ACM课件(lecture_10)特殊的数
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ACM(lecture_10)特殊的数
空间 换 时间！！
2021/6/3
26
Catalan number
2021/6/3
27
HDOJ_1134: Game of Connections
8 7 6
5
1 2 3
4
2021/6/3
28
Catalan Number
Catalan numbers (1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...)
trees with n+1 nodes
3 nodes:
2021/6/3
37
4 nodes: 5 nodes:
2021/6/3
38
4. the number of paths of length 2n through an n-
by-n grid that do not rise above the main diagonal
2021/6/3
6
January
2021/6/3
7
February
2021/6/3
8
March
2021/6/3
9
April
2021/6/3
10
May、June…
???
2021/6/3
11
The number series is—— 1、1、2、3、5… This is fibonacci number！
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Catalan number
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HDOJ_1134: Game of Connections
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Catalan Number
Catalan numbers (1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...)
trees with n+1 nodes
3 nodes:
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4 nodes: 5 nodes:
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4. the number of paths of length 2n through an n-
by-n grid that do not rise above the main diagonal
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May、June…
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The number series is—— 1、1、2、3、5… This is fibonacci number！
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14
竞赛讲座（特殊的正整数）
竞赛讲座(特殊的正整数)一、 知识要点1、 完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。
如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。
性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。
性质3 偶完全平方数是4的倍数。
性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。
性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。
2、 质数与合数定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。
定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合数。
1既不是质数也不是合数。
3、 质数与合数的有关性质(1) 质数有无数多个(2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。
大于2的质数必为奇数。
(3) 若质数p ∣a •b ，则必有p ∣a 或p ∣b 。
(4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p. (5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a ka a p p p n 2121=, 其中p 1<p 2<…<p k 是质数，a 1，a 2，…，a k 是正整数。
二、 例题精讲例1 有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，比个位数字少2，这个四位数是 . 解 设所求的四位数为m 2，它的百位数字为a ，则有m 2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93)因为11是质数，所以11∣(101a+93)，而101a+93=11(9a+8)+(2a+5)， 所以11∣(2a+5)，由题意 a+3≤9，故a ≤6，从而a=3. 于是所求的四位数为4356.例2 一个四位数有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0，就只用个位数去除)，且这个平方数正好是前两位数加1的平方。
ACM算法讲座特殊的数
ACM程序设计 程序设计
杭州电子科技大学 刘春英 acm@
每周一星（ ）： 每周一星（11）：
杭电一名
2011-7-5
2
第十二讲
特殊的数
（Special Number）
2011-7-5
3
Fibonacci Number
The series begins with 0 and 1. After that, use the simple rule: Add the last two numbers to get next. the next. 0 , 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...
2011-7-5 44
(3)其他情况： (3)其他情况： 其他情况 考虑（m+n）个人排队购票的情景， m+n） 考虑（m+n）个人排队购票的情景，第（m+n）人站 在第（m+n个人的后面，则第（ 在第（m+n-1）个人的后面，则第（m+n ）个人的 排队方式可以由下列两种情况获得： 排队方式可以由下列两种情况获得： a.第 个人手持￥100的钞票 的钞票， a.第（m+n ）个人手持￥100的钞票，则在他之前 (m+（ ））个人中有 个人手持￥50的钞票 个人中有m 的钞票， 的(m+（n-1））个人中有m个人手持￥50的钞票， 个人手持￥100的钞票 的钞票， 有（n-1）个人手持￥100的钞票，此种情况共有 f(m,nf(m,n-1); b.第 个人手持￥50的钞票 的钞票， b.第（m+n ）个人手持￥50的钞票，则在他之前的 +n）个人中有m 个人手持￥50的钞票 的钞票， (（m-1）+n）个人中有m-1个人手持￥50的钞票， 个人手持￥100的钞票 此种情况共有f(m 的钞票， f(m有n个人手持￥100的钞票，此种情况共有f(m-1,n);
杭州电子科技大学 刘春英 acm@
每周一星（ ）： 每周一星（11）：
杭电一名
2011-7-5
2
第十二讲
特殊的数
（Special Number）
2011-7-5
3
Fibonacci Number
The series begins with 0 and 1. After that, use the simple rule: Add the last two numbers to get next. the next. 0 , 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...
