高中数学必修2直线与圆优质教案：直线与圆的位置关系(第2课时)Word版含解析
《直线与圆、圆与圆的位置关系》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
半径r=2．圆心C（2，1）到直线mx―y―m―1=0的距离
．
当d＜2时，即m＞0或 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d=2时，即m=0或 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d＞2时，即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
解：法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，
（1+m2）x2―2（m2+2m+2）x+m2+4m+4=0．∵Δ=4m（3m+4），
∴当Δ＞0时，即m＞0或 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ=0时，即m=0或 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ＜时，即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
当 时，直线 与圆C相交；
当 时，直线 与圆C相切；
当 时，直线 与圆C相离.
注：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
三、知识应用：
题型一 判断直线与圆的位置关系
例1.已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.
高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2
4.2.1 直线与圆的位置关系（一）教学目标 1．知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. （二）过程与方法设直线l ：ax + by + c = 0，圆C ：x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当d ＞r 时，直线l 与圆C 相离； （2）当d ＝r 时，直线l 与圆C 相切； （3）当d ＜r 时，直线l 与圆C 相交； 3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想. （二）教学重点、难点重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系. （三）教学过程设想..种方法吗？.1.分析：方法一：由直l与圆的位置关系，是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方= 1.的步骤吗？3).1..即圆心到所求直线l的距离为因为直线l过点M (，所以可设所求直线备选例题例1 已知圆的方程x 2+ y 2= 2，直线y = x + b ，当b 为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点.解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b 的距离为d r（1）当d ＜r ，即–2＜b ＜2时，直线与圆相交，有两个公共点； （2）当d = r ，即b = 2±时，直线与圆相切，有一个公共点； （3）当d ＞r ，即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.解法2：联立两个方程得方程组222x y y x b⎧+=⎨=+⎩.消去y 2得2x 2+ 2bx + b 2– 2 = 0，∆=16 – 4b 2.（1）当∆＞0，即–2 ＜b ＜2时，直线与圆有两个公共点； （2）当∆＝0，即2b =±时，直线与圆有一个公共点； （3）当∆＜0即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆无公共点.例2 直线m 经过点P (5，5)且和圆C ：x 2+ y 2= 25相交，截得弦长l 为m 的方程.【解析】设圆心到直线m 的距离为 d ，由于圆的半径r = 5，弦长的一半2l=所以由勾股定理，得：d所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.=，得12k =或k = 2. 所以直线m 的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.例3 已知圆C ：x 2+ y 2– 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l ， 使l 被圆C 截得弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点.【解析】假设存在且设l 为：y = x + m ，圆C 化为(x – 1)2– (y + 2)2= 9，圆心C (1，–2).解方程组2(1)y x m y x =+⎧⎨+=--⎩得AB 的中点N 的坐标11(,)22m m N +--，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN | = |ON |.又||AN ==，||ON =所以22(3)(1)19()222m m m ++--=+解得m = 1或m = –4.所以存在直线l ，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0， 并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的.。
高中数学第二章解析几何初步2.2.3直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系教学设计2数学教案
直线与圆的位置关系 一、教材的理解与处理 本节课的内容是平面解析几何的基础知识，是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用。而解决问题的主要方法是解析法。解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。 本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断；类比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。 二、教学目标确定说明 学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，在高一学习了解析几何以后要求学生掌握用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，解决问题的主要方是解析法。 高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面： （1） 知识与技能目标： ① 理解直线与圆三种位置关系。 ② 掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法。 （2） 能力目标： ① 通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式。 ② 强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。 （3） 情感、态度与价值观目标： 通过对本节课知识的探究活动，加深学生对解析法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神。 三、教学重点、难点确定说明 本节课的内容是在学生初中了解了直线和圆位置关系的判断方法之后，利用直线和圆的方程的再研究。情境的改变必然导致研究思路的变化，本节课主要是研究利用解析法来判断直线和圆的位置关系，研究问题的思想方法学生不熟悉。新课程《标准》要求，教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：用解析法研究直线与圆的位置关系。难点确定为学生体会和理解解析法解决几何问题的数学思想。 四、教学策略的选择说明 丰富学生的学习方式，改进学生从学习方法是高中教学课程追求的理念。学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受。本节课主要是如何判断直线与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。因此，本设计主要采用的教学方法是引导发现法，结合本课的教学内容与学生实际，整体思路是：创设情境→自主探究→合作交流→得出结论→理解应用→提高能力。 五、教学环节设计说明 （一）．创设问题情境，引入新课 [问题1]：初中我们已学习了直线与圆的位置关系，请同学们回顾直线与圆有那几种位置关系？并画图表示。 [问题2]对直线与圆的三种不同的位置关系，你将用怎样的方法判断是那一种位置关系呢？试说说。 设计意图：引导学生复习回顾旧知，为新知的探究打好基础。 （二）．迁移问题情境，探究新知 [提出问题]：如果将上述图形置于直角坐标系中，对直线与圆位置关系的判断你是否有新的想法呢？（教师利用多媒体课件给出引例） l x O
高中数学优质教案 直线与圆的位置关系
用坐标法判直线与圆的位置关系
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
过程与方法：
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？
师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．
生：看图，并说出自己的看法．
2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？
师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想．
（2）当 时，直线 与圆 相切；
（3）当 时，直线 与圆 相交；
教
学
小
结
（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（3）如何求出直线与圆的相交弦长？
课后
反思
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．
3.在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？
师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程．
生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．
4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？
师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．
生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法．
9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4．
师：引导学生完成练习题．
生：互相讨论、交流，完成练习题．
10.教师总结：
设直线 ： ，圆 ： ，圆的半径为 ，圆心 到直线的距离为 ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当 时，直线 与圆 相离；
人教A版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系 课件
解
, 或k=2.
