第四章 根轨迹法 习题
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
d d 2 d 1 j d 1 j
n
(
1
m
1 ) 求分离点的坐标公式
i1 d Pi i1 d Zi
解得：d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
此时对应为T值：
（应使用模值方程求得）
T S S2 1T 1
S 1 j S 1 j
P1(-1,j)
T=0
Z2
Z1
-2
-1
0
T=∞
传递函数（写成零极点乘积形式） 解：系统结构图如下：
R(S) -
G(S)
C(S)
如果没有特别强调是正反馈，则单位反馈系统都 是单位负反馈系统。该题为参量根轨迹。 根轨迹方程：1 G(S) 1 4(S k) 0
S(S 1)(S 5)
特征方程：
D(S) S 3 6S 2 9S 4k 0
等效开环传递函数为：
G开 (S)
4k S(S
3)2
1
4k S (S 3)2
0
开环零点： m 0
开环极点： n 3, P1 0, P2 3, P3 3 则根轨迹有3条分支，有3条渐近线。
根轨迹与实轴的交点：
n
m
a
Pi Zi
i 1
i 1
nm
3 3 2 3
渐近线与实轴正方向夹角
第四章根轨迹法4-2
P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0
即 其中
P( s ) Q( s ) P( s ) Q( s )
d [ln P(s)] d [ln Q(s)]
ds
ds
P(s) (s z1 )(s z2 ) (s zm )
Q(s)- (s p1 )(s p2 ) (s pn )
的 j 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 j 替代s，令虚部、实部分别等
于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程
求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
i1
ib
8 虚轴交点 （1）满足特征方程 1 G( j)H( j) 0 的 j 值；
（2）由劳斯判据求临界稳定时的特征根；
9
根之和与 根之积
n
pcj
n
p
j
j 1
j 1
n
j 1
pcj
1
n
n
j 1
pj
K1
m
i 1
zi
19
例1: 系统的开环传递函数 试画根轨迹。
G(s)H(s)
K1
s(s 4)(s 6)
ω4 -36ω2 K0 jω80 - 8ω2 0
ω4 -36ω2 K0 0
jω80 - 8ω2 0
求得 ω 10 , K0 260
( (4)出射角
极点-p3的出射角 ： 3 180 (2k 1) (2 90 180 2 ) 90
同理不难求得极点-p4处的出射角： 4 90
自控原理第四章书后习题答案
4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：（1）3个开环极点为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
（2）实轴上的根轨迹（-4，0），（-∞，-5）（3）303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a(4) 分离点：1110d 45d d ++=++ d=-1.47, d=-4.53(舍) （5）与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
2、()()()()11.02*++=s s s K s H s G 解：（1）开环极点有3个，分别为：p 1=p 2=-0，p 3=-1，开环零点为z=-0.1 （2）实轴上的根轨迹为：[-1 -0.1] (3) 渐进线有两条，45.0131.010011-=-+--=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,23,2131212ππππϕ±±=-+=-+=k mn k a (4) 分离点：1111d 10.1d d d ++=++ d=0, d=--0.4(舍), d=0.25(舍)分离角：()() ,23,221212ππππϕ±±=+=+=k lk d 最后，精确地画出根轨迹。
4-3 已知系统的开环传递函数为()()()2*1+=s s K s H s G ① 绘制系统的根轨迹图；② 确定实轴上的分离点及K *的值； ③ 确定使系统稳定的K *值范围。
第四章 根轨迹法(1)
第四章 根轨迹法
（1）当 K * = 0时，s1 = 0、s2 = －2， 此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0＜ K * ＜1时， s1 、 s2 均为负 实数，且位于负实轴的（－2，0） 一 段上。 （3）当K * = 1时，s1 = s2 = －1，两 个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1＜ K * ＜∞时， s1， 1 1 k * 2 两个闭环极点变为一对共轭复数极点。 s1 、 s2 的实部不随K * 变化，其位于过 （－1，0）点且平行于虚轴的直线上。 （5）当K * ＝∞时， s1 = －1+ j∞、 s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限 远处。
第四章 根轨迹法
② 位于s1左边的实数零、极 点： (S1 – P4 ) 、(S1 – Z1 ) 、 向量引起的相角为0°
∴ 判断 s1是否落在根轨迹 上，位于s1左边的零、极点不 考虑。
③ 位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180°相 角，其代数和为奇数，则满足相角条件。
第四章 根轨迹法
a
(0) (1 j1) (1 j1) (4) (1) 5 4 1 3
60 180 2k 1 180 2k 1 a 180 nm 3 300
k 0 k 1 k 2
第四章 根轨迹法
五、法则五 根轨迹分离点和分离角
K G( s) H ( S )
* i 1 n j 1
(s z )
i
m
S (s p j )
-1
m个开环零点 n个开环极点 K *根轨迹增益
∴在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、…、 s∞，都 是闭环特征根，即闭环极点。
第四章 根轨迹法
根轨迹例题
求得分离点为： （6）根轨迹的起始角：
s 15
因为开环有一对共轭复数极点，需求 p3、 4 处的根轨迹起始角。