2011-7-5 44
(3)其他情况： (3)其他情况： 其他情况 考虑（m+n）个人排队购票的情景， m+n） 考虑（m+n）个人排队购票的情景，第（m+n）人站 在第（m+n个人的后面，则第（ 在第（m+n-1）个人的后面，则第（m+n ）个人的 排队方式可以由下列两种情况获得： 排队方式可以由下列两种情况获得： a.第 个人手持￥100的钞票 的钞票， a.第（m+n ）个人手持￥100的钞票，则在他之前 (m+（ ））个人中有 个人手持￥50的钞票 个人中有m 的钞票， 的(m+（n-1））个人中有m个人手持￥50的钞票， 个人手持￥100的钞票 的钞票， 有（n-1）个人手持￥100的钞票，此种情况共有 f(m,nf(m,n-1); b.第 个人手持￥50的钞票 的钞票， b.第（m+n ）个人手持￥50的钞票，则在他之前的 +n）个人中有m 个人手持￥50的钞票 的钞票， (（m-1）+n）个人中有m-1个人手持￥50的钞票， 个人手持￥100的钞票 此种情况共有f(m 的钞票， f(m有n个人手持￥100的钞票，此种情况共有f(m-1,n);
acm中的数学问题数论部分省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
步骤：
a = 81, b = 63, a mod b = 18 a ← 63, b ← 18, a mod b = 9 a ← 18, b ← 9, a mod b = 0 所以9就是63与81最大条约数
第27页
欧几里德算法
欧几里德算法:
while b>0 do r←a%b a←b b←r
第一部分:同余相关
整除性质
欧几里德算法
扩展欧几里德算法
中国剩下定理
第二部分:素数相关
算术基本定理
欧拉定理
素数测试
Pollard rho方法
第7页
数论主要内容
第一部分:同余相关
整除性质
欧几里德算法
扩展欧几里德算法
中国剩下定理
第二部分:素数相关
算术基本定理
欧拉定理
素数测试
整除基本性质 欧几里德算法 扩展欧几里德算法 中国剩下定理
第43页
中国剩下定理
同模情况下，有这么性质：
乘法标准
8 mod 7 = 1
16 mod 7 = 2 64 mod 7 = 8 mod 7
加法标准 8 mod 7 = 1 10 mod 7 = 3
18 mod 7 = 4
第44页
故d|a。 • 所以d是a,b公因数 • 反之，假如d是a,b公因数，也能证出d
是b,c公因数
第12页
第一部分 同余相关
整除基本性质 欧几里德算法 扩展欧几里德算法 中国剩下定理
第13页
请写出12，30共有约数
第14页
请写出12，30共有约数 1,
第15页
请写出12，30共有约数 1, 2,
第37页
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法(递归实现): int gcd(int a,int b) if b=0 then x←1 y←0 return a d←gcd(b,a%b) x'←y y'←x-[a/b]y x←x' y←y' return d
a = 81, b = 63, a mod b = 18 a ← 63, b ← 18, a mod b = 9 a ← 18, b ← 9, a mod b = 0 所以9就是63与81最大条约数
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欧几里德算法
欧几里德算法:
while b>0 do r←a%b a←b b←r
第一部分:同余相关
整除性质
欧几里德算法
扩展欧几里德算法
中国剩下定理
第二部分:素数相关
算术基本定理
欧拉定理
素数测试
Pollard rho方法
第7页
数论主要内容
第一部分:同余相关
整除性质
欧几里德算法
扩展欧几里德算法
中国剩下定理
第二部分:素数相关
算术基本定理
欧拉定理
素数测试
整除基本性质 欧几里德算法 扩展欧几里德算法 中国剩下定理
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中国剩下定理
同模情况下，有这么性质：
乘法标准
8 mod 7 = 1
16 mod 7 = 2 64 mod 7 = 8 mod 7
加法标准 8 mod 7 = 1 10 mod 7 = 3
18 mod 7 = 4
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故d|a。 • 所以d是a,b公因数 • 反之，假如d是a,b公因数，也能证出d
是b,c公因数
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第一部分 同余相关
整除基本性质 欧几里德算法 扩展欧几里德算法 中国剩下定理
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请写出12，30共有约数
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请写出12，30共有约数 1,
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请写出12，30共有约数 1, 2,
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扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法(递归实现): int gcd(int a,int b) if b=0 then x←1 y←0 return a d←gcd(b,a%b) x'←y y'←x-[a/b]y x←x' y←y' return d
ACM培训材料PPT课件
}
2020/10/13
7
注意上面程序的M的好处
上面M定义为10000,这样不仅提高了效率而 且也节省了空间
如果要你把N阶乘转成2或3进制你会吗? 如:把18!转换成2进制. 如果你不会,那么你还没对那个程序M深刻
理解.
