2018版高中数学必修二同步讲义(人教A版)第三章直线与方程3.3.3-3.3.4Word版含答案
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1 含答案 精品
3.1.1倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案 不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系知识点三 过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一 直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( ) A ．α＋40° B ．α－140° C ．140°－αD ．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140° 答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率． 由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以 k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， 即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 反思与感悟 斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围． 解 如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围． 解 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为 ．答案 92解析 设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m ≥1) 答案 (0°，90°]解析 当m ＝1时，倾斜角α＝90°， 当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角． 解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 答案 D解析 倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150° 答案 D解析 两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°知，l 2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析 由题意知k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150°答案 C解析 由题意知|tan α|＝3， 即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12) B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) C ．(0,2)、(2,5)、(3,7) D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线．6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析 由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α答案 D解析 如图所示，当l 方向向上的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 方向向上的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D ．0答案 A解析 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于 ．答案 12解析 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 答案 (3,0)或(0,3)解析 由题意知k P A ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，故P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 答案 (－2,1)解析 由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角， 所以k AB ＝t －1t ＋2<0， 解得－2<t <1.12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 答案 [0°，45°]∪(90°，180°)解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°； 当tan α<0时，90°<α<180°. ∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)． 三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)． (1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？ (2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？ 解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0， 即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0，解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0， 即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0，解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角． 四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为( ) A ．[33，3] B ．[0，33]∪[3，＋∞) C ．[33，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6,2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．解 考虑临界状态，令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2， 由题意知tan α1＝1，tan α2＝－33， 故直线PM 的倾斜角为45°，直线PN 的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。
[K12配套]2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.2.3
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3.2.3 直线的一般式方程学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一 直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？ 答案 能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案 一定．思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？ 答案 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－AB ，在y 轴上截距为－CB的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－CA ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线． 梳理 直线的一般式方程知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理类型一 直线的一般式方程 命题角度1 求直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1. 解 (1)由直线方程的点斜式得y －3＝3(x －5)， 即3x －y －53＋3＝0.(2)由斜截式得直线方程为y ＝4x －2， 即4x －y －2＝0.(3)由两点式得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(4)由截距式得直线方程为x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.反思与感悟 (1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，CA的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，CB 的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．跟踪训练1 根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；(2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________；(4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________． 答案 (1)x ＋2y ＋4＝0 (2)y －2＝0 (3)2x －y －3＝0 (4)x ＋y －1＝0 命题角度2 由含参数的一般式求参数例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程 得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程注意验根．跟踪训练2 若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足______． 答案 a ≠－2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5a ＋6＝0，a 2＋2a ＝0，得a ＝－2，∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线， ∴a ≠－2.类型二 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 命题角度1 利用两直线的位置关系求参数例3 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1， 即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.反思与感悟 对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l 1与l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0.l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练3 已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值． (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解 (1)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＋1)－3×2＝0，2×(－a )－(－3)(a ＋1)≠0，解得a ＝2.(2)a ×3＋2×(a ＋1)＝0，得a ＝－25.