自动控制原理 第四章根轨迹
自动控制原理-第4章 根轨迹
又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
自动控制原理第四章 根轨迹
① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３－２＝１条根 轨迹→∞， ２条终止于开环零点。 ③在实轴上不同段上取试 验点
-4 -3 -2 -1
jω
×
o
×
o ×
σ
§４－２绘制根轨迹的基本规则
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
1 1
在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现 虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚 轴的交点。可以用 s j 代入特征方程求解， 或者利用劳斯判据确定。
§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４－２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1 )( j 2 ) K j ( j
§４－１根轨迹的基本概念 将开环传递函数写成下列标准的因子式
K1 G (S )H (S )
j 1 n
m
(s z
j
)
i 1
(s pi )
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
z j －开环零点．
p i －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
K
1
j 1 n
s 2 .3
2 . 3 0 . 7 1 . 64 1 . 64 4 . 33
６．求根轨迹在
p3
的出射角
p 180 ( 135 90 26 . 6 ) 431 . 6
( 减去 360 ，为 71 . 6 ）
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析 ７．求根轨迹与虚轴的交点．
K1=6
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
4-2 常规根轨迹的绘制法则
4-3 广义根轨迹
4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-4
0 < K <1s 1 s 2为不等的负实根
K =1s 1=-2 s 2=-2
1 < K < ∞s 1s
2 实部均为-
2
由根轨迹可知：
1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.
2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系
统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭
环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用
下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,
稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳
态误差为∞。
(3)动态性能：
过阻尼临界阻尼欠阻尼
K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：
1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
绘制根轨迹的思路：通过一些绘制法则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。
4-2 常规根轨迹的绘制法则
一、绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点和终点
K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点，K* =∞时对应的根轨迹点称根轨迹的终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
若开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终于无穷远处（无限零点）。
2.根轨迹的分支数，对称性和连续性
分支数=特征方程阶数；
根轨迹连续且对称于实轴。
3.实轴上的根轨迹
实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为奇数时，则该区域是根轨迹。
来说,其左边的因为对实轴根轨迹上的任一点s
1
开环零、极点到s
点的相角总是0，对相角方程
1
点的相角总没影响。
其右边的开环零、极点到s
1
是π，
根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。
实轴上的分离点：
1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。
2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限零点）。
注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。
法则:仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。
只要有限零点没有位于两个实数极点之间。
当k*从0到无穷变化时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。
6.根轨迹与虚轴的交点根轨迹方程1+G (s)=0
令s=j w 代入根轨迹方程得1+G (j w )=0,然后分别令1+G (j w )的实部和虚部都等于0,即可求得根轨迹与虚轴的交点,及此时的K*。
7.根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点情况)
起于开环复极点的根轨迹,在起点处的切线与正实轴的夹角, 称为根轨迹的起始角。
终止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与正实轴的夹角叫终止角。
pl θzl ϕ
∑∑∑∑=≠==≠=−∠−−∠++=−∠−−∠++=n
i m
l
i i i l i l zl m i n
l i i i l i l pl z z p z k p p z p k 1
1
11
)12()12(）
（）（）
（）（πϕπθ
0)
k ( 6.71906.26135)1k 2()j 1(j 1()3j 1()j 1()1k 2()p p ()p p ()p p ()1k 2(4323133p =−=−−−π+=−−−+−∠−++−∠−+−∠π+=−∠−−∠−−∠π+=θ取－－D
D
D
D
由根轨迹的对称性可知
(6)根轨迹与虚轴的交点
系统的特征方程为0685)(*
234=++++=K s s s s s D 令s=jw 代入实部和虚部都为0得:
⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−16
.8K 1
.1ω（舍去），0K 0ω0ω6ω50K ω8ω*
*3*24D
6
.714=p θ
系统根轨迹为下图：
8.根之和
n-m≥2时，闭环极点之和=开环极点之和
绘制根轨迹的步骤
(1)把闭环特征方程表示成根轨迹方程的形
式，画出开环零极点分布图；
(2)实轴上的根轨迹
(3)求渐近线与实轴的夹角和交点
(4)求出分离点
(5)求与虚轴交点
(6)求起始角和终止角（一般不会遇到）注：实轴上的根轨迹不能画错，用粗线标出；渐近线、分离点一定要求；渐近线
虚线，根轨迹要标箭头。
二、闭环极点的确定
每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点，应在准确的根轨迹上按模值方程确定。
较简便的方法：对于特定K*值的闭环极点，使用试验法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法确定其余的闭环极点。
4-3广义根轨迹
绘制根轨迹时，可变参数可以是控制系统中的任何一个参数,如某开环零点、开环极点。
以非开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫广义根轨迹。
负反馈系统中以开环根轨迹增益K*为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹。
广义根轨迹分为参数根轨迹和零度根轨迹。
这里只介绍参数根轨迹。
利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只能确定控制系统的闭环极点，对系统稳定性进行分析。
若要求根轨迹某点处系统的稳态误差和动态性能，必须用原系统的结构。
即：等效只是与原系统闭环特征方程等效，等效系统的闭环极点与原系统相等，要对原系统进行分析，零点仍要用原系统的零点。