2020/10/13
8
N!末尾有多少个0
很简单,只要N!有多少个5这个因子,就有多少 个0.
进位e=0 (e=(a[1]+b[1]+e)/10) c[2]=(a[2]+b[2])%10+e=0, 百位进位e=1,依次下去,
最后把数组输出就是结果(要倒过来输出)
2020/10/13
4
对上面例子的实现
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N
{
p=a[i]+b[i]+e;
c[i]=p%10;
e=p/10;
}
lc=lb;
while(e>0)
{
lc++;
c[lc]=e%10;
e/=10;
}
for(i=lc;i>=0;i--)
{
printf("%d",c[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
2020/10/13
5
用高精度算N阶乘
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
11
详细见课堂分析.
2020/10/13
9
fjnu:1743 fjnu:1185 fjnu:1307 fjnu:1191 fjnu:1158
国际大学生程序设计竞赛数论与算法.ppt
分析： 显然X1为分子，X2比为分母，其它数可以为分子
也可以为分母。
方法一：将分母X2分解质因数，由于 X2≤1000000000，所以质因数个数不超过29 个。逐一扫描X1，X3，X4…，Xk，看能否将 X2约掉。
方法二：还是逐一扫描X1，X3，X4…，Xk， 看能否将X2约掉，但不进行因数分解，而是 每次约掉它和X2的最大公约数。
数论基本知识
1。如何求出1～n中的所有素数？ Eraosthenes氏筛法：每次求出一个新的素数，就把n以内的它的所有
倍数都筛去。 2。给出一个数n，如何判断它是不是素数？ 1）朴素的判别法 从2开始试除小于n的所有自然数，时间复杂度为
O(n). 2） 如果a是n的因子，那么n/a也是n的因子，所以如果n有一个大于1
分析：把数字1，2，3，4从中抽出，然后把其他数 字按照原顺序排列组成的自然数w，w×10000整除 7取余有7种可能，即是0，1，2，3，4，5，6。如 果能把1，2，3，4排列出7个数，使它们整除7取余 的值分别为0，1，2，3，4，5，6，把这4位数接在 w后面即为问题的解。
除法表达式
题目：除法表达式有如下的形式：X1/X2/X3/…/Xk.其 中Xi是正整数且X≤1000 000 000（1≤i≤k，k≤10 000）。除法表达式应当按照从左到右的顺序计算。 可以在表达式中嵌入顺序。现在给一个除法表达式 E要求告诉是否可以通过增加括号使表达式为E‘，E’ 是整数。
扩展的欧几里德算法
如果（a，b）＝d，那么一定存在x，y满足ax＋by＝d。
Function extended_gcd(a,b:longint; Var x,y:longint):longint;
Begin
if b=0 then begin
也可以为分母。
方法一：将分母X2分解质因数，由于 X2≤1000000000，所以质因数个数不超过29 个。逐一扫描X1，X3，X4…，Xk，看能否将 X2约掉。
方法二：还是逐一扫描X1，X3，X4…，Xk， 看能否将X2约掉，但不进行因数分解，而是 每次约掉它和X2的最大公约数。
数论基本知识
1。如何求出1～n中的所有素数？ Eraosthenes氏筛法：每次求出一个新的素数，就把n以内的它的所有
倍数都筛去。 2。给出一个数n，如何判断它是不是素数？ 1）朴素的判别法 从2开始试除小于n的所有自然数，时间复杂度为
O(n). 2） 如果a是n的因子，那么n/a也是n的因子，所以如果n有一个大于1
分析：把数字1，2，3，4从中抽出，然后把其他数 字按照原顺序排列组成的自然数w，w×10000整除 7取余有7种可能，即是0，1，2，3，4，5，6。如 果能把1，2，3，4排列出7个数，使它们整除7取余 的值分别为0，1，2，3，4，5，6，把这4位数接在 w后面即为问题的解。
除法表达式
题目：除法表达式有如下的形式：X1/X2/X3/…/Xk.其 中Xi是正整数且X≤1000 000 000（1≤i≤k，k≤10 000）。除法表达式应当按照从左到右的顺序计算。 可以在表达式中嵌入顺序。现在给一个除法表达式 E要求告诉是否可以通过增加括号使表达式为E‘，E’ 是整数。
扩展的欧几里德算法
如果（a，b）＝d，那么一定存在x，y满足ax＋by＝d。