命题角度2 求平行、垂直的直线方程例4 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 方法一 (1)l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为 y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为 y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)． 将(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.反思与感悟 一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧． 跟踪训练4 已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．解 (1)将与直线l 平行的直线方程设为3x ＋4y ＋C 1＝0，又过点A (2,2)，所以3×2＋4×2＋C 1＝0，所以C 1＝－14. 所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)将与l 垂直的直线方程设为4x －3y ＋C 2＝0，又过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋C 2＝0，所以C 2＝－2， 所以直线方程为4x －3y －2＝0.1．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 答案 C解析 直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 2．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．4．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， (1)若l 1∥l 2，则m ＝________； (2)若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 (1)－1 (2)12解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3，得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0， 得m ＝12.5．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程． 解 由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 将点(1,2)代入l 的方程 3＋4×2＋C ＝0，得C ＝－11， ∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误．课时作业一、选择题1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 D解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)．2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0 D ．AB >0，C ＝0答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断．3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1 D ．－3，－1答案 D解析 原方程化为x 1a ＋y1b ＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.4．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1答案 D解析令m×m＝1×1，得m＝±1.当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.当m＝－1时，要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.5．把直线x－y＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是()A．y＝－3x B．y＝3xC．x－3y＋2＝0 D．x＋3y－2＝0答案 B解析如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°.∴l的斜率k＝tan α＝tan 60°＝3，∴l的方程为y－3＝3(x－1)，即y＝3x.6．在同一直角坐标系中表示直线ax－y＝0与x－y＋a＝0(a≠0)正确的是()答案 C解析若a>0，直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴正半轴上，直线x－y＋a＝0过第一、二、三象限，而直线ax－y＝0过定点(0,0)，倾斜角为锐角，此时各选项都不正确；若a<0，则直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y＝ax过定点(0,0)，且倾斜角为钝角，故C正确．7．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为()A．1 B．－1C．－2或1 D．－1或2答案 D解析 当直线ax ＋y －2－a ＝0过原点时，可得a ＝－2.当直线ax ＋y －2－a ＝0不过原点时，由题意知，当a ＝0时，直线l 与x 轴无交点，当a ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为2＋a a， 与在y 轴上的截距2＋a 相等，可得2＋a a＝2＋a ， 解得a ＝1，或a ＝－2.综上知，a ＝－2或1.所以直线l 的斜率为－1或2.二、填空题8．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．答案 －415解析 把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415. 9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0，得x ＝－c 4， 令x ＝0，得y ＝－c 3， 则S △＝12|－c 4·(－c 3)|＝6， 得c 2＝122，c ＝±12，∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案 (－2,1)解析 由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A (a,0)(其中a ∈R)和B (0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l ：y ＝x ＋1，则a 的值为________．答案 1解析 根据题意可知机器人在线段AB 的中垂线上运动，且轨迹与直线l ：y ＝x ＋1平行，由此可得AB ⊥l ，因此k AB ·k l ＝－1，即1－00－a×1＝－1，解得a ＝1. 三、解答题12．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线．(1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2. (2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 13．(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0.①若这两条直线垂直，求k 的值；②若这两条直线平行，求k 的值．解 ①根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52. ∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. ②根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.(2)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程． 解 设直线方程为2x －y ＋c ＝0，设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为－c 2和c ，∴S △＝12×|－c 2|×|c |＝9，解得c ＝±6. ∴所求直线方程为2x －y －6＝0或2x －y ＋6＝0.四、探究与拓展14．已知坐标平面内两点A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是_____． 答案 3解析 由题可知直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3. 15．经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，又直线过点A (1,2)，则得斜率k ＝2，即y ＝2x ；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a＝1. ∵直线过点A (1,2)，则得a ＝3或a ＝－1.即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.这样的直线有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.。
2018-2019学年最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.3~3.3.4
3.3.3点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离
学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．
知识点一点到直线的距离
思考1如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？
答案d＝|PR||PS| |RS|
.
思考2根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？
答案d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
.
思考3点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－C
B
，d＝|y0＋
C
B
|＝
|By0＋C|
|B|
，适合公式．
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－C
A
，d＝|x0＋
C
A
|＝
|Ax0＋C|
|A|
，适合公式．
梳理点到直线的距离
(1)定义：点到直线的垂线段的长度．
(2)图示：。
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.3.1~3.3.2 Word版含答案
两条直线的交点坐标
两点间的距离
学习目标.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.掌握两点间距离公式并会应用．
知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系
思考直线上的点与其方程＋＋＝的解有什么样的关系？
答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．
思考已知两条直线与相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
思考由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案()若方程组无解，则∥；
()若方程组有且只有一个解，则与相交；
()若方程组有无数解，则与重合．
梳理()两直线的交点
几何元素及关系代数表示
点(，)
直线：＋＋＝
点在直线上＋＋＝
直线与的交点是
()两直线的位置关系
方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个
直线与的位置关系相交重合平行
知识点二两点间的距离
已知平面上两点(，)，(，)．
思考当≠，＝时，＝？
答案＝－.
思考当＝，≠时，＝？
答案＝－.
思考当≠，≠时，＝？请简单说明理由．
答案如图，在△中，＝＋，所以＝.
