浙江自动控制理论课第四章根轨迹法

自动控制理论
图4-6
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第二节 绘制根轨迹的基本规则
开环传递函数有如下两种表示：
G s H s 或 G s H s
K i s 1
m
T s 1
l 1 l
i 1 n
,n m
4-12

K 0 s zi
, k 0,1, 2,
G s H s 1 根的幅值条件 arg G s H s 2k 1 , k 0,1, 2, 根的相角条件
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假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
s p K s z 0
l 1 l 0 i 1 i
n
m
0 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称 当k0由 为根轨迹的一条分支；
i 1
m
s p
l 1 l
n
,n m
4-13

其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的 关系为：
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K
K 0 zi
i 1
m
p
l 1
n
,n m
4-14
l
绘制根轨迹的基本规则 规则1：根轨迹的对称性 由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根或为实数， 或为共轭复数，根轨迹必然对称于S平面的实轴。 规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点 闭环特征方程：
图4-2
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可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征根 分布的影响。 定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数) 发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称 系统的根轨迹。 它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某一 参数的全部数值关系的方法。 一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是 系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变参量绘制 的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根 轨迹称为参量根轨迹。
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第四幅值条件与相角条件
特征方程：
1 Gs H s 0 Gs H s 1
上式改写为：
或
图4-3
j arg G s H s
G s H s e
于是得：
1e
j 2 k 1
K s z1 s z2 s zm G s H s ,n m s p1 s p2 s pn
令s zi pi e ji , i 1, 2, m s pl re e je , l 1, 2, n
解： 1）用相角条件绘制根轨迹
K G s s 1
arg s arg s 1 2k 1 , k 0,1, 2,
2）用幅值条件确定增益K
K s s 1
例如s1,2 0.5, K 0.5 0.5 0.25
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2k 1 , k 0,1, 2,
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结论：
幅值条件与K有关，相角条件与K无关 满足相角条件的点必然满足幅值条件。
反之，满足幅值条件点未必能满足相角条件。
幅值条件：
4 1 s3 K 令s j 代入上式,得
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第四章
根轨迹法
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则上式改写为：
G s H s K
于是得：
r
l 1 i 1 n l
m
i
e
j
i e
图4-4
G s H s K
r
l 1 i 1 n l
m
i

i 1 i l 1
m
n
l
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s2 s K 0
表4-1
K s1 s2 0 0 -1 0.25 -0.5 -0.5 0.5 -05+j0.5 -0.5-j0.5
根与K的关系
1 -0.5+j0.87 -0.5-j0.87 … … … ∞ 0.5+j∞ -0.5-j∞
对于不同的K值,系统有下列 三种不同的工作状态 1) 0≤K＜¼ ， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=¼ ， s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ¼ ＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）
第一节 根轨迹的基本概念
对图4-1所示二阶系统，系统开环传递函数为：
R(s)
-
K s ( s 1)
C(s)
G( s) H ( s)
K s ( s 1)
系统闭环特征方程式为：
图4-1，二阶系统
闭环系统的特征根： 1 1 s1,2 1 4K 2 2 我们的任务是求当参变量K从0向变化时，系统闭环特征 根在复平面上的变化轨迹，表4-1列出了当参变量K从0向变 化时，特征根s1 和s2相应的变化关系
3 2 4 K
2
2
图4-5
系统的等增益轨迹是一簇同心圆，对于某一个确定的K值，对应圆
周上有无穷多个S值都满足方程，其中只有同时满足相角条件的S值 才是方程的根。 根轨迹就是S平面上满足相角条件点的集合。
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绘制根轨迹步骤 1）先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线； 2）用幅值条件确定相应点对应的K值。 例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹
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第四章
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如要求系统在阶跃信号的作用 下，超调量为4%，求一对希望 的闭环极点。由式（3-26）求得 ξ=0.707，由于 arctan0.707=45°
在图4-2上过坐标原点作与负实
轴夹角为45°的射线，它与根轨 迹的交点S= -05±j0.5，这就是
所求的希望闭环极点。