Function extended_gcd(a,b:longint; Var x,y:longint):longint;
Begin
if b=0 then begin
(HDUACM2010版_12)特殊的数共52页
(4)Another disguise is the number of ways n votes can come in for each of two candidates A and B in an election, with A never behind B.
08.01.2020
41
HDOJ_1133 Buy the Ticket
trees with n+1 nodes
3 nodes:
08.01.2020
35
4 nodes: 5 nodes:
08.01.2020
36
4. the number of paths of length 2n through an n-by-n grid that do
not rise above the main diagonal
08.01.2020
42
算法分析：
首先假设人无区别
令f(m,n)表示有m个人手持￥50的钞票，n个 人手持￥100的钞票时共有的方案总数。则可 以分以下情况讨论这个问题：
（1）当n=0时
N=0意味着排队购票的所有人手中拿的都是 ￥50的钞票，那么这m个人排队方案总数为1。
17
Fibonacci & plants
08.01.2020
18
Fibonacci & plants
08.01.2020
19
Fibonacci & plants
08.01.2020
20
sunflowers （向日葵）
08.01.2020
21
08.01.2020
22
08.01.2020
23பைடு நூலகம்
08.01.2020
41
HDOJ_1133 Buy the Ticket
trees with n+1 nodes
3 nodes:
08.01.2020
35
4 nodes: 5 nodes:
08.01.2020
36
4. the number of paths of length 2n through an n-by-n grid that do
not rise above the main diagonal
08.01.2020
42
算法分析：
首先假设人无区别
令f(m,n)表示有m个人手持￥50的钞票，n个 人手持￥100的钞票时共有的方案总数。则可 以分以下情况讨论这个问题：
（1）当n=0时
N=0意味着排队购票的所有人手中拿的都是 ￥50的钞票，那么这m个人排队方案总数为1。
17
Fibonacci & plants
08.01.2020
18
Fibonacci & plants
08.01.2020
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Fibonacci & plants
08.01.2020
20
sunflowers （向日葵）
08.01.2020
21
08.01.2020
22
08.01.2020
23பைடு நூலகம்
ACM课件特殊的数.ppt
（2）The self-convolving sequence, c[0]=1, c[n+1] = c[0]c[n] + c[1]c[n-1] + ... + c[n]c[0]
62 2019/12/5
(3) The recurring sequence c[0]=1, (n+2)c[n+1] = (4n+2)c[n], (n>=0).
16 2019/12/5
Some other pictures
17 2019/12/5
18 2019/12/5
19 2019/12/5
20 2019/12/5
21 2019/12/5
Fibonacci number & Golden Section
A special value, closely related to the Fibonacci series, is called the golden section. This value is obtained by taking the ratio of successive terms in the Fibonacci series:
The series begins with 0 and 1. After that, use the simple rule: Add the last two numbers to get the next.
