二项式定理(通项公式)

六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1．整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=个 )0(10≠=a a ,0(1N n a a a nn ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=⋅+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈⋅= 3．注意 ① nma a ÷可看作nmaa -⋅ ∴n m a a ÷=nm aa -⋅=m a-② n b a )(可看作n n b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅n nb4、n m nma a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)例题：例1求值：4332132)8116(,)41(,100,8---.例2用分数指数幂的形式表示下列各式：1） a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0) 2)43a a ⋅ 3）a a a例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88341n m 例4计算下列各式： );0()1(322>a aa a 435)12525)(2(÷-例5化简：)()(41412121y x y x -÷-例6 已知x+x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121--++x x xx二、二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k k n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ ,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012nn n n n C C C +++= ，即二项式系数和等于2n； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=2)1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7 (2)1()1(--f f三、经典例题1、“n b a )(+展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C CCCC x x x x x ++++=54112848122++++xx x x【练习1】求4)13(xx -的展开式 2.求展开式中的项 例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 解：（1）通项为2333111()()22n r rn r rr r r r nn T C xx C x ---+=-=- 因为第6项为常数项，所以r=5时，有23n r-=0，即n=10. （2）令1023r -=2，得2r =所以所求的系数为2210145()24C -=. （3）根据通项公式，由题意1023010,rZ r r Z-⎧∈⎪⎨⎪≤≤∈⎩令102()3rk k Z -=∈，则352k r =-，故k 可以取2,0,2-，即r 可以取2，5，8. 所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为22255882101010111(),(),()222C x C C x ----.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）. 解：由题意知，222992nn -=，所以232n =，解得n=5.（1） (1)由二项式系数性质，101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大.5556101(2)()8064T C x x=-=-. （2） 设第1r +项的系数的绝对值最大，110rr T C += 10(2)r x -10102101()(1)2r r r r r C x x---=- 101111010101910102222r r r r r rr r C C C C ----+-⎧≥∴⎨≥⎩得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥∴⎨≥⎩，即1122(1)10r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩，解得81133r ≤≤. ,3r Z r ∈∴= ，故系数的绝对值最大的项是第4项，3744410215360T C x x =-=-.[练习3]已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. (1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ； 解：36323)1(])1([)21(x x x x x x -=-=-+，该式展开后常数项只有一项33336)1(x x C-，即20-6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrr xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C-即：65252x -。

当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n ba C和212121+-+n n n nba C；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222n n n nb a C。

7、有理项例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(rr r r rr r x xr T CC --+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。

故展开式中有理项有4项。

① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。

8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r r rr x T C)1(11111-=-+∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k k k k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kkk k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴KK K K 1922211解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =。

（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("nb a +型来处理，故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -。

9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；解： 2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，令1=x ，有1...)21(20042102004=++++=-a a a a 令0=x ，有1)01(02004==-a 故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+ 【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ； 解：rr rr x T C )1()2(661-=-+ ∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++ =)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =110利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。