p (2k 1) ( p3 zi ) ( p3 p j )
3
m
n
i 1
j 1 j 3
系统的大致根轨迹如图：
确定K值范围：与分离点s1相应的
K g s . s 1. s 4 s0.46 0.88
K K g 4 0.22
因此，若使系统在阶跃响应下为衰减振荡型，K的取值 范围应为 0.22 K 5 。
例2：已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为：
实部为零 虚部为零
5 6 ＝ 3
k 1391
（rad/s ）
k K 3.47 400
根据以上结果画出概略的根轨迹图。
例1：已知系统的开环传递函数为： K G( s) H ( s) s( s 1)(0.25s 1) （1）绘制系统的根轨迹图； （2）为使系统的阶跃响应呈现衰减形式，试确定K值范围。 解： 系统的开环传递函数为
K [例]开环传递函数为 Gk (s) s(0.05s 1)(0.05s 2 0.2s 1) ，试绘制系
统的根轨迹。
解：将开环传递函数写成绘制根轨迹的标准形式
k Gk ( s) s( s 20)(s 2 4s 20) (k 400K )
开环有四个极点：
p1 0 p2 20 p3、 4 2 4 j
Kg 4K G( s) H ( s) s( s 1)(s 4) s( s 1)(s 4)
其中
K g 4K
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
第四章 根轨迹法习题
第四章 根轨迹法习题4-1 系统的开环传递函数为 )4)(2)(1()()(*+++=s s s Ks H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G ⑵ )3)(2()5()(*+++=s s s s K s G ⑶ )12()1()(++=s s s K s G4-4单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )21)(21()2()(*j s j s s K s G -++++=⑵ )1010)(1010()20()(*j s j s s s K s G -++++=4-５ 系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )208()()(2++=*s s s Ks H s G ⑵ )5)(2)(1()()(+++=*s s s s Ks H s G⑶ )22)(3()2()()(2++++=*s s s s s K s H s G ⑷ )164)(1()1()()(2++-+=*s s s s s K s H s G4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数)(s G ，要求： （1）确定)20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*K 值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s Ks G -+++++=*的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
4-７ 已知控制系统的开环传递函数为 22)94(2)()(+++=*s s s K s H s G ）（试概略绘制系统根轨迹。
4-８ 已知系统的开环传递函数为)93()(2++=*s s s Ks G试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的K 值范围。
自动控制_根轨迹(例题)
n
m
n
m
nm
j 1
i 1
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg
(2k 1) nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
k 0,1,2
( 2k 1) 的直线方程。也就 nm
180
0
n m 1
nm 2
90 0
和
实轴上的会合点和分离点的求法
由此得： D( d ) K gd N ( d ) 0 ' ' D ( ) K N ( d ) 0 d gd 即：
N ' ( s ) D( s ) N ( s ) D ' ( s ) 0 D( s ) K gd N ( s) s d
二．根据相角条件确定根轨迹上的点
设某一系统的开环零极点如图，在Ｓ 平面中的任意一点 S0 ，用相角条件可
s0
O
× p2
以判断 S0 是不是根轨迹的点。
1、从 S0 到各零极点连直线
2、用量角器量 (s0 p1 )，…等各个角 3、将量好的值代入（＊＊）式，若等
式成立，则 S0 就是根轨迹上的点
j 1 i 1 i
当 Kg= 0 时，有 s = pj ( j =1, 2, … , n) 上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。
将特征方程改写为：
1 Kg
(s p ) (s z ) 0
j 1 j i 1 i
n
m
当 Kg 时，有
s = zi
( i =1, 2, … , m)
z1
o
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第四章 根轨迹法
4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()
()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02
+=++=
4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()
2
411+-+=
s s s K
s G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()
()1,42)
1(2
=+++=
s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？
4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,412
2=++=
s H s s K
s G
4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()
5
284)
2(2
+++++=
s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()
90020040)4(2
++++=
s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.