0，1，1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...
ACM 程序设计
计算机学院 刘春英
1 2019/12/5
今天，
你
62 2019/12/5
(3) The recurring sequence c[0]=1, (n+2)c[n+1] = (4n+2)c[n], (n>=0).
16 2019/12/5
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Fibonacci number & Golden Section
A special value, closely related to the Fibonacci series, is called the golden section. This value is obtained by taking the ratio of successive terms in the Fibonacci series:
The series begins with 0 and 1. After that, use the simple rule: Add the last two numbers to get the next.
0，1，1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...
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5
Where this came from?
Key Words:
1225; Pisa; Fibonacci & Frederick II; Math Competition.
2013-8-4 6
January
2013-8-4
7
February
2013-8-4
8
March
2013-8-4
9
April
母牛的故事 超级楼梯 小兔的棋盘 How Many Trees? Count the Trees Buy the Ticket Game of Connections Train Problem II 下沙的沙子有几粒？
2013-8-4
52
Welcome to HDOJ
Thank You ~
2013-8-4 53
2013-8-4
21
sunflowers （向日葵）
2013-8-4
22
2013-8-4
23
2013-8-4
24
2013-8-4
25
Question:
编程实现这类递归问题 时应该注意什么问题？
空间 换 时间！！
2013-8-4
26
Catalan number
2013-8-4 27
HDOJ_1134: Game of Connections
2. 加括号的方式数目
3 numbers: (1 (2 3)) ((1 2) 3)
4 numbers: (1 (2 (3 4))) (1 ((2 3) 4)) ((1 2) (3 4)) ((1 (2 3)) 4) (((1 2) 3) 4)
2013-8-4
35
(1 (2 (3 (4 5)))) (1 ((2 3) (4 5))) (1 (((2 3) 4) 5)) ((1 2) ((3 4) 5)) ((1 (2 (3 4))) 5) (((1 2) 3) (4 5)) (((1 (2 3)) 4) 5)
2013-8-4 45
(3)其他情况： 考虑（m+n）个人排队购票的情景，第（m+n）人站 在第（m+n-1）个人的后面，则第（m+n ）个人的 排队方式可以由下列两种情况获得： a.第（m+n ）个人手持￥100的钞票，则在他之前 的(m+（n-1））个人中有m个人手持￥50的钞票， 有（n-1）个人手持￥100的钞票，此种情况共有 f(m,n-1); b.第（m+n ）个人手持￥50的钞票，则在他之前的 (（m-1）+n）个人中有m-1个人手持￥50的钞票， 有n个人手持￥100的钞票，此种情况共有f(m-1,n);
(1 (2 ((3 4) 5))) (1 ((2 (3 4)) 5)) ((1 2) (3 (4 5))) ((1 (2 3)) (4 5)) ((1 ((2 3) 4)) 5) (((1 2) (3 4)) 5) ((((1 2) 3) 4) 5)
2013-8-4
36
3.the number of rooted, trivalent
2013-8-4
The series begins with 0 and 1. After that, use the simple rule: Add the last two numbers to get the next. 0 , 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...
ACM程序设计
杭州电子科技大学 刘春英 acm@
劳动节，
你
了吗？
2013-8-4
2
每周一星（9）：
Lucky-牙牙
2013-8-4
3
第十讲
特殊的数
（Special Number）
2013-8-4
4
Fibonacci Number
Leonardo Fibonacci
1175-1250
2013-8-4
ห้องสมุดไป่ตู้
10
May、June…
???
