《高等代数》期末考试题A
高代期末考试试卷
高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。
2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。
3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。
《高等代数》期末考试卷
[ ϑ1 2 3 | | 22高等代数期末考试卷一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设 b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。
CA) 对任意的 b ，V 均是线性空间； B) 对任意的 b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当 b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA) 若向量组 I 线性无关，则 s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则 s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则 s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则 s > t 。
3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。
DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当 r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当 r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解；D) 当 r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。
4)设 A 是 m n 阶矩阵， B 是 n m 阶矩阵，且 AB = I ，则。
AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。
{1 1 1[5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基 ⋂ ,⋂ ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则 ϕ 在基|1 1 1|⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是。
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2、（ D ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A）A的核是零子空间的充要条件是A是满射； （B）A的核是 V 的充要条件是A是满射； （C）A的值域是零子空间的充要条件是A是满射； （D）A的值域是 V 的充要条件是A是满射。
二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、（ ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：
（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（ ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
2、设A是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明W L 1,2 ,...,r 是A的不变子空间的兖要条件是 A i W i 1, 2,..., r
3、已知 A E 是 n 级正定矩阵，证明：
（1）A 是正定矩阵；
（2） A 2E 3n
答案
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
3、（ B ） 矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ C ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
1、在线性空间 P4 中，定义线性变换：
A a,b,c, d a,b, a c,b d a,b,c, d P4
高等代数期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。
a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。
4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。
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北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期高等代数（II ）期末考试（A 卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1和W 2是R n ⨯n 的两个子空间，其中W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成，W 2是由全体n 阶实下三角矩阵构成, 则 W 1+W 2的维数等于2n ．2. 设ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), η1 = (0,0,2), η2 =(0,3,0), η3 = (4,0,0) 是线性空间P 3的两组基, 则从基η1, η2, η3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡413121。
3、线性空间22⨯R 中，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5432A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00112E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01113E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11114E 下的坐标为： ()T5111---.4、设P 3的线性变换T 为：T(x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 2, x 1 + x 2)，取P 3的一组基：ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1)，则T 在该基下的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111010001． .5、设欧氏空间R 3[x ]的内积为dx x g x f x g x f )()())(),((11⎰+-=则一组基1, x, x 2的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡520320323202． 6、已知三阶矩阵A 满足03E A 2E A E A =-=-=-，则=A 6 ．7、已知矩阵A 的初等因子组为λ2，(λ－１)2，则其Jordon 标准形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110100 8、欧氏空间V 中两个向量βα,满足βαβα-=+，则α与β的夹角是090．9、3维欧氏空间R 3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．10、设321,,εεε是数域P 上的3维线性空间V 的一组基，f 是V 上的一个线性函数。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
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一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分） 1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD O O=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表，每小题2分，1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
6、1,α2α，，m α和1β，2β，，m β为两个n 维向量组，且1α=2β+3β++m β 2α=1β+3β++m βm α=1β+2β++1m β-则下列结论正确的是 （A ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ< （B ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ> （C ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ=（D ）无法判定7、设A 为n 阶实对称方阵且为正交矩阵，则有（A ）A=E （B ）A 相似于E （C ）2A E = （D ）A 合同于E8、若1234,,,ηηηη是线性方程组AX O =的基础解系，则1η+2η+3η+4η是AX O =的 （A ）解向量 （B ）基础解系 （C ）通解； （D ）A 的行向量；9、1,λ 2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1X 和2X 分别是对应于1λ和2λ的特征向量，当1,k 2k 满足什么条件时，1122X k X k X =+必是矩阵A 的特征向量。