所以，所求直线I有两条，它们的方程分别为
或 y+3=2(x+3).
,
即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.
2.已知直线4x+பைடு நூலகம்y-35=0 与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.
解：由题意可知圆C的圆心为(0,0), 已知直线4x+3y-35=0与圆C相切
∴圆C的方程为 x²+y²=72
2.直线和圆有两个公共点，叫做 直线和圆相交.
3.直线和圆没有公共点时，叫做 直线和圆相离.
77
圆心0到直线的距离d 半径r
0
1.直线l和◎0相离，此时d与r大小关系为 d>r
●十
杠
O
2. 直线l和⊙0相切，此时d与r 大小关系为 d=r
l
3. 直线l和⊙0相交，此时d与r大小关系为_d<r
二、直线与圆的位置关系的判定方法：
:2024/12/23 :
课堂小结
直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)和圆(x-a)²+(y-b)²=r², 则圆心(a,b)到此直线的距离为
位置 d与r
相离 d>r
则有以下关系：
相切 d=r
相交 d<r
图形
交点个数
0个
1个
2个
判断直线和圆的位置关系
几何方法 求圆心坐标及半径r
(配方法)
n=2
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆 x²+y²-2y-4=0, 判断直线l与圆的位置关系；如果 相交，求它们交点的坐标.
【公开课课件】高中数学《直线与圆的位置关系》课件
为解决这个问题，我们以 小岛中心为原点 O，东西方向 为 x 轴，建立如图所示的直角 坐标系，其中取 10km 为单位 长度．
港口
O
轮船
x
实例引入
这样，受暗礁影响的圆形区域所对应的圆心为O 的圆的方程为:
x y 9
2 2
轮船航线所在直线 l 的方程为：
y 港口
4 x 7 y 28 0
由x 3 x 2 0, 得
2
y
l B A
x1 2 , x2 1
把x1 2代入方程, 得y1 0
把x2 1代入方程, 得y2 3
C. O
x
所以,直线l与圆有两个公共点,它 们的坐标分别是A(2,0),B(1,3)
2019年1月12日星期六2时 48分22秒 13
练习
1、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0 的位置关系.
Y
2、求以C(1,3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
C(1,3)
r 3
2019年1月12日星期六2时 48分22秒
0
X
3x-4y-6=0 14
弦长问题
例2：求直线x-2y+5=0被圆x2 + y2 =25截得的弦长 。 法一：求出交点，利用两点间距离公式； 法二：弦心距,半弦长及半径构成直角三角形的三边， 通过勾股定理求解。
新课标人教A版
《高中数》必修2
4.2.1《直线与圆的位置关系》
直线与圆的位置关系
尤溪县第五中学 蒋秀金
2019年1月12日星期六2时 48分22秒
2
一.复习回顾
Ax By C （ 0 A、B不同时为0） 1.直线的一般式方程是
高中数学 2.2.2 直线与圆的位置关系教案 新人教版必修2
2.2.2 直线与圆的位置关系教学目标：1．依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系3．理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系4．会初步处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题，渗透方程思想，巩固基本量的求法教学重点：依据直线和圆的方程，求它们的交点坐标，理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系教学难点：直线与圆相交时所得的弦长有关的问题教学过程：1．问题情境(1)情境：圆心到直线的距离决定直线与圆的位置关系，那么已知圆22(1)(2)4x y -++=和直线1:4l x =，2:0l y =，3:10l x y +-=． (2)问题：判断该圆与三条直线的位置关系．2．直线l 与圆C 的方程分别为：220,0Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=．如果直线l 与圆C 有公共点，由于公共点同时在l 和C 上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是l 与C 的公共点．由l 与C 的方程联立方程组220,0,Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩我们有如下结论：例1．求直线4340x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标，并判断它们的位置关系．解： 直线4340x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标就是方程组224340100x y x y +=⎧⎨+=⎩的解． 解这个方程组，得11100x y =⎧⎨=⎩，22145485x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以公共点坐标为1448(10,0),(,)55．所以，直线4340x y +=和圆22100x y +=有两个公共点，即直线和圆相交．例2．自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程． 解法1：当直线l 垂直于x 轴时，直线:1l x =-与圆相离，不满足条件，当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为 4(1),y k x -=+即(4)0kx y k -++=，如图，因为直线与圆相切，所以圆心(2,3)到直线l 的距离等于圆的半径，1=解得0k =或34k =-．因此，所求直线的方程是4y =或34130x y +-=解法2：当直线l 垂直于x 轴时，直线:1l x =-当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为4(1),y k x -=+由于直线l 与圆相切，所以方程组224(1)(2)(3)1y k x x y -=+⎧⎨-+-=⎩仅有一组解． 由方程组消去y ，得关于x 的一元二次方程2222(1)(224)240k x k k x k k +++-+++=，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式2222(224)4(1)(24)0k k k k k ∆=+--+++=，解得0k =或34k =-， 因此，所求直线l 的方程是4y =或34130x y +-=． 结论：相离0⇔∆<；相切0⇔∆=；相离0⇔∆>． 变式：(1)当点A 的坐标为(2,2)时，切线l 的方程． (2)当点A 的坐标为(1,1)，切线l 的方程．解：(1)由题意得：A (2,2)在圆22(2)(3)1x y -+-=上所以直线AO 的方程为2x =，因为AO 与切线l 垂直，所以切线l 的方程为2y = 说明：求圆的切线方程首先应判断点是否在圆上．(2)由题意：当直线l 垂直于x 轴时，直线:1l x =与圆相切，满足条件．