用基本方法三大方法总结到位
高中数学之二项式定理应用基本方法三大方法总结到位二项式定理是高中数学中的重要内容，主要用于解决与二项式有关的问题。
以下是二项式定理应用的三大基本方法：
1. 展开式应用：利用二项式定理将二项式展开，可以得到其展开式。
对于形如 (a+b)^n 的二项式，其展开式中的每一项都可以根据二项式定理计算出来。
2. 系数提取：在解决某些问题时，可以通过提取二项式中的系数来简化问题。
例如，在求(a+b)^n 的展开式中某一项的系数时，可以通过提取适当的因
子来简化计算。
3. 等价转换：在解决与二项式有关的问题时，有时可以将问题等价转换为其他形式，从而利用二项式定理或其他已知公式进行求解。
例如，在求
(a+b)^n 的展开式中某一项的系数时，可以将问题等价转换为组合数问题，利用组合数的性质进行计算。
以上是二项式定理应用的三大基本方法，熟练掌握这些方法可以有效地解决与二项式有关的问题。
同时，要注意不断总结经验，探索更多应用二项式定理的技巧和方法。
二项式定理问题的常见题型及其解题策略
二项式定理问题的常见题型及其解题策略
二项式定理问题的常见题型及其解题策略
二项式定理是高中数学中最重要的定理之一，它可以用来解决各种概
率问题，常被广泛应用于数学竞赛中。
但是，学习二项式定理的学生
总会遇到困难，因为它的解题方法多变，而且容易出现各种错误。
下
面我们就来讨论一下二项式定理中的常见题型及其解题策略。
一是给定总体的概率计算问题，这类问题的解题策略是先用二项式定
理把概率问题转换成组合问题，再根据组合原理计算出概率。
二是给定概率计算总体的问题，这类问题的解题策略是先把概率转换
成组合数，然后利用组合原理求出总体的元素数量。
三是给定元素的特征计算概率的问题，这类问题的解题策略是先把特
征转换成组合数，然后根据组合原理计算出概率。
以上三类问题是二项式定理中最常见的题型，通过掌握这些解题策略，学生们就可以轻松应对二项式定理中的题目了。
高中数学二项式题解题方法
高中数学二项式题解题方法高中数学中，二项式是一个重要的概念，涉及到很多不同类型的题目。
在解题过程中，我们需要掌握一些方法和技巧，才能更好地应对不同的题型。
本文将介绍几种常见的高中数学二项式题解题方法，并通过具体的例子来说明其应用。
一、二项式展开法二项式展开法是解决二项式展开题的常用方法。
在这类题目中，我们需要将一个二项式按照一定的规律展开，并求出展开式中某一项的系数或者具体的项数。
例如，题目如下：已知二项式展开式(2x-3)^5中的某一项为-120x^3，求该项的系数和指数。
解题思路：根据二项式展开式的通项公式，我们可以知道，展开式中第k项的系数为C(5,k)，其中C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
对于本题，我们需要求解的项数为第4项，即k=4。
所以，我们可以使用组合数公式计算C(5,4)，即C(5,4)=5。
然后，我们需要求解的指数为3，即x^3。
所以，该项的系数为-120。
通过以上计算，我们得到了该项的系数和指数，即-120和3。
二、二项式定理法二项式定理法是解决二项式定理题的常用方法。
在这类题目中，我们需要根据二项式定理，求解给定的表达式的值。
例如，题目如下：求(2x-3)^4的展开式中，x^2的系数。
解题思路：根据二项式定理，我们知道展开式中x^k的系数为C(n,k)*a^(n-k)*b^k，其中n 为二项式的次数，a和b为二项式的两个项。
对于本题，我们需要求解的是x^2的系数，即k=2。
所以，我们可以使用组合数公式计算C(4,2)，即C(4,2)=6。
然后，我们需要求解的两个项为2x和-3，所以a=2，b=-3。
通过以上计算，我们得到了x^2的系数为6*(-3)^2=54。
三、二项式恒等式法二项式恒等式法是解决二项式恒等式题的常用方法。
在这类题目中，我们需要根据给定的恒等式，求解未知量的值。
例如，题目如下：已知(1+x)^4的展开式中，x^2的系数等于x^3的系数，求x的值。
二项式定理各种题型解题技巧知识讲解
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
二项式定理求解技巧和方法
二项式定理求解技巧和方法二项式定理是高中数学中一个很重要的概念，它描述了一个二次多项式的展开式中，每一项的系数和指数的关系。
在解题过程中，我们可以利用二项式定理来求解一些复杂的多项式表达式。
下面我将介绍一些二项式定理求解的技巧和方法。
1. 使用二项式定理展开二项式定理可以表达为：$ (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + \\ldots + C_n^na^0b^n $。
这个定理可以帮助我们将一个二元系数的多项式展开为单项式的和。
我们可以利用这个定理来求解一些复杂的多项式表达式，例如 $(x+1)^n$ 或者 $(2x+3y)^n$。
2. 利用二项式系数的性质二项式系数$C_n^k$ 的计算公式为：$C_n^k = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$。
在计算二项式系数时，我们可以利用其性质来简化计算。
例如，对于$C_n^k$ 来说，如果$k>n-k$，我们可以使用$C_n^k = C_n^{n-k}$ 来简化计算。
