二项式定理中的特殊项问题
二项式定理中常考的几种题型
二项式定理中常考的几种题型一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。
故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。
4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。
例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。
解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解：的展开式中，含的项为，故选D。
三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。
如何求解二项式展开式中的特定项
如何求解二项式展开式中的特定项二项式展开式是代数中常见的一个概念，它描述了一个多项式的幂的系数与特定项的关系。
在求解二项式展开式中的特定项时，我们可以利用组合数学中的二项式定理来简化计算。
本文将详细介绍如何根据给定的二项式展开式和特定项，求解出该特定项的系数。
一、二项式展开式的概念及性质二项式展开式是指形如(a+b)^n的多项式，其中a、b为常数，n为非负整数。
该展开式可用二项式定理表示：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，其计算公式为：C(n,k) = n! / (k!*(n-k)!)二项式展开式中的每一项可以通过上述公式计算得到。
在求解特定项时，需要根据组合数学的知识来确定所需的组合数，并利用相应的幂次计算出该项的系数。
二、求解二项式展开式中的特定项的步骤求解二项式展开式中的特定项需要遵循一定的步骤，下面将详细介绍：1. 确定二项式展开式的系数项数根据二项式展开式的形式，首先需要确定展开式的系数项数。
即确定展开式中每一项的次数，这个次数等于幂次n+1。
系数项数决定了所需计算的组合数的范围。
2. 确定特定项的位置确定特定项的位置，即确定该项在展开式中的索引值。
对于从左至右排列的展开式，索引值从0开始递增，分别对应着展开式中各项的位置。
3. 计算特定项的系数根据组合数学的知识，利用组合数C(n,k)的计算公式，可以计算出特定项的系数。
其中，n为展开式的幂次，k为特定项的位置对应的组合数的第二个元素（即选取第二个元素的个数）。
4. 根据幂次计算特定项的次数根据二项式展开式的幂次，利用幂的规律，可以确定特定项的次数。
根据次数，可以将二项式展开式中的每一项分类，进而确定特定项是属于哪一类别。
高中数学 二项式定理 知识点与常见题型解法
《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。
二项式定理的常考题型
二项式定理的常考题型
二项式定理是代数中常见且重要的定理之一，它可以用来展开二项式的幂。
在数学考试中，常常会出现与二项式定理相关的题目。
下面介绍几种常见的与二项式定理相关的考题类型。
1. 二项式系数的求解：考生需要根据给定的条件，求解二项式展开
式中某一项的系数。
这类题目通常需要考生运用组合数的性质，结合二项式定理进行计算。
2. 二项式展开的特定项：考生需要根据给定的条件，求解二项式展
开式中某一特定项的值。
这类题目通常需要考生根据二项式定理按照对应的系数进行计算，并注意运用组合数的性质。
3. 二项式定理与多项式的展开：考生需要将一个多项式展开成二项
式的形式。
这类题目通常需要考生运用二项式定理的逆定理，即将一个多项式写成二项式的形式。
4. 二项式定理与数列的关系：考生需要根据给定的数列，利用二项
式定理推导数列的通项公式或者递推关系。
这类题目通常需要考生观察数列的特点，利用二项式定理进行变形推导。
除了上述常见考题类型，二项式定理还可以与其他数学概念进行结合，
如排列组合、数学归纳法等。
因此，在学习二项式定理时，需要注意将其与其他数学概念进行联系，深化对二项式定理的理解，并灵活运用于解决各类数学问题。
二项式定理题型及解题方法
二项式定理题型及解题方法摘要：1.二项式定理的概念及意义2.二项式定理的基本形式3.二项式定理的应用场景4.解题方法的步骤与技巧5.典型例题分析正文：一、二项式定理的概念及意义二项式定理是数学中一个重要的定理，它揭示了二项式展开式的规律。
二项式定理的基本形式如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ...+ C(n, n)b^n其中，a、b为实数或复数，n为自然数，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
二、二项式定理的基本形式我们已经了解了二项式定理的基本形式，接下来看看如何利用这个定理解决问题。
三、二项式定理的应用场景1.求解二项式展开式的特定项或特定项的系数。
2.求解极限问题，如当a、b趋于0时，(a + b)^n的极限值。
3.求解不等式问题，如求(a + b)^n > 1的解集。
4.求解恒成立问题，如证明(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + ...+ C(n, n)b^n。
四、解题方法的步骤与技巧1.确定问题类型，判断是否适用于二项式定理。
2.根据问题，选取合适的二项式定理形式。
3.利用组合数公式计算特定项或特定项的系数。
4.化简式子，求解问题。
五、典型例题分析例题1：求(2x - 1)^5的展开式中，x^2的系数。
解：根据二项式定理，展开式为：(2x - 1)^5 = C(5, 0)(2x)^5 - C(5, 1)(2x)^4 + C(5, 2)(2x)^3 - C(5, 3)(2x)^2 + C(5, 4)(2x)^1 - C(5, 5)展开式中，x^2的系数为-C(5, 3) * 2^2 = -40。
例题2：求极限：当x趋于0时，(1 + x)^(1/x)的极限值。
解：根据二项式定理，(1 + x)^(1/x) = (1 + x)^(x/x) = (1 + x)^(1/x) * (1 - 1/x + 1/x^2 - 1/x^3 + ...)当x趋于0时，(1 + x)^(1/x)趋于e（自然对数的底），即极限值为e。
二项式定理中常考的几种题型
二项式定理中常考的几种题型一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。
故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。
4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。
例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。
解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解：的展开式中，含的项为，故选D。
三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。
高中数学二项式定理题型总结.doc