即两点(，)，(，)间的距离＝.。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程章末复习课
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.(2)k ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 存在，α≠90°，不存在，α＝90°. (3)斜率的求法：①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．2．直线方程的几种形式的转化3．两条直线的位置关系设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；(2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；(3)重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． 4．距离公式(1)两点间的距离公式．已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式．①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2； ②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一 待定系数法的应用例1 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 方法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0，4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5， 因此直线l 的方程为y －25－2＝x －(－1)－2－(－1)， 即3x ＋y ＋1＝0.方法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，。
2018版高中数学必修二同步讲义(人教A版)第三章直线与方程3.3.1-3.3.2Word版含答案
3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点(2)两直线的位置关系知识点二 两点间的距离已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． 思考1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝？ 答案 |P 1P 2|＝|x 2－x 1|.思考2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？ 答案 |P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？请简单说明理由．答案 如图，在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2＝|P 1Q |2＋|QP 2|2，所以|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.类型一 两直线的交点问题命题角度1 代数法判断两直线的位置关系例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 反思与感悟 两条直线相交的判定方法跟踪训练1 直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是________． 答案 (1,2)解析 联立两方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以两直线的交点坐标为(1,2)．命题角度2 根据交点求参数的值或其范围例2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________． 答案 (－32，2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎨⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.∴－32<a <2.引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？ 解 由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎨⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.反思与感悟 解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．跟踪训练2 若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23， ∴－23<k <2.故选C.类型二 求过两条直线交点的直线方程例3 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3(x ＋35)，即15x ＋5y ＋16＝0. 方法二 设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得(2＋112)x ＋(112－3)y ＋(2×112－3)＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解． 解 设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练3 直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y ＝0 C ．x ＋2y ＝0 D ．x －2y ＝0答案 B解析 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0， 因为l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线方程为2x －y ＝0. 类型三 两点间的距离公式及其应用例4 如图，已知△ABC 的三顶点A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解 (1)方法一 ∵|AB |＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝52， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理． 跟踪训练4 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 解 设P (x,0)，|P A |＝(x ＋1)2＋(－2)2， |PB |＝(x －2)2＋(－7)2， ∵|P A |＝|PB |，∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7， 得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|P A |＝(1＋1)2＋4＝2 2.1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13)B ．(13，1)C ．(1，13)D ．(－1，－13)答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 答案 C解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5， 解得a ＝1或－5.3．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________． 答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.4．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________． 答案 2x ＋y －4＝0解析 设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.5．点A 在第四象限，A 点到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A 的坐标． 解 由题意得A 点的纵坐标为－3，设A (x ，－3)， 则(x －0)2＋(－3－0)2＝5，x ＝±4. 又点A 在第四象限，∴x ＝－4(舍)， ∴A (4，－3)．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．课时作业一、选择题1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.2．已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上都不对答案 C解析 联立两条直线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－363＋2k ，∵两直线交点在y 轴上，∴k 2－363＋2k ＝0，∴k ＝±6(经检验知符合题意)．3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M 的线段的中点是(1,0)，那么点M 到原点的距离为( ) A ．41 B.41 C.39 D ．39答案 B解析 设M (x ，y )，由题意得⎩⎨⎧1＝－2＋x 2，0＝5＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，∴M (4，－5)．则M 到原点的距离为(4－0)2＋(－5－0)2＝41.4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，12 B.⎣⎡⎭⎫－14，12。
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.2.1 Word版含答案
直线的点斜式方程
学习目标.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
知识点一直线的点斜式方程
思考如图，直线经过点(，)，且斜率为，设点(，)是直线上不同于点的任意一点，那么，应满足什么关系？
答案由斜率公式得＝，
则，应满足－＝(－)．
思考经过点(，)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点斜率不存在的直线为＝.
梳理
点斜式
已知条件点(，)和斜率
图示
方程形式－＝(－)
适用条件斜率存在
知识点二直线的斜截式方程
思考已知直线的斜率为，且与轴的交点为(，)，得到的直线的方程是什么？答案将及点(，)代入直线方程的点斜式得：＝＋.
思考方程＝＋，表示的直线在轴上的截距是距离吗？可不可以为负数和零？答案轴上的截距不是距离，可以是负数和零．
思考对于直线：＝＋，：＝＋.
①∥⇔＝且≠，
②⊥⇔＝－.
梳理
斜截式
已知条件斜率和直线在轴上的截距
图示
方程式＝＋
适用条件斜率存在。
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.1.2 Word版含答案
两条直线平行与垂直的判定学习目标.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．知识点一两条直线平行的判定思考如图，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？答案α与α之间的关系为α＝α；对于与之间的关系，当α＝α≠°时，＝，因为α＝α，所以α＝α，即＝.当α＝α＝°时，与不存在．思考对于两条不重合的直线与，若＝，是否一定有∥？为什么？答案一定有∥.因为＝⇒α＝α⇒α＝α⇒∥.梳理类型斜率存在斜率不存在前提条件α＝α≠°α＝α＝°对应关系∥⇔＝∥⇐两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定思考如图，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？答案α＝°＋α，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．思考已知(°＋α)＝－，据此，如何推出思考中两直线的斜率、之间的关系？答案因为α＝°＋α，所以α＝(°＋α)，由于(°＋α)＝－，α＝－，即αα＝－，所以·＝－.思考如果两直线的斜率存在且满足·＝－，是否一定有⊥？如果⊥，一定有·＝－吗？为什么？答案当·＝－时，一定有⊥.不妨设<，即α为钝角，因为·＝－，则有αα＝－，所以α＝－＝(°＋α)，则α＝°＋α，所以⊥.当⊥时，不一定有·＝－，因为如果直线和分别平行于轴、轴，则不存在，所以·＝－不成立．梳理。