当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即(1)0kx y k -+-=，22(1)0(2)(3)1kx y k x y -+-=⎧⎨-+-=⎩2222(1)2(22)(47)0k x k k x k k ⇒+++-+++=， 22224(22)4(1)(47)0k k k k k ∆=+--+++=k ⇒=433+-=k ．练习：已知圆22:4C x y +=，直线:l x y b +=， (1)b 为何值时l 与圆C 相切，并求出切点坐标； (2)b为何值时l 与圆C 相交，并求出弦长．解答见《苏大教学与测试105P 例1》例3．求直线0x-+=被圆224x y +=截得的弦长．解法1：2204x x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2202x y =⎧⎨=⎩即公共点坐标为(2)，2=． 解法2：如图，设直线0x -+=与 圆224x y +=交于,A B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM AB ⊥(O 为坐标原点)，所以OM ==所以22AB AM ====．∆例4．已知圆C ：22(1)(2)25x y -+-=，直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=()m R ∈， (1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．分析：若直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径；若直线过圆内一点，则直线和圆相交，涉及相交弦问题，要注意运用弦长，半径及弦心距三者之间的关系． 解：(1)由题意直线方程可变形为(27)(4)0x y m x y +-++-=,m R ∈27040x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，31x y =⎧⇒⎨=⎩，∴直线l 必过定点(3,1)A ， 又22(31)(12)525-+-=<，∴点(3,1)在圆C 内，故l 必与圆C 相交． (2)要使弦长最小时，必须,l AC ⊥∵圆心(1,2)C 和定点(3,1)A 所在的直线1l 的斜率112k =，∴l 的斜率2k =，所以，直线l 的方程为250x y --=．∆例5．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由． 解答见《苏大教学与测试105P 例2》4．课堂小结(1)直线和圆的三种位置关系与圆心到直线的距离和半径之间的大小关系的对应关系(2)直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系(3)相交弦问题，要注意运用弦长，半径及弦心距三者之间的关系。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高中数学 (直线与圆的位置关系)教案2 新人教A版必修2 教案
课题 4.2.1 直线与圆的位置关系 课时 第 1 课时 课型 新授课 授课班级课时教学 目标 （1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．教学重点、难点 1、直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．2、用坐标法判直线与圆的位置关系． 教 学 方 法实验用具及教具教学过程设计教师教学活动设计 学生活动设计一、问题提出： 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？ 二、探索求解： 如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ ①代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解。
如果有解，直线l 与圆C 有公共点。
有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离，即△＞0直线l 与圆C 相交；△＝0直线l 与圆C 相切；△＜0直线l 与圆C 相离。
②几何法：判断圆心到直线的距离d 与半径r 的关系，即d ＜r 直线l 与圆C 相交；d ＝r 直线l 与圆C 相切；d ＞r 直线l 与圆C 相离。
三、例题选讲 例1：已知直线l :052=+-y x 与圆C :36)1()7(22=-+-y x . (1)判断直线l 圆的位置关系; (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长. 点拨：运用代数法或几何法求解。
归纳：1、运用代数的方法来求解的，运算虽然烦琐了一些，但此方法是一种 通法,更具有一般性，它对讨论直线与二次曲线的相关问题都适用；2、几何方法来求解只对圆适用,也是一种较为简便的方法.交点的个数数形结合练习1、 完成P128练习 教学过程设计 教师教学活动设计 学生活动设计 强调图形在解题中的辅助作用，加强了数与形的结合。
练习2、已知圆C ：25)2()1(22=-+-y x ，直线l ：(2m+1)x+(m+1)y －7m －4＝0(m ∈R). (1)证明：对m ∈R ，直线l 与圆C 恒相交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值。
高中数学必修2直线与圆的位置关系2
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
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直线与圆的位置关系
已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与 圆C相交？
直线与圆的位置关系
问题1：你知道直 线和圆的位置关系
有几种？
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数
解；方法二，可以
到台风的影响． y
B
0
A
x
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
r2d22( 7)2 b1
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9
或(x+3)2+(y+1)2=9。
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例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:
(x-3)2+(y-4)2=4
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导入新课
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船
正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风
中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？
图1
分析：如图1,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,
取10 km为单位长度.
则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；
轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位
置关系.
推进新课
新知探究
提出问题
①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？
②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？
③过圆内一点可作几条切线？
④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？
⑤如何求直线与圆的交点？
⑥如何求直线与圆的相交弦的长?
讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程
是x0x+y0y=r2；
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是
把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.
可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切
线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切
线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.
③过圆内一点不能作圆的切线.
④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是
设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心
到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.
⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.
⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用
弦心距、弦长、半径之间的关系来求.
应用示例
例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.
图3
解:如图3,方法一:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),因此由方程
组,1),2(22yxxky得x2+k2(x+2)2=1.
上述一元二次方程有一个实根,
Δ=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=±33,
所以所求切线的方程为y=±33(x+2).
方法二:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),由于圆心到切线的距离
等于圆的半径(d=r),所以d=21|2|kk=1,解得k=±33.
所以所求切线的方程为y=±33(x+2).
方法三：利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x0,y0),此时可求得切线
方程为x0x+y0y=1.
然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得x0=-21.
再由点(x0,y0)在圆上,所以满足x02+y02=1,既41+y02=1,解出y0=±23.
这样就可求得切线的方程为22102320xy,
整理得y=±33(x+2).
点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何
法“d=r”比较好(简便).
变式训练
已知直线l的斜率为k,且与圆x2+y2=r2只有一个公共点,求直线l的方程.
活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必
要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何
性质求解.
图4
解:如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的
半径,得
d=21||kb=r,∴b=±r21k,求得切线方程是y=kx±r21k.
方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l与圆x2+y2=r2只有一个公共点,所以
它们组成的方程组只有一组实数解,由222,ryxbkxy,得x2+k2(x+b)2=1,即
x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,Δ=0得b=±r21k,求得切线方程是y=kx±r21k.
例2 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)
作圆的切线有两条,求a的取值范围.
活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题
及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.
解:将圆的方程配方得(x+2a)2+(y+1)2=4342a,圆心C的坐标为(－2a,－1),半径
r=4342a,
条件是4－3a2＞0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A必在圆外,
即
22
)12()21(
a
＞4342a.
化简,得a2+a+9＞0,由,034,0922aaa
解得－332＜a＜332,a∈R.
所以－332＜a＜332.
故a的取值范围是(－332,332).
点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点
在圆外.同时注意圆的一般方程的条件.
拓展提升
已知点P到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为
1,求直线PN的方程.
解:设点P的坐标为(x,y),由题设有||||PNPM=2,即
22)1(yx=2·22
)1(yx
,
整理得x2+y2－6x+1=0.
①
因为点N到PM的距离为1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线PM的斜率为±33.
直线PM的方程为y=±33(x+1).
②
将②代入①整理,得x2－4x+1=0.解得x1=2+3,x2=2－3.
代入②得点P的坐标为(2+3,1+3)或(2－3,－1+3)；(2+3,－1－3)或(2－
3,1－3
).
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1.
课堂小结
1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.
2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为
已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一
点和圆外一点两种情况.
3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆
的几何性质.
4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至
关重要的.
作业
课本习题4.2 A组5、6、7.