高中数学二项式定理题型总结高中数学二项式定理题型总结二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：（1）(ab)CnaCnabCnan1rrn0n1nrnrbCnb(nN)，rnn（2）(1x)1CnxCnxx2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnarnrrnb(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：n(ab)展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnCnn2nmnmn012nr）直线rn2是图象的对称轴n12n1（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn（3）各二项式系数和：∵(1x)1Cnx Cnxx，令x1，则2CnCnCnCnCn，Cn2取得最大值n1rrnn012rn题型讲解例1如果在（x+12x4）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，r=C8r1n2，n(n1)8，由题意得2×n2=1+n(n1)8358，得n=8设第r+1项为有理项，T1r163rx42点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=x，T9=1256x2例2求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+1|x|1|x|－2）3的展开式中的常数项－2）3=（｜x｜+1|x|－2）（｜x｜+1|x|1|x|－2）（｜x｜+1|x|－2）得到常数项的情况有：①三个括号11中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取3，一个括号取－2，得C3C2（－2）=－12，∴常数项为（－2）r+（－12）=－20解法二：（|x|+1|x|－2）3=（|x|－1|x|）6设第r+1项为常数项，则Tr1=C6（－1）r（1|x|）r|x|6r=（－1）6C6|x|r62r，得6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C6=－203例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+⑶求（1+x）+（1+x）++（1+x）的展开式中x的系数4x－4）4的展开式中的常数项；34503解：⑴原式=41x441x（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C846－1=14⑵（x+4x－4）=(x4x4)x42=(2x)x4，展开式中的常数项为C4824（－1）4=1120⑶方法一：原式(1x)[(1x)1](1x)1=(1x)(1x)x4展开式中x3的系数为C51方法二：原展开式中x3的系数为44C3+C3+C3++C3=C4+C3++C3=C5+C3++C3==C51505050444355点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键129例4求x展开式中x的系数2x解：Tr19Crr9x29r31r1183r令1r182rr12193C9xxC9x183r9,则r3,故x的系数为:C9＝－22x222rrr点评：①Cnanrb是ab展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，rn1第4项的二项式系数是C，第4项x的系数为C，二者并不相同2393939例5求3xr32100展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数解：Tr1C1003x100r23r100rrC100xr100r3223依题意：100r2,r3Z，r为3和2的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征解法一：x051例6求x223x2展开式中x的系数53x2x1x24505144455555C5xC5xC5xC5C5xC5x2C5x2C524故展开式中含5C5xC52C5C5x2Tr1C5x1r455544240x，故展开式中x的系数为240，解法二：x3x2252x23x52245r3x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即rT2C5x22，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的乘法法则，从23x15xx42x64x48x222228642442以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为C53C42240 点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用144例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=Cna1+Cna2++Cnan12n（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3012nn024135n1点评：①记住课本结论：CnCnCnCn2，CnCnCnCnCnCn2②注意所求式中缺少一项，不能直接等于2例9已知2x解：令x1时，有22634a0a1xa2xa3xa4x，求a0a2a4a1a32342234a0a1a2a3a4，令x1时，有2234a0a1a2a3a4∵a0a2a4a1a3a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4∴a0a2a4a1a322232434114点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求x2y展开式中系数最大的项7rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1116222rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312rr1r22r!7r!3r17rr1!7r1!故系数最大项为T6C7x2y5255672xy25点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最12大；当n为奇数时，中间两项Tn121，Tn12的二项式系数相等且为最大1小结：1在使用通项公式Tr1=Cnarnrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Cn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，T rr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法学生练习1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12C24D48解析：（2x+3（2x3－x）4=x2（1+2x）4，在（1+22x）4中，x的系数为C242=24答案：C1x）7的展开式中常数项是3A14B－14C42D－42解析：设（2x－1x）的展开式中的第r+1项是T7r=C7r1（2x）37r（－1x）r=C727r（－1）xr23(7x)，24一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20B219C220D220－1当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C7（－1）621=14答案：A 