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3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．知识点一 点到直线的距离思考1 如图，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离d 同线段PS ，PR ，RS 间存在什么关系？答案 d ＝|PR ||PS ||RS |.思考2 根据思考1的思路，点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 怎样用A ，B ，C 及x 0，y 0表示？答案 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.思考3 点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0， 即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B |＝|By 0＋C ||B |，适合公式．②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式．梳理 点到直线的距离(1)定义：点到直线的垂线段的长度． (2)图示：(3)公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.知识点二 两条平行直线间的距离思考 直线l 1：x ＋y －1＝0上有A (1,0)、B (0,1)、C (－1,2)三点，直线l 2：x ＋y ＋1＝0与直线l 1平行，那么点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案 点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为2、2、 2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． 梳理 两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长． (2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离．(4)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.解 ①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为 |4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185； ②3y ＝4可化为3y －4＝0，由点到直线的距离公式得|－3×3－4|02＋32＝133；③x ＝3可化为x －3＝0，由点到直线的距离公式得|2－3|1＝1.(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程． 解 方法一 当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时， 直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点距离相等， 故x ＝－1满足题意，当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时， 设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与B (－4,5)到直线l 的距离相等，得 |2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.综上所述直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 方法二 由题意得l ∥AB 或l 过AB 的中点， 当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ， 直线l 的斜率为k l ，则k AB ＝k l ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题： ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________________．(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______． 答案 (1)[13，313] (2)2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0解析 (1)由题意知|4×4－3a |42＋(－3)2≤3，解得13≤a ≤313，故a 的取值范围为[13，313]．(2)过点P (3,4)且斜率不存在时的直线x ＝3与A 、B 两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23，∴所求直线l 的方程为 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 类型二 两平行线间的距离例2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为_________． (2)已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________． 答案 (1)104(2)2x －y ＋1＝0 解析 (1)由题意，得63＝m1，∴m ＝2，将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0， 由两平行线间距离公式，得|－1＋6|62＋22＝540＝104. (2)设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 由题意，得|3－c |22＋12＝|c ＋1|22＋12，解得c ＝1， ∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思与感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． 跟踪训练2 (1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2的距离为5，求两直线方程． 解 (1)方法一 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. (2)依题意，两直线的斜率都存在， 设l 1：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0， l 2：y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0. 因为l 1与l 2的距离为5， 所以|－k －5|k 2＋1＝5，解得k ＝0或512.所以l 1和l 2的方程分别为y ＝0和y ＝5或5x －12y －5＝0和5x －12y ＋60＝0. 类型三 利用距离公式求最值命题角度1 由点到直线的距离求最值例3 已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________． 答案710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1＝(x －0)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离， 即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离， 即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. 反思与感悟 解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3 (1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时P 点的坐标； (2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1，∴OP 所在直线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. ∴P 点坐标为(2,2)．(2)由题意知过P 点且与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大， ∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.命题角度2 有关两平行线间距离的最值例4 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d . (1)求d 的取值范围；(2)求d 取最大值时，两条直线的方程． 解 (1)设经过A 点和B 点的直线分别为l 1、l 2，显然当⎩⎪⎨⎪⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为|AB |＝(－3－6)2＋(－1－2)2＝310， ∴d 的取值范围为(0,310]．(2)由(1)知d max ＝310，此时k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0.反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4 已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．3 B. 3 C.32 D.32答案 D解析 两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝|5－(－10)|62＋82＝32.1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．±2 答案 D解析 由题意知|a －1＋1|12＋12＝1，即|a |＝2，∴a ＝±2.2．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为25，则c 的值为( ) A ．9 B ．11或－9 C ．－11 D ．9或－11答案 B解析 两平行线间的距离为d ＝|－1－(－c )|12＋(－2)2＝25， 解得c ＝－9或11.3．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( ) A.10 B.355C. 6 D ．3 5 答案 B解析 点M 到直线2x ＋y －1＝0的距离，即为|MP |的最小值，所以|MP |的最小值为|2＋2－1|22＋12＝355. 4．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 答案 10解析 由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10.5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________． 答案 (5，－3)解析 由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线， 设垂足为M ，则|MP |为最小， 直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43(x －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3 ∴所求点的坐标为(5，－3)．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰． 3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．课时作业一、选择题1．点(1，－1)到直线y ＝1的距离是( ) A. 2 B.22C ．3D ．2答案 D解析 d ＝|－1－1|1＋0＝2，故选D.2．两平行线3x －4y －7＝0和6x －8y ＋3＝0之间的距离为( ) A.45 B ．2 C.1710 D.175 答案 C解析 3x －4y －7＝0可化为6x －8y －14＝0， 由两平行线间的距离公式可得|3＋14|62＋82＝1710. 3．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( ) A.79B ．－13C ．－79或－13D ．－79或13答案 C解析 由点到直线的距离公式可得。