2013-8-4 11
The number series is—— 1、1、2、3、5…
This is fibonacci number！
Some other pictures
2013-8-4 12
2013-8-4
13
2013-8-4
14
2013-8-4
2013-8-4
43
HDOJ_1133 Buy the Ticket
2013-8-4
44
算法分析：
首先假设人无区别 令f(m,n)表示有m个人手持￥50的钞票，n个人 手持￥100的钞票时共有的方案总数。则可以 分以下情况讨论这个问题： （1）当n=0时 N=0意味着排队购票的所有人手中拿的都是 ￥50的钞票，那么这m个人排队方案总数为1。 （2）当m<n时 显然，f(m,n)=0
trees with n+1 nodes
3 nodes:
2013-8-4
37
4 nodes:
5 nodes:
2013-8-4
38
4. the number of paths of length 2n
through an n-by-n grid that do not rise above the main diagonal
15
2013-8-4
16
Fibonacci & Golden Section
2013-8-4
17
Fibonacci & plants
2013-8-4
18
Fibonacci & plants
2013-8-4
19
Fibonacci & plants
2013-8-4
20
Fibonacci & plants
2013-8-4
42
(3) The recurring sequence c[0]=1, (n+2)c[n+1] = (4n+2)c[n], (n>=0). (4)Another disguise is the number of ways n votes can come in for each of two candidates A and B in an election, with A never behind B.
2 x 2 grid:
2013-8-4
39
3 x 3 grid:
4 x 4 grid:
2013-8-4
40
5.
不同形态二叉树的数目
There are 5 binary trees with 3 nodes.
2013-8-4
41
6. 其它应用
（1）The number of ways 2n people, seated round a table, can shake hands in n pairs, without their arms crossing. （2）The self-convolving sequence, c[0]=1, c[n+1] = c[0]c[n] + c[1]c[n-1] + ... + c[n]c[0]
2013-8-4
46
递推公式——
根据加法原理得到: f(m,n)=f(m-1,n)+f(m,n-1) 于是得到f(m,n)的计算公式
2013-8-4
47
计算示意图：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2013-8-4
48
计算示意图：
0 1 0 0 0 0 0 0
1
1 1
2013-8-4
0
0
0
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计算示意图：
0 1 1 0 0 0 0 0 0
1
1 1
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2
3 4
2
5
0
5
0
0
9 14 14
50
对于一般情况（m>=n>0）
可以推出下面直接的公式：
f(m,n)= C(m+n,n)-C(m+n,m+1)
2013-8-4
51
相关练习
2018 2041 2067 1130 1131 1133 1134 1023 1267
2013-8-4 29
Catalan数有哪些应用?
2013-8-4
30
1. 多边形的三角剖分数目
4 sides, 2 ways
2013-8-4 31
5 sides, 5 ways
2013-8-4
32
6 sides, 14 ways
2013-8-4
33
7 sides, 42 ways:
2013-8-4 34
8 1
7
2
6
3
5
4
2013-8-4
28
Catalan Number
Catalan numbers (1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...)
(1814—1894 Belgium)
Where this came from?
Key Words:
1225; Pisa; Fibonacci & Frederick II; Math Competition.
2013-8-4 6
January
2013-8-4
7
February
2013-8-4
8
March
2013-8-4
9
April
母牛的故事 超级楼梯 小兔的棋盘 How Many Trees? Count the Trees Buy the Ticket Game of Connections Train Problem II 下沙的沙子有几粒？
2013-8-4
52
Welcome to HDOJ
Thank You ~
2013-8-4 53
2013-8-4
21
sunflowers （向日葵）
2013-8-4
22
2013-8-4
23
2013-8-4
24
2013-8-4
25
Question:
编程实现这类递归问题 时应该注意什么问题？
空间 换 时间！！
2013-8-4
26
Catalan number
2013-8-4 27
HDOJ_1134: Game of Connections
2. 加括号的方式数目
3 numbers: (1 (2 3)) ((1 2) 3)
4 numbers: (1 (2 (3 4))) (1 ((2 3) 4)) ((1 2) (3 4)) ((1 (2 3)) 4) (((1 2) 3) 4)
2013-8-4
35
(1 (2 (3 (4 5)))) (1 ((2 3) (4 5))) (1 (((2 3) 4) 5)) ((1 2) ((3 4) 5)) ((1 (2 (3 4))) 5) (((1 2) 3) (4 5)) (((1 (2 3)) 4) 5)
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(3)其他情况： 考虑（m+n）个人排队购票的情景，第（m+n）人站 在第（m+n-1）个人的后面，则第（m+n ）个人的 排队方式可以由下列两种情况获得： a.第（m+n ）个人手持￥100的钞票，则在他之前 的(m+（n-1））个人中有m个人手持￥50的钞票， 有（n-1）个人手持￥100的钞票，此种情况共有 f(m,n-1); b.第（m+n ）个人手持￥50的钞票，则在他之前的 (（m-1）+n）个人中有m-1个人手持￥50的钞票， 有n个人手持￥100的钞票，此种情况共有f(m-1,n);
(1 (2 ((3 4) 5))) (1 ((2 (3 4)) 5)) ((1 2) (3 (4 5))) ((1 (2 3)) (4 5)) ((1 ((2 3) 4)) 5) (((1 2) (3 4)) 5) ((((1 2) 3) 4) 5)
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3.the number of rooted, trivalent
2013-8-4
The series begins with 0 and 1. After that, use the simple rule: Add the last two numbers to get the next. 0 , 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...