解析：C1+C2++C20=220－1答案：D202X205已知（x－ax）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是B38A28C1或38D1或28rr4解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C36已知（x2+x13）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）3解析：∵（x2+xr713）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128，∴n=7设该二项展开式中3的r+1项为Tr1=C（x2）7r6nn32*7若（x+1）=x++ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=________（x136311r）r=Cxr76，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C7=35答案：353解析：a∶b=Cn∶Cn=3∶1，n=11答案：11328（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－答案：289若（x3+r1xrr）=（－1）C8xr83r2令8－3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）C8=2821xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Trr=Cnr1（x）3n－r（x32）=Cxrn3n92r，令3n－92r=0，∴2n=3r∴n必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Cn=C9=84答案：9610已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为202*0，求x的值解：由题意Cnn2＋Cnn1＋Cn=22，即Cn＋Cn＋Cn=22，∴n=6∴第4项的二项式系数最大∴C6（xn2103lgx）3=202*0，即x3lgx=1000∴x=10或x=1011若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0②1①+②得a0+a2++a10=12点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（－26+0）=－32（1）求它是第几项；（2）求rab－的范围解：（1）设Tr1=C12（axm）12r（bxn）r=C12a12rbrxm∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，－r（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②由①得43451211109432a8b4≥12111032a9b3，∵a＞0，b＞0，∴由②得94b≥a，即ab≤94ab≥85，∴854≤ab≤9413在二项式（x+1）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项2x分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为Cn，012解得n=8或n=1（舍去）Cn，114Cn，由已知Cn=Cn+3r421014Cn，即n2－9n+8=0，2Tr=C8r1（x）8－r（24x）－rr=C812rx4∵4－3r4∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=358x，T9=1256x－2点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－14求证：2 扩展阅读：高中数学二项式定理题型总结二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：0n1nrnrrnn（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，1rr（2）(1x)n1CnxCnxxn2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：01，Cn，Cn2，，Cnn．Cnr可以看成以r为自变量(ab)n展开式的二项式系数是Cn的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnnm）直线r是图象的对称轴n2（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C，C取得最大值1rr（3）各二项式系数和：∵(1x)n1CnxCnxxn，012rn令x1，则2nCnCnCnCnCn题型讲解n2nn12nn12n例1如果在（的有理项x+124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中解：展开式中前三项的系数分别为1，n，n(n1)，由题意得2×n=1+n(n1)，2828得n=8设第r+1项为有理项，Tr1=Cr81r2x163r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=35x，T9=81256x2点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2求式子（｜x｜+ 1－2）3的展开式中的常数项|x|解法一：（｜x｜+1111－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－|x||x||x||x|3 2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）；②一个括号取｜x｜，1，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+|x|1（－12）=－20解法二：（|x|+－2）3=（|x|－1）6设第r+1项为常数项，则|x||x|一个括号取rTr1=C6（－1）r（1r）r|x|6r=（－1）6C6|x|62r，得|x|6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C36=－20例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+4－4）4x的展开式中的常数项；⑶求（1+x）3+（1+x）4++（1+x）50的展开式中x3的系数1x4解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）1x24(2x)84444(x4x4)44C6－1=14⑵（x+－4）==4，展开式中的常数项为C8（－1）24xxx(1x)3[(1x)481](1x)51(1x)344=1120⑶方法一：原式==展开式中x3的系数为C51x(1x)1方法二：原展开式中x3的系数为3333434334C33+C4+C5++C50=C4+C4++C50=C5+C5++C50==C51点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键192例4求x展开式中x的系数2x9解9：339Tr1Cxr929r1r1183r1r182rrC9xxC9x2x22rrr令211183r9,则r3,故x的系数为:C＝－223nnrr点评：①Cr是展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与ababn1某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是C，第4项x 