4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()
()1,41)
6(=+++=
s H s s s s K s G
4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：
a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图
4-11 已知反馈系统的开环传递函数
*
()()(1)(2)
K G s H s s s s =
++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
求出根轨迹及与虚轴相交时的K *
及相应的开环增益K 。
4-12 已知负反馈系统的闭环特征方程
K 1+(s+14)(s 2
+2s+2)=0
(1) 绘制系的根轨迹图（0<K1<∞）；
(2) 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数ζ=0.5的K 1值。
4-13 已知某单位反馈系统的开环传递函数
*2
()(1)
K G s s s =+
试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。
如果负实轴上增加一个零点-a(0≤a ≤1)，对系统的稳定性有何影响，仍以根轨迹图来说明。
4-14 已知某单位反馈系统的闭环根轨迹图如习题4-14图所示
（1）确定使系统稳定的根轨迹增益K *
的范围； （2）写出系统临界阻尼时的闭环传递函数。
习题4-14图
4-15已知某单位反馈系统的开环传递函数
*(1)()(2)(3)
K s G s s s s +=
++
试绘制闭环系统的概略根轨迹。
4-16已知反馈系统的开环传递函数
*
2
()()(4)(420)
K G s H s s s s s =+++ 试绘制闭环系统的概略根轨迹。
4-17如果某单位反馈系统的开环传递函数为
*()1
K G s s =
+
试用解析法绘制K *
从零到无穷时的闭环系统的根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：
（-2+j0），（0+j1），（-3+j2）
4-18 设某单位反馈系统的开环传递函数为
*
()(0.011)(0.021)
K G s s s s =
++ (1) 绘制闭环系统的根轨迹；
(2)确定使系统临界稳定的开环增益K C ；
(3)确定使系统临界阻尼比相应的开环增益K C 。
4-19非最小相位系统的特征方程为
(s+1)(s+3)(s-1)(s-3)+K *(S 2
+4)=0
试绘制该系统的根轨迹图。
4-20已知反馈系统的开环传递函数
(0.251)()()(0.51)
K s G s H s s s +=
+ 试用根轨迹法确定系统无超调响应时的开环增益K 。
4-21 如习题4-21图所示控制系统： (1)绘制该系统的根轨迹图；
(2)求系统输出c(t)无振荡分量时的闭环传递函数。
习题4-21图
4-22 设负反馈系统的开环传递函数为
*
()()(3)(2)
K G s H s s s =
++ 试绘制闭环系统的概略根轨迹。
若系统： （1） 增加一个z=-5的零点； （2） 增加一个z=-2.5的零点； （3） 增加一个z=-0.5的零点。
试绘制增加零点后系统的根轨迹，并分析增加零点后根轨迹的变化规律和对系统性能的影响。
4-23 设负反馈系统的开环传递函数为
2
() , ()(1)
K
G s H s s a s s =
=++ （1） 利用MATLAB 有关函数作出0≤a<1时系统的根轨迹和单位阶跃响应曲线； （2） 讨论a 值变化对系统动态性能及稳定性的影响（0≤a<1）。