ACM程序设计
杭州电子科技大学 刘春英 acm@
劳动节，
你
了吗？
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2
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3
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特殊的数
（Special Number）
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4
Fibonacci Number
Leonardo Fibonacci
1175-1250
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This is fibonacci number！
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HDOJ_1133 Buy the Ticket
2013-8-4
44
算法分析：
首先假设人无区别 令f(m,n)表示有m个人手持￥50的钞票，n个人 手持￥100的钞票时共有的方案总数。则可以 分以下情况讨论这个问题： （1）当n=0时 N=0意味着排队购票的所有人手中拿的都是 ￥50的钞票，那么这m个人排队方案总数为1。 （2）当m<n时 显然，f(m,n)=0
trees with n+1 nodes
3 nodes:
2013-8-4
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4 nodes:
5 nodes:
2013-8-4
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4. the number of paths of length 2n
through an n-by-n grid that do not rise above the main diagonal
15
2013-8-4
16
Fibonacci & Golden Section
2013-8-4
17
Fibonacci & plants
2013-8-4
18
Fibonacci & plants
2013-8-4
19
Fibonacci & plants
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20
Fibonacci & plants
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42
(3) The recurring sequence c[0]=1, (n+2)c[n+1] = (4n+2)c[n], (n>=0). (4)Another disguise is the number of ways n votes can come in for each of two candidates A and B in an election, with A never behind B.
2 x 2 grid:
2013-8-4
39
3 x 3 grid:
4 x 4 grid:
2013-8-4
40
5.
不同形态二叉树的数目
There are 5 binary trees with 3 nodes.
2013-8-4
41
6. 其它应用
（1）The number of ways 2n people, seated round a table, can shake hands in n pairs, without their arms crossing. （2）The self-convolving sequence, c[0]=1, c[n+1] = c[0]c[n] + c[1]c[n-1] + ... + c[n]c[0]
2013-8-4
46
递推公式——
根据加法原理得到: f(m,n)=f(m-1,n)+f(m,n-1) 于是得到f(m,n)的计算公式
2013-8-4
47
计算示意图：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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计算示意图：
0 1 0 0 0 0 0 0
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计算示意图：
0 1 1 0 0 0 0 0 0
1
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2
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0
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0
9 14 14
50
对于一般情况（m>=n>0）
可以推出下面直接的公式：
f(m,n)= C(m+n,n)-C(m+n,m+1)
2013-8-4
51
相关练习
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2013-8-4 29
Catalan数有哪些应用?
2013-8-4
30
1. 多边形的三角剖分数目
4 sides, 2 ways
2013-8-4 31
5 sides, 5 ways
2013-8-4
32
6 sides, 14 ways
2013-8-4
33
7 sides, 42 ways:
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8 1
7
2
6
3
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2013-8-4
28
Catalan Number
Catalan numbers (1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...)
(1814—1894 Belgium)