的系数为C，239939二者并不相同10033x2例5求展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数100rr,Z，r为3和232的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，解：Tr1Cr1003x100r23rCxr100100r3100r22依题意：r3公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6求x23x2展开式中x的系数555解法一：x23x2x1x25145C50x5C5xC54xC5C50x5C51x42C54x24C5525故展开式中含x的项为4554C5xC525C5C5x2424x0，故展开式中x的系数为240，解法二：TCx23x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即TCx23x15xx42x64x48x2，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的x23x2x223xr115r525rr248556424422522222乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则14积为x的一次项，此时系数为C53C424240点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用n例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2++Cnan（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3 ∴a0a2a42a1a322323141点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求x2y7展开式中系数最大的项44rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1121622rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312r2r2r17rr13r1!7r1!r!7r!52故系数最大项为T6C7x25y5672x2y5点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项Tn1，Tn1212121的二项式系数相等且为最大小结：1在使用通项公式Tr1=Crnanrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法课堂练习1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12C24D482解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C22=24答4案：C3（2x3－1x）7的展开式中常数项是B－14A14C42D－42解析：设（2x3－r=C727r1xr）7的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x3）7r（－1x）（－1）x2rr3(7x)2，61当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）2=14答案：A4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20B219C220D220－1202X解析：C120+C2++C=2－1答案：D202X5已知（x－a）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各x项系数的和是A28B38C1或38D1或28rr解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，4∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C6已知（x+x）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）3213解析：∵（x+x）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项r系数和为2=128，∴n=7设该二项展开式中的r+1项为Tr1=C7（x）7r （x）3213n3213rr=C7x6311r6，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C37=35答案：357若（x+1）=x++ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=________2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11答案：11nn68（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________r解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－1xr）=（－1）C8x83r2令8－3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）2C8=28答案：289若（x3+1xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Tr1=Crn （x3）n－r（x）r=Crnx3293nr2，令3n－9r=0，∴2n=3r∴n必26为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84答案：9 10已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为202*0，求x的值2n1n10解：由题意Cn即C2∴n=6∴第4项的二项n＋Cn＋Cn=22，n＋Cn＋Cn=22，33lgxlgx式系数最大∴C3（x）=202*0，即x=1000∴x=10或x=611若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0②110①+②得a0+a2++a10=1（－26+0）=－322点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求它是第几项；（2）求a的范围rr解：（1）设Tr1=C12（axm）12－r（bxn）r=C12a12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，4345∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②b由①得1211109a8b4≥121110a9b3，43232∵a＞0，b＞0，∴9b≥a，即a≤94b4由②得a≥8，∴8≤a≤9b55b413在二项式（x+124x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项111212210解：前三项系数为C0，C，C，由已知C=C+C，即n－9n+8=0，nnnnnn244解得n=8或n=1（舍去）rTr1=C8（x）8－r（24x）－r1r=C8r2x43r4∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=35x，T9=8点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－3r∈Z即可，而不需要指数441256x－2－3r∈N414求证：2友情提示：本文中关于《高中数学二项式定理题型总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高中数学二项式定理题型总结：该篇文章建议您自主创作。
