3-8刚体体系的虚位移原理

矢径的广义坐标为 约束的个数为
ri ri ( q1 , q 2 ,..., q k , t )
m 3n k
f j (t , r1 , r2 , , rn ) 0( j 1, 2, , m)
例1 设一根刚性杆的一端通过柱铰悬挂于 O 点，另一 端固定一个小球 A，如图所示。判断小球的自由度， 并选择描述运动的广义坐标。 解：小球的约束
位形: 质系每一个点位置的集合
广义坐标选定后，每一质点的直角坐标就可以用 广义坐标表示。
广义坐标选定后，每一质点的直角坐标就可以用 广义坐标表示。譬如，n个质点系，共k个自由度 取 ( q1 , q 2 ,..., q k ) 为广义坐标，则质点内的任一点 的直角坐标都可用用广义坐标表述：
xi xi (q1 , q2 ,..., qk , t ) yi yi (q1 , q2 ,..., qk , t ) zi zi (q1 , q2 ,..., qk , t )
O l A A0 y x O l A A0 y x
x 2 y 2 l 2 (双面约束)
x 2 y 2 l 2 (单面约束)
定常约束和非定常约束
如约束方程中不显含时间 t ，则称其为定常约束； 否则称为非定常约束。
几何约束和微分约束
如约束方程中不包含速度，则称其为几何约束 ；否则称为微分约束。
r2 r 1
f ( x, y , z ) 0
虚位移在切平面内！
虚位移的求解方法： （1）几何法：根据约束的几何关系（虚位移投影定理） ，找出各点虚位移之间的关系 （2）解析法：用广义坐标表示主动力作用点的坐标，然 后将广义坐标变分，求各点的虚位移
例4
广义坐标表示的虚位移
O
C
广义坐标 发生虚位移
o1
虚位移 中心
e BA
eBA rA eBA rB
2.利用速度瞬心法
rA
o1 A
rB
o1 B
3.矢量叠加法
rB rA rBA
rBA
(2)虚位移的解析法求解
ri δ ri δ qj j 1 q j
N
解:
x A r cos y A r sin
i 1 2
理想约束系统 所受约束均为理 想约束的系统，称为 理想约束系统
A
P


Q
B
C
5 刚体体系的虚位移原理
设质系的质点 m i 受主动力 Fi ，质系的约束都 是理想约束，若质点系平衡则必有主动力系的虚 n 功为零。 Fi ri 0
对任意一组虚位移 ri 都成立。
2.固定支座约束

rA 0
滑动支座约束
N rA
Y X
理想约束
N rA 0
理想约束
3.光滑圆柱铰链
Y X
-X
理想约束
4.连接梁质点的无重刚杆
B
rB
N
N r A N rB 0
rA
理想约束
A
5）两个质点用不可伸长的绳子连接 绳子对两个质点的约 束力为拉力， N1 N2 T 约束力的虚功,
3-1-3 虚位移和虚功 • 虚功
二维力偶系在各自作用刚体的虚 角位移上所作的功。
δ W Mδ ,
δ W M i δ i
i 1 m
δ
M
M
固支端约束反力
B
F
B
F
YA
A
A
MA
XA
6 虚位移原理的应用
例题 图示连续梁，AC、CD、DF三段梁用C、D铰连接， 载荷和尺寸如图所示。试求铰支座A约束力偶。
虚位移 — 非定常约束情况
f x1 ,, x3 N , t 0
微分
f r1 ,, rN , t 0
实位移或可能位移 d f x1 ,, x3 N , t 0
f f f dx1 dx3 N dt 0 （非齐次） x1 x3 N t
2 2 2 xB r cos l r sin
x A r sin y A r cos
1 2r 2 sin cos xB r sin 2 2 2 2 l r sin sin l sin cos r (sin )δ r δ cos l cos
例3： 固定平面运动质点的虚位移
约束方程 f ( x, y , z ) 0 虚位移 r xi yj zk
f f f x y z 0 x y z
M
f r
M1
f=0
f
ri
M
f r 0
f f f f i j k x y z
虚位移 ri 与实位移dri的区别与联系： dri ：1．在一定主动力作用下发生； 2．在一定运动的初始条件下发生； 3．在一定时间间隔 dt 内发生。
可能位移： 可能发生的实位移。
在定常约束情况下，虚位移与可能位移一致。 （1）虚位移有无穷多组1
（2）虚位移的线性组合仍 然是虚位移； （3）所有虚位移构成线性 空间； （4）线性空间的维数就是 系统的自由度数；
F
F'
M
或
M
力 偶的性质： (1)力偶的两个力的矢量和 （主矢）为零； (2)力偶对任意点的主 矩都一样,称其主矩为 力偶矩。
F
m F , F '
A B
F'
rA
m F , F ' rOA F rOB F ' rOA rOB F rBA F
O
rB
由虚功原理得
YB
P rG YB rB P rH 0 5 YB P 4 P
H
D
P
A
P
E
G
B
rG
F
rB