另外，由于$C_n^k = C_n^{n-k}$，我们也可以利用对称性简化计算。
3. 利用二项式定理求解系数和指数在一些问题中，我们需要求解多项式展开式中某一项的系数和指数。
对于二项式定理，可以通过将多项式展开式中各项的系数和指数与二项式系数进行配对，来求解。
例如，对于$(a+b)^7$ 的展开式，我们要求解其中系数为 35 的项的指数是多少，可以使用二项式系数的计算公式，得到 $C_7^k = 35$，然后求解 $k$ 的值。
4. 应用二项式定理进行变形有时候，在解决实际问题时，我们需要对给定的表达式进行变形，以便更好地应用二项式定理。
在变形过程中，我们可以使用二项式定理的展开式，将表达式转化为二项式定理的形式。
例如，对于表达式 $(x+y)^4 - (x-y)^4$，我们可以将其变形为$(u+v)^4 - (u-v)^4$ 的形式，然后应用二项式定理进行展开。
二项式定理及求特定项
④ amn am an
特殊幂
① a0 1
②
an
1 an
⑦ an bn (当n 2,3时，背诵之)
⑧
(a b)n
当 当nn
42时,3时, 二，项背式诵定之理
⑤ amn (am )n (an )m ⑨ (a b)n an bn
m
⑥ a n n am
A1 An
A2
An1
A3 A4
①公式法： hn (k 1)n (1)n (k 1)
②递推法：参新课课件附录37的内容……
②有心环型域 先染心 无心环型域
③其他型域 ：两理两数四优先……
传球(踢毽子)问题
注1：该类问题；解法甚多， 可参新课件附录37的内容……
注2：该类问题等价于无心环型域的染色问题
k个人进行传球游戏，由甲先传，经过n次 传球后，球仍回到甲手中的传球方法数
可转换成：
k种颜色n块区域的无心环型域的染色问题
k
hn g Cn
(k
1)n (1)n (k (k 1)n (1)n
1) (k 1)
§107 二项式定理及求特定项
一、二项式定理： 1.展开式： 2.通项公式：
二、求特殊项 ： 1.方法：
160 x
另法：
因
(2
1 )6 3x
(1 23 x2
x )6
故
T4
C63 (23 x2
x )3
160 x
纯属运气！
试试看：若求第二项，结果还会一样吗……
(5)(2012年安徽)
(x2
1 2)( x2
1)5 的展开式的常数项是
A.-2
B.2
高中数学二项式定理解题技巧
高中数学二项式定理解题技巧高中数学中，二项式定理是一个非常重要的概念和定理。
它在代数运算、排列组合、数列等多个数学领域都有广泛的应用。
掌握二项式定理的解题技巧对于高中数学的学习至关重要。
本文将介绍几种常见的二项式定理解题技巧，并通过具体的例子来说明。
一、二项式定理的基本形式二项式定理的基本形式是：$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^n a^0 b^n$其中，$C_n^k$表示组合数，即从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
二、二项式定理的展开在解题过程中，我们经常需要将一个二项式展开成多项式。
这时，我们可以利用二项式定理来简化计算。
例如，要将$(x+y)^4$展开成多项式，我们可以直接应用二项式定理：$(x+y)^4 = C_4^0 x^4 y^0 + C_4^1 x^3 y^1 + C_4^2 x^2 y^2 + C_4^3 x^1 y^3 + C_4^4 x^0 y^4$展开后，我们可以得到：$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$三、二项式定理的应用1. 二项式系数的性质二项式系数具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来简化计算。
例如，对于任意正整数n，我们有：$C_n^0 = C_n^n = 1$$C_n^k = C_n^{n-k}$这些性质可以帮助我们快速计算二项式系数。
2. 组合数的性质组合数具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来解决排列组合问题。
例如，对于任意正整数n和k，我们有：$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$这个性质可以帮助我们求解排列组合问题中的一些特殊情况。
3. 数列的应用二项式定理在数列中也有广泛的应用。
例如，我们可以利用二项式定理来求解二项式系数的和。
例如，要求解$\sum_{k=0}^{n} C_n^k$，我们可以利用二项式定理展开：$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}$其中，我们可以取a=b=1，得到：$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = (1+1)^n = 2^n$这个结果告诉我们，二项式系数的和等于2的n次方。
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