二项式定理的常见题型解析
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划 要 求 ：新 桥 ＢＣ 与 河 岸 ＡＢ 垂 直 ；保 护 区 的 边 界 为 圆 心 Ｍ 在线段 ０Ａ上并与 ＢＣ相切 的圆．且古桥 两端 ０和 Ａ到该 圆 上任 意一点 的距 离均不少于 ８０ ｍ．经测量 ，点Ａ位 于点 Ｏ正 北 方向 ６０ ｉｎ处 ，点 ｃ位于点 ０正东方 向 １７０ ｍ处（ＯＣ为河
一 、 求 特 定 项 特定项 是指含指定幂的项 、常 数项 、中间项 、有 理项 、系 数最 大的项等 ，这类 题 常利用 二项式 展开 式 的通项 公式 来 求解 ．
例１ （１）若（√ 展开式中前三项系数成等差
数列 ，求展 开式 中所有 的有理项． 思路导析 通过第一 、二 、三项系数成等差数列可求 出
Ｃｌ ￣ｏ
，
相加得
２Ｓ＝１０·２ 即
Ｓ＝５·２ ，所以
Ｅ ａｎｂ２ ＝
∑ｎＣｉ＇ｏ＋∑ｃ ＝５·２ ＋２ 一１＝６ １４３．
四 、整 除 问题 利 用二项式展开式来 解决整 除 问题很 方便 ，关键是 如 何 拆 分 成 二 项 的 和 ．
（下转 １２１页 ）
酸学 学 习 与 研 究 ２０１８．３
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解 题 技 巧 与 方 法
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孽●、 或 定理的常驰题 解橱
◎杨 丙华 （江苏省如 东县丰利 中学 ，江苏 南通 ２２６４０８）
二项式定 理在高 考 中经常 考查 ，其 内容是初 中所学 多 项式乘法 的继 续 ，它所 研究 的是 一种 特殊 的 多项 式—— 二 项式乘方 的展 开式 ，是培 养观察 、归 纳 能力 的好题 材．在 高 中数学 中二 项式 定 理 主要有 以下 几种 题 型 ：求 特 定项 、系 数 、求 值等问题 ；证 明整 除 问题 ；证 明等式 和不 等式 成立 问 题 ．下面就这几种题 型加 以阐述 ．
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《二项式定理中的特殊项问题》导学案学习目标：1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。
学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。
学习过程： 学习提纲：nn n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ，是二项式展开式定理，主要研究了以下几个方面的问题： （1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。
1．求523)12()1(+-x x 的展开式中2x 项的系数。
变式1：9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。
2． 求二项式3521()x x -的展开式中的常数项。
3． 求11的展开式中的有理项。
4． 已知22)()nn N x∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。
（1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32x 的项；（3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。
5． 若8280128()x a a a x a x a x -=++++gg g ，且556a =，求0128a a a a ++++g g g 的值。
当堂检测：1．（2011 陕西高考）6(42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（ ）.20A - .15B - .15C .20D2．若423401234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。
3．若(0)x ∈+∞，，则15(12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。
4．已知(1)nx -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)nx -的展开式中系数最小的项是 。
5．若1(3)nx x+的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。
作业：课本40P A 组1～9题；B 组1～5题附加题：若41()2n x x+展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项．补充作业：1．若0166777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求（1）1237a a a a ++++gg g ； （2）7531a +a +a +a ；（3）01237||||||||||a a a a a +++++L2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160B ．240C ．360D ．8003．已知2()ni x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中系数为实数且最大的项为（ ） A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第5项或第6项4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．5．若72701227(12)x a a x a x a x a x -=+++++L 则01237||||||||||a a a a a +++++=L6．若n 为偶数，则1 + 3123133n nn n n n nC C C C C -+++++L 的值等于 7．若2006220060122006(12)x a a x a x a x -=++++L （x ∈R ），则010203()()()a a a a a a ++++++…+02006()a a += ；2200553122006420)a +......+a +a +(a -)a +.....+a +a +a (= 。