（A ）10k =且20k =； （B ）10k ≠，20k ≠ （C ）120k k ≠ （D ）10k ≠而20k =10、下列哪一个二次型的矩阵是110130000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（A ）22121222(,)23f x x x x x x =-+； （B ）22121122(,)3f x x x x x x =-+;(C)221231222(,,)23f x x x x x x x =-+; (D)22123112232(,,)3f x x x x x x x x x =--+;三、计算题（每小题9分，共63分）1、设3阶矩阵，23=23A αγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 23B=βγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中23αβγγ，，，均是3维行向量，且已知行列式A =18，B =2，求A+B 2、解矩阵方程AX+B=X ，其中010A=111101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ ，112053B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3、设有三维列向量组11=11λα+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 21=11αλ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 31=11αλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，20=βλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦λ为何值时：（1）β可由1 α，2α，3α线性表示，且表示式是唯一的； （2）β不能由1 α，2α，3α线性表示；（3）β可由1 α，2α，3α线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。
4、已知四元非齐次线性方程组AX=β满足()3R A =，123γγγ，，是AX=β的三个解向量，其中122402γγ⎛⎫ ⎪- ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭， 231034γγ⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭求AX=β的通解。
5、已知A=B ，且11A=111a a b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，000B=010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求a , b6、齐次线性方程组123123122303402a 0x x x x x x x x x -+=⎧⎫⎪⎪-+=⎨⎬⎪⎪-++=⎩⎭中当a 为何值时，有非零解，并求出通解。
7、用正交变换法化二次型222123123121323(,,)444444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准型，并求出正交变换。
四、证明题（7分）设A 为m ×n 矩阵，B 为n 阶矩阵，已知()n R A = 证明：若AB=O ，则B=O《高等代数》期末考试题A 题参考答案与评分标准一、填空题1、-10；2、81；3、-4，-6，-12；4、()132A E -； 5、5； 二、单项选择题(每小题2分，共20分)三、计算题(每小题9分，共63分)1、2233++A+B =3=124αβαβγγγγ （2分）=2312αγγ+2312βγγ （4分）=232αγγ+2312βγγ （7分）=2×18+12×2=60 （9分） 2、()AX+B X E A X B =⇒-= （2分）111013012E A --=-=≠ （3分） ()1X E A B -=- （5分）()1021********E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（7分）02111311321202030115311X --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦（9分）3、设112233k k k βααα=++21+1111111+1(+3)11+1=(+3)0111+111+A λλλλλλλλ==≠ 0λ⇒≠且3λ≠-时，方程组有唯一解即β可由1 α，2α，3α唯一线性表示， （2）当=3λ-时()21101213A =1213011211290006---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭R(A)=2 ，()R A =3 ∴无解即当=3λ-时，β不能由1 α，2α，3α线性表示 （6分） （3）当=0λ时()11101110A =1110000011100000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()R(A)= R A =1<3 ∴有无穷组解 基础解系为：1110η-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 2101η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭通解为 12112212c c X c c c c ηη--⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭当=0λ时 β可由1 α，2α，3α线性表示为无穷多种形式1211223()c c c c βααα=--++ 1c ，2c 为任意常数 （9分）4、R(A)= 3 <4 AX= θ∴的基础解系含一个解 （2分）i A γβ= （i=1，2，3）设1223211404()()0033242ηγγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=+-+=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4分）1432η⎛⎫ ⎪- ⎪∴= ⎪- ⎪-⎝⎭ 为基础解系 （6分）()1212111A A 222A γγγγβ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦()012121021U γγ⎛⎫ ⎪- ⎪∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭ 为特解 （8分）故A X β=的通解为0124312c c X U c c c η+⎛⎫ ⎪-- ⎪=+= ⎪- ⎪-⎝⎭c 为任意常数 （9分） 5、A B E A E B λλ∴-=-322221113(2)()11a E A ab a b a b b λλλλλλλ----=---=-+--+---- （2分）32001(1)(2)3202E B a λλλλλλλλλλ-=--=--=-+- （4分）32222323(2)()32a b a b λλλλλλ∴-+--+-=-+ （6分）比较同次幂系数有22222()0a b a b ⎧⎫--=⎨⎬-=⎩⎭(8分) 解之， 得 0a b == （9分）6、21301113410112003A a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（3分）当3a =时， ()R A =2<3 有非零解 （5分）基础解系为111η-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（8分）通解为 X c η= c 为任意常数 （9分）7、2422242(2)(8)0224E A λλλλλλ----=---=--=--- （3分）特征值为18λ=， 232λλ== （4分）特征向量为1111η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2101η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3011η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ （6分）正交单位化为1111β⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，2101β⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭，3121β-⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭（7分） 标准型为 222123822f y y y =++ （8分）正交变换为0X Y⎪=⎪⎪ ⎪ （9分）四、证明题（）()12,,,n B βββ=()()1212,,,,,,n n AB A A A A O ββββββ=== （2分）i A βθ∴= (1,2,,)i n =∴B 的每一列向量为齐次方程组AX θ=的解 （4分）由于()R A n = ∴AX θ=只有零解∴B O = （6分）。