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二项式定理问题的五大方法
学习二项式定理，应对二项式定理问题的五大方法倍加关注，其中五大方法的具体内容是：
1．常规问题通项分析法
例1．如果在（x +
421x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.
解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，
8)1(-n n ，由题意得2×2n =1+8)1(-n n ，得n =8.
设第r +1项为有理项，T 1+r =C r
8·r 21·x 4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，
8.
有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2
2561x . 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .
通项公式T r+1= C r
n a n-r b r (n ∈N +,r=0,1,2,2，…，n ）中含有a,b,n,r, T r+1五个元素，只
要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题（如判断和计算二项展开式中的特殊项），这类问题一般是正确使用通项公式，要清楚其中的相关字母的意义，利用等价转化的思想方法把问题归结为解方程（组）．
2．系数和差型赋值法
例2．已知（x －
x a ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是
A.28
B.38
C.1或38
D.1或28
解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r 8·x 8－2r .
令8－2r =0，∴r =4.
∴（－a ）4C 48=1120.∴a =±2.
当a =2时，令x =1，则（1－2）8=1.
当a =－2时，令x =－1，则（－1－2）8=38.
答案：C
例3．若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.
求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11；（2）a 0+a 2+a 4+…+a 10.
解：（1）（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.令x =1，得a 0+a 1+a 2+…+a 11=
－26，①
又a 0=1，所以a 1+a 2+…+a 11=－26－1=－65.
（2）再令x =－1，得a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 11=0.②
①+②得a 0+a 2+…+a 10=21（－26+0）=－32.
评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或-1.
3．近似问题截项法
例4．求(2.999)10的近似值（精确到0.001）
解
：(2.999)10=（3-0.001）10=310-10×39×0.001+45×38×0.0012-120×37×0.0013+210×36×0.0014-…
=59049-196.83+0.295245-0.00026244+…
≈58852.465
评述：用二项展开式作近似计算，注意底数的变形，以及考查对精确度有影响的某些项。
4．整除（或余数）问题展开法
例5．求证：2n+2•3n +5n-4能被25整除。
思路点拨：25=52, 而2n+2•3n =4•6 n =4(5+1) n ，将此二项式展开后就会出现5r
解：原式=4(5+1) n +5n-4=4(C 0n 5n + C 1n 5n-1+ C 2n 5n-2+…+ C n
n )+5n-4
=4(C 0n 5n + C 1n 5n-1+ C 2n 5n-2+…+ C 2n n
52)+25n 以上各项均为25的整数倍，故得证。
5．最值问题不等式法
例6．在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果
它的展开式里最大系数项恰是常数项.
（1）求它是第几项；（2）求b
a 的最值.
解：（1）设T 1+r =C r 12（ax m ）12－r ·（bx n ）r =C r 12a 12－r b r x m （12－r ）+nr 为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3①
C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5② 由①得
2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥2
3101112⨯⨯⨯a 9b 3， ∵a ＞0，b ＞0，∴49 b ≥a ，即b a ≤4
9. 由②得b a ≥5
8，∴58≤b a ≤49. 故b a 的最大值、最小值分别为49、58. ∴有。