8．若1002100012100(12)(1)(1)(2)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，求13599a a a a ++++L 的值． 9．求证：1-n nn 3n 2n 1n 2•n =nC +.....+C 3+C 2+C10．求证：1121C 3C 2C 1C 1210+-=++++++n n n n nn n n Λ11．已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于 ( )． A ．11 B ．10 C ．9 D ．812． ⎝⎛⎭⎫x ＋1x n的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是 ( )． A ．第8项 B ．第9项 C ．第8项或第9项 D ．第11项或第12项13．设(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n ＝ ( )．A ．256 B ．136 C ．120 D ．1614．在二项式(1－2x )6的展开式中，所有项的系数之和为________． 15．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．16．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时，求n 的值．17．若(x ＋3y )n 展开式的系数和等于(7a ＋b )10展开式中的二项式系数之和，则n 的值为 ( )．A ．5 B ．8 C ．10 D ．1518．(2012·济宁高二检测)如果⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是 ( )． A ．7 B ．－7 C ．21 D ．－21 19．在(a －b )10的二项展开式中，系数最小项是________．20．若(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x 2 012(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 012)＝________．(用数字作答)21．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14， 求(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.22．(创新拓展)对于二项式(1－x )10.(1)求展开式的中间项是第几项写出这一项； (2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和； (3)写出展开式中系数最大的项．23．（2013 全国新课标卷 9题）设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b 。
若137a b =，则m =（ ）.5A .6B .7C .8D24．（2013 全国新课标卷 5题）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）.4A - .3B - .2C - .1D -25．（2013 全国大纲卷 7题）84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）.56A .84B .112C .168D26．（2013 四川卷 11题）二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是（用数字作答）27．（2013安徽卷 11题）若8(x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a =28．（2013辽宁卷 7题）使(3)()n x n N x x+∈*的展开式中含有常数项的最小的n 为 29．（2013浙江卷 11题）设二项式53()x x-的展开式中常数项为A ，则A = 30．（2013江西卷 5题）2532()x x -展开式中的常数项为 31．（2013天津卷 10题）6()x x-的二项展开式中的常数项为07学案 参考答案1．解法一：在3)1(x -中2x 项的系数为3)1(C 223=-，常数项为1在52)12(+x 中2x 项的系数为102C 24=，常数项为1故在523)12()1(+-x x 的展开式中2x 项的系数为1311013=⨯+⨯。
解法二：523)12()1(+-x x444344421Λ个共522)12()12()1)(1)(1(++---=x x x x x由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中2x 项的系数为1312C 11)(C 7156223=⋅⋅+⋅-变式1：解：992199()()k k k k k k k k T C x x a a C x ---+=-=-Q ，令9233k k -=⇒=，3x ∴的系数为33984a C -=-，31,1a a ∴==2．解：15515(1)r r rr T C x -+=-Q ，令15503r r -=⇒=，故展开式中的常数项为335(1)10C -=-3．解：因为二项展开式中共有12项，其通项公式3311113611111(3(2)3(2)r rrrrrrk T C x x C x---+=-=-g g g ，01211r =⋅⋅⋅，，，，其中只有当3r =或9r =时，才是有理项。
4．解：（1）1；（2）展开式中含32x 的项为32216T x =-；（3）系数最大的项为1171792T x -=，二项式系数最大的项为651120T x -=5．82当堂检测：1．C 2．8 3．第11项 4．310x -5．521135********T x T x T x -===，，附加题：解．由已知条件得021211222nn n C C C +⋅=⋅，所以n = 8．记第k 项的系数为t k ，设第k 项系数最大，则有1k k t t +≥且1k k t t -≥所以11881122882222k k k k k k k k C C C C --+---+--+⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩， 所以8!8!2,(1)!(9)!!(8)!8!8!2,(1)!(9)!(2)!(10)!k k k k k k k k ⎧⋅≥⎪-⋅-⋅-⎪⎨⎪≥⋅⎪-⋅---⎩的所以29,102(1),k k k k ≥-⎧⎨-≥-⎩所以3≤k ≤4，所以系数最大的项分别为第3项和第4项，分别是5724447,7T x T x =⋅=⋅ 补充作业：2． B 3．C4．解．解:1111,m n C C m n +=+=所以2222222211111021199()1155()22224mnm n mn C C m m n n n n +--+=-+===-+=-+． 因为n ∈N*，所以n = 5或6，m = 6或5时，含x 2项的系数最小，最小值为25． 5．2187． 6．12n +．7．2006． 8．解：已知等式 令x = 2得100012100(14)a a a a +=++++L ，令x = 0得01231001a a a a a =-+-++L ，两式直减得1001399512()a a a -=+++L ．所以10011599522a a a a -++++=L ．10．证明：左边)!(!!11C 11k n k n k k k n -⋅+=+)!()!1()!1(11k n k n n -++⋅+=11C 11+++=k n n ∴1C 3C 2C 1C 210+++++n n n nn n Λ)C C (C 11112111++++++++=n n n n n Λ=-+=+)12(111n n 右边故原式得证。