rH
rC
b
虚位移原理
例 惰钳机构由六根长杆和两根 短杆组成，长杆长2a，短杆 长 a，各杆之间用铰链相连 。它在顶部受力 P 的作用， 问下部力 Q 的大小为多少才 能使系统处于平衡状态。图 中 为已知角。
0 r vA 0 x
完整约束和非完整约束
几何约束和可以积分成几何约束的微分约束，称为完 整约束，不可积的微分约束称为非完整约束。
完整系统 本门课程仅研究完整系统！
非完整系统
2 自由度与广义坐标
确定完整约束系统位形所需独立坐标的数目，称 为系统的自由度。 能够唯一地确定质系位形的独立参数称 为系统的广义坐标。
4 虚功与理想约束
力在虚位移上所做的元功称为虚功。
ri 是质点 mi 的虚位移 力 f i 作用在质点mi上，
虚功
wi fi ri fixxi fiyyi fizzi
力系的虚功
力系 f1 , f 2 , ..., f n 的虚功 w 定义为
虚位移 f x1 ,, x3 N , t 0
f f x1 x3 N 0 x1 x3 N
变分
t=0
（齐 次）
在非定常约束情况下，虚位移与实（可能）位移不再 一致。
虚位移的发生与时间t的变化无关( t 0)， 因此它就是约束被“冻结”后的可能位移， 也是质系相对于约束的可能相对位移。


n w fi ri fixxi fiyyi fizz
n i 1 i 1
元功：力在微小位移上的功。
某一约束的约束力在在质点系的任何虚位移上所做 的功之和等于零，则该约束称为理想约束。
1.光滑支撑面约束
rA
N
理想约束
N rA 0
O 2 2 2 x A y A l1 l1 约束 2 2 2 x x y y l 1 A l2 B 2 A B A 两个自由度 选 1 , 2为广义坐标
y
B
2
x
rA l1 cos 1 i l1 sin 1 j
x
A



rB 2 rD l2
y
rD rB

D
B
例4
广义坐标表示的虚位移
O

再取
0, 0

rC
rA

x
C
A

rB rD 2 rC l1
y
rD
rB
D
B
例5刚体平面运动的虚位移
rA= { rA1 ， rB1} rB = { rA2 ， rB2} （1）虚位移投影定理 刚体上两点的虚位移在 它们连线上的投影相等
ri , vi i 1,, N 为质系中质点点的位矢及速度矢 1 , y 1 , z N , y N , z 1 ,, x N , t 0 或 f x1 , y1 , z1 ,, x N , y N , z N , x
运动状态： 质点位置及速度的集合
如约束方程为等式，则称其为双面约束或等 式约束；否则称为单面约束或不等式约束。
o
z0

l
A
y
x y l
2 2
2
1个自由度，广义坐标 。
x l cos y l sin
x
rA xi yj l cos i l sin j
例2
平面双摆：如图所示。 自由度?，广义坐标? O
l1
A
l2
B
解：位形